中北大学概率统计习题册第三章完整答案(详解)知识讲解

中北大学概率统计习题册第三章完整答案

(详解)

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1. 设随机变量X 的分布列为

解：()2E X +10.100.220.4=?+?+? 30.140.22+?+?=

()E X 10.120.200.4=?+?+? 10.120.21+?+?=

()2

2E X +30.160.220.4=?+?+?

30.160.2 3.8+?+?= 2. 设随机变量X 的分布列为：

{}Λ3,2,1,1

===-k pq

k X P k ,其中p 为

常数，01p <<，1q p =-。 求(),()E X D X 。

解：11

()k k E X kpq +∞

-==∑()11

1k k k q q +∞

-==-∑

1

11k k k k kq

kq +∞

+∞

-===-∑∑

()01

1k

k k k k q kq +∞

+∞

===+-∑∑

01

111k k q q p

+∞

==

=

=-∑ 2

211

()k k E X k pq +∞

-==∑

()1

1

2

1

1k k k k k k pq

kpq

+∞

+∞

--===-+∑∑

()()1

2

2

1

11k k

k k k k q

k k q p +∞

+∞

-===---+

∑∑

()()12

1

11k

k

k k k k q k k q p +∞

+∞

===+--+∑∑

1

12k k kq p

+∞

==+

∑ 1121k k q kpq p p +∞-==+∑221q p p

=+ 所以，()()22()D X E X E X =-

222211q q

p p p p

=

+-= 3.设随机变量X 的概率密度函数为

1

()exp{}2x f x μλλ

-=-，其中0λ>为

常数，求()E X 。 解：1e d 2x EX x x μ

λ

λ

--

+∞-∞

=?

()11e d e d 2211e d e d 22x x t

t

x x x

t t x μ

μ

λ

λ

λλμμλ

λ

μμλλ---

-

+∞

+∞

-∞-∞

-

-+∞

+∞-∞-∞=-+=+=??

??注：关于绝对收敛性

01e d 211e

d e d 2211e d e d 22x x x t

t

x x

x x x

t x t x μ

λ

μ

μ

λ

λ

λλ

λ

μμ

λ

λ

μμλλ--+∞

-∞

---

-+∞

+∞

-∞-∞

--+∞

+∞-∞≤-+=+=+?

?

?

?? λμ=+

或 1e d 2x x x μ

λ

λ

--+∞

-∞

?

||

1e d ()2

t x t t t μ

λμλ

+∞--∞-=

+=

?

当0μ≥时

()||

e d e d t t t t t t μλ

λμλμ+∞

-

--∞

-∞

+=-+?

?

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()()0

e d e d t

t t t t t

μλ

λμλμ+∞

--

++++?

?

()e

e μμλ

λλμλλλμ-

-?

?=+-+++ ???

2e

2μλ

λμ-

=+

当0μ<时

()0

||e d e d t t t t t t λμλμ+∞

--∞

-∞+=-+?

? ()()0

e

d e d t

t

t t t t μλ

μλ

λμλμ-

+∞

---++++?

?

()e e μ

μ

λ

λ

λμλμλλ??

=-+--+ ???

2e 2μ

λ

λμ=-

综上所述，我们有

()||

1||e d ||2x E X x x e

μμ

μ

λ

μλλ

--

-+∞-∞

==+?

4.设随机变量X 表示圆的半径，X 的概率密度函数为：

???

??≤≤-=其它

1)(b x a a

b x f ，

求圆的周长L 和面积S 的数学期望。 解： ()()2πE L E X =

()2πd b a

x

x a b b a

π==+-?

()()2

πE S E X

=

()222π

πd 3

b a

x x a b ab b a ==++-?

5．设连续型随机变量X 的概率密度为：

()1101010x x f x x x +-<

=-≤

其它

试求X 数学期望和方差。 解：()d EX xf x x +∞-∞

=?

()()0

11

1d 1d x x x x x x -=++-??

11

0;66

=-+=

()()()()2

12

21

0d 1d 1d 11112126

DX x f x x

x x x x x x +∞

-∞

-=-=++-=

+=?

??

6.设连续型随机变量X 的概率密度函数为：

()?

??≤≤=其它0b

x a k x f ，

且1

()0,()3

E X D X ==，试求b a k ,,。

解：由于()f x 是X 的概率密度，所以

有

()()d d 1b

a

f x x k x k b a +∞

-∞

==-=?

?

即 1k b a

=

- 又 ()d 02

b a

x a b E X x b a +===-?

得 0a b =-<

所以 221

()d 233

b

b x b D X x b -===? 所以 1b =，从而1

1,2

a k =-=

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7.设随机变量X 的概率密度函数为

?????≤≤-=其它0

2131)(x x f ，

且随机变量??

?

??<=>-=01000

1X X X Y ，

求)(Y D 。

解：{}{}10P Y P X ==<

()0

111

d d 33

f x x x -∞

-===?

?

{}{}10P Y P X =-=> ()2

12d d 33

f x x x +∞===?

?

{}{}100P Y P X =-=== 所以Y 的分布律为

Y -1

1

23 0 13 ()1001333

E Y =-?+?+?=-

()()2

222211001133

E Y =-?+?+?=

()()()

2

2

2

18139

D Y

E Y

EY ??=-=--= ???

8.一工厂生产的某种设备的寿命X (以

年计)的概率密度为

()?????≤>=-0

04

14

x x e x f x

工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换。若工厂售

出一台设备赢利100元，调换一台设备厂方需花费300元。试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望。 解：设Y 表示出售一台设备的净赢利为

Y 元，则 ()()2001P Y P X =-=<

1

1

4

41e d 1e 4x x ---∞==-? ()()1001P Y P X ==≥ ()1

4

11e P X -

=-<=

()11442001e 100e E Y --?

