斜拉桥非线性分析综述

1斜拉桥非线性分析的研究现状

在结构分析领域，一直普遍存在着由结构几何变形、梁－柱效应和材料塑性引起的结构力－变形非线性关系。Turner等人，在1960年里发表的一篇论文里提出根据结构加载前已存在的应力建立刚度矩阵和在几何非线性分析中使用线性化方法与增量法的概念。1966年，Oden、Prazmieniecki提出了计算几何矩阵的方法。Turner、Oden 等人中公式推导中，位移函数采用了简化的表达式，其分析计算实质上限制在大位移、小应变的范围内。从70年代初期，开始研究关于大位移、大应变大结构，将固体力学的分析方法引用到结构几何非线性有限元分析中，当位移与应变较大之后，通常用到修正坐标的方法，即所谓移动坐标法。大跨径斜拉桥是高次超静定结构，即使在正常荷载作用下，往往发生较大位移，结构几何形状发生显著的变化，整个结构由于有限变形而表现出明显的几何非线性行为。归纳起来，斜拉桥的几何非线性来自三个方面：斜拉索的垂度效应；主梁、索塔中轴力与弯矩相互作用而产生的梁－柱效应；大位移产生几何形状改变而引起的非线性效应。斜拉索作为柔性构件，在自重和轴力作用下，呈悬链线形状。其轴向刚度将随垂度的变化而变化，而斜拉索的垂度又取决于索中的拉力，因此斜拉索拉力与变形之间存在明显的非线性关系。对自锚固体系斜拉桥，斜拉索索力使主梁、桥塔等构件处于弯矩和轴力的组合作用下，桥塔和主梁变形过程中，由于横向挠度会使轴

力产生附加弯矩，而弯矩又影响轴向刚度的大小，从而影响结构变形，由此产生所谓的梁－柱效应，使整个斜拉桥表现出非线性行为。大跨度斜拉桥的另一特点是由于柔性较大而产生较大的位移，此有限位移会使斜拉桥的几何形状产生较大的变化，从而使结构分析不能仅按未变形的初始几何形状进行，而应当随着位移的变化逐步修正结构的几何形状。此时，结构的几何刚度矩阵是几何变形的函数。因此平衡方程{F}=[K]{δ}=不再是线性关系，线弹性分析中的叠加原理也不再完全适用。斜拉索垂度效应产生的非线性效应随着索自重即水平投影长度增加而增加，随索中拉力减小而减小。1956年H.J.Ernst提出用直杆模拟斜拉索，用等效弹性模量来考虑斜拉索垂度的非线性效应，这就是今天斜拉桥分析中广泛采用的Ernst公式。

我国学者对斜拉桥的几何非线性也进行了广泛对理论分析与试验研究。1982年周上君用等效弹性模量考虑斜拉索垂度，考虑结构大位移效应，用小挠度全量平衡方程进行迭代计算。但他用小挠度平衡方程计算斜拉桥大位移效应，未考虑主梁与桥塔大梁－柱效应。1990年陈德伟引入稳定函数考虑梁单元的梁－柱效应，用Ernst 公式考虑拉索的垂度效应，用拖动坐标系考虑大位移影响，求解斜拉桥的几何非线性问题。程国庆、潘家英等总结了斜拉桥几何非线性研究等现状，对各种斜拉桥几何非线性分析方法作了评述，指出：（1）等效弹性模量法用直杆单元模拟整根斜拉索，给斜拉桥的分析带来了很大的方便，但是当斜拉索两端节点位移相当大时，等效弹性模量法具有一定的近似性；（2）处理梁－柱效应可采用几何刚度矩阵和稳定函

数法，其中稳定函数具有较高的精度，是处理梁柱非线性的经典方法。如将稳定函数法表达的单元刚度矩阵展开，取其一阶近似即可得到几何刚度矩阵；（3）目前已有的斜拉桥非线性计算理论可大致分为切线模量表达的增量求解法和割线模量表达的全量求解法；理论框架可以分为总体拉格朗日描述（T.L）和修正拉格朗日描述（U.L）。但是斜拉桥非线性有限位移理论在有限元格式的建立过程中大都作了不同程度的简化和近似，因此，所得到的计算模型也不尽相同。从现有的各种非线性计算方法存在的差异可以发现，大跨度斜拉桥的非线性计算理论还有待进一步深入探讨，这大致可以归纳为以下三个方面：1．斜拉桥各种非线性单元模式合理性及其精度的研究；2．斜拉桥几何非线性描述参考构型及非线性求解方法的研究；3．斜拉桥有限元离散方法、结构模型化方法对几何非线性分析结果的影响研究。

2几何非线性分析理论

2.1斜拉桥的非线性问题

随着斜拉桥的跨度增大，其斜拉索、主梁及桥塔都存在着几何非线性的问题。特别是大跨度的斜拉桥，由于斜拉索较长，索自重产生的垂度较大，索的伸长量与索内拉力不成正比关系。整个结构的几何变形也大，大变形问题很突出，加上弯矩和轴力的共同作用，使得大跨度斜拉桥的几何非线性分析显得较为复杂。斜拉桥的非线性的影响

因素概括为三个效应，即垂度效应、弯矩和轴向力组合效应和大变形效应。

(1)垂度效应：斜拉索自重垂度引起的拉索拉力与变形之间的非线性关系；

(2)大变形效应：大位移产生的结构几何形状变化引起的几何非线性效应；

(3)梁-柱效应：由于斜拉索的拉力作用，主梁和索塔不仅承受弯矩而且还将承受巨大的轴向力，在主梁和索塔变形过程中，由于轴向力和弯矩相互影响，而产生所谓的梁-柱效应（P-Δ效应），使整个斜拉桥结构表现出几何非线性行为。

