简化积分计算的对称性理论及应用
第一性原理计算原理和方法
第二章 计算方法及其基本原理介绍 化学反应的本质就是旧键的断裂与新建的形成,参与成键原子的电子壳层重新组合就是导致生成稳定多原子化学键的明显特征。因此阐述化学键的理论应当描写电子壳层的相互作用与重排,借助求解满足适当的Schrodinger 方程的波函数描写分子中电子分布的量子力学,为解决这一问题提供了一般的方法,然而,对于一些实际的体系,不引入一些近似,就不可能求解其Schrodinger 方程。这些近似使一般量子力学方程简化为现代电子计算机可以求解的方程。这些近似与关于分子波函数的方程形成计算量子化学的数学基础。 2、1 SCF-MO 方法的基本原理 分子轨道的自洽场计算方法 (SCF-MO)就是各种计算方法的理论基础与核心部分,因此在介绍本文计算工作所用方法之前,有必要对其关键的部分作一简要阐述。 2、1、1 Schrodinger 方程及一些基本近似 为了后面介绍各种具体在自洽场分子轨道(SCF MO)方法方便,这里将主要阐明用于本文量子化学计算的一些重要的基本近似,给出SCF MO 方法的一些基本方程,并对这些方程作简略说明,因为在大量的文献与教材中对这些方程已有系统的推导与阐述[1-5]。 确定任何一个分子的可能稳定状态的电子结构与性质,在非相对论近似下,须求解 R AB =R 图2-1分子体系的坐标
定态Schrodinger 方程 ''12121212122ψψT p B A q p A p pA A pq AB B A p A A A E R Z r R Z Z M =??????? ?-++?-?-∑∑∑∑∑∑≠≠ (2、1) 其中分子波函数依赖于电子与原子核的坐标,Hamilton 算符包含了电子p 的动能与电子p 与q 的静电排斥算符, ∑∑≠+?-=p q p pq p e r H 12121?2 (2、2) 以及原子核的动能 ∑?-=A A A N M H 2121? (2、3) 与电子与核的相互作用及核排斥能 ∑∑≠+-=p A B A AB B A pA A eN R Z Z r Z H ,21? (2、4) 式中Z A 与M A 就是原子核A 的电荷与质量,r pq =|r p -r q |,r pA =|r p -R A |与R AB =|R A -R B |分别就是电子p 与q 、核A 与电子p 及核A 与B 间的距离(均以原子单位表示之)。上述分子坐标系如图2、1所示。可以用V(R,r)代表(2、2)-(2、4)式中所有位能项之与 ∑∑∑-+=≠≠p A pA A B A q p pq AB B A r Z r R Z Z r R V ,1 2121),( (2、5) 原子单位 上述的Schrodinger 方程与Hamilton 算符就是以原子单位表示的,这样表示的优点在于简化书写型式与避免不必要的常数重复计算。在原子单位的表示中,长度的原子单位就是Bohr 半径
积分对称性定理
关于积分对称性定理 1、 定积分: 设)(x f 在[],a a -上连续,则 ()()()()-0 0,d 2d ,a a a f x x f x x f x x f x x ?? =???? ?为的奇函数,为的偶函数. 2、 二重积分: 若函数),(y x f 在平面闭区域D 上连续,则 (1)如果积分区域D 关于x 轴对称,),(y x f 为y 的奇(或偶)函数,即 ),(),(y x f y x f -=-(或),(),(y x f y x f =-),则二重积分 ()()()()1 0,,,d d 2,d d ,,D D f x y y f x y x y f x y x y f x y y ?? =???????为的奇函数,为的偶函数. 其中:1D 为D 满足0≥y 上半平面区域。 (2) 如果积分区域D 关于y 轴对称,),(y x f 为x 的奇(或偶)函数,即()(),,f x y f x y -=-(或()(),,f x y f x y -=),则二重积分
()()()()2 0,,,d d 2,d d , ,D D f x y x f x y x y f x y x y f x y x ?? =????? ??为的奇函数,为的偶函数. 其中:2D 为D 满足0x ≥的右半平面区域。 (3)如果积分区域D 关于原点对称,),(y x f 为y x ,的奇(或偶)函数,即 ),(),(y x f y x f -=--(或),(),(y x f y x f =--)则二重积分 ()()()()2 0,,,,d d 2,d d ,,,D D f x y x y f x y x y f x y x y f x y x y ?? =???????为的奇函数,为的偶函数. 其中:1D 为D 在0≥y 上半平面的部分区域。 (4)如果积分区域D 关于直线x y =对称,则二重积分 ()()y x x y f y x y x f D D d d ,d d ,????=.(二重积分的轮换对称 性) (5)如果积分区域D 关于直线y x =-对称,则有 1 0,(,)(,)(,)2(,),(,)(,)D D f y x f x y f x y dxdy f x y dxdy f y x f x y --=-?? =?--=??????当时当时 利用上述性质定理化简二重积分计算时,应注意的是(1)(2)(3)中应同时具有积分域D 对称及被积函数()y x f ,具有奇偶性两个特
