高中数学必修1 指数指数函数
指数指数函数
【重点难点解析】
1．本单元的知识结构
2．指数概念由特殊乘法运算定义，是乘法运算的发展，是人类探索化简运算的过程中，创造并发展的数学知识；它由正整数指数开始，到负整数指数、零指数，再到分式指数(根式)，最后到实数指数．
3．指数运算的特点是强概念性及性质使用而弱计算性，所以指数的运算性质及方根表示既是重点也是难点．
4．指数函数的概念及性质是重点，指数函数的值域易被忽视而成为难点．
【考点】
1．指数运算一般结合其他知识在应用中进行考查．
2．根式及方根运算与指数函数的图象和性质，几乎每年高考都要涉及．
【典型热点考题】
例1 完成下列计算： (1)33)3(-； (2)44)2(-； (3)1)25(--； (4)5p ； (5)32)833(--； (6)23
)9001(-． 思路分析
运算时，一般将根式化为分指数，运用指数运算性质进行化简计算，但要注意的是分指数的运算实质是方根的化简，必须依照方根运算的要求进行，即注意根指数(分指数的分母)的奇偶性来决定结果，一般偶次方根化简时尤须注意．
解：
(1)31333]
)3[()3(-=- 31
3]
3[-= 31
33?-=
＝－3． (2)41444]
)2[()2(-=- 41
4]2[=
＝2． (3)251
)25(1-=--
)25)(25(2
5+-+=
25+=． (4)2155)p (p =
2114)p p
(?= 212p p ?=
p p 2=． (5)3232)8
27()833(---=- 321])27
8[(---= 32)27
8(-= 231
3}])32({[-= 2)3
2(-= 9
4=．
(6)23
123)900()9001(---= 23
900=
23
2)
30(= 330=
＝27000．
例2 化简下列各式： (1)3321
21
2121
21)b a ()b a 2b a (-+-+； (2)32313132
13131
3232b b a a b a b a b
a -----+-+-+-．
思路分析
多项式的乘法公式，本质上给出的是多项式的次数与它的因式的次数间的关系(当然也有多项式中的运算及形式的关系)，引入分指数的概念后，这种公式的本质并未改变，只不过由于指数形式的复杂，使它们指数间的倍比关系较难判断清楚，因此就给如何应用公式分解因式并化简带来了困难，只要抓住多项式及根式化简的通法、通性，这些难题不会造成困难．
解： (1)332121212121)b a ()b a 2b a (-+-
+ 31321212121212212
21
)b a (]b a 2)b ()a [(?-+-+= 2121212212
1
b a ])b a [(-+-= 2121
2
1
21
b a |b a |-+-= 当a>b ≥0时，b a > ∴21
21
21
21
b a b a -+-=原式
)b a (221
21
-=
)b a (2-=
当b ≥a ≥0时，a b ≥
∴21
21
2121
b a a b -+-=原式
＝0．
(2)解法一：
3231313213131
3232b b a a b a b a b
a -----+-
+-+-
2313131231331331313
1
231
2
31)b (b a )a ()b ()a (b a )b ()a (-----+-+-+-= 231313123123131312313131313
1
31
31
3131
)b (b a )a (])b (b a )a )[(b a (b a )b a )(b a (-------
-+-+-+-+-+= 3131
3131
b a b
a -----= 31
b
2--= 3b
2
-= b
b 232
-=． 解法二： 设m a 31
=，n b 31
=-
∴133b n a m -==，
232223
n b
m a ==-， ∴32
313132
13131
3232b b a a b a b a b
a -----+-+-+-
223
322n
mn m n m n m n m +-+-+-= ＝m －n －(m ＋n)
＝－2n
31
b 2--=
b
b 232
-=． 点评 不要认为设辅助未知数只是一种可有可无的运算技巧，其实设辅助未知数是对数学问题的“层次性”的深刻认识的表现，是把复杂问题转化为两个或多个基本问题的重要的分析思维的具体表达．
例3 化简下列各式： (1)529323210)10()
8(÷?-； (2)353553x x
x x x x
??； (3)
4333
432x x x x x x ????．
思路分析
用根式计算时，必须将根式化为同次根式才能进行乘、除、幂的计算，若式子中有重根式(根号套根号)的形式，化同次根式更难更容易出错；如果逐层将根号处理为分指数，再用指数的运算性质运算既简捷又方便．
解： (1) 5293232
10)10()8(÷?-
21
5293123
2213)10(])10[(])2[(÷?=- 2529312)32(21310102÷?=
??-?? 2
5
3110102÷?=- 21102
1?= 2
10=． (2)35355
3
x x x x x x ?? 2131513151215121
3
1
)x x ()x x ()x x (??=
61101516101
15
x x x x x x 111??=
＝1． (3)
4333
432x
x x x x x ???? 43
1
21334
1232]x x [x ]x x [x ????= 431
23334
1
252)x
(x )x (x ??= 4121
3318
5
2)x ()x (+
+= 41273
1821x x ??=
87
87x x
=
＝1．
点评 重根式化简只需作1～3个题，通过具体演算达到了解方法的目的即可．
例4 求下列函数的定义域和值域： (1)2x 3y -=； (2)x 1
)2
1(y =． 思路分析
