一种检验判断矩阵一致性的偏差矩阵方法(1)
收稿日期:2006-10-12
作者简介:王万军(1974-),男,甘肃天水人,讲师.
文章编号:1006-4869(2007)01-0063-02一种检验判断矩阵一致性的偏差矩阵方法
王万军
(甘肃联合大学数学与信息科学学院,甘肃兰州730000)
摘 要:提出了一种适合层次分析法中一致性检验的偏差矩阵方法,该方法无需进行复杂的数学运算,只需根据判断矩阵的偏差矩阵即可进行检验.通过实例分析,证明是一种有效实用的方法.
关键词:判断矩阵;偏差矩阵;一致性检验
中图分类号:O223 文献标识码:A
A D ev iation Matrix Meth od for C h eck ing the C onsistency of Judg emen t Matrix
WANG Wan jun
(Mathematics and Information Colle ge,Gansu Association University,Lanzhou 730000,China)
Abstract:A deviation matrix method of the consistency check in AHP is given.According to deviation matrix of judgement matrix,it can carry out the consistency check without complex mathematical calculation.Examples show that the ne w method is effective,practical and convenient.
Key words:judgement matrix;de viation matrix;consistency check
1977年Saaty T L 提出了层次分析法(AHP)[1,2],它是一种实用的多准则决策方法,该方法广泛地应用在各行业的决策分析中.众所周知,AHP 中最关键的是如何建立较为准确有效的判断矩阵,但常因为两元素比较产生逆序出现一致性较差或总排序权重数较小而难以比较,特别地当待评指标较多时更易出现此情况.由于决策者认识的多样性和客观事物的复杂性,各决策者对决策对象有不同的偏好,从而给出的决策判断矩阵,并不能与实际相吻合得很好,因此要对AHP 进行一致性的检验和必要的校正.对此文献[3-4]进行了较多地研究,但还是比较复杂.本文通过改进的方法,给出了一种构造判断矩阵的偏差矩阵判断方法,该方法更加直观、准确地判断矩阵的一致性,弥补了以往检验中存在的以下几点不足:第一,AHP 中一致性比例C R 应小于0.1的规定缺乏必要的理论根据,并且矩阵阶数越高,这一满足性就越难达到;第二,一致性比例的计算要用到判断矩阵的特征根,其求解较困难,并且对于一个不具有满意一致性的判断矩阵求特征根是一种浪费.本文提出的方法克服了以上不足,通过实例与已有的AHP 计算结果相比较发现该方法既简洁又有效,是一种实用的一致性检验方法.
1 一致性概念及其检验方法
定义1 判断矩阵A =(a ij )n n ,若对 i,j N ,有a ii =1,a i j =1/a ij ,则称A 为互反矩阵.
定义2 若判断矩阵A =(a i j )n n 为互反阵,如果a i j >0,则称A 为正互反矩阵.
定义3 若判断矩阵A =(a i j )n n 为正互反矩阵,对 i,j ,k N ,如果满足a ij a jk =a jk ,则称A 为完全一致性矩阵.
第26卷 第1期
2007年2月
南昌工程学院学报Journal of Nanchang Ins titute of Technology Vol.26 No.1Feb.2007
设A=(a ij)n n为n阶判断矩阵,其排序向量为W=(w1,w2,!,w n)T,令B=(b i j)n n,其中b i j=a i j/?
i
a ij, (i,j=1,2,!,n).记B j=(b1j,b2j,!,
b n j)T,则B j为判断矩阵A的第j个列向量的规一化向量,再令矩阵C= (
c ij)n n,其中C ij=b i j/w i,(i,j=1,2,!,n).
定义4 如上所得的矩阵C=(C ij)n n称为判断矩阵A的导出矩阵.
引理1 判断矩阵A为完全一致性矩阵的充要条件是导出矩阵C中元素全部为1,即
C= 1 1 ! 1
1 1 ! 1
! ! !
!
1 1 ! 1
.
该引理的证明见文献[4].