浅谈计算复杂性理论
浅谈计算复杂性理论 任忠 乌鲁木齐石化公司计控中心 摘要:本文阐述了计算复杂性理论的产生、定义、研究内容和发展。 关键词:算法分析;计算复杂性;起源;发展 1.计算法复杂性理论的起源 在几千年的数学发展中,人们研究了各式各样的计算,创立了许多算法。但是,以计算或算法本身的性质为研究对象的数学理论,却是在20世纪30年代才发展起来的。 1936年,为了讨论对于每个问题是否都有求解算法,数理逻辑学家提出了几种不同的计算模型的定义。K.Godel和S.C.Kleene等人创立了递归函数论,将数论函数的算法、可计算性刻画为递归可枚举性。A.M.Turing和E.L.Post提出了理想计算机的概念,将问题算法可解性刻画为在具有严格定义的理想计算机上的可解性。40年代以后,随着计算机科学技术的发展,研究的焦点从理论可计算法转移到现实可计算性上。人们不仅需要研究理论上的、原则上的可计算性,还要研究现实的可计算性,即研究计算一个问题类需要多少时间,多少存储空间,研究哪些问题是现实可计算的,哪些问题虽然原则上可计算,但由于计算的量太大而实际上无法计算等。因而一般算法设计方法研究和对一类问题算法解的难度分析便成为计算机科学的热点。此后,计算复杂性的研究等不断有所发展。由此产生了算法学和计算复杂性理论等新兴研究领域。 计算复杂性大的进展始于50年代末、60年代初,当时在美国有两个并行的中心,一个是通用电气公司设立于纽约州Schenectady的研究实验室,核心人物是J.Hartmanis和R.Stearns。1964年11月,他们在普林斯顿举行的第五届开关电路理论和逻辑设计学术年会上发表了论文"Computational Complexity of recursivese quences",论文中首次使用了"计算复杂性"这一术语,由此开辟了计算机科学中的一个新领域,并为之奠定了理论基础。他们两人是1993年度图灵奖获得者。另一个中心是麻省理工学院MIT,在那里,加州大学伯克利分校著名的计算机科学家Manuel Blum与前述两人互相独立地进行着相关问题的研究,并完成了他的博士论文:"Amachine independent theory of the complexity of recur- sive functions",Blum是受以色列学者M.O.Rabin的启发而开始这方面的研究的。Rabin 是希伯莱大学的教授,是研究计算复杂性问题的先驱,并在1976年荣获图灵奖。Blum的论文不但提出了有关计算复杂性的一些公理,而且在对复杂性类的归纳上也比其他学者有更高的抽象度。因此布、哈、斯三人被学术界公认为计算复杂性理论的主要奠基人。
二重积分对称性定理的证明及应用
目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Keywords (1) 前言 (1) 1.预备知识 (1) 2.二重积分对称性定理在不同条件下的证明及其应用 (2) 2.1 积分区域D关于坐标轴对称 (2) 2.2 积分区域D关于坐标区域内任意直线对称 (5) 2.3 积分区域D关于坐标原点对称 (9) 2.4 积分区域D关于坐标区域内任意一点对称 (11) 2.5 积分区域D同时关于坐标轴和坐标原点对称 (12) 结束语 (12) 参考文献 (13) 二重积分对称性定理的证明及应用
摘 要:本文归纳利用对称性来计算二重积分的方法,给出了二重积分对称性定理的证明并举出了相应例题. 关键词:对称性;积分区城;被积函数 The Application of Symmetry in Double Integral Calculating Abstract :It is introduced in the thesis some ways of how to calculate double integral with the application of symmetry. It is also put forward in it how to simplify the calculating methods with symmetry. Keywords :Symmetry; Integral region; Integrated function 前言 利用对称性计算二重积分,不但可以使计算简化,有时还可以避免错误.