因为一般指数函数x a y =(a>0且a ≠1)的定义域是一切实数，值域是(0，＋∞)，所以复杂的与指数函数有关的定义域、值域问题，主要考虑与自变量有关的代数式的运算限制和取值范围，就可以解出定义域；但值域问题一方面考虑指数函数的单调性，同时必须兼顾“指数函数”的值域是(0，＋∞)．
解：
(1)2x 02x ≥?≥- ∴函数2x 3y -=的定义域是[2，＋∞)
∵x ∈[2，＋∞)时，x －2≥0 ∴02x ≥-
∵3>1，以3为底数的指数函数是增函数 ∴133y 02x =≥=- ∴函数2x 3
y -=的值域是[1，＋∞)． (2)∵x
1中x ≠0 ∴函数x 1)2
1(y =的定义域是{x|x ≠0且x ∈R} ∵x ≠0时，
0x 1≠ ∴1)21()21(0x 1=≠，而0)2
1(x 1> ∴函数x 1)2
1(y =的值域是{y|y>0且y ≠1}．
例5 求下列关于x 的不等式的解集．
(1)162x x 2<-+；
(2)a>0且a ≠1时，22a x 2x )a
1(a >-． 思路分析
因为不等式中的变量x 在指数部分，所以这类不等式(称指数不等式)的解法是：利用指数函数的单调性，将各不等式先转化为一般的一元一次不等式，一元二次不等式及不等式组求解，由此看来，函数的单调性是用来处理与函数有关的量大小比较的有力工具．
解：
∵6>1，则以6为底的指数函数是增函数
∵02x x 6162=<-+
∴02x x 2<-+
∴－2 ∴不等式的解集为{x|－2 (2)∵222a a x 2x a )a 1(a --=> 当a>1时，以a 为底的指数函数是增函数 ∴22a x 2x ->- 0a x 2x 22>+- ⊿＝0)a 1(4a 4422<-=- ∴不等式的解集为R ． 当0 ∴22a x 2x -<- 0a x 2x 22<+- ⊿＝0)a 1(42>- ∴22a 11x a 11-+<<-- ∴a>1时不等式的解集是R ， 0 例6 设12a 2)x (f x x -+ =(a 为实数) (1)x ∈R ，试讨论f(x)的单调性，并且用单调性定义给出证明； (2)当a ＝0时，若函数y ＝g(x)的图象与y ＝f(x)的图象关于直线x ＝1对称．求函数y ＝g(x)的解析式． 解： (1)(i)a ＝0时，12)x (f x -= 任取R x x 21∈，，21x x < ∵)x (f )x (f 21- 21x x 22-= )21(2121x x x --= ∵0x x 12>-， ∴1220x x 12=>- ∴)x (f )x (f 21< ∴函数f(x)是增函数． (ii)a<0时，f(x)是增函数，下面给出证明： 任取R x x 21∈，，21x x < ∵)x (f )x (f 21- 2121x x x x 2a 2a 22-+ -= 212121x x x x x x 2a 2)22(++--= ∵21x x <， ∴21x x 22< 又∵a<0， ∴0a 221x x >-+ ∴)x (f )x (f 21< 从而得：函数f(x)是增函数． (iii)令x 2u =，1u a u )u (g -+ = 0 f(x)＝1时， 可得：a 11u 0a u 2u 11u a u 2-±=?=+-?=-+ 又∵x 2u =是增函数 ∴存在21x x ≠，有：a 1121x --=，a 1122x -+= 也就是：存在两个实数21x x ，，21x x ≠，但有1)x (f )x (f 21== ∴0 又∵x 2u =是增函数 ∴存在21x x ≠，有：3221x -=，3222x += 也就是：存在两个实数21x x ，，21x x ≠，但有3)x (f )x (f 21== ∴a ＝1时，f(x)在全体实数R 上不是单调函数 a>1时，f(x)也不是单调函数．(请读者自己给出证明) 指数函数 典例分析 题型一 指数函数的定义与表示 【例1】 求下列函数的定义域 (1)32 x y -= (2)21 3 x y += (3)512x y ??= ??? (4)()10.7x y = 【例2】 求下列函数的定义域、值域 ⑴11 2 x y -= ； ⑵3x y -=； ⑶2 120.5x x y +-= 【例3】 求下列函数的定义域和值域： 1．x a y -=1 2．31 )2 1(+=x y 【例4】 求下列函数的定义域、值域 (1)11 0.4 x y -=； (2)y = (3)21x y =+ 【例5】 求下列函数的定义域 (1)13x y =; (2)y = 【例6】 已知指数函数()(0,x f x a a =>且1)a ≠的图象经过点(3,π)，求(0)f ，(1)f ， (3)f -的值． 【例7】 若1a >，0b >，且b b a a -+=b b a a --的值为（ ） A B ．2或2- C ．2- D ．2 题型二 指数函数的图象与性质 【例8】 已知1a b c >>>，比较下列各组数的大小： ①___b c a a ；②1b a ?? ??? 1c a ?? ??? ；②11 ___b c a a ；②__a a b c ． 【例9】 比较下列各题中两个值的大小： ⑴ 2.51.7，31.7； ⑵ 0.10.8-，0.20.8-； ⑶ 0.31.7， 3.10.9． 【例10】 比较下列各题中两个值的大小 (1)0.80.733， (2)0.10.10.750.75-， (3) 2.7 3.51.01 1.01， (4) 3.3 4.50.990.99， 【例11】 已知下列不等式，比较m 、n 的大小 (1) 22m n < (2)0.20.2m n > (3)()01m n a a a <<< (4)()1m n a a a >> 指数函数说课稿 尊敬的各位评委、各位老师：大家好！ ◆ 我是来自说课的题目是《指数函数》 著名教育学家布鲁纳说过：“知识的获得是一个主动过程. 学习者不是信息的被动接受者，而是知识获取的主动参与者.”《数学课程标准》又提出数学教育要以有利于学生的全面发展为中心；以提供有价值的数学和倡导有意义的学习方式为基本点. 本节课的设计正是以此为理念，在整个授课过程中努力体现学生的主体地位，使学生亲自参与获取知识和技能的全过程，亲身体验知识的发生和发展，从而激发学生数学学习兴趣，培养学生运用数学的意识与能力◆ 下面我将从几个部分具体阐述对本节课的分析和设计。 