定义5 设C=(C i j)n n为判断矩阵A的导出矩阵,d i j=c i j-1,(i,j=1,2,!,n)统称偏差,由偏差组成的矩阵D=(d ij)n n称为判断矩阵A的偏差矩阵.
引理2 若判断矩阵A为完全一致性矩阵,其对应的偏差矩阵为D=(d i j)n n,则偏差矩阵中全体数据的平均值d=0.
引理2的证明由上述引理1与定义5易得.
由于在实际判断决策中,存在有主观人为因素和决策者的偏好,从而在判断矩阵A出现了不一致性时,判断矩阵的导出矩阵C中的元素C ij是在1附近摆动(这反映了C i j对其数学期望E Cij=1偏离程度情况),实际决策中偏差矩阵D中全体数据之平均值也就是在0附近摆动.因此,认定如下事实:
判断矩阵A的建立有随机性,其导出矩阵C中元素C i j可以认为是以1为均值的正态随机变量,有C i j~ N(1, 20),其中 20为常量,且C ij(i,j=1,2,!,n)相互独立.所有d ij都可以看作相互独立且服从同一分布的随机变量,据此可以结合数理统计的原理从而得到结论:判断矩阵A对应的偏差矩阵D中任意|d ij|<|c i j|/2=0.5,则认为判断矩阵A一致性满意或可接受,否则认为一致性不满意或不可接受.
为了与Saaty的一致性比例结果相衔接,于是有如下结论:判断矩阵A对应的偏差矩阵D=(d ij)n n中,所有偏差绝对值之和的平均值如果小于0.1,则认为一致性满意,否则认为一致性不满意.
2 算例分析
下面给出用该方法进行判断矩阵一致性检验的实例[4],说明该方法的可行性和有效性.
例1:A=1 4 7
1/4 1 6
1/7 1/6 1
,A规一化后得到矩阵:B=
0.718 0.774 0.500
0.179 0.194 0.429
0.103 0.032 0.071
.
分别求得导出矩阵C与偏差矩阵D为
C=1.081 1.166 0.753
0.670 0.727 1.607
1.493 0.464 1.029
, D=
0.081 0.166 -0.247
-0.330 -0.273 0.607
0.493 -0.556 0.029
.
判断分析:由于偏差矩阵D中出现了0.607、-0.556等值,其绝对值均超过了0.5,因此该判断矩阵A 一致性不满意.再看偏差矩阵D中各偏差绝对值之和的平均值为0.31>0.1,故而该判断矩阵一致性不满意.用CR来检验,经计算得C R=0.17>0.1,两种判断结果一致.
例2:A=1 4 7 1/4 1 2 1/7 1/2 1
,
求得判断矩阵A的导出矩阵C与偏差矩阵D分别为
(下转第70页)
以通过收购、合资的方式与国外家电巨头联合经营,在跨国生产与经营中培养和造就一大批国际化经营管理人才,学习国外先进的技术和管理经验,并将这些创造性资产内部化为企业的一部分,促进企业的学习和创新,使我国家电企业在现有规模基础上实现规模经济和范围经济.
(3)促使家电企业实现从低成本战略到差异化战略的转变
多年来,我国家电企业的竞争战略以低成本战略为主,在国际市场上我国家电产品也是以低价格作为竞争优势.由于低成本战略的易模仿性和可替代性,我国家电企业在国际竞争中只能占据低端市场.在高品质高档次的高端国际家电产品市场,我国家电企业仍较少问津,这与我国家电业缺乏一些核心技术和技术创新能力不足密切相关.我国家电业要想真正提高自身在国际家电市场上的竞争力,就需要实现从低成本战略到差异化战略的战略转变,将企业战略集中在技术创新、产品创新、产品改良和服务创新等可以与其它品牌区别开来的价值链环节上,建立起我国家电业独特的其它国家企业难以模仿的持久性竞争优势.
参考文献:
[1]谭力文,吴先明.国际企业管理[M].武汉:武汉大学出版社,2002.
[2]吴先明.东亚跨国公司的竞争优势[J].世界经济文汇,2002,(4):63-71.
