泛函条件极值

§6.3 泛函的条件极值

一、泛函条件极值问题的提出（等周问题）

求在连接A 、B 长度为L 的所有曲线中与直线AB

所围成面积最大的曲线？

AB 弧长：dx y L b

a ∫+=2'1 （1）曲线AB 与直线AB 所围成面积：()∫=b

a dx x y S （2）边界条件：()()0,0==

b y a y （3）

在满足约束条件（1）和边界条件（3）的情况下，寻找满足由方程（2）的构成泛函问题的极小曲线函数。

二、一般泛函条件极值的E-L 方程

其中[][]()()2120,,,y b y y a y b a C y y y D ==∈=。设()x y 是所求泛函的极值函数，取任意光滑函数()[]b a C x ,2

0∈η ()()()x x y x y εη+=1，()()0,0==b a ηη

从而构成一元函数

()[]()∫++=+=b

a dx y y x F y J '',,εηεηεηε? ()L dx y y x G b

a =++∫'',,εηεη 利用拉格朗日乘子法，定义新的泛函

()()()[]∫+++++=Φb

a dx y y x G y y x F '',,'',,,εηεηλεηεηλε （4）其中，λ为常数。

泛函()λε,Φ取极值，即需()

0,0=Φ=εελεd d

()

()0'''',''''''''''0=???????+?=??++??+=+++=+++=Φ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫=b a y y y y b a y b a y b a

y b

a y

b a y b a y b a y b a y b a y b a y b

y y y y dx G dx d G F dx d F dx G dx d G dx G dx F dx d F dx F dx G dx G dx F dx F dx G G F F d d ηλληληληληηηηληληηηληληηε

λεε

由变分引理得

0''=??

????++?y y y y G dx d G F dx d F λ， λ为常数，限制条件0'≠+y y G dx

d G 。例题：泛函[]()∫=

b a dx x y y J ，约束条件dx y L b

a ∫+=2'1，且()()0,0==

b y a y ，求泛函

的极值函数。 ()2'1,y G x y F +==Q

代入公式（5）可得

0'1'0012=???

????

?++??+y y dx d λλ 整理得 1'1'2=???

???

??+y y dx d λ 左右两边对x 积分 c x y y ?=+2'

λ，整理得 ()()2

2'c x c x y ???±

=λ，积分得 ()()()d c x d dx c x c x y b a +??±=+???±=∫2222λλ，即

()()222λ=?+?d y c x ， c 、d 为常数。

试求下列性能泛函达到极值的必要条件

10-1 试求下列性能泛函达到极值的必要条件 dt t x x g x J f t t ),,()(0 ?? = 给定边界条件为:f f f t x t x x t x ,)(,)(00==自由. 10-2 已知状态初值和终值为: 1,4)(,100>==f t t x t 但自由,,试求试下列性能泛函达到极值的极值曲线 )(t x * dt t x t x x J f t t ? ? +=0 )](2 1)(2[)( 10-3 试利用变分公式 0)]([ =+?? =εεσε σx x J J 求泛函 dt x x x F x J f t t ),,()(0 ? ???= 的变分，并写出欧拉方程。 10-4 求通过x(0)=1,x(1)=2,使下列性能指标为极值的曲线 dt x x J f t t )1()(20 +=? ? 10-5 设x=x(t),10≤≤t ,求从x(0)=0到x(1)=1间的最短曲线.Unknown 求性能指标 dt x x J )1()(210 +=? ? 在边界条件x(0)=0,x(1)自由情况下的极值曲线. 10-6 已知性能指标函数为 dt t tx t x x J )]()([)(21 0+=? 试求:(1)J δ的表达式; (2)当t x t t x 1.0,)(2==δ和t x 2.0=δ时的变分1J δ和2J δ的值. 10-7 试求下列性能指标的变分J δ dt x x t x J f t t )()(22 20 ?++ =? 10-8 试求泛函 dt x x x J )()(222 -=? ?π 在满足边界条件x(0)=1,2)2 (=π x 的极值曲线. 10-9 设泛函

