基本积分表

基本积分表

1、?

+=c kx kdx

2、?++=+c a x dx x a a 11

3、?+=c x dx x

ln 1 4、?+=+c x dx x

arctan 112 5、?+=-c x dx x

arcsin 112 6、?

+=c x xdx sin cos 7、?+-=c x xdx cos sin

8、??+==c x xdx dx x tan sec cos 12

2

9、??+-==c x xdx dx x

cot csc sin 122 10、?+=c x xdx x sec tan sec

11、?

+-=c x xdx x csc cot csc 12、?+=c e dx e x x

13、?+=c a

a dx a x x ln 14、?+=c chx shxdx 其中2

x

x e e shx --=为双曲正弦函数 15、?+=c shx chxdx 其中2

x

x e e chx -+=为双曲余弦函数

基本积分表的扩充

16、?

+-=c x xdx cos ln tan

17、?+=c x xdx sin ln cot

18、?++=c x x xdx tan sec ln sec 19、c x c x x xdx +=+-=?2

tan ln cot csc ln csc 20、?+=+c a x a dx x

a arctan 1122 21、?++-=-c a x a x a dx a

x ln 21122 22、?+-+=-c x

a x a a dx x a ln 21122 23、?

+=-c a x dx x a arcsin 122 24、?

+++=+c a x x dx a x 2222ln 1 25、

?+-+=-c a x x dx a x 2222ln 1

sin αsin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2【注意右式前的负号】 cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2

sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2

cos αsin β=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2

sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]

sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]

cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]

cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 【注意右式前的负号】

三角函数公式大全

同角三角函数的基本关系

倒数关系: tanα ·cotα＝1 sinα ·cscα＝1 cosα ·secα＝1 商的关系：sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα 平方关系：sin^2(α)＋cos^2(α)＝1 1＋tan^2(α)＝sec^2(α) 1＋cot^2(α)＝

c sc^2(α)

平常针对不同条件的常用的两个公式

sin2 α+cos2 α=1 tan α *cot α=1

一个特殊公式

（sina+sinθ）*（sina+sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ）证明：（sina+sinθ）*（sina+sinθ）=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2] =sin （a+θ）*sin（a-θ）

锐角三角函数公式

正弦：sin α=∠α的对边/∠α 的斜边余弦：cos α=∠α的邻边/∠α的斜边正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边余切：cot α=∠α的邻边/∠α的对边

二倍角公式

正弦sin2A=2sinA·cosA 余弦 1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)

=2Cos^2(a)-1 =1-2Sin^2(a) 2.Cos2a=1-2Sin^2(a) 3.Cos2a=2Cos^2(a)-1 正切tan2A=（2tanA）/（1-tan^2(A)）

三倍角公式

sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)

tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 半角公式

tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);

cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2

cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2 tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))

和差化积

sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]

sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2]

cos[(θ-φ)/2] cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)

tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)

两角和公式

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβsin(α+β)=sinαcosβ+ cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ -cosαsinβ

积化和差

sinαsinβ = [cos(α-β)-cos(α+β)] /2 cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2

sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2 cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2

双曲函数

sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 tanh(a) = sin h(a)/cos h(a) 公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）= sinα cos（2kπ＋α）= cosα tan（2kπ＋α）= tanα cot （2kπ＋α）= cotα 公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）= -sinα cos（π＋α）= -cosα tan（π＋α）= tanα cot（π＋α）= cotα 公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（-α）= -sinα cos（-α）= cosα tan（-α）= -tanα cot （-α）= -cotα 公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π-α）= sinα cos（π-α）= -cosα tan（π-α）= -tanα cot（π-α）= -cotα 公式五：利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π-α）= -sinα cos（2π-α）= cosα tan（2π-α）= -tanα cot（2π-α）= -cotα 公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2+α）= cosα cos（π/2+α）= -sinα tan（π/2+α）= -cotα cot（π/2+α）= -tanα sin（π/2-α）= cosα cos（π/2-α）= sinα tan （π/2-α）= cotα cot（π/2-α）= tanα sin（3π/2+α）= -cosα cos（3π/2+α）= sinα tan（3π/2+α）= -cotα cot（3π/2+α）= -tanα sin（3π/2-α）= -cosα cos（3π/2-α）= -sinα tan（3π/2-α）= cotα cot（3π/2-α）= tanα (以上k∈Z) A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = √{(A2 +B2 +2ABcos(θ-φ)} · sin{ ωt + arcsin[ (A·sinθ+B·sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } √表示根号,包括{……}中的内容

诱导公式

sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosαtan (-α)=-tanα sin(π/2-α) = cosα cos(π/2-α) = sinα sin(π/2+α) = cosα cos(π/2+α) = -sinα sin(π-α) = sinα cos(π-α) = -cosα sin(π+α) = -sinα cos(π+α) = -cosα tanA= sinA/cosA tan（π/2＋α）＝－cotα tan（π/2－α）＝cotα tan（π－α）＝－tanα tan（π＋α）＝tanα 诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限

万能公式

sinα=2tan(α/2)/[1+(tan(α/2))2] cosα=[1-(tan(α/2))2]/[1+(tan(α/2))2]

tanα=2tan(α/2)/[1-(tan(α/2))2]

其它公式

(1) (sinα)2+(cosα)2=1 (2)1+(tanα)2=(secα)2 (3)1+(cotα)2=(cscα)2 证明

下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)2，第二个除(cosα)2即可(4)对于任意非直角三角形,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 证: A+B=π-C

tan(A+B)=tan(π-C) (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)

整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 得证同样可以得证,当

x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1

(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2) (7)(cosA）2+(cosB）

2+(cosC）2=1-2cosAcosBcosC (8)（sinA）2+（sinB）2+（sinC）

2=2+2cosAcosBcosC 其他非重点三角函数csc(a) = 1/sin(a) sec(a) =

1/cos(a)

编辑本段内容规律

三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发

现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是

学好三角函数的关键所在. 1、三角函数本质：

[1] 根据右图，有sinθ=y/ r; cosθ=x/r; tanθ=y/x; cotθ=x/y。深刻理解了这

一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导sin(A+B)

= sinAcosB+cosAsinB 为例：推导：首先画单位圆交X轴于C，D，在

单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD

重合，形成新A'OD。A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β))

OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) ∴

[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 和差化积及积化和

差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2）单位圆定义单位

圆六个三角函数也可以依据半径为一中心为原点的单位圆来定义。单位圆定

义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。但是单

位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在0

和π/2 弧度之间的角。它也提供了一个图象，把所有重要的三角函数都包含了。根据勾股定理，单位圆的等式是：图象中给出了用弧度度量的一些常见的角。逆时针方向的度量是正角，而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同x 轴

正半部分得到一个角θ，并与单位圆相交。这个交点的x 和y 坐标分别等于

cos θ 和sin θ。图象中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边且长度为1，

所以有sin θ = y/1 和cos θ = x/1。单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的

长度，但保持斜边等于1的一种查看无限个三角形的方式。两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)