[3]汤白露,王娜.家电业#僵局?产业竞争战略遭遇深层次的打击[J].21世纪经济报道.2005,6(23).
[4]徐佳宾,赵 进.跨国公司技术优势变迁[J].经济理论与经济管理,2004,(9):48-50.
[5]杨凯云,尹柳营.我国家电业发展对策[J].上海企业,2001,(7):40-41.
[6]陈达源.中国家电业发展战略定位浅析[J].中山大学学报论丛,2002,(4):121-126.
[7]黄汉英.广东家电业:三分天下有其一[N].南方都市报,2004-3-12.
[8]赫连志巍,方淑芬.产业集群多元化的条件与策略[J].经济管理,2006,(9):89-92
[9]贺俊,毛科君.国际间产业转移对产业组织的影响%%%以家用电器业为例[J].经济纵横,2002,(6):11-16.
[10]谢巧玲,夏洪胜.我国家电业OEM生产方式的发展之路[J].经济师,2003,(3):40-42.
(上接第64页)
C=1.004 1.017 0.979
0.957 0.973 1.070
1.051 0.993 1.020
, D=
0.004 0.017 -0.021
-0.043 -0.027 0.070
0.051 -0.007 0.020
.
判断分析:在偏差矩阵D中所有偏差绝对值均不超过0.5,且其值均接近0,因此该判断矩阵A的一致性满意,再看其偏差矩阵D中偏差绝对值之和的平均值为0.003<0.1,故而一致性满意.用C R来检验,经计算得CR值0.0017<0.1,一致性满意,两种判断结果一致.
3 结束语
本文提出的判断矩阵一致性检验的偏差矩阵判断方法,克服了以往AHP中判断矩阵一致性的复杂数学运算,通过实例与已有的AHP计算结果相比较发现该方法既简洁又有效,是一种直观、快速、有效、实用的检验方法.
参考文献:
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[5]吴泽宁,张文鸽,管新建.AHP中判断矩阵一致性检验和修正的统计方法[J].系统工程,2002,(3):67-71.
层次分析法判断矩阵求权值以及一致性检验程序
function [w,CR]=mycom(A,m,RI) [x,lumda]=eig(A); r=abs(sum(lumda)); n=find(r==max(r)); max_lumda_A=lumda(n,n); max_x_A=x(:,n); w=A/sum(A); CR=(max_lumda_A-m)/(m-1)/RI; end 本matlab程序用于层次分析法中计算判断矩阵给出的权值已经进行一致性检验。 其中A为判断矩阵，不同的标度和评定A将不同。 m为A的维数 RI为判断矩阵的平均随机一致性指标：根据m的不同值不同。 当CR<0.1时符合一致性检验，判断矩阵构造合理。 下面是层次分析法的简介，以及判断矩阵构造方法。
一.层次分析法的含义 层次分析法（The analytic hierarchy process）简称AHP，在20世纪70年代中期由美国运筹学家托马斯·塞蒂（T.L.Saaty）正式提出。它是一种定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析方法。由于它在处理复杂的决策问题上的实用性和有效性，很快在世界范围得到重视。它的应用已遍及经济计划和管理、能源政策和分配、行为科学、军事指挥、运输、农业、教育、人才、医疗和环境等领域。 二.层次分析法的基本思路与人对一个复杂的决策问题的思维、判断过程大体上是一样的。 （1）层次分析法的原理 层次分析法是将决策问题按总目标、各层子目标、评价准则直至具体的备投方案的顺序分解为不同的层次结构，然后得用求解判断矩阵特征向量的办法，求得每一层次的各元素对上一层次某元素的优先权重，最后再加权和的方法递阶归并各备择方案对总目标的最终权重，此最终权重最大者即为最优方案。这里所谓“优先权重”是一种相对的量度，它表明各备择方案在某一特点的评价准则或子目标，标下优越程度的相对量度，以及各子目标对上一层目标而言重要程度的相对量度。层次分析法比较适合于具有分层交错评价指标的目标系统，而且目标值又难于定量描述的决策问题。其用法是构造判断矩阵，求出其最大特征值。及其所对应的特征向量W，归一化后，即为某一层次指标对于上一层次某相关指标的相对重要性权值。 （2）层次分析法的步骤 a)建立系统的递阶层次结构； b)构造两两比较判断矩阵；（正互反矩阵） c)针对某一个标准，计算各备选元素的权重； d)计算当前一层元素关于总目标的排序权重。 e)进行一致性检验。 小结：层次分析法的思路与步骤如图
