双曲线经典教案

双曲线

一 基本概念

1. 双曲线的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于

||21F F ）的点的轨迹。其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

注意：当P 在右支时a PF PF 2||||21=-，当P 在左支时a PF PF 2||||12=-

2. 双曲线的标准方程、图象及几何性质：

中心在原点，焦点在x 轴上

中心在原点，焦点在y 轴上

标准方程

)0，0(1-22

22>>=b a b

y a x )0,(1-22

22>=b a b

x a y 图 形

顶 点 )0,(),0,(21a A a A -

),0(),,0(21a B a B -

对称轴 x 轴，y 轴；虚轴为b 2，实轴为a 2

焦 点 )0,(),0,(21c F c F - ),0(),,0(21c F c F -

焦 距 )0(2||21>=c c F F 222b a c +=

离心率

)1(a

>=

e c e

渐近线 b

y x a

=± a y x b

=±

x

O F 1 F 2

P

y

A 2 A 1

x

O F 1

P

B 2 B 1 F 2

椭圆和双曲线比较：

椭 圆

双 曲 线 定

义 1212||||2(2||)PF PF a a F F +=> 1212||||||2(2||)PF PF a a F F -=<

方程

22221x y a b += 22221x y b a += 22221x y a b -= 22

2

21y x a b -= 焦

点 (,0)F c ± (0,)F c ± (,0)F c ± (0,)F c ±

（2）双曲线的性质

①、范围：从标准方程122

22=-b

y a x ，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线

a x ±=的外侧。即22a x ≥，a x ≥即双曲线在两条直线a x ±=的外侧。

②、对称性：双曲线122

22=-b

y a x 关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是

双曲线的对称轴，原点是双曲线122

22=-b

y a x 的对称中心，双曲线的对称中心叫做

双曲线的中心。

③、顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线122

22=-b

y a x 的方程里，

对称轴是,x y 轴，所以令0=y 得a x ±=，因此双曲线和x 轴有两个交点

)0,()0,(2a A a A -，他们是双曲线122

22=-b

y a x 的顶点。

1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。

2） 实轴：线段2A A 叫做双曲线的实轴，它的长等于2,a a 叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段2B B 叫做双曲线的虚轴，它的长等于2,b b 叫做双曲线的虚半轴长

④、渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线

即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线122

22=-b

y a x 的各支向外延伸时，

与这两条直线逐渐接近。 ⑤、等轴双曲线：

1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：a b =； 2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：x y ±= ；（2）渐近线互相垂直

注意：以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。

3）注意到等轴双曲线的特征a b =，则等轴双曲线可以设为：

)0(22≠=-λλy x ，当0>λ时交点在x 轴，当0<λ时焦点在y 轴上

⑥、注意

191622=-y x 与22

1916

y x -=的区别：三个量,,a b c 中,a b 不同（互换）c 相同，还有焦点所在的坐标轴也变了。

（3）、理解双曲线应注意的几点

1、椭圆的离心率是描述椭圆扁平程度的一个重要数据．同样，双曲线的离心率

是描述双曲线“张口”大小的一个重要数据，由于，当

从接近1逐渐增大时，的值就从接近于逐渐增大，双曲线的“张口”

逐渐增大．

2、要掌握根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程的求法．

∵，∴把标准方程中

的“1”用“”替换即可得出渐近线方程． 3、已知渐近线方程求双曲线的标准方程的方法：

①、渐近线方程为的双曲线的方程为：

（

且为

常数）．

②、与双曲线有共同渐近线的双曲线的方程可设为

（

且为常数）．

二 例题分析

【题型一】 双曲线定义

【例1】（和平区2011高考一模）.设P 是双曲线22

219

x y a -=上一点，双曲线的

一条渐近线方程为3

2

y x =

，12,F F 分别是双曲线的左右焦点，若14PF =，则2PF =（ ）

A.10

B.8

C.6

D.1

【例2】（2012年全国卷新课标）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，

C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，43AB =；则C 的实轴长为

（ ）

()

A 2 ()

B 22 ()

C 4 ()

D 8

【题型二】 双曲线标准方程

【例1】（2010年天津理5).已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的

渐近线方程是y=3x ,它的一个焦点在抛物线224y x =的准线上， 则双曲线的方程为 （ ）

（A ）22136108x y -= （B ） 22

1927x y -=

（C ）22110836x y -= （D ）22

1

279x y -=

【例2】（2010年天津文13）.已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的一条渐近线

方程是3y x =，它的一个焦点与抛物线216y x =的焦点相同。则双曲线的方程为 .

【例3】（2011山东理）已知双曲线22

221(0b 0)x y a a b

-=＞，＞的两条渐近线均和

圆C:22650x y x +-+=相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为（ ）

A 22154x y -=

B 22145x y -=

C 22136x y -=

D ．22

163

x y -=

【例4】（2011山东文）已知双曲线22

221(0b 0)x y a a b

-=＞，＞和椭圆22x y =1169+有

相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为

【例5】（2011安徽理）双曲线x y 222-=8的实轴长是（ ） A ．2 B 22

C ．4

D ．42

【变式1】（2011·上海理）设m 是常数，若点F (0，5)是双曲线22

19

y x m -=的

一个焦点，则m = 。

【变式2】（2011·湖南文）设双曲线22

21(0)9

x y a a -

=>的渐近线方程为320,x y ±=则a 的值为（ ）

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

【变式3】（2012年天津文）设知双曲线1C ：22

221(0b 0)x y a a b

-=＞，＞和2C ：

22

1416

x y -=有相同的渐近线，且1C 的右焦点(

)

25,0F ，则a = ；

b = .

