土力学第3章

3 土中的应力
强度问题 地基中的应力状态 应力应变关系 土力学中应力符号的规定 变形问题
应力状态及应力应变关系 自重应力 附加应力 基底压力计算 有效应力原理
建筑物修建以前，地基 中由土体本身的有效重 量所产生的应力。分已 固结、未固结和有地下 水三种情况。 建筑物修建以后，建 筑物重量等外荷载在 地基中引起的应力， 所谓的“附加”是指在 原来自重应力基础上 增加的压力。
上部结构
基础
地基
1

3.1 概
述
(1)土中应力按其传递方式分
(2)土中应力应变关系的基本假定：
把土体视为均匀、连续、各向同性 的半无限弹性体。
(3)应力符号的规定：
土不能承受拉力，绝大部分情况是压力， 故以压力为正（压应力常简称压力）。 剪切应力以逆时针为正。 与材料力学正好相反
3.2 土中自重应力的计算
3.2.1 有效应力原理
1 土中两种应力实验 A 在一量筒中放砂，砂顶面放若干钢球 B 在一量筒中放砂，再放水 结论： 有效应力使土层发生压缩变形，从而使土的强 度发生变化。 2 饱和土体所承受的总应力为有效应力和空隙水压力之和
σ =σ′+ μ
σ′ =σ ?μ
∞
有效应力：由土颗粒传递的粒间应力。 孔隙应力：由土中水和气传递的应力。 有效应力+孔隙应力=总应力
∞
o
∞
∞ x
半无限空间
y
τ zx
σz z +
σ τ xz x
-
∞
2

孔隙流体
三相体系
+
孔隙气体
土＝ 固体颗粒骨架 + 孔隙水
有效应力：由土颗粒传递的粒间应力，σs 孔隙应力：由土中水和气传递的应力，μw μa 有效应力+孔隙应力=总应力σ
有效应力原理的推导：
由平衡条件：
σA = σ s As + u a Aa + u w Aw
对于饱和土：
σA = σ s As + u w Aw
σ=
σ=
饱和土有效应力原理:
σ s As
A
σ s As
A
+ u w (1 ?
+ uw
As ) A
Terzaghi （1923） 有效应力 原理 固结理论
土力学成为独 立的学科
σ = σ '+u w σ ' = σ ? uw
3

饱和土中的应力形态
A： 土单元的断面积 As： 颗粒接触点的面积 Aw： 孔隙水的断面积 a-a断面竖向力平衡：
σA
a-a断面通过土 颗粒的接触点
A = AS + Aw
u：孔隙 水压力
a
a
σ ? A = ∑ P + u Aw
σ=
∑P
A
+
Aw u A
Aw ≈1 A
有效应力σ’
σ = σ'+u
（1）
σ = σ'+u
（2） 土的变形与强度都只取决于有效应力
①变形的原因 颗粒间克服摩擦相对滑移、滚动—与 σ’ 有关； 接触点处应力过大而破碎—与 σ’ 有关。 试想： ②强度的成因 海底与土粒间的接触压力 凝聚力和摩擦—与σ’ 有关 ③孔隙水压力的作用 对土颗粒间摩擦、土粒的破碎没有贡 献，并且水不能承受剪应力，因而孔隙水 压力对土的强度没有直接的影响； 它在各个方向相等，只能使土颗粒本 身受到等向压力，由于颗粒本身压缩模量 很大，故土粒本身压缩变形极小。因而孔 隙水压力对变形也没有直接的影响，土体 不会因为受到水压力的作用而变得密实。
哪一种情况下大？
1m σz=u=0.01MPa 104m
σz=u=100MPa
4

3.2.2 土体中的自重应力 1）均质土的自重应力 σ cz
σ cz =
W γAz = = γz A A
分布规律 :
竖向自重应沿水平面均匀 分布，且随深度呈线性增 加。
水平自重应力：
σcx=σcy= K0σz
K0——土的静止侧压力系数
*当地基中存在地下水时：
用土的有效重度（浮重度）代替天然重度。
σ cz = γ ' z
土中任一点的自重应力实际上是土体的有效自重应力。
5

2） 成层土的自重应力
σ cz = γ 1h1 + γ 2h2 +
γ nhn =
γ1
H1
i =1
∑γ
n
i i
h
Z γ2
γ3
注意：(1)若有地下水存在，则地下水位以下各层土的重度 应取浮重度代替。 H 2 (2)若地下水位以下存在不透水层，在不透水层顶面处的 自重应力等于全部上覆的水、土总重。
H3
σ cz = ∑ γ i hi + γ w hw
i =1
n
γ 1 (γ
1
< γ2)
γ2
γ ′2
自重应力的分布规律
(1)自重应力随深度增加而线性增大。 (2)自重应力在土层分界面处和地下 水位处呈折线形变化。 (3)自重应力在不透水层顶面发生突变。
自重应力对建筑沉降变形的影响：
（1）一般情况下没有影响 （2）两种特殊情况引起沉降 ①新填土：比如新建建筑周围发生大量填土 ②地下水位变动：自重应力相应发生变化。
6