?=-?-+? ???

1

4

300e

20033.64-

=?-≈

9. 设二维随机变量(,)X Y 的联合分布律

为

试求

)(),(),(),(33Y X E XY E Y X E X E +-。 解: ()11116412E X ??

=-?++ ???

11110212466??

+?++?=-

???

()()3

3

115

12

i j ij i j E X Y x y p ==-=-=-

∑∑ ()3

311

512

i j ij i j E XY x y p ====

∑∑

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()33

3

3

3311

13()12

i j ij i j E X Y

x y p ==+=+=

∑∑ 10.设随机变量X 与Y 的联合分布律为

试证明：X 与Y 不相关，且不相互独立。 并试着写出Y X ,之间的关系来说明 Y X ,的不相关性。 解：由X 与Y 的联合分布律得 X Y -2 -1 1 2 j p g

1 0 0.25 0.25 0 0.5 4

0.25 0 0 0.25 0.5 i p g

0.25

0.25

0.25

0.25

其中{},i i j j p P X x p P Y y ====g g

4

10,

i i i EX x p ===∑g 10.540.5 2.5EY =?+?=，

4

2

110ij i j i j EXY p x y ====∑∑，从而

()()()(,)0Cov X Y E XY E X E Y =-=；所以，X 与Y 不相关；

111100p p p =≠?≠g g ，所以X 与Y 不相

互独立

由于显然2

X 的分布律与Y 完全相同，所以有2Y X =，这表明X 与Y 之间没有线性关系，即它们不相关。

11.设随机变量(,)X Y 的联合概率密度

函数为

()()??

???≤≤≤≤+=其它02

010241

y ,x y x y ,x f

求：)(),(),(),(XY E Y X E X D X E +。 解：()(),d d E X xf x y y x +∞+∞

-∞-∞

=?

?

1

2

00

2d d 4x y x y x +??= ???

?

?

1

20d 2x x x ??

=+ ???

?712= ()()22,d d E X x f x y y x +∞+∞

-∞

-∞=?

?

1

2

200

2d d 4x y x y x +??

= ???

?

?

21

30d 2x x x ??=+ ???

?512= ()()()2

211

144

D X

E X EX =-=

()()(),d d E X Y x y f x y y x +∞

+∞

-∞

-∞+=+?

?

()1

200

2d d 4x y x y y x +??

=+ ???

?

?

1

20237d 324x x x ??

=++= ???

? ()(),d d E XY xyf x y y x +∞

+∞

-∞

-∞=?

?

1

2

00

2d d 4x y xy y x +??

= ???

?

?

12022d 33x x x ??

=+= ???

? 12.设随机变量(,)X Y 的联合概率密度

为

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?

??≤≤≤=其它01

08),(y x xy y x f

试求(,),()Cov X Y D X Y -。 解：()(),d d E X xf x y y x +∞+∞

-∞

-∞

=?

?

112

8d d x

x

y y x =?

?

()1240

84d 15

x x x =-=

? ()()22,d d E X x f x y y x +∞+∞

-∞

-∞

=?

?

11

30

8d d x

x y y x =?

?

()1

3501

4d 3

x x x =-=? ()()()

2

2

11

225

D X

E X

EX =-= ()(),d d E Y yf x y y x +∞+∞

-∞

-∞

=?

?

112

8d d x

xy y x =??

()1

4

084d 3

5x x x =-=? ()()22,d d E Y y f x y y x +∞+∞

-∞

-∞

=?

?

113

8d d x

xy y x =?

?

()1

5022d 3

x x x =-=? ()()()2

2275D Y E Y EY =-= ()(),d d E XY xyf x y y x +∞+∞

-∞

-∞

=?

?

112

2

8d d x

x

y y x =?

?

()1

25

084d 3

9x x x =-=?

()()()()cov ,X Y E XY E X E Y =-

4844

9155225

=

-?=

()()()()2cov ,D X Y D X D Y X Y -=+-

11281

2257522525

=

+-=

13.设某商品每周的需求量X 服从分布

[]30,10U ，而经销商店进货量为区间

[]1030,中的某一整数，商店每销售一件

商品可获利500元。若供大于求则削价处理，每处理一件商品亏损100元；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每件商品仅获利300元。为使商店所获利润期望值不少于9280元，试确定最少进货量。

解：设进货()1030y y ≤≤件，则商店获利为

()()()5001001050030030

X y X X y

g X y X y y X --≤≤??=?

+-<≤?? 6001001030020030X y X y X y y X -≤≤?=?+<≤?

由于~[10,30]X U ，其概率密度函数为 ()1

1030200x f x ?≤≤?

=???其它

所以商店所获利润期望值为

()()()()d E g X g x f x x +∞-∞

=?

()101600100d 20

y

x y x =

-?

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()30

1300400d 20y x y x +

+? 215

35052502y y =-++

9280≥

解此不等式得 2225y ≤≤

最少进货量为22件。

解法2 由于实际中商品件数是整数。本题也可处理成离散型均匀分布，即需求

X 的分布律为

()1

,10,11,,3021

P X k k ===L ，则 ()()101

60010021

y

k Eg X x y ==

-∑ ()30

11

30020021

k y x y =++

+∑ 250235037500

777

y y =-

++

9280≥

解此不等式同样得到 2225y ≤≤ 最少进货量为22件。