【例6】（2012年山东）已知椭圆1C ：()2210x y a b a b +=>>的离心率为3

2

e =，

与双曲线221x y -=的渐近线有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，求该椭圆方程.

【题型三】 双曲线渐近线

【例1】（河西区2011年高考三模）.双曲线22

163

x y -=的渐近线与圆

()

2

223x y r -+= ()0r >相切，则r 的值为 .

【例2】（2009年天津文4）．设双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 的虚轴长为2，

焦距为32，则双曲线的渐近线方程为（ ） A x y 2±= B x y 2±= C x y 2

2

±

= D x

y 21±=

【例3】.（2011年北京文10）已知双曲线

2

2

2

1

y

x

b

-=（b＞0）的一条渐近线的

方程为2

y x

=，则b= 。

【例4】（2009年全国卷新课标）双曲线

2

4

x

-

2

12

y

=1的焦点到渐近线的距离为

（A）23（B）2 （C）3（D）1 题型四双曲线离心率

【例1】（河东区2011年高考一模）已知双曲线

2

21

3

x

y

-=，则该双线的离心率

为（）

A.

23

3

- B.

23

3

C.

2

3

- D.

2

3

【例2】（红桥区2011年高考一模）.双曲线

22

22

1

x y

a b

-=的一条渐近线方程为

30

x y

+=，则次双曲线的离心率为（）

A. 310

10

B.

10

3

C.

22

3

D. 10

【例3】（2011·全国卷新课标）设直线L过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，L与C交于A，B两点，AB为C的实轴长的2倍，则C的离心率为（）

A．2B．3 C．2 D．3

1、已知圆C ：4)322=+-y x （,定点A （-3,0），则过定点A 且与圆C 外切的动圆圆心P 的轨迹方程____________________

5、已知曲线方程为22-k x +k

y -52=1，当k 的取值范围是________时，方程表示

双曲线。

6、已知双曲线62x -3

2

y =1的焦点为1F 、2F ,点M 在双曲线上且M 1F ⊥x 轴，则1

F 到直线2F M 的距离为_______________

7、一条双曲线x 2-2y =1的左焦点为1F ，点P 在双曲线左支的下半支上（不含左顶点），则直线P 1F 的斜率的取值范围是_________________

8、双曲线92x -16

2

y =1的两个焦点为1F 、2F ，点P 在双曲线上，若P 1F ⊥P 2F ,

则点P 到x 轴的距离为________________

13、已知双曲线的方程为22a x -22

b

y =1（a>0,b>0），点A.B 在双曲线的右支上，线

段AB 经过双曲线的右焦点2F ,AB=m,1F 为另一焦点，则?AB 1F 的周长

14、求适合下列条件的双曲线标准方程：

（1）虚轴长为12，离心率为45 （2）顶点间距离为6，渐近线方程为y=x 2

3

±

(3) 求与双曲线1222=-y x 有公共渐近线，且过点M （2，- 2）的双曲线方程。

15、已知圆C ：x 084622=+--+y x y .以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的

一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为？

习题练习：

1．动点P 到点)0,1(M 及点)0,3(N 的距离之差为2，则点P 的轨迹是（ ） A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．两条射线 D ．一条射线

2．设双曲线的半焦距为c ，两条准线间的距离为d ，且d c =，那么双曲线的离心率e 等于（ ）

A ．2

B ．3

C ．2

D ．3

3．过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的弦PQ ，1F 是另一焦点，若∠

2

1π

=

Q PF ，则双曲线的离心率e 等于（ ）

A ．12-

B ．2

C ．12+

D ．22+ 4．双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m =（ ）

A ．14

- B ．4- C ．4 D ．14

5．双曲线)0,(122

22>=-b a b

y a x 的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为该双曲线在第

一象限的点，△PF 1F 2面积为1，且,2tan ,2

1

tan 1221-=∠=∠F PF F PF 则该双曲线的方程为（ ）

A ．

1351222=-y x B ．1312522=-y x C ．1512322

=-y x D ．112

532

2=-y x 6．如果方程22

1x y p q

+=-表示曲线,则下列椭圆中与该双曲线共焦点的是 （ ）

A ．2212x y q p q +=+

B ． 22

12x y q p p

+=-+ C ． 2212x y p q q +=+ D ． 22

12x y p q q

+=-+

7．双曲线的渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，这双曲线的方程为_______________。

8．若曲线

22

141x y k k

+=+-表示双曲线，则k 的取值范围是 。

9．若双曲线1422=-m y x 的渐近线方程为x y 2

3±=，则双曲线的焦点坐标是_________．

10.双曲线与椭圆有共同的焦点12(0,5),(0,5)F F -，点(3,4)P 是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求渐近线与椭圆的方程。