第一部分、教学内容分析◆ 二、教材分析 1.本节教材的地位、作用 本节课是《普通高中课程标准实验教科书（苏教版）数学必修1》第二章第二节第1课时《指数函数》。因为我所教的学生是省一级示范学校的平行班，根据学生的实际情况，同时也为了理顺知识间的逻辑关系，让学生能在观察、探究、比较、识别中把握概念和性质的内涵，教学中我对这部分内容进行了整合处理，我将《指数函数》划分为两节课（探究图象及其性质，指数函数及其性质的应用），这是第一节课“探究图象及其性质”。指数函数是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以指数函数应重点研究。指数函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，是学生对函数概念及性质的第一次应用。教材在之前的学习中给出了两个实际例子（细胞分裂和炭14的衰减问题），已经让学生感受到指数函数的实际背景，但从学生学习的角度看,学生感受指数函数的实际背景的知识储备仍不够丰富,理解和掌握这些 内容仍有一定难度,因此, 教师在进行这一内容的教学时,不可拔高要求,追求一步到位,而要在今后的教学中滚动式逐步深化,使之与学生的知识结构同步发展、完善。本节课先设计一个看似简单的问题，通过超出想象的结果来激发学生学习新知的兴趣和欲望。 2．教学目标 ⑴知识与技能： 初步理解指数函数的概念和意义；能够借助计算器画出具体的指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调的特点。 从实例探究中感知指数函数的概念，并体会指数函数是一类重要的函数模型。 利用计算工具比较指数函数增长差异，体会指数等不同函数的类型增长的含义。 ⑵过程与方法： 指数和指数函数 一、选择题 1．（ 36 9a ）4（6 3 9a ）4等于（ ） （A ）a 16 （B ）a 8 （C ）a 4 （D ）a 2 2.若a>1,b<0,且a b +a -b =22,则a b -a -b 的值等于（ ） （A ）6 （B ）±2 （C ）-2 （D ）2 3．函数f （x ）=(a 2 -1)x 在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ） （A ）1>a （B ）2b,ab 0≠下列不等式（1）a 2>b 2,(2)2a >2b ,(3)b a 11<,(4)a 31> b 31 ,(5)(31)a <(31) b 中恒成立的有（ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 7．函数y=1 21 2+-x x 是（ ） （A ）奇函数 （B ）偶函数 （C ）既奇又偶函数 （D ）非奇非偶函数 8．函数y= 1 21 -x 的值域是（ ） （A ）（-1,∞） （B ）（-,∞0）?（0，+∞） （C ）（-1，+∞） （D ）（-∞，-1）?（0，+∞） 9．下列函数中，值域为R + 的是（ ） （A ）y=5 x -21 （B ）y=( 31)1-x （C ）y=1)2 1(-x （D ）y=x 21- 10.函数y=2 x x e e --的反函数是（ ） （A ）奇函数且在R + 上是减函数 （B ）偶函数且在R + 上是减函数 （C ）奇函数且在R +上是增函数 （D ）偶函数且在R + 上是增函数 11．下列关系中正确的是（ ） （A ）（21）32<（51）32<（21）31 （B ）（21）31<（21）32<（51）32 3.1 指数函数【思维导图】 【微试题】 1. 下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（ ） A ．()12f x x = B ．()3f x x = C ．()12x f x ??= ??? D ．()3x f x = 【答案】D 2.若函数(1)(0,1)x y a b a a =-+>≠的图像经过第一、三、四象限，则一定有（ A ） A ．01>>b a 且 B ．010<<<>b a 且 【答案】A 3．若函数 1 ( ),0 3 () 1 ,0 x x f x x x ? ≤ ?? =? ?> ?? ，则不等式|f(x)|≥ 1 3的解集为（） A. [) 13， B. (],3 -∞ C. []31 -， D. [)31 -，【答案】C 4. 已知函数()f x x x -+=22. (Ⅰ) 用函数单调性定义及指数函数性质证明: ()f x 是区间 ),0(+∞上的增函数； (Ⅱ) 若325)(+?=-x x f ，求x 的值. 【答案】 【解析】解：(Ⅰ) 设120x x ∈+∞，（，），且12x x <，则 )22()22()()(221121x x x x x f x f --+-+=- 121211 (22)()22x x x x =-+- 21 121222(22)22x x x x x x -=-+? =2121212) 12)(22(x x x x x x ++-- ∵120x x ∈+∞，（，），且12x x <， ∴121222220x x x x <∴-<， 1212021x x x x ++>∴> 12210x x +∴->， 又0221>+x x ∴12()()0f x f x -< 指数函数、对数函数习题精讲 一、指数及对数运算 ［例1］（1）已知x 21 +x 21-=3,求3 2222323++++--x x x x 的值 （2）已知lg(x +y )+lg(2x +3y )－lg3=lg4+lg x +lg y ,求y x 值. （1）【分析】 由分数指数幂运算性质可求得x 23+x 23 -和x 2+x －2的值. 【解】 ∵x 21+x 21-=3 ∴x 23 +x 23 -=(x 21+x 21 -)3－3(x 21+x 21-)=33－3×3=18 x 2+x －2=(x +x －1)2－2=［(x 21+x 21 -)2－2］2－2 =(32－2)2－2=47 ∴原式= 347218++=5 2 （2）【分析】 注意x 、y 取值范围，去掉对数符号，找到x 、y 关系式. 