土力学课堂作业问题详解

（第二次作业）

2-1 某办公楼工程地质勘察中取原状土做试验，用体积为1003

cm 的环刀取样试验，用天平测得环刀加湿土的质量为245.00g ，环刀质量为55.00g ，烘干后土样质量为170.00g ，土粒比重为2.70。计算此土样的天然密度、干密度、饱和密度、天然含水率、孔隙比、孔隙率以及饱和度，并比较各种密度的大小。 解：已知：V=100 cm 3

；M=245-55=190g ；M s =170g ；土粒比重Gs=M s /V s =2.70； M w = M - Ms=186-170=16g ，ρw=1 g/cm 3

；所以V w =16cm 3

； 土粒比重G s =M s /V s =2.70；所以V s = M s /2.70=62.96cm 3

； V=100 cm 3

；Vs=62.96cm 3

；Vw=16cm 3

；

所以V v =V-V s =100-62.96=37.04cm 3

；V a =V v -V w =37.04-16=21.04 cm 3

； 因此：天然密度V

m

=

ρ

=190/100=1.90 g/cm 3

； 干密度/d

s m V

ρ= =170/100=1.70 g/cm 3

；

饱和密度()/sat s v w m V V

ρρ=+=(16+170+21.04×1)/100=2.07 g/cm 3

；

天然含水率%42.9%100170

16%100=?=?=

s w m m w 孔隙比/v s e

V V == 37.04/62.96=0.588

孔隙率()/100v n V V =?%=V v

/V=37.04/100=37.04%

饱和度()/100r

w v S V V =?%=16/37.04=43.2%

综上所述：ρsat ＞ρ＞ρd

2-3某住宅地基土的试验中，已测得土的干密度d ρ=1.643

/cm g ，含水率w =21.3﹪，土粒比重

S G =2.65。计算土的e 、n 和r S 。此土样又测得L w =29.7﹪、P w =17.6﹪，计算P I 和L I ，描述土的物

理状态，定出土的名称。

解：（1）根据换算公式求e 、n 、r S 值：

616.0164

.11

65.21

1)1()1(1)1(=-?=

-=-++=

-+=

d

s d w s w

s G G G e ρρ

ωρρωρ

ρωω

381.0616

.01616.01=+=+=

e e n

%64.91616

.065

.2213.0=?==

e wG S s r （2）已知：w =21.3﹪、L w =29.7﹪、P w =17.6﹪

1.126.177.29===－－w w I P L p

31.01

.126

.173.21I L

==

-=

－I w w P

p

因 10＜P I ≤17 ，0.25＜L I ≤0.75，所以该土为粉质粘土，处于可塑状态。

3-1某工程地质资料如下：第1层为 =18 kN/m 3

，厚度5.0m ；第2层为sat γ=20.5 kN/m 3

,厚6.1m ；第

3层为sat γ=19 kN/m 3

，厚2m ；第4层为sat γ=19 KN/m 3

，厚1m 。地下水位为地面下5.0m 。试求各土层的自

重应力，并绘制应力分布图。

【解】第1层土底 cz σ=18×5=90kN/m

2

第2层土底 cz σ=90+（20.5－9.8）×6.1=155.27 kN/m 2

第3层土底 cz σ=155.27+（19－9.8）×2=173.67kN/m 2

第4层土底 cz σ=173.67+（19－9.8）×1=182.87 kN/m 2

土的自重应力分布图略。

(第三次作业)

3-2某基础底面尺寸为2m ×3m ，基底作用有偏心力矩k M =450KN ·m, 上部结构传至基础顶面的竖向力k F =600KN ，基础埋深1.5m 。试确定基底压力及其分布。 【解】 基础自重及基础上回填土重

180kN

5.12320Ad G G k =???==γ

偏心距

m G F M e k k k 577.0180

600450

=+=+=

基底压力

kPa l e A

G F p p k

k 20

280

3577.0613218060061min

max =

??? ???±?+=??? ??±+=

基底压力分布如下图：

3-3某矩形基础轴心受压，基底尺寸为4m ×2m ，基础顶面作用荷载k F =1000kN ，基础埋深1.5m ，已知地质剖面第一层为杂填土，厚0.5m ， =16.8kN/m 3