在一般情况下,必须是积分区域D 具有对称性,而且被积函数对于区域D 也具有对称性,才能利用对称性来计算.在特殊情况下,虽然积分区域D 没有对称性,或者关于对称区域D 被积函数没有对称性,但经过技巧性的处理,化为能用对称性来简化计算的积分.这些都是很值得我们探讨的问题. 1 预备知识 对于二重积分(,)D f x y dxdy ??的计算,我们总是将其化为二次定积分来完成的,而在 定积分的计算中,若遇到对称区间,则有下面非常简洁的结论: 当()f x 在区间上为连续的奇函数时,()0a a f x dx -=?. 当()f x 在区间上为连续的偶函数时,0 ()2()a a a f x dx f x dx -=??. 这个结论,常可简化计算奇、偶函数在对称于原点的区间上的定积分. 在计算二重积分时,若积分区域具有某种对称性,是否也有相应的结论呢?回答是肯定的.下面,我们将此结论类似地推广到二重积分. 2 二重积分对称性定理在不同条件下的证明及其应用 定理1[]1 若二重积分(,)D f x y dxdy ??满足
对称性在积分计算中应用修订版
对称性在积分计算中应 用 Document number:PBGCG-0857-BTDO-0089-PTT1998
毕业设计(论文)题目:对称性在积分计算中应用 学院:数理学院 专业名称:信息与计算科学 学号: 02 学生姓名:鲍品 指导教师:张晓燕 2011年 5 月 20 日
对称性在积分计算中的应用 摘要 对称性的应用很广泛,尤其在数学,物理学,化学等方面都有体现[1]。本论文主要是探讨一下对称性在积分计算中的应用。 积分在微积分学中既是重点又是难点,特别是在解决积分计算问题上,方法比较灵活。常见的积分方法有换元法和分部积分法,这些方法在解决一般的问题上还是奏效的,但是对于复杂的微积分计算和证明问题就显得有些心有余而力不足。假如我们稍仔细地观察题目,很多时候我们会发现积分区域或被积函数具有某种对称性。如果我们将对称性巧妙地应用到解决这类问题中去,不仅简化了计算过程而且还节省计算时间。 利用对称性解题方法比较灵活也十分重要。接下来本论文将从定积分,重积分,曲线积分以及曲面积分四大方面入手,深入探讨对称性在积分计算中的应用。最后分析利用对称性解题的条件与优势,总结出应用相关性质解题时要注意哪些方面。 关键词 定积分,重积分,曲线积分,曲面积分,对称性,奇偶性
Abstract The application of symmetry is very widespread, particularly in mathematics, physics, chemistry and other aspects of embodied. This paper is to explore the symmetry in the integral calculation. Integral calculus is difficult in both the focus, especially in solving the problem of integral calculation, the method more flexible. The common integral method are the substitution of variables and the integration by parts. These methods are effective in the solution general question, but appear regarding the complex calculus computation and the proof question somewhat has more desire than energy. If we carefully observe the subject a little, usually we will find regional integration or product function has a symmetry. If we applied the symmetry skillfully to solve such problems, this not only simplifies the calculation process but also save computing time. More flexible use of problem-solving approach symmetry is also important, Then the paper will be integral, double integral, curve and surface integrals four points in a bid to further investigate the symmetry