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阵，归纳并提出了分块矩阵的一些应用，这些应用主要涉及到矩阵的秩，逆矩阵，行列式以及矩阵正定和半正定等方面。通过引用了大量的实例说明了对矩阵进行适当分块可以使高等代数中的许多计算与证明问题迎刃而解。关键词: 分块矩阵；初等变换；计算；逆矩阵；证明。I Abstract Partitioned matrices mean dividing a big matrix into the small matrices according to the certain rule. It is a common technique and method in matrix operation. The theories of partitioned matrices have not only a wide range of applications in engineering and production, but also play an important role to the process for seeking matrix product and the value of determinant and inverse matrix and rank of matrix and the characteristic in linear algebra. Elementary transformation of partitioned matrices is an important tool to deal with the partition matrix. Also, it is
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一?层次分析法的含义 层次分析法（The analytic hierarchy process ）简称AHP，在20 世纪70年代中期由美国运筹学家托马斯塞蒂（「L.Saaty ）正式提出。它是一种定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析方法。由于它在处理复杂的决策问题上的实用性和有效性，很快在世界范围得到重视。它的应用已遍及经济计划和管理、能源政策和分配、行为科学、军事指挥、运输、农业、教育、人才、医疗和环境等领域。 二?层次分析法的基本思路与人对一个复杂的决策问题的思维、判断过程大体上是一样的。 （1）层次分析法的原理 层次分析法是将决策问题按总目标、各层子目标、评价准则直至具体的备投方案的顺序分解为不同的层次结构，然后得用求解判断矩阵特征向量的办法，求得每一层次的各元素对上一层次某元素的优先权重，最后再加权和的方法递阶归并各备择方案对总目标的最终权重，此最终权重最大者即为最优方案。这里所谓优先权重”是一种相对的量度，它表明各备择方案在某一特点的评价准则或子目标，标下优越程度的相对量度，以及各子目标对上一层目标而言重要程度的相对量度。层次分析法比较适合于具有分层交错评价指标的目标系统，而且目标值又难于定量 描述的决策问题。其用法是构造判断矩阵，求出其最大特征值。及其所对应的特征向量W，归一化后，即为某一层次指标对于上一层次某相关指标的相对重要性权值。 （2）层次分析法的步骤 a）建立系统的递阶层次结构； b）构造两两比较判断矩阵；（正互反矩阵）
一种检验判断矩阵一致性的偏差矩阵方法(1)
收稿日期:2006-10-12 作者简介:王万军(1974-),男,甘肃天水人,讲师. 文章编号:1006-4869(2007)01-0063-02一种检验判断矩阵一致性的偏差矩阵方法 王万军 (甘肃联合大学数学与信息科学学院,甘肃兰州730000) 摘 要:提出了一种适合层次分析法中一致性检验的偏差矩阵方法,该方法无需进行复杂的数学运算,只需根据判断矩阵的偏差矩阵即可进行检验.通过实例分析,证明是一种有效实用的方法. 