2.2非线性问题计算方法

2.2.1索的垂度效应

在斜拉桥结构分析时,通常用桁架单元来模拟斜拉索,由于斜拉索实际内力和位移是非线性关系,由此带来了计算模型与实际结构间的误差。本文采用Ernst公式修正索弹性模量,从而计入斜拉索在重力作用下的垂度影响。换算弹性模量的Ernst公式为:

式中:

E为考虑垂度影响的拉索换算弹性模量,kPa;

eq

E为拉索弹性模量,kPa;

γ为拉索换算容重,kN/m3;

S 为拉索长度,m;

α为拉索与水平线的夹角;

σ为拉索应力,kPa 。

2.2.2 柱效应和大位移效应。

在斜拉桥成桥阶段,斜拉索的初始拉力使主梁和桥塔存在较大应力,需要考虑单元初内力对单元刚度的影响。大位移对建立结构平衡方程有较大的影响,需要考虑大位移对单元刚度的影响。

1、完全的拉格朗日列式法（T.L.Formulation ）

考虑弯矩与轴向力组合效应和大位移效应的非线性方程为: [][][]()[]0000

0L T K K K d K d df σξξ++== 式中:

[]00K 与单元节点位移无关,为单元弹性刚度矩阵;

[]0L K 为单元初位移刚度矩阵或单元大位移刚度矩阵,是由大位移

引起的结构刚度变化,是d δ的函数;

[]0K σ为初应力刚度矩阵,它表示初应力对结构刚度的影响;

[]0T K 是3个刚度阵之和,称为单元切线刚度矩阵,它表示荷载增量

与位移增量之间的关系,也可理解为单元在特定应力、变形下的瞬时刚度。

2、修正的拉格朗日列式法（U.L.Formulation ）

在建立t+?t 时刻物体平衡方程时，如果我们选择的参照位形不是未变形状态t=0时的位形，而是最后一个已知平衡状态，即本增量

步起始的t 时刻位形为参照位形，这种列式法称为修正的拉格朗日列式法（U.L 列式）。

增量形式的U.L 列式结构平衡方程可写成：

[]([]{}{}P d d k k =?+σττ0

从理论上讲，这这两种方法都可以用于各种几何非线性分析。T.L 列式适用于大位移、中等转角和小应变的几何非线性问题，而U.L 列式除了适用于上述问题外，还适用于非线性大应变分析、弹塑性徐变分析，可以追踪变形过程的应力变化。目前，桥梁非线性分析一般都采用U.L 列式法。

2.3 斜拉桥几何非线性的分析方法

2.3.1 增量法

增量法指荷载以增量的形式逐级加上去，在每个荷载增量作用过程中假设结构的刚度矩阵是不变的，在任一荷载增量区间内结点位移和杆端力都是由区间起点处的结构刚度求出，然后利用得到的结点位移和杆端力求出相对于增量区终点变形后位置上的结构刚度，作为下一个荷载增量起点的结构刚度。在任一荷载增量i 级作用下的平衡方程为：

[]{}{}t t t W D K ?=?

式中各量为：荷载增量区间起点处得结构整体刚度矩阵；荷载增量引起的结点位移变化量；结点荷载增量的大小。

荷载增量法就是把荷载与位移之间的曲线关系用被划分足够小的直线段来代替。因此，对于增量法而言，荷载增量的划分大小，直接影响到结果的精度，如果荷载增量取得足够小，误差虽然是累积的，但还是可以收敛到工程允许的范围内。但是对于荷载增量的大小却不易掌握。

2.3.2迭代法

迭代法是将整个外荷载一次性加到结构上，结点位移用结构变形前的切线刚度求得，然后根据变形后的结构计算结构刚度，求得杆端力。由于变形前后的结构刚度不同，产生结点不平衡荷载，为了满足结点平衡，将这些不平衡荷载作为结点荷载作用于各结点上，计算出相对于变形后的结点位移量，反复迭代过程，直至不平衡荷载小于允许值为止。迭代过程中，如果刚度用的是前一步的切线刚度，则为切线刚度法，即Newton-Raphson法，如果在迭代过程中用的是割线刚度，则为割线刚度法。与增量法相比，迭代法可以控制精度，但迭代法的位移、应力、应变是对应于总荷载的，不能得到结构在加载过程中各量变化的关系。

2.3.3混合法

采用增量法和迭代法综合运用的混合法可以加快收敛速度，对于大跨度斜拉桥桥这种迭代次数要求较高的结构是很适宜的。混合法中初始荷载和每次循环后的不平衡荷载都以增量的形式施加，在每个荷载增量后对结构刚度作一次调整。假如两次迭代。第一次迭代的作用

荷载为P，荷载增量为P/2，第一次迭代后的不平衡荷载为P-P’，第二次迭代的荷载增量为(P-P’)/2。

2.3.4带动坐标的混合法

求解大位移效应引起的几何非线性问题，可用基于U·L列式的“拖动坐标系”对结构几何位置进行修正，即CR列式法。这种方法在计算由节点位移量产生的单元内力增量时，可精确扣除单元的刚体平动和转动，对杆系结构的几何非线性分析特别显示其优越性。

3结语

斜拉桥分析和一般杆系结构有限元分析方法不同,其非线性影响突出。本文主要介绍了斜拉桥的材料几何非线性分析理论、索的垂度非线性分析方法、结构大位移引起的非线性分析方法和梁柱效应引起的非线性分析方法，同时介绍了几何非线性数值计算的四个方法：增量法、迭代法、混合法和带动坐标的混合法。在斜拉桥分析计算中,上述因素引起的非线性影响是比较突出的,对结构内力和线形产生较大的影响,必须充分考虑其影响程度,才能准确把握斜拉桥结构的受力状态。