几种测量凸透镜焦距方法的比较

几种测量凸透镜焦距方法的比较

作者：兰鹏涛

（陕西理工学院物理与电信工程学院物理学专业物理 1101 班，陕西汉中 723000）

指导教师：李静玲

[摘要 ] 凸透镜焦距的测量方法和误差分析已经有很多研究，比如常见的有平面镜法、公式法、共轭法这三种测量凸透镜焦距的方法，本文着重研究这三种测量方法及其在不同条件下的优缺点，为学习者在测量凸透镜焦距时提供选择的明确依据。

[关键词 ] 凸透镜；焦距；平面镜法；公式法；共轭法；自准直法

引言

透镜焦距测量是大学光学实验的基础性实验也是光学实验中的必修实验，其中有很多文献提出了各种测量透镜焦距的方法，目前最新的测量方法有 CCD辅助测量凸透镜焦距法，它是利用 CCD摄像机辅助的精确测量凸透镜焦距的新方法，而且可以在透镜焦距未知的情况下求出共轭距。也有利用实物成虚像、虚物成实像的实验方法来测量凸透镜的焦距，其测量结果与实物成实像方法比较，测量结果的精度更高，是目前透镜焦距测量方法最值得推广的方法。还有常用的一些方法比如：平面镜法、公式法、共轭法这三种测量凸透镜焦距的方法，测量凸透镜焦距的方法有很多。但是对每种方法在不同条件下的优缺点研究却是少之又少。本文则将通过其中最常用的三种，即平面镜法、公式法、共轭法这三种测量凸透镜焦距的方法，通过实际测量及误差计算来评价这三种方法在不同环境中的选择应用。

1．测量凸透镜焦距的三种方法及其优缺点的讨论

1.1平面镜法（也常叫作自准直法）

具体实验方法：分为四步，第一步是用平行光汇聚法粗测待测凸透镜的焦距；第二步是将光具座放在水平的桌面上，然后将照明光源、物屏、待测透镜和平面镜放在光具座导轨上，调节各光学原件的光轴，使得各光学原件等高、共轴；第三步是移动透镜并适当调节平面镜的位置，那么就可以看到物屏上出现倒立的清晰的实像；第四步是取下平面境，观察像是否会消失：如果像不会消失，证明此像不是经平面镜反射所成的像，然后将平面镜安装好，重新找出等大倒立清晰的实像；如果像会消失，测出物屏及透镜的位置并记录对应刻度尺上的数值，那么二者数值之差就是透镜的焦距，重复做几次并取其平均值。在此实验中要正确辨别哪个是要观察的像是实验的关键。像对于物都是等大倒立的实像，如果将平面镜取走后像没有消失，则可以说明此物光没有经过平面镜的反射，而是透镜后表面对物光反射所形成的像。为什么会出现这种情况呢，是因为透镜的前表面对于物相当于凸面镜，根据凸透镜的成像规律，就不会对此物体的反射成实像；所以只有透镜的后表面，对于物相当于凹面镜，由凹面镜的成像规律，对此而言，经透镜折射后所形成的物光进行反射可以成实像，该反射光再次经过透镜折射形成等大倒立的实像，其像距是小于焦距的。反之，若将平面镜取走后，如果像会消失，则此像即为所求的像，那么这时测出的物距就和凸透镜的焦距相等。平面镜法测量简单描述就是在白灯前放一带有箭形缝隙的物屏,将被照亮的箭矢作为光源（也就是“物”）, 在凸透镜的另一侧放上一个平面镜 ,并且调整物屏、凸透镜、平面镜使得它们三者共轴 , 要使平面

镜反射回来的光线必须在物屏的箭矢旁边要形成一个很清晰的、并且与物等大的倒立的实象,这时在 使用刻度尺测出凸透镜到物屏间的距离 x 那么 x 即为凸透镜的焦距 f. 用这种方法测出的凸透镜的 焦距 f 的绝对误差是:

f = x .