关键词:判断矩阵;偏差矩阵;一致性检验 中图分类号:O223 文献标识码:A A D ev iation Matrix Meth od for C h eck ing the C onsistency of Judg emen t Matrix WANG Wan jun (Mathematics and Information Colle ge,Gansu Association University,Lanzhou 730000,China) Abstract:A deviation matrix method of the consistency check in AHP is given.According to deviation matrix of judgement matrix,it can carry out the consistency check without complex mathematical calculation.Examples show that the ne w method is effective,practical and convenient. Key words:judgement matrix;de viation matrix;consistency check 1977年Saaty T L 提出了层次分析法(AHP)[1,2],它是一种实用的多准则决策方法,该方法广泛地应用在各行业的决策分析中.众所周知,AHP 中最关键的是如何建立较为准确有效的判断矩阵,但常因为两元素比较产生逆序出现一致性较差或总排序权重数较小而难以比较,特别地当待评指标较多时更易出现此情况.由于决策者认识的多样性和客观事物的复杂性,各决策者对决策对象有不同的偏好,从而给出的决策判断矩阵,并不能与实际相吻合得很好,因此要对AHP 进行一致性的检验和必要的校正.对此文献[3-4]进行了较多地研究,但还是比较复杂.本文通过改进的方法,给出了一种构造判断矩阵的偏差矩阵判断方法,该方法更加直观、准确地判断矩阵的一致性,弥补了以往检验中存在的以下几点不足:第一,AHP 中一致性比例C R 应小于0.1的规定缺乏必要的理论根据,并且矩阵阶数越高,这一满足性就越难达到;第二,一致性比例的计算要用到判断矩阵的特征根,其求解较困难,并且对于一个不具有满意一致性的判断矩阵求特征根是一种浪费.本文提出的方法克服了以上不足,通过实例与已有的AHP 计算结果相比较发现该方法既简洁又有效,是一种实用的一致性检验方法. 1 一致性概念及其检验方法 定义1 判断矩阵A =(a ij )n n ,若对 i,j N ,有a ii =1,a i j =1/a ij ,则称A 为互反矩阵. 定义2 若判断矩阵A =(a i j )n n 为互反阵,如果a i j >0,则称A 为正互反矩阵. 定义3 若判断矩阵A =(a i j )n n 为正互反矩阵,对 i,j ,k N ,如果满足a ij a jk =a jk ,则称A 为完全一致性矩阵. 第26卷 第1期 2007年2月 南昌工程学院学报Journal of Nanchang Ins titute of Technology Vol.26 No.1Feb.2007
随机一致性指标
随机一致性指标求解 （一）实验目的： 1）掌握用matlab求解随机一致性指标的方法 2）加深对随机一致性指标概念的理解 （二）实验内容： 用matlab或C++编写程序分别计算n=2-30时的n阶矩阵的随机一致性检验指标的值RI。为保证随机性，要求每阶创造1000个矩阵。 （三）实验原理及分析： 层次分析发建模问题中，需要用到对矩阵A的一致性检验，然而对于一般的问题，尤其当考虑实际因素比较多时，很难保证判断矩阵A为一致矩阵，因此在计算矩阵A的最大特征值’max之时，需要检验矩阵A的一致程度。 令： 称CI为一致性指标。显然CI=0是矩阵A为一致矩阵的必要条件。可以看出CI 值越大，A的不一致程度越严重。 但是对于一个具体的矩阵来书，很难说其一致性指标CI到底 是很大还是很小，Saaty针对上述定义的不严格性，提出了用随机一致性指标RI来检验判断矩阵A是否具有满意的一致性。 RI是按照下面的方式选取的： 对于固定的n,随机构造正互反矩阵A'，他的元素a j'是从1~9 及其倒数中随机选取的，因此A'的一致性一般都是很差的，取充分大的子样儿得到A'最大特征值的平均值k，定义：
CR 称为随机一致性比率。RI 称为随机一致性指标。当 CRvO.1时, 一般认为矩 阵A 的不一致程度再容许范围之内，可以用其特征向量 作为权向量。 （四）问题求解: 根据以上原理分析可得随机一致性指标值 RI 的求解方法，结 合题目要求，求解如下： 1、求RI 的函数流程图: if n<=0, error( 'n 必须为正数’);求1000个矩阵的最 end if n==0 || n==1, RI=0; return ; end % 初始化 times=1000; scaler=[9 8 7 6 5 4 3 2 1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 1/9]; A=zeros (n); lamda=zeros(times,1); ------------------------ % 产生1000组随机正互反矩阵 