【解】 由题意可得x >0,y >0,由对数运算法则得 lg(x +y )(2x +3y )=lg(12xy ) 则(x +y )(2x +3y )=12xy (2x －y )(x －3y )=0 即2x =y 或x =3y 故y x =21或y x =3 二、指数函数、对数函数的性质应用 ［例2］已知函数y =log a 1(a 2x )·log 2a ( ax 1)(2≤x ≤4)的最大值为0，最小值为－81，求a 的值. 【解】 y =log a 1(a 2x )·log 2a ( ax 1)=－log a (a 2x )［－21log a (ax )］ = 21(2+log a x )(1+log a x )=21(log a x +23)2－8 1 ∵2≤x ≤4且－8 1≤y ≤0 ∴log a x +23=0,即x =a 23-时，y min =－81 《指数函数及其性质》 教材分析 本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想（指数幂运算律的推广）、类比的思想、逼近的思想（有理数指数幂逼近无理数指数幂）、数形结合的思想（用指数函数的图像研究指数函数的性质）等，同时，编写时充分关注与实际问题的结合，体现数学的应用价值． 根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算器和计算机创设教学情景，为学生的数学探究与数学思维提供支持． 教学目标 1．理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图像，掌握指数函数的性质． 2．采用具体到一般、数形结合的思想方法，体会研究具体函数的性质． 3．使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实其他学科的联系；感受探究未知世界的乐趣，从而培养学生对数学的热爱情感． 教学重难点 【教学重点】 掌握指数函数的概念和性质． 【教学难点】 用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质． 课前准备 引导学生通过实际问题了解指数函数的实际背景，通过本节课导学案的使用和预习，初步理解指数函数的概念和意义，根据图像理解指数函数的性质，带着问题学习． 教学过程 （一）创设情景，揭示课题 1．对任意实数x，3x的值存在吗？（-3）x的值存在吗？1x的值存在吗？ 2．y=3x是函数吗？若是，这是什么类型的函数？ 3．（备选引例） （1）思考1：用清水漂洗含1个质量单位污垢的衣服，若每次能洗去残留污垢的，则漂洗x次后，衣服上的残留污垢y与x的函数关系是什么？ （2）（合作讨论）人口问题是全球性问题，由于全球人口迅猛增加，已引起全世界关注．世界人口2000年大约是60亿，而且以每年1．3%的增长率增长，按照这种增长速度，到2050年世界人口将达到100多亿，大有“人口爆炸”的趋势．为此，全球范围内敲起了人口警钟，并把每年的7月11日定为“世界人口日”，呼吁各国要控制人口增长． ○1按照上述材料中的1．3%的增长率，从2000年起，x年后我国的人口将达到2000年的多少倍？ ○2到2050年我国的人口将达到多少？ ○3你认为人口的过快增长会给社会的发展带来什么样的影响？ （3）上一节中GDP问题中时间x与GDP值y的对应关系y=1．073x（x∈N*，x≤20）能否构成函数？ （4）一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84%，那么以时间x年为自变量，残留量y的函数关系式是什么？ 提出问题：上面的几个函数有什么共同特征？ （二）研探新知 1．指数函数的概念 指数与指数函数 一、选择题： 1已知集合11 -11=x|24,}2 x M N x Z +=<<∈｛，｝，｛ 则M N ?等于 A -11｛，｝ B -1｛｝ C 0｛｝ D -10｛，｝ 1、化简11111 32168421212121212-----??????????+++++ ?????????? ?????????，结果是（ ）A 、1 132 1122--??- ? ?? B 、1 13212--??- ??? C 、1 3212-- D 、1321122-??- ??? 2、44366399 a a 等于（ ）A 、16 a B 、8 a C 、4 a D 、2 a 4、函数 ()2 ()1x f x a =-在R 上是减函数， 则a 的取值范围是（ ）A 、1>a B 、2 指数与指数函数 级级： 姓名： 学号： 得分： 一、选择题（每题5分，共40分） 1．（369a ）4（639a ）4等于（ ） （A ）a 16 （B ）a 8 （C ）a 4 （D ）a 2 2．下列函数中，定义域为R 的是（ ） （A ）y=5x -21 （B ）y=(3 1)1-x （C ）y=1)2 1 (-x （D ）y=x 21- 3．已知0 y A.a ＜b ＜1＜c ＜d B.b ＜a ＜1＜d ＜c C.1＜a ＜b ＜c ＜d D.a ＜b ＜1＜d ＜c 二、填空题（每题5分，共30分） 10.已知函数()14x f x a -=+的图像恒过定点P ，则点P 的坐标是___________ 11.方程96370x x -?-=的解是_________ 12.指数函数x a x f )1()(2-=是减函数，则实数a 的取值范围是 . 13.函数221x x y a a =+-（0>a 且1≠a ）在区间]1,1[-上的最大值为14，a 的值是 14.计算：412121325.0320625.0])32.0()02.0()008.0()9 45()833[(÷?÷+---_______________ 15.若()10x f x =，则()3f =———————— 三、解答题（16/17/19题各5分，18题15分，共30分） 16.设关于x 的方程02 41=--+b x x 有实数解，求实数b 的取值范围。),1[+∞- 17.