in the integral calculation. Finally, we solve problems by analyzing the symmetry of the conditions of use and advantages, summed up the nature of problem solving application related to the attention of what. Key words definite integral, heavy integral, curvilinear integral, surface integral, symmetry, parity
对称性在积分计算中应用
毕业设计(论文)题目:对称性在积分计算中应用 学院:数理学院 专业名称:信息与计算科学 学号:0741210102 学生姓名:鲍品 指导教师:张晓燕 2011年5 月20 日
对称性在积分计算中的应用 摘要 对称性的应用很广泛,尤其在数学,物理学,化学等方面都有体现[1]。本论文主要是探讨一下对称性在积分计算中的应用。 积分在微积分学中既是重点又是难点,特别是在解决积分计算问题上,方法比较灵活。常见的积分方法有换元法和分部积分法,这些方法在解决一般的问题上还是奏效的,但是对于复杂的微积分计算和证明问题就显得有些心有余而力不足。假如我们稍仔细地观察题目,很多时候我们会发现积分区域或被积函数具有某种对称性。如果我们将对称性巧妙地应用到解决这类问题中去,不仅简化了计算过程而且还节省计算时间。 利用对称性解题方法比较灵活也十分重要。接下来本论文将从定积分,重积分,曲线积分以及曲面积分四大方面入手,深入探讨对称性在积分计算中的应用。最后分析利用对称性解题的条件与优势,总结出应用相关性质解题时要注意哪些方面。 关键词 定积分,重积分,曲线积分,曲面积分,对称性,奇偶性
Abstract The application of symmetry is very widespread, particularly in mathematics, physics, chemistry and other aspects of embodied. This paper is to explore the symmetry in the integral calculation. Integral calculus is difficult in both the focus, especially in solving the problem of integral calculation, the method more flexible. The common integral method are the substitution of variables and the integration by parts. These methods are effective in the solution general question, but appear regarding the complex calculus computation and the proof question somewhat has more desire than energy. If we carefully observe the subject a little, usually we will find regional integration or product function has a symmetry. If we applied the symmetry skillfully to solve such problems, this not only simplifies the calculation process but also save computing time. More flexible use of problem-solving approach symmetry is also important, Then the paper will be integral, double integral, curve and surface integrals four points in a bid to further investigate the symmetry in the integral calculation. Finally, we solve problems by analyzing the symmetry of the conditions of use and advantages, summed up the nature of problem solving application related to the attention of what. Key words definite integral, heavy integral, curvilinear integral, surface integral, symmetry, parity