那么光会不会在透镜表面就发生了反射，并没有经过透镜折射后再经平面镜反射呢？如果会，我们 该如何避免这种误差呢？解决方案是：用平行光汇聚法粗测待测凸透镜的焦距；将光具座放置在水 平桌面上，并将照明光源、物屏、待测透镜和平面镜放在光具座导轨上，调节各光学原件的光轴， 使各光学原件等高、共轴；移动透镜并适当调节平面镜的方位，可看到物屏上出现倒立的清晰的像； 取下平面境，观察像是否消失。如果像不消失，证明此像不是经平面镜反射所成的像，将平面镜安 装好，重新寻找等大倒立清晰的实像；如果像消失，测出物屏及透镜的位置，二者之差即为透镜的 焦距，重复几次取平均值。

优点是：测量方法最为简单 , 可以常用作简单、粗略测量凸透镜的焦距的测量 缺点是：测量的误差是非常大的 f = x

1.2 透镜公式法 （也叫做物距像距法 ）

透镜公式法简单描述是将凸透镜放在物屏和像屏之间 ,然后分别调节物屏、凸透镜、平面镜这些光 学仪器使得它们三者共轴,再分别将物屏、凸透镜各置于某一位置，紧接着适当的调节它们之间的距 离 ,然后移动像屏并使像屏上出现箭失清晰的并且倒立的实象 , 再用刻度尺分别测出物距 u 和像 距 v , 将 u 和 v 代入凸透镜焦距公式 , 那么就有：

111

+= uvf 整理可得：

uv f = . u +v

然后分别假设物距 u 和像距 v 的直接测量的误差分别为u 和v , 再根据误差传递的一般 公式计算可得出此方法测出透镜焦距的误差 , 用这种方法测出来的凸透镜的焦距 f 的绝对误差 为：

f f

f = u + v u v

由上面的公式即可算出 f 。实验中，借助光屏上所成的实像进行相关数据的测量，计算出透镜 的焦距。理论上，当物距一定时，透镜成像清晰的位置只有一个，但由于人眼的分辨率较低，光屏 在一段区间内移动时，像看上去都很清晰似的，真正成像的位置难以判断，会造成较大的误差。

优点是：误差相对平面镜法小很多，而且在要求不是很精确的情况下可以选择使用。 缺点是：相比较平面镜法来说实验相对较为复杂。

1.3 共轭法（也称作贝塞尔法）

共轭法它是将物屏与像屏的位置分别固定起来不在移动 ,并且严格要求使它们之间的距离 L 超 过f 的四倍 , 将凸透镜放置在物屏与像屏的中间某一个位置上不做固定 ,然后分别调整物屏、凸透 镜、平面镜使得它们三者共轴, 由于凸透镜并没有固定，现在缓缓的移动凸透镜 ,通过缓慢的移动 凸透镜就可以找到凸透镜在这两个位置能使得像屏上出现清晰的倒立的物的实像 ,一次成放大的 像 ,一次成缩小的像 ,再测出这两个位置之间的距离d 和物屏与像屏之间的距离 L ,然后将 d 和L 代入透镜成像公式 , 可以得出：

u + v )2 u + u + v )2 v

L 2-d 2

4L

然后分别假设L 和d 直接测量的误差分别为

L 和d , 根据误差传递的一般公式可得,用这种 方法测得凸透镜的焦距 f 的绝对误差就是: f

f f = L + d L d 所测出的d 和L ，就可以算出f 。这种方法中不需要考虑透镜本身的厚度，因此这种方法测出 的焦距一般较为准确。但同时，在测量过程中，像的清晰程度不易把握，因此，要测量准确还需准 确找到最清晰的像。

优点是：误差最小，可以作为精确测量凸透镜焦距的实验 缺点是：实验要求相对较高，不易操作

2. 常用误差传递的一般公式 三种测量方法都存在一个共同问题：在理论上来说，当物距一定时，透镜成像清晰的位置只有 一个，但由于人眼的分辨率较低，光屏在一段区间内移动时，像看上去都很清晰，使得真正成像的 位置难以判断，造成较大的误差。那么就需要对这三种方法进行比对选择找出误差较小的方法来测 量凸透镜焦距。

假设有函数y = f (x1，x2 ，xn ),将函数y 作为间接测量量，可由此函数看出，间接测量

量 y 可由各直接测量值x1 , x2 , , xn 来确定,假设如果各直接测量量的偶然误差分别 计 作 为 x1，x2， ，xn 那 么 它 们 就 使 得 y 产 生 的 误 差 为 y , 所以就有 y +y = f (x 1+ x 1, x 2 + x 2, , xn + xn ) ,此式子表示间接测量量与误差之和，可以看出在此 式中x1，

x2， ，xn 它们的正负会具有偶然性 ,考虑根据泰勒级数展开式来计算并且省略去 所有高次

项后有： f

f f y + y = f ( x 1, x 2, xn ) + x1 + x 2 + + xn ， x1 x 2 xn 那么由上式便可得出 y 的绝对误差就为： f f

f y =

x1 + x2 + + xn x1 x 2 x1 这就是误差传递的一般公式 . 3. 以上三种测量方法误差的比较

在相同实验条件下 , 各直接测量值 x , u , v ,L 、d 的误差分别计作

x 、u 、v 、L 、 d 由于是在相同的实验条件下就可以认为它们是相同的 , 所以就可以把它们都记作x , 则公式法 的绝对

误差就可以表示为:

22 u 2 + v 2 x u + v )2 x

L 2+d 2

4L 2 L -2L d

f =

共轭法的绝对误差就可以表示为：

f =(L -d )X , 4L 2

因为 u > 0, v> 0 是实验中必须要求的，所以就有：

x U 2+V 2 x x , 2 (U +V )2

而且又因为 L > d> 0 这也是实验中必须要求的，所以又有：

4. 在教学中以及不同条件下的选择应用

在上述三种测量凸透镜焦距的方法中 , 用平面镜法测量的误差虽然是这三种方法中最大的 , 但因为其方法最为简单 , 可以常用作简单、粗略测量凸透镜的焦距的测量 .凸透镜成像公式是光学 部分的重要计算公式 , 在解决凸透镜成像问题中有很重要的应用 , 虽然用公式法测量凸透镜焦距 的方法测量的误差比平面镜法小 , 比共轭方法大 , 但在要求不是很精确的情况下可以选择使用。 而且它也是作为高中学生必须掌握的测量方法 .所以学生必须掌握。由公式法的绝对误差公式可以 推知 , 当 u = v 时 , 那么 f 的误差为该种方法最小值 ,即 f = 1x , 因此 , 用这种方法测量

2 凸透镜的焦距 f 时应在物距 u

和像距 v 接近相等时测量,这样测得的 f 才较准确 .用共轭法测量凸 透镜的焦距 , 也是要求高中学生必须掌握的实验方法 . 这种方法适用于需要比较准确测量凸透镜 焦距时采用 .

由 f = L - d 可得：

4L

4f L

d 2

= L （L -4f ）和L -d = 4f L .

L +d 由此可得出:当 L 越大、d 越大时 , （L -d ）越小 , 由⑥式也就是共轭法的绝对误差公式可得出 f 也就越小 . 例如当L =5f 时 , f 的误差f 约为第一种方法的1/12. 因此 , 在用共轭法测 f 时 , 在保证光线近轴和两次成像都能清晰的前提下 , 应尽量取物屏与像屏的距离 L 较大一些 （ 如L =5f ） , 这样测得的 f 的误差比用公式法测量时小得多 .但是三种测量方法都存在一个共 同问题：理论上，当物距一定时，透镜成像清晰的位置只有一个，但由于人眼的分辨率较低，光屏 在一段区间内移动时，像看上去都很清晰，使得真正成像的位置难以判断，造成较大的误差。但是 就测量原理来看，平面镜法的原理所涉及的知识点较简单，且逻辑不是太复杂，适合初中生学习。

5. 结语

本文主要对三中测量凸透镜焦距的方法即平面镜法、公式法、共轭法在不同的条件下的选择以 及在教学中的应用和对学生应该如何掌握做了一定分析。主要利用微积分学以及泰勒展式进行误差 分析，并计算其标准误差进行对比。分析出了在粗测透镜焦距时可以使用平面镜法，而公式法是有 要求在物距和像距相等时使用公式法测量最为精确误差最小；在保证光线近轴和两次两次成像都能 清晰的前提下，取物屏与像屏的距离较大一些测量出的透镜焦距较准确误差最小。所以，在以后测 量凸透镜焦距的时候要L -d )2 x 1 x 4

4L 2 由上述对三种测量方法的误差讨论可以看出 ,

（平面镜法 ）测量 f 产生的误差最大 ; 第二种方法 用第三种方法 （ 共轭法 ）测量 f 产生的误差最小 , 如果测量同一凸透镜的焦距 , 用第一种方法 （公式法 ） 测量产生的误差较第一种方法小 ; 误差最大也不超过第一种方法的 1/4.

根据现有的情况来选择测量方法已达到最理想误差最小的效果。这些对以后的教学和应用都会有很大的帮助。在未来科研中对薄透镜焦距测量选择方法都会有很好的借鉴。

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The Comparison of Several Methods to Measure the Focal

Length of Convex Lens

Lan PengTao

(Grade11,Class01,Major in physics ,Shaanxi University of Technology, Hanzhong 723000，Shaanxi)

Tutor: Li JingLing

[Abstract] There are many methods of measuring and error analysis about the focal length of convex lens, for example, the flat mirror method. The formula method and the conjugate method are common. This paper emphasis on studying these measuring methods and its relative merits in different conditions to provide specific choosing basis when a learner measures the focal length of convex lens.

[Keywords] convex lens; focal length; flat mirror method; formula method; conjugate method; auto collimation method.