设0 [A 基础达标] 1．当x ∈[－1，1]时，f (x )＝3x －2的值域是( ) A.??? ?－53，1 B ．[－1，1] C.????1，53 D ．[0，1] 解析：选A.f (x )在R 上是增函数，由f (－1)＝－53 ，f (1)＝1得当x ∈[－1，1]时，f (x )＝3x －2的值域是??? ?－53，1. 2．设f (x )＝????12|x |，x ∈R ，那么f (x )是( ) A ．奇函数且在(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数且在(0，＋∞)上是增函数 C ．奇函数且在(0，＋∞)上是减函数 D ．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数 解析：选D.f (x )的定义域为R ，f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数，排除A 、C ；当x >0时，y ＝????12x 为减函数，排除B.故选D. 3．函数y ＝6x 与y ＝－6－x 的图像( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称 D ．关于直线y ＝x 对称 解析：选C.y ＝f (x )与y ＝－f (－x )的图像关于原点对称． 4．函数y ＝????12x 2－2在下列哪个区间上是减少的( ) A ．(－∞，0] B ．[0，＋∞) C ．(－∞，2] D ．[2，＋∞) 解析：选B.设u ＝x 2－2，u 在(－∞，0]是减函数，在[0，＋∞)上是增加的，y ＝????12u 是 减函数， 所以y ＝????12x 2 －2在[0，＋∞)上是减少的． 5．下列图像中，二次函数y ＝ax 2＋bx 与指数函数y ＝ ????b a x 的图像只可能是( ) 解析：选A.由指数函数图像可以看出0 指数函数教案1(高一数学) 教学目标 1. 理解指数函数的定义,初步掌握指数函数的图象,性质及其简单应用. 2. 通过指数函数的图象和性质的学习,培养学生观察,分析,归纳的能力,进一步体会数形结合的思想方法. 3. 通过对指数函数的研究,使学生能把握函数研究的基本方法,激发学生的学习兴趣. 教学重点和难点 重点是理解指数函数的定义,把握图象和性质. 难点是认识底数对函数值影响的认识. 教学过程 一、复习回顾，新课引入 问题1:某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的次后,得到的细胞分裂的个数与之间,构成一个函数关系,能写出 细胞分裂 之间的函数关系式吗? 与 与之间的关系式,可以表示为. 由学生回答: 问题2:有一根1米长的绳子,第一次剪去绳长一半,第二次再剪去剩余绳子 次后绳子剩余的长度为米,试写出与之间的函数关系. 的一半,……剪了 由学生回答:. 在以上两个实例中我们可以看到这两个函数与我们前面研究的函数有所区别,从形式上幂的形式,且自变量均在指数的位置上,那么就把形如这样的函数称为指数函数. 二、师生互动，新课讲解： 1.定义:形如的函数称为指数函数. 2.几点说明 (1) 关于对的规定: 教师首先提出问题:为什么要规定底数大于0且不等于1呢?(若学生感到有 会有什么问题?如,此时,等在实 困难,可将问题分解为若 数范围内相应的函数值不存在. 若 x a对于都无意义,若则无论取何值,它总是1,对它没有 且. 研究的必要.为了避免上述各种情况的发生,所以规定 (2)关于指数函数的定义域 教师引导学生回顾指数范围,发现指数可以取有理数.此时教师可指出,其实 当指数为无理数时,也是一个确定的实数,对于无理指数幂,学过的有理指数幂的性质和运算法则它都适用,所以将指数范围扩充为实数范围,所以指数函数的定义域为.扩充的另一个原因是因为使她它更具代表更有应用价值. (3)关于是否是指数函数的判断 指数与指数函数 一、选择题（每小题5分，共60分，请将所选答案填在括号内） 1．化简［32 )5(-］4 3的结果为 （ ） A ．5 B ．5 C ．－5 D ．－5 2．化简46 3 9436 9)()( a a ?的结果为 （ ） A ．a 16 B ．a 8 C ．a 4 D ．a 2 3．设函数的取值范围是则若0021,1)(,. 0,, 0,12)(x x f x x x x f x >??? ??>≤-=- （ ） A ．(－1，1) B ．(－1，＋∞) C ．),0()2,(+∞?--∞ D ．),1()1,(+∞?--∞ 4．设5.1344.029 .01)2 1 (,8,4-===y y y ，则 （ ） A ．y 3＞y 1＞y 2 B ．y 2＞y 1＞y 3 C ．y 1＞y 2＞y 3 D ．y 1＞y 3＞y 2 5．当x ∈［－2，2)时，y =3－ x －1的值域是 （ ） A ．［－ 9 8 ，8］ B ．［－ 98，8］ C ．(91，9) D ．［9 1 ，9］ 6．在下列图象中，二次函数y =ax 2＋bx ＋c 与函数y =(a b )x 的图象可能是 （ ） 7．已知函数f (x )的定义域是(0，1)，那么f (2x )的定义域是 （ ） A ．(0，1) B ．( 2 1 ，1) C ．(－∞，0) D ．(0，＋∞) 8．若122-=x a ，则x x x x a a a a --++33等于 （ ） A ．22－1 B ．2－22 C ．22＋1 D ． 2＋1 9．设f (x )满足f (x )＝f (4－x )，且当x ＞2 时f (x )是增函数，则a ＝f (1.10.9)，b = f (0.91.1)，c ＝)4(log 2 1f 的大小关系是 （ ） A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．a ＞c ＞b D ．c ＞b ＞a 10．若集合}1|{},2|{-====x y y P y y M x ，则M ∩P= （ ） 第8课时 指数运算性质及指数函数 知识点一 分数指数幂 给定正实数a ，对于任意给定的整数m ，n (m ，n 互素)，存在唯一的正实数b ，使得b n ＝a m ，我们把b 叫作a 的m n 次幂，记作b ＝m n a . 