泛函和泛函的极值

泛函和泛函的极值泛函是指某一个量，它的值依赖于其它一个或者几个函数。变分法的基本问题是求解泛函的极值。作为变分法的简单例题。考察x,y 平面上连接两个定点的所有曲线中，求满足边界条件的任意曲线y(x)中最短曲线。设P 1（x 1，y 1）和P 2（x 2，y 2）为平面上给定的两点，y （x ）为连接两点的任意曲线。于是，这一曲线的长度为连接P 1，P 2两点的曲线有无数条，每一条曲线都有一个L 值与其对应。满足边界条件的y （x ）称为容许函数，问题是要从这些曲线，容许函数中找出使得曲线长度L 最小的一条。根据上式，L [y ]依赖于y （x ），而y （x ）是x 的函数，因此称y （x ）为自变函数；L [y ]是倚赖于自变函数的函数，称为泛函。求解最短程线问题，即在满足边界条件在x =x 1时， y （x ）=y 1 y'（x 1）= y'1 在x =x 2时， y （x ）=y 2 y'（x 1）= y'1 的函数y （x ）中，求使得泛函L [y ]为极值的特定函数。因此 y （x ）称为容许函数。上述问题应用变分法可以概括为求解泛函在边界条件 y （x 1）=y 1, y （x 2）=y 2的极小值问题。

假设函数y（x）是使得泛函L[y]为最小的特定函数（真实的）。变分法有兴趣研究的是邻近于y（x）的任意容许函数引起泛函L []的改变。设其中ε 为小参数，而η (x)为边界值为零的任意函数。当x固定时，容许函数与y（x）的差 δ y称为泛函自变函数的变分，即类似地，容许函数的斜率与y（x）斜率的差δ y', 称为泛函自变函数斜率的变分，即应该注意δ y与函数y（x）的微分d y之间的差别，d y是自变量x的改变量d x 引起的y（x）的无穷小增量。而变分δ y是y（x）的任意一个微小的改变量。设泛函增量

第二章-泛函极值及变分法(补充内容)

第二章泛函极值及变分法（补充内容） 2.1 变分的基本概念 2.1.1 泛函和变分泛函是一种广义的函数，是指对于某一类函数{y (x )}中的每一个函数y (x )，变量J 有一值与之对应，或者说数J 对应于函数y (x )的关系成立，则我们称变量J 是函数y (x )的泛函，记为J [y (x )]。例1：如果表示两固定端点A (x A ，y A )，B (x B ，y B )间的曲线长度J （图2.1.1），则由微积分相关知识容易得到： dx dx dy J B A x x ? += 2)/(1 （2.1.1）显然，对于不同的曲线y (x )，对应于不同的长度J ，即J 是函数y (x )的函数，J =J [y (x )]。图2.1.1 两点间任一曲线的长度例2：历史上著名的变分问题之一——最速降线问题，如果2.1.2所示。设在不同铅垂线上的两点P 1与P 2连接成某一曲线，质点P 在重力作用下沿曲线由点P 1自由滑落到点P 2，这里不考虑摩擦作用影响，希望得到质点沿什么样的曲线滑落所需时间最短。图2.1.2 最速降线问题选取一个表示曲线的函数y (x )，设质点从P 1到P 2沿曲线y =y (x )运动，则其运动速度为：

ds v dt == 其中，S 表示曲线的弧长，t 表示时间，于是： dt = 设重力加速度为g ，则gy v 2=。因为P 1和P 2点的横坐标分别为x 1到x 2，那么质点从P 1到P 2所用时间便为： 1 [()]x x J y x =? 2 1 1/2 211[()]2[()()]x x y x dx g y x y x ??'+=??-?? ? （2.1.2）则最速降线问题对应于泛函J [y (x )]取最小值。回顾函数的微分：对于函数的微分有两种定义：一种是通常的定义，即函数的增量： ),()()()(x x x x A x y x x y y ?+?=-?+=?ρ （2.1.3）其中A （x ）与?x 无关，且有?x →0时ρ（x ,?x ）→0，于是就称函数y (x )是可微的，其线性部分称为函数的微分()()dy A x x y x x '=?=?，函数的微分就是函数增量的主部。函数微分的另外一种定义：通过引入一小参数ε，对)(x x y ?+ε关于ε求导数，并令ε→0的途径得到，即： dy x x y x x x y d x x dy =?'=??+'=?+→→)()() (00 εεεε ε （2.1.4）上式说明)(x x y ?+ε在ε=0处关于ε的导数就是函数y (x )在x 处的微分。相应地，在泛函J [y (x )]中，变量函数y (x )的增量在其很小时称为变分，用δy (x )或δy 表示，

