3.4弧微分与曲率

3.4 弧微分与曲率

一、求抛物线2

43y x x =-+在它的顶点处的曲率及曲率半径

解. 因 ()2

24321y x x x =-+=--, 故抛物线的顶点为()2,1-, 又

24,2y x y '''=-=, 所以, 在2x =时, 0,2y y '''==,

因此顶点处的曲率 ()

322

21y k y ''

=

='+, 曲率半径112

k ρ=

=. 二. 求曲线()1cos r a θ=+在0θ=处的曲率及曲率半径.

解. 因 sin , cos r a r a θθ'''=-=-, 所以0

00

0, , 2r r a r

a θθθ==='

''==-=, 故曲

线在0θ=处的曲率2230222

2()

r r rr k r r θθ=='''+-=

'+22322

4(2)3

4(4)

a a a

a --=

=

, 曲率半径00143

a

k θθρ===

=. 三. 曲线()()sin ,021cos x a t t t y a t π=-??≤≤?=-??上哪一点的曲率半径最大？ 解. 设()()()()

sin 1cos x a t t t y a t t ?ψ=-=???=-=??, 因 ()()()()()1cos ,sin ,sin ,cos t a t t a t t a t t a t ?ψ?ψ''''''=-===,

故曲线上任意点的曲率

()()2

2

2

223/222221cos cos sin ()()()()1

[()()]1cos sin 4sin 2

a t t a t t t t t k t t t a t a t a ?ψ?ψ?ψ--''''''-===''+??-+??

, 所以, 曲率半径为4sin

2

t

a ρ=, 显然当t π=时, 即点(),2a a π处, 曲线的曲率半径最大为4a . 四.设抛物线2

y ax bx c =++在0x =处与曲线x

e y =相切, 又有共同的曲率半径，求

,,a b c .

解. 在0x =处, 对于抛物线2

y ax bx c =++, 有0

(2)

, 2x x y ax b b y a =='''=+==.

而曲线x

e y =, 有0

1, 1x

x x x y e y ==='

''

===, 依题意得1b =, 又()001y c e ===,

在0x =处, 两曲线的曲率半径相等即曲率相等, 因此

332

2

21(11)

(11)

a =

++, 从而

1 2a =±, 故1

, 1, 12

a b c =±==.