指数运算性质 一般地，在研究实数指数幂的运算性质时，约定底数为大于零的实数.当a >0，b >0时，有： (1)a m ·a n ＝ ；(2)(a m )n ＝ ；(3)(ab )n ＝ ，其中m ，n ∈R . 例1 计算下列各式(式中字母都是正数). (1)10.5 23 3 277(0.027)21259- ???? +- ? ????? ； 2)2 115113 3 6 6 2 2 (2)(6)(3)a b a b a b ÷－－； 21 5 2.5 30.064-0 ??-π.???? （） 知识点二 指数函数 一般地，函数 叫作指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 注意①底数是大于0且不等于1的常数；②指数函数的自变量必须位于指数的位置上；③a x 的系数必须为1；④指数函数等号右边不会是多项式，如y ＝2x ＋1不是指数函数. 知识点三 指数函数的图像和性质 例2 (1)下列函数中是指数函数的是________.(填序号) ①y ＝2·(2)x ；②y ＝2 x －1 ；③y ＝??? ?π2x ；④y ＝1 3x -；⑤y ＝1 3x . (2)若函数y ＝(a 2－3a ＋3)·a x 是指数函数，则实数a ＝________. (3)若函数y ＝(2a －3)x 是指数函数，则实数a 的取值范围是________. 例3 (1)函数y ＝a x －1 a (a >0，且a ≠1)的图像可能是( ) (2)函数f (x )＝1＋a x － 2(a >0，且a ≠1)恒过定点________. (3)已知函数y ＝3x 的图像，怎样变换得到y ＝????13x ＋1 ＋2的图像？并画出相应图像. 跟踪训练3 (1)已知函数f (x )＝4＋a x ＋ 1(a >0，且a ≠1)的图像经过定点P ，则点P 的坐标是( ) A.(－1,5) B.(－1,4) C.(0,4) D.(4,0) 例4 比较下列各题中两个值的大小. (1)1.7－2.5 ，1.7－ 3；(2)1.70.3，1.50.3；(3)1.70.3，0.83.1. 跟踪训练4 比较下列各题中的两个值的大小. 高一数学（苏教版）必修一午间小练： 指数函数（1） 1．已知函数()y f x =是函数x y a =(0a >且1a ≠）的反函数，其图像过点2(, )a a ，则 ()f x = ． 2．函数()2 10,1x y a a a -=+>≠且的图象必经过定点___________． 3．某驾驶员喝了mL 酒后，血液中的酒精含量f(x)(mg/mL)随时间x(h)变化的规律近似满足 表达式f(x)＝2 50131? 1.53x x x x ?≤≤? ???? ??? ?－，， ，＞《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定为驾驶 员血液中酒精含量不得超过0.02mg/mL ，据此可知，此驾驶员至少要过________h 后才能开车．(精确到1h) 4．已知函数f(x)＝a －1 21 x -是定义在(－∞，－1]∪[1，＋∞)上的奇函数，则f(x)的值域是________． 5．函数y ＝a x － 1 a (a>0，a ≠1)的图象可能是________．(填序号) 6．函数y ＝1＋45?? ??? |x －1| 的值域为__________. 7．函数f(x)＝(a 2 －1)x 是R 上的减函数，则a 的取值范围是________________． 8．函数y ________． 9．已知9x －10×3x ＋9≤0，求函数y ＝1 14x -?? ? ?? －412x ?? ??? ＋2的最大值和最小值． 10．化简下列各式(其中各字母均为正数)： (1) 1 3 1.5-× 7 6 ?? - ? ?? 0＋80.25 6 ； 21 11 1 33 22 a b －－ － （） ； (3) 41 33 22 33 8 1 4 a a b b a ? ÷ ? － － 高一数学必修1《指数函数》教案 教学目标： 1、知识目标：使学生理解指数函数的定义，初步掌握指数函数的图像和性质。 2、能力目标：通过定义的引入，图像特征的观察、发现过程使学生懂得理论与实践的辩证关系，适时渗透分类讨论的数学思想，培养学生的探索发现能力和分析问题、解决问题的能力。 3、情感目标：通过学生的参与过程，培养他们手脑并用、多思勤练的良好学习习惯和勇于探索、锲而不舍的治学精神。 教学重点、难点： 1、重点：指数函数的图像和性质 2、难点：底数a 的变化对函数性质的影响，突破难点的关键是利用多媒体动感显示，通过颜色的区别，加深其感性认识。 教学方法：引导发现教学法、比较法、讨论法 教学过程： 一、事例引入 T：上节课我们学习了指数的运算性质，今天我们来学习与指数有关的函数。什么是函数? S：-------- T：主要是体现两个变量的关系。我们来考虑一个与医学有关的例子：大家对非典应该并不陌生，它与其它的传染病一样，有一定的潜伏期，这段时间里病原体在机体内不断地繁殖，病原体的繁殖方式有很多种，分裂就是其中的一种。我们来看一种球菌的分裂过程： C：动画演示(某种球菌分裂时，由1分裂成2个，2个分裂成4个，------。一个这样的球菌分裂x次后,得到的球菌的个数y与x的函数关系式是：y = 2 x ) S，T：(讨论) 这是球菌个数y 关于分裂次数x 的函数，该函数是什么样的形式(指数形式)， 从函数特征分析：底数2 是一个不等于1 的正数，是常量，而指数x 却是变量，我们称这种函数为指数函数点题。 二、指数函数的定义 C：定义：函数y = a x (a 0且a 1)叫做指数函数，x R.。 问题1：为何要规定a 0 且a 1? S：(讨论) C：(1)当a 0 时，a x 有时会没有意义，如a=﹣3 时，当x= 就没有意义; (2)当a=0时，a x 有时会没有意义，如x= - 2时， (3)当a = 1 时，函数值y 恒等于1，没有研究的必要。 