；以下为粘土， =18.5kN/m 3

。试计算：

（1）基础底面下m 0.2=z

的水平面上，沿长轴方向距基础中心线分别为

0、1、2m 各点的附加应

力值，并绘制应力分布图。

（2）基础底面中心点下距底面z =0、1、2、3m 各点的附加应力，并绘制应力分布图。 【解】 要计算基础底面下任意一点的附加应力时，式0p c z ασ=中cz p p σ-=0。p 为轴心荷载

作用下的基底压力，即

1552

45

.124201000k k k =????+=+=+=

A Ad F A G F p G γkPa 基底附加应力为

1.128)15.185.08.16(1550=?+?-=-=cz p p σkPa

（1）求基础底面下m 0.2=z 的水平面上，沿长轴方向距基础中心线分别为0、1、2m 各点的附加应

力值。

求解矩形面积上均布荷载非角点下任意深度处的附加应力时，计算公式和过程都十分简单，关键在于应用角点法，掌握好角点法的三要素。即：①划分的每一个矩形都要有一个角点位于公共角点下；②所有划分的矩形面积总和应等于原有的受荷面积；③查附加应力表时，所有矩形都是长边为l ，短边为b 。

计算中心点下的附加应力zO σ，如图所示：

作辅助线EOF 和IOJ ,将矩形荷载面积ABCD 划分为4个相等小矩形OEAI 、OJBE 、OFCJ 和OFDI 。任一小矩形212===

b l m , 21

2

===b z n ,由表3-1查得c α=0.1202。则O 点下的附加应力为 6.611.1281202.0440=??==p c zO ασ（kPa ）

计算1m 点处的附加应力zK σ，如上图所示：

作辅助线GKH 和IKJ ,将矩形荷载面积ABCD 划分为2个长矩形KGAI 、KIDH 和2个小矩形KJBG 、

KHCG 。在长矩形KGAI 中，313===

b l m , 212

===b z n ,由表3-1查得Ⅰc α=0.1314；

在小矩形KJBG 中，111

===b l m , 21

2===b z n ,由表3-1查得Ⅱc α=0.0840。则1m 点处的附加应力为

2.551.1280840.01314.02(20=?+?=+=）（）p c Ⅱc ⅠzK αασ（kPa ）

计算2m 点处的附加应力zJ σ，如上图所示： 任一小矩形414===

b l m , 21

2

===b z n ,由表3-1查得c α=0.1350。

则2m 点处的附加应力为 6.331.1281350.0220=??==p c zK ασ（kPa ）

由上可知，在地基中同一深度处（如本题中z=2m)，以基底中心点下轴线处的附加应力值为最大（中心点O 下）,离中心线越远，附加应力值越小（图略）。

（2）求基础底面中心点下距底面=0、1、2、3m 各点的附加应力 附加应力计算见下表：

由上可知，在基础底面中心点下沿垂线的附加应力值，随深度增大而减小（图略）。

3-6某工程地质勘察时，取原状土进行压缩试验，试验结果如表3-11所示。试计算土的压缩系数21-a 和相应的侧限压缩模量21-s E ，并评价该土的压缩性。

表3-11 习题3-6附表

【解】根据《建筑地基基础设计规范》的规定，压缩系数值21-a 按p 1＝100kPa 和p 2＝200kPa 时相对应的孔隙比计算。即

1-211221a 16.0200

100952

.0936.0MP p p e e a =--=--=

-

侧限压缩模量21-s E

a 2.1216

.0952

.01121121MP a e E s =+=+=

-- 因1211

5.01.0---<≤MPa a MPa ，故该土为中压缩性土。

（第四次作业）

4-1已知某土的抗剪强度指标为c =15kPa ，?=25?。若3σ=100 kPa ，试求

（1）达到极限平衡状态时的大主应力1σ； （2）极限平衡面与大主应力面的夹角；

（3）当1σ=300 kPa ，试判断该点所处应力状态。 【解】（1）已知3σ、c 、?，求1σ。由式（4-8）得

65.196)2

2545(tan 100)2

45(tan 2231=?

+??=+?=?σσ kPa

（2）土体剪切破坏时，破裂面发生在与大主应力的作用面成2

45?

+?的平面上，故极限平衡面与大

主应力面的夹角为?=?

+

?=+

?5.572

25452

45?