【例题3.1】某地基的地质剖面图如例图3.1所示，试计 算地面下深度为1m、3.2m、5.8m和9m处的自重应力， 并绘出分布图。
解：
本题为计算成层土的自重应力。需注意的是地下水位以下各层土的 重度应取浮重度代替。在不透水层顶面处的自重应力等于全部上覆 的水、土总重。计算结果如下图所示。
例图3.1
102.9kPa + 10kN / m3 × (2.6 + 3.2)m = 160.9kPa
7

3） 地下水位变动对建筑沉降变形的影响：
（1）地下水位降低(如在软土地区，因大量抽取地下水) 使地基中土体的有效自重应力增加，从而引起地面沉降。 （2）地下水位上升 会引起地基承载力的降低，以及湿陷性土的塌陷。
【例题3.2】地基的地质剖面图同例题3.1，当地下水位 降至淤泥层顶面时，计算地基中的自重应力，并绘出 分布图。
σ 粉土层顶面处： cz =16+17.5×2.2=54.56kPa 淤泥层顶面处：σ cz =54.5+18.9×2.6=103.64kPa 不透水层层面处： σ cz =103.64+7×3.2+10×3.2=158.04kPa 当地下水位下降时，该地基中的有效自重应力增量为例图 σ 【解】粉质粘土层顶面处： cz =16×1=16kPa
8

3.3 基底压力(接触压力）
上部结构
建筑物设计
基础 地基
上部结构的自重及各 种荷载都是通过基础 传到地基中的。
基础结构的外荷载 基底反力 基底压力 附加应力 地基沉降变形 影响因素 计算方法 分布规律 基底压力：基础底面传递 给地基表面的压力，也称 基底接触压力。 暂不考虑上部结构的影 响，使问题得以简化； 用荷载代替上部结构。
3.3.1 基底压力的分布 1. 影响因素
?大小 ?方向 ?分布
荷载条件 基础条件 基底压力
?刚度 ?形状 ?大小 ?埋深
地基条件
?土类 ?密度 ?土层结构等
9

2.基底压力分布
条形基础，竖直均布荷载
基础抗弯刚度EI=0 → M=0； 基础变形能完全适应地基表面的变形; 基础上下压力分布必须完全相同，若不 同将会产生弯矩。 弹性地基，绝对刚性基础 抗弯刚度EI=∞ → M≠0； 反证法: 假设基底压力与荷载分布相同， 则地基变形与柔性基础情况必然一致； 分布: 中间小, 两端无穷大。
弹塑性地基，有限刚度基础
— 荷载较小 — 荷载较大 砂土地基 粘性土地基
— — — —
接近弹性解 马鞍型 抛物线型 倒钟型
10

在砂土地基上，若基础底面积和埋深都较小，当基础中心受荷载作用时，接触压 力图形呈抛物线形(图3.6(a))。当基础埋深较大，在基础四周的超载作用下，基础边界 的砂土承受一定压力。基底接触压力呈倒钟形分布(图3.6(b))。在硬粘土上的基础，由 于粘土有较大的粘聚力，基础边缘可以承受相当部分的压力，接触压力分布图形为马鞍 形(图3.6(c))。当基础埋深增大时，接触压力分布近似于均匀分(图3.6(d))。
3.2.2 基底压力的简化计算
基底压力的 分布形式十 分复杂 根据圣维南原理，基底压力的具体分布形式对地基应 力计算的影响仅局限于一定深度范围；超出此范围以 后，地基中附加应力的分布将与基底压力的分布关系 不大，而只取决于荷载的大小、方向和合力的位置。
基础尺寸较小 荷载不是很大
简化计算方法：
假定基底压力按直线分布的材料力学方法
11

1.中心荷载下的基底压力 （1）矩形基础
基底压力均匀分布
p =
G=γGAd
F + G A
G:基础自重及其上回填土重标准值的总重 ，
取γG＝20kN/m3 (2)条形基础: 当l>10b时，为条形基础，沿长度方向取1m 单元来计算： P=(F+G)/b
2.偏心荷载下的基底压力
1）双向偏心荷载作用 2）单向偏心荷载作用 偏心矩：e=M/(F+G)
pmax pmin
F +G M = ± A W
pmax pmin =
（公式一） （公式二）
W=bl2/6
F + G ? 6e ? ?1 ± ? lb ? l ?
特别注意：l表示弯矩作用方向（偏心方向） 边长，b表示非偏心方向的基础边长。 讨论: 1)当e＜l/6时，基底接触压力分布图形为梯形 2)当e=l/b时，基底接触压力分布图形为三角形 3）当e＞l/6时，计算基底将出现拉力，由于基 底与地基之间不能承受拉力，此时基底接 触压力将重新分布 (如何计算？）
12