巩固练习1： 下列函数哪一项是指数函数( ) A、y=x 2 B、y=2x 2 C、y= 2 x D、y= -2 x 高一数学必修一指数 与指数函数测试题Revised on November 25, 2020 高一数学必修一指数与指数函数测试题 一、选择题： 1、化简111 1132 16 8 4 2 12 12121212-----? ?????????+++++ ????????? ? ???? ?? ???，结果是（）A 、1 132 1122--??- ???B 、1 132 12--??- ???C 、1 3212--D 、1321122-??- ??? 2 、44等于（）A 、16a B 、8a C 、4a D 、 2a 3、若1,0a b ><, 且b b a a -+=则b b a a --的值等于（）A 、6 B 、2± C 、2- D 、24、 函数()2()1x f x a =-在R 上是减函数，则a 的取值范围是（）A 、1>a B 、2≠，下列不等式（1）22a b >；(2)22a b >；(3)b a 1 1<； (4)113 3 a b >；(5)1133a b ????< ? ????? 中恒成立的有（）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个8、函数2121x x y -=+是（）A 、奇函数B 、偶函数C 、既奇又偶函数D 、非奇非偶函数9、函数121 x y =-的值域是（）A 、(),1-∞B 、()(),00,-∞+∞C 、()1,-+∞D 、()(,1)0,-∞-+∞10、已知 01,1a b <<<-,则函数x y a b =+的图像必定不经过（）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限11、2()1()(0)21x F x f x x ? ?=+?≠ ?-?? 是偶函数，且()f x 不恒等于零，则 ()f x ()A 、是奇函数B 、可能是奇函数，也可能是偶函数C 、是偶函数D 、不是奇函数，也不 是偶函数12、一批设备价值a 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低%b ，则n 年后这批设备的价值为（） A 、(1%)na b - B 、(1%)a nb - C 、[1(%)]n a b - D 、(1%)n a b - 二、填空题：（本题共4小题，每小题4分，共16分，请把答案填写在答题纸上） 13、若103,104x y ==，则10x y -=。 指数函数和对数函数单元测试 一 选择题 1 如果log 5log 50a b >>，那么a 、b 间的关系是 【 】 A 01a b <<< B 1a b << C 01b a <<< D 1b a << 2 已知01,1a b <<<-，则函数x y a b =+的图象必定不经过 【 】 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 3 与函数y ＝x 有相同图象的一个函数是 【 】 A y = B log a x y a = (0a >，且0)a ≠ C 2/y x x = D log x a y a =(0a >，且0)a ≠ 5已知函数log (2)a y ax =-在(1,1)-上是x 的减函数，则a 的取值范围是 【 】 A (0,2) B (1,2) C (1,2] D [2,)+∞ 6 已知函数122 ()log (2log )f x x =-的值域是(,0)-∞，则它的定义域是 【 】 A {|2}x x < B {|02}x x << C {|04}x x << D {|24}x x << 7已知函数20.5()log (3)f x x ax a =-+在区间[2,)+∞是减函数，则实数a 的取值范围是 【 】 A (,4]-∞ B [4,)+∞ C (4,4]- D [4,4]- 8 设713=x ，则 【 】 A ．－2 第四章 指数函数与对数函数 4.2 指数函数 4.2.1 指数函数的概念 教学设计 一、教学目标 1.通过实际问题提炼出指数函数的概念，达到数学抽象和直观想象核心素养学业质量水平一的层次． 2.理解指数函数中底数的取值范围，达到逻辑推理核心素养学业质量水平一的要求． 二、教学重难点 1.教学重点 指数函数的概念及其应用． 2.教学难点 将实际问题转化为数学模型． 三、教学过程 （一）新课导入 问题1：当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系? 师问：（1）生物死亡后体内碳14含量每年衰减的比例是多少？ （2）能否求出生物体内碳14含量随死亡年数变化的函数解析式？ 师生活动：教师提出问题，并让学生对提出的问题进行思考．通过对问题的分析，引导学生用函数 [)()+∞∈????? ????? ??=,02157301x y x 刻画碳14衰减的规律． 设计意图：通过描述碳14衰减的规律，引出用函数刻画指数衰减的问题，为抽象得到指数函数作准 备． 问题2：随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式，由于旅游人数不断增加，B A ，两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，A 地提高了景区门票价格，而B 地则取消了景区门票，表4.2-1（见教材）给出了B A ，两地景 区2001年至2015年的游客人次以及逐年增加量. 比较两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律? 师问：（1）能否作出B A ，两地景区游客人次变化的图象，根据图象并结合年增加量，说明两地景 区游客人次的变化情况？ （2）我们发现，用“增加量”不能刻画B 地景区游客人次的变化规律.能不能换一个量来刻画？例如用“增长率”，即从2002年起，将B 地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，看看能否发现什么规律？ （3）能否求出两地景区游客人次随时间（经过的年数）变化的函数解析式，并根据解析式说明两地景区游客人次的变化情况？ 师生活动：教师给出问题，并通过追问引导学生对问题进行分析.首先通过画出图象直观感受A,B 两 地景区游客增长的情况；为进一步刻画和比较两地游客人次的变化规律，需要通过对相邻两年游客人次进行运算，得到B 地景区游客人次年增长率为常数，进而将其用函数 [)()+∞∈=,011.1x y x 来描述. 设计意图：通过寻求B A ，两地景区游客人次增加的规律，引出用函数刻画指数增长的问题，为抽 象出指数函数作准备. 学生讨论思考，总结关系式[)[)1573011.110,+0,+2x x y x y x =∈∞=∈∞ （），（（）） （）. 问题3：比较问题1,2中的两个实例：碳14衰减与B 地景区游客人次增长，它们所反映的变化规律有 什么共同特征？ 师问：（1）从碳14衰减和游客人次增长的数据看，它们的变化有什么共同特征？ （2）从碳14衰减和游客人次增长的图象看，它们的变化有什么共同特征？ （3）碳14衰减的函数解析式[)()+∞∈????? ????? ??=,02157301x y x 与B 地景区游客人次增长的函数解析式[)()+∞∈=,011.1x y x 有什么共同特征？ 师生活动：教师引导学生从数据、图象、解析式等角度进行归纳概括，发现刻画问题1中的指数衰减 和问题2中的指数增长的函数的共同特征.从解析式上看，如果用字母a 代替两个式子中 的底数，并将自变量的取值范围扩展到实数集，那么上述两个函数就都可以表示为 ()10≠>=a a a y x 且的形式，从而引出指数函数的概念. （二）探索新知 第二章 第一节 指数计算与指数函数 一、 指数计算公式：()Q s r a ∈>,,0 练习 计算下列各式的值： （1）)4()3)((6 36131212132 b a b a b a ÷- （2）() 3 22 1 75.00 3 129721687064 .0+?? ? ??++??? ??--- （3）4 21 03 3 )2 1(25.0)21()4(--?+-- （4）33)3(625π-+- 2．已知31 =+-x x ， 则=+-22x x 已知23=a ,5 13=b ，则=-b a 23＝____________. 3. 若210 25x =，则10x -等于_________________ 1、2)(f 1 -=+x a x )10(≠>a a 且过定点______________ 2、函数y=4+a x -1的图象恒过定点P 的坐标是________________ 3.已知指数函数图像经过点)3,1(-p ，则=)3(f 题型2、 图像问题 1.下列说法中： ①任取x ∈R 都有3x >2x ； ②当a >1时，任取x ∈R 都有a x >a － x ；③函数y =(3)－ x 是增函数；④函数y =2|x |的最小值为1 ；⑤在同一坐标系中，y =2x 与y =2－ x 的图象对称于y 轴。正确的是___________________ 2.在同一坐标系下，函数y =a x ,y =b x ,y =c x ,y =d x 的图象如下图，则a 、b 、c 、d 、1之间从小到大的顺序是__________. 3、函数y =2x +k －1(a >0,a ≠1)的图象不经过第四象限，则k 的取值范围是__________. 高一数学必修一指数与指数函数测试题 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 高一数学必修一指数与指数函数测试题 一、选择题： 1、化简111 1132 16 8 4 2 12 12121212-----? ?????????+++++ ????????? ? ???? ?? ???，结果是（）A 、1 132 1122--??- ???B 、1 132 12--??- ???C 、1 3212--D 、1321122-??- ??? 2 、44等于（）A 、16a B 、8a C 、4a D 、 2a 3、若1,0a b ><, 且b b a a -+=则b b a a --的值等于（）A 、6 B 、2± C 、2- D 、24、 函数()2()1x f x a =-在R 上是减函数，则a 的取值范围是（）A 、1>a B 、2≠，下列不等式（1）22a b >；(2)22a b >；(3)b a 1 1<； (4)113 3 a b >；(5)1133a b ????< ? ????? 中恒成立的有（）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个8、函数2121x x y -=+是（）A 、奇函数B 、偶函数C 、既奇又偶函数D 、非奇非偶函数9、函数121 x y =-的值域是（）A 、(),1-∞B 、()(),00,-∞+∞C 、()1,-+∞D 、()(,1)0,-∞-+∞10、已知 01,1a b <<<-,则函数x y a b =+的图像必定不经过（）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限11、2()1()(0)21x F x f x x ? ?=+?≠ ?-?? 是偶函数，且()f x 不恒等于零，则 ()f x ()A 、是奇函数B 、可能是奇函数，也可能是偶函数C 、是偶函数D 、不是奇函数，也不 是偶函数12、一批设备价值a 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低%b ，则n 年后这批设备的价值为（） A 、(1%)na b - B 、(1%)a nb - C 、[1(%)]n a b - D 、(1%)n a b - 二、填空题：（本题共4小题，每小题4分，共16分，请把答案填写在答题纸上） 13、若103,104x y ==，则10x y -=。必修一指数与指数函数
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