第一性原理计算原理和方法精编
第一性原理计算原理和 方法精编 Document number:WTT-LKK-GBB-08921-EIGG-22986
第二章 计算方法及其基本原理介绍 化学反应的本质是旧键的断裂和新建的形成,参与成键原子的电子壳层重新组合是导致生成稳定多原子化学键的明显特征。因此阐述化学键的理论应当描写电子壳层的相互作用与重排,借助求解满足适当的Schrodinger 方程的波函数描写分子中电子分布的量子力学,为解决这一问题提供了一般的方法,然而,对于一些实际的体系,不引入一些近似,就不可能求解其Schrodinger 方程。这些近似使一般量子力学方程简化为现代电子计算机可以求解的方程。这些近似和关于分子波函数的方程形成计算量子化学的数学基础。 SCF-MO 方法的基本原理 分子轨道的自洽场计算方 法(SCF-MO)是各种计算方法的理论基础和核心部分,因此在介绍本文计算工作所用方法之 前,有必要对其关键的部分作 一简要阐述。 Schrodinger 方程及一些基本近似 为了后面介绍各种具体在自洽场分子轨道(SCF MO)方法方便,这里将主要阐明用于本文量子化学计算的一些重要的基本 R AB =R 图2-1分子体系的坐标
近似,给出SCF MO 方法的一些基本方程,并对这些方程作简略说明,因为在大量的文献和教材中对这些方程已有系统的推导和阐述[1-5]。 确定任何一个分子的可能稳定状态的电子结构和性质,在非相对论近似下,须求解定态Schrodinger 方程 ''12121212122ψψT p B A q p A p pA A pq AB B A p A A A E R Z r R Z Z M =??????? ?-++?-?-∑∑∑∑∑∑≠≠ () 其中分子波函数依赖于电子和原子核的坐标,Hamilton 算符包含了电子p 的动能和电子p 与q 的静电排斥算符, ∑∑≠+?-=p q p pq p e r H 12121?2 以及原子核的动能 ∑?-=A A A N M H 2121? 和电子与核的相互作用及核排斥能 ∑∑≠+-=p A B A AB B A pA A eN R Z Z r Z H ,21? 式中Z A 和M A 是原子核A 的电荷和质量,r pq =|r p -r q |,r pA =|r p -R A |和R AB =|R A -R B |分别是电子p 和q 、核A 和电子p 及核A 和B 间的距离(均以原子单位表示之)。上述分子坐标系如图所示。可以用V(R,r)代表-式中所有位能项之和 ∑∑∑-+=≠≠p A pA A B A q p pq AB B A r Z r R Z Z r R V ,12121),( 原子单位
积分中的对称性
积分中的对称性 作者:刘建康 【摘要】介绍几种常见对称性在重积分、曲线积分及曲面积分的计算过程中的几个结论。【关键词】积分;轮换对称性;奇对称;偶对称 在积分的计算过程中,当积分区域具有某种对称性时,如果被积函数具有某种特性,这时可以利用对称性简化积分的计算。这里所讨论的对称性主要包括两个方面:积分区域关于坐标轴(或坐标面)的对称性和积分区域的轮换对称性。设Dn为一积分区域,所谓积分区域的轮换对称性是指当任一点P(x1,x2,…,xn)∈Dn时,有Pi(xi, xi+1, … , xn,x1,x2,…,xi-1)∈Dn, i=1,2,…,n。 在一元函数积分学中,我们有下面所熟悉结论: 若f(x)在闭区间[-a,a]上连续,则有 ∫a-af(x)dx= 0, f(-x)=-f(x) 2〖JF(Z〗a0f(x)dx〖JF)〗,f(-x)=f(x) 利用这一性质,可以简化较复杂的定积分的计算。对重积分、曲线积分及曲面积分也有类似的结论。下面我们根据积分范围的不同来介绍对称性在各类积分计算中的几点应用。 1 对称性在重积分计算中的应用 对称性在计算二重积分Df(x,y)dσ方面的应用。 结论1 若f(x,y)在区域D内可积,且区域D关于y轴(或x轴)对称,则有 ①Df(x,y)dσ=0, f(x)为关于x(或y)的奇函数 ②Df(x,y)dσ=2D1f(x,y)dσ,f(x,y)为关于x(或y)的偶函数。 其中D1为区域D被y轴(或x轴)所分割的两个对称区域之一。 结论2 若f(x,y)在区域D内可积,且区域D关于原点成中心对称,则有: ①Df(x,y)dσ=0,f(-x,-y)=-f(x,y),即f(x,y)关于原点成奇对称; ②Df(x,y)dσ=2D1f(x,y)dσ=2D2f(x,y)dσ,f(-x,-y)=f(x,y),即f(x,y)关于原点成偶对称,其中D1、D2关于原点对称,且D1+D2=0。