（3）由上述计算可知，该点处于极限平衡时，最大主应力为196.65kPa 。若1σ=300 kPa>196.65kPa ，故可判断该点已破坏。

4-2某高层建筑地基取原状土进行直剪试验，4个试样的法向压力p 分别为100、200、300、400kPa ，测得试样破坏时相应的抗剪强度为f τ分别为67、119、162、216kPa 。试用作图法，求此土的抗剪强度指标c 、?值。若作用在此地基中某平面上的正应力和剪应力分别为225kPa 和105kPa ，试问该处是否会发生剪切破坏？

【解】（1）由题意作图（Excl 图）

由图可得：5.1849.0tan +=+=σ?στc f

，则

c =18.5kPa 49.0tan =? ?=1.26?

（2）若σ=225kPa 和τ=105kPa ，根据抗剪强度公式c f +=?στtan ，则

75.1285.1849.0225tan =+?=+=c f ?στkPa >105=f τ kPa

故该处未发生剪切破坏。

4-7条形筏板基础宽度b =12m ，埋深d ＝2m ，建于均匀粘土地基上，粘土的γ＝18kN/m 3

，=15°，c

＝15kPa ，试求

（1)

临塑荷载P cr 和界限荷载P 1/4值；

（2) 用太沙基公式计算地基极限承载力P u 值；

（3) 若地下水位位于基础底面处（sat γ＝19.7kN/m 3

），计算P cr 和P1/4值。

【解】：（1）临塑荷载P cr 和界限荷载P 1/4值：

kPa d c d p m m cr 26.1552182

1801515cot )

15cot 15218(2

cot )cot (=?+-

???+???+?=+-+?+=

π

ππγπ???γπ kPa

d c b d p m m 36.2252

182

1801515cot )

15cot 15121841

218(2cot )cot 41(41=?+-

???+???+??+?=+-+?++=πππγπ???γγπ (2) 用太沙基公式计算地基极限承载力P u 值。根据内摩擦角?=15°，查表4-4得太沙基承载力系数为=γ

N 1.8，=q N 4.45，=c N 12.9

kPa cN dN bN p c q m u 1.5489.121545.42188.112182

1

21=?+??+???=++=γγγ

（3) 若地下水位位于基础底面处（sat γ＝19.7kN/m 3

），则γγ=m ＝18kN/m 3

，

w sat γγγγ-='==19.7-10=9.73kN/m 。P cr

和P1/4值：

kPa d c d p m m cr 26.15521821801515cot )15cot 15218(2cot )cot (=?+-

???+???+?=+-+?+=π

ππγπ???γπ

kPa

d c b d p m m 97.1922

182

1801515cot )

15cot 15127.941

218(2cot )cot 41(41=?+-

???+???+??+?=+-+?++=πππγπ???γγπ

（第五次作业）

5-1已知某挡土墙高5米，其墙背竖直光滑，填土水平,r=18kN/m 3

, φ=20°,C=12kPa 。试求主动土压力及其作用点位置，并绘制a σ分布图。

【解】 墙背竖直光滑，填土面水平，满足朗肯土压力理论，又由于墙后填土为粘性土，故沿墙高的土压力强度可按修正后粘性土的表达式(5-8)计算

其中

49.0)2

2045(tan )245(tan 22=?

-?=-?=?a K

离填土面深度

90.149

.01812220=??==

≤a K c z z γm 时

0=a σ

墙底处

3.2749.012249.05182=??-??=-=a a a K c zK γσkPa

取单位墙长计算，则粘性土主动土压力

a E

3.42)9.15(3.272

1

=-??=a E kN/m

主动土压力

a E 的作用点离墙底的距离为

03.13

9

.15300=-=-=

z H c m

5-4已知某挡土墙高6米，其墙背竖直光滑，填土水平，土重度γ=19kN/m 3

, 内摩擦角φ=30O

，粘聚力C=0kPa ，r s a t =20kN/m 3

。试求主动土压力及其作用点位置，并绘制σa 分布图。

【解】 墙背竖直光滑，填土面水平，满足朗肯土压力理论。主动土压力系数

a K

33.0)2

3045(tan )245(tan 22=?

-?=-?=?a K

依题意，该土为无粘性土，水面处主动土压力强度1a σ

08.2533.041911=??==a a K h γσ kPa

墙底处主动土压力强度2a σ

02.3133.0]2)1019(419[)(212=??-+?='+=a a K h h γγσkPa

静水压力 20210=?==w w w h p σ kPa

主动土压力

a E

m /k 26.12694.2516.5016.502

)08.252002.31(2

1

208.25408.2521N E a =++=?-+?+?+??=

主动土压力

a E 的作用点离墙底的距离为

86.1]3

2

94.252216.50)342(16.50[26.12610=?+?++??=

c m

a σ沿分布图略。