e>l/6时的基底压力计算 k=(l/2-e) 根据静力平衡原理: 荷载合力F+G应通过三角形反 力分布图的形心 F+G=0.5pmax·3kb
p max =
2(F + G ) 3bk
（公式三）
矩形面积单向偏心荷载
高耸结构物下可 能的的基底压力 土不能承受拉力
P B e x y
p max
P B e L x y
p min > 0
p min = 0
P B
压力调整
K e L x
K=B/2-e
L 压力 合力 3K y p min
p max =
基底 荷载 通过 反力 分布 图形 心
合力 与总 <荷载 0 相等
p max p max
e=B/6: 三角形
2P 2P = 3KL 3(B 2 ? e)L
ee>B/6: 出现拉应力区
13

3.3.3基底附加应力
基底附加应力：是指修建建筑物基础以后在地基中增加的压力。
p0 = p ? σ c = p ? γ 0d
σc——基底处土中自重应力标准值。σc=γ0d,kPa γ0——基础底面标高以上天然土层的加权平均重度；
γ0 = γ 1 h1 + γ 2 h2 + γ 3 h3 +
h1 + h2 + h3 + =
∑γ h
i i =1 n
n
i
∑h
i =1
i
3.4 地基中的附加应力
基底压力P 3.4.1空间问题： 1）单个竖向集中力作用 基底附加压力P0 地基中的附加应力
布辛奈斯克(J.Boussineq，1885年)
14

主要关心的解:
σz =
3P z3 3P ? 5 = cos3 θ 2π R 2πR 2
σz =α ?
P z2
α——集中力作用下地基中附加应力系数，可按下式计算 或查教材中表3.1求得。
α=
3 1 2π (r z )2 + 1 5 2
[
]
查表3.1:
r/z
α
例3.3 page50
在竖向集中荷载作用下，σz的分布规律： 1. 当深度z不变时，即在同 一水平面上，在集中力作用 线上的附加应力比两侧的 大； 2.在集中力作用线上(r=0)， 附加应力随深度z增大而减 小； 3.在距作用线一定距离处， 即r一定时，在地表处附加 应力趋近于零，而后随深度 有所增大，但至某一深度z 开始，附加应力值随z增大 而逐渐减小。
15

2）多个集中力及不规则分布荷载作用——等代荷载法
当基础平面形状与荷载分布 不规则时，也可将基底划分为若 干个小块面积，把作用在每小块 面积上的荷载作为集中力，分别 计算再叠加，这种方法即称为等 代荷载法。 当有若干个集中力作用时， 在土中任一点产生的附加应力， 可根据叠加原理，等于P1、 P2……等集中力在该点分别引起 的附加应力之和
σz =
i =1
∑ σ zi =
n
i =1
∑α
n
i
Pi z2
规则分布荷载下地基附加应力
矩形面积竖直三角形荷载 矩形面积竖直均布荷载
L/
竖直 集中力 圆内积分
矩形内积分
圆形面积竖直均布荷载
线 积 分
B≥ 10
竖直线布荷载
宽度积分
条形面积竖直均布荷载
特殊荷载：将荷载和面积进行分 解，利用已知解和叠加原理求解
16

3）矩形基础下地基的附加应力 （1）均布矩形荷载下的附加应力
矩形面积均布荷载作用时土中竖向附加应力计算公式
dP = p 0 dxdy
dσ z = 3dP z 3 3 p 0 z 3 = dxdy 2π R 5 2π R 5
dP
p0
y
σz =
∫ ∫ dσ
b l 0 0
z
= σ z ( p 0 , m, n )
x
b
l
σ z = ac p0
m=l/b, n=z/b 矩形竖直向均布荷载角点下的应力分布系数αc
z
M
z
p0——基底附加压力
αc 与l/b，z/b相关，l长边，b短边 查表3.3
17

（2）*角点法计算矩形面积均布荷载作用时土中竖向附加应力
图3.17 角点法的应用
(1)M点在荷载面边缘处(图3.17(a))
σ z ( M ) = (α cI + α cII ) p0
18

（2）M点在荷载面之内(图3.17(b))
σ z ( M ) = (α cI + α cII + α cIII + α cIV ) p 0
（3)M点在荷载面边缘外侧(图3.17(c))
σ
z (M
)
= (α c I ? α c I I + α c I I I ? α c I V
) p0
19

(4)M点在荷载面角点外侧(图3.17(d))
σ
z (M
)
= (α
cI
?α
cII
?α
cIII
+α
cIV
)p 0
举例 【例题3.4】已知均布受荷基底面积如例图3.4所示， p0=100kPa，基底面积为3×2m2。求基底下8m处M点的 附加应力。
例图3.4
20