泛函条件极值

§6.3 泛函的条件极值一、泛函条件极值问题的提出（等周问题）求在连接A 、B 长度为L 的所有曲线中与直线AB 所围成面积最大的曲线？ AB 弧长：dx y L b a ∫+=2'1 （1）曲线AB 与直线AB 所围成面积：()∫=b a dx x y S （2）边界条件：()()0,0== b y a y （3）在满足约束条件（1）和边界条件（3）的情况下，寻找满足由方程（2）的构成泛函问题的极小曲线函数。二、一般泛函条件极值的E-L 方程其中[][]()()2120,,,y b y y a y b a C y y y D ==∈=。设()x y 是所求泛函的极值函数，取任意光滑函数()[]b a C x ,2 0∈η ()()()x x y x y εη+=1，()()0,0==b a ηη 从而构成一元函数 ()[]()∫++=+=b a dx y y x F y J '',,εηεηεηε? ()L dx y y x G b a =++∫'',,εηεη 利用拉格朗日乘子法，定义新的泛函 ()()()[]∫+++++=Φb a dx y y x G y y x F '',,'',,,εηεηλεηεηλε （4）其中，λ为常数。泛函()λε,Φ取极值，即需() 0,0=Φ=εελεd d () ()0'''',''''''''''0=???????+?=??++??+=+++=+++=Φ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫=b a y y y y b a y b a y b a y b a y b a y b a y b a y b a y b a y b a y b a y y y y dx G dx d G F dx d F dx G dx d G dx G dx F dx d F dx F dx G dx G dx F dx F dx G G F F d d ηλληληληληηηηληληηηληληηε λεε

泛函的极值word版

第2章泛函的极值在讨论泛函的极值以前, 我们先来回顾一下函数的极值问题。 2.1函数的极值性质 2.1.1 函数的连续性任意一个多元函数12(),(,,...,)T n n f x x x R =∈x x , 0>?ε, 如果0)(>=?εδδ, 当0δ-

第2章泛函的极值

泛函和变分

第1章泛函和变分 1.1引言以前我们在微积分中遇到的都是类似下面的函数极值问题: 一个足够光滑的连续函数 12(,,...,)n y f x x x =，其在区域n R Ω?内任何一点12(,,...,)T n x x x =x 都可以作以下的 Taylor 展开 2 12 1 2()()()()(|| ||)(),,...,T T T T n f f f f o f f f f x x x +?=+?+??+??????= ? ?????x x x x x x D x x x x ?? (1.1.1) 22221121222 212...()...n n n n f f f x x x x x f f f f x x x x x ??????? ?????? ?? ?=???????????????? D x 函数在某一点有极值的必要条件是 12 ,, 0 n f f f f x x x ?? ???== ??????? 但是，我们这们课程中要讨论的则是另一类极值问题—泛函的极值问题(泛函简单地讲，就是函数的函数，详细见后面)。例1.1 一个简单的变分问题: 最短线问题图1.1最短线问题假设经过,A B 两点距离最短的曲线方程为 *()y y x = (1.1.2) 另有一任意的连续可导函数()x ηη=，()x η满足两端固定的边界条件 01()()0x x ηη== (1.1.3) 显然()()y y x x αη=+依旧是过固定两点,A B 的连续曲线，其对应的长度为

1 2()1('')d x x L y x ααη=++? (1.1.4) 当0α=,()y y x =时()L α取到极小值，也就是说 0d () |0d L ααα == (1.1.5) 把(1.1.4)代入(1.1.5), 展开后有 ()() 10 1 1 1 000110 000 222233 222 d ()('|d |d 1('') '''d |d 1'1'1'''''''''d d 1'1'1'0 x x x x x x x x x x x x L y x y y y y x x y y y y y y y y x x y y y αααααηηηη===++'?? ?==- ?+++?? ???=--=- ?+ ?++??=????? (1.1.6) 由于(1.1.6) 对于任意的()x ηη=都成立，根据变分引理(见2.2.2节), 我们可以得到 ( ) 3 2 '' 01'y y =+ (1.1.7) 意味着 12y C x C =+ (1.1.9) 因此, 在平面上过固定两点距离最近的光滑曲线是直线。下面我们来看几类比较典型的变分问题。例1.2 最速降线问题图1.2最速降线问题我们在该铅直平面上取一直角坐标系，以A 为坐标原点，水平为x 轴，向下为y 轴。曲线的方程为()y y x =， A 点坐标00(,)(0,0)x y =, B 点坐标11(,)x y 。曲线上任意一点P 时的速度为 d 2d s v gy t = = (1.1.10)