for num=1:times ran k=ceil(17*ra nd( n)); % 产生一组n 阶正互反矩阵 for i=1:n for j=i:n A(i,j)=scaler(ra nk(i,j)); A(j,i)=1/A(i,j); A(i,i)=1; end end rige nvector=eig(A); %求最大特征值 lamda( nu m)=max(rige nvector); %求 1000组最大特征值平均值 end lamda_average=sum(lamda)/times; RI=(lamda_average-n)/(n-1); %求RI 的值 2、求n=2~30的随机一致性指标值 编写程序： for n=2:30 RI( n)=ri( n); RI( n) End 执行结果如下： ans = 0 ans = 代码如下: 构造1000个n 阶随 机正互反矩阵A'（元 fun ctio n RI=ri( n) % 定义函数 素0~9及其倒数） 大特征值的平均值k 计算RI 的值:
层次分析法判断矩阵求权值以及一致性检验程序(20210228092109)
function [w f CR]=mycom(A,m z RI) [x,lumda]=eig(A); r=abs(sum(lumda)); n=find(r==max(r)); max_lumda_A=1umda(n,n); max_x_A=x(:,n); w=A/sum(A); CR=(max_lumda_A-m)/(m-1)/RI; end 木matlab程序用于层次分析法中计算判断矩阵给岀的权值己经进行一致性检验。 其中A为判断矩阵，不同的标度和评定A将不同。 m为A的维数 RI为判断矩阵的平均随机一致性指标：根据m的不同值不同。 RI值 当CR<0.1时符合一致性检验，判断矩阵构造合理。 下而是层次分析法的简介，以及判断矩阵构造方法。
一.层次分析法的含义 层次分析法(The analytic hierarchy process)简称AHP,在20 世纪 70年代中期由美国运筹学家托马斯?塞蒂(T.L.Saaty)正式提出。它 是一种------------ 定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析 方法。由于它在处理复朵的决策问题上的实用性和有效性，很快在世 界范围得到重视。它的应用——己遍及经济计划和管理、能源政策 和分配、行为科学、军事指挥、运输、 ----------- 农业、教育、人 才、医疗和环境等领域。 二.层次分析法的基木思路与人对一个复杂的决策问题的思维、判断过程大体上是一样的。 (1)层次分析法的原理 层次分析法是将决策问题按总目标、各层子目标、评价准则直至具体的备投方案的顺序分解为不同的层次结构，然后得用求解判断矩阵特征向量的办法，求得每一层次的各元素对上一层次某元素的优先权重, 最后再加权和的方法递阶归并各备择方案对总目标的最终权重，此最终权重最大者即为最优方案。这里所谓“优先权重”是一种相对的量度，它表明各备择方案在某一特点的评价准则或子目标，标下优越程度的相对量度，以及各子目标对上一层目标而言重要程度的相对量度。层次分析法比较适合于具有分层交错评价指标的目标系统，而且目标值又难于定量描述的决策问题。其用法是构造判断矩阵，求出其最大
层次分析法判断矩阵求权值以及一致性检验程序
fun cti on [w,CR]二mycom(A,m,RI) [x,lumda]二eig(A); r=abs(sum(lumda)); n二fin d(r==max(r)); max_lumda_A=lumda( n,n); max_x_A=x(:,n); w=A/sum(A); CR=(max_lumda_A-m)/(m-1)/RI; end 本matlab程序用于层次分析法中计算判断矩阵给出的权值已经进行致性检验。其中A为判断矩阵，不同的标度和评定 A将不同。 m为A的维数 RI为判断矩阵的平均随机一致性指标：根据m的不同值不同。 RI值 当CRv时符合一致性检验，判断矩阵构造合理。下面是层次分析法的简介，以及判断矩阵构造方法。
一. 层次分析法的含义 层次分析法（The analytic hierarchy process ）简称 AHP,在 20 世纪 70 年代中期由美国运筹学家 （）正式提出。它是一种定性和定量相结合的、 系统化、层次化的分析方法。由于它在处理复杂的问题上的实用性和有 效性，很快在世界范围得到重视。它的应用已遍及经济和、能源政策和 分配、行为科学、军事指挥、运输、农业、教育、人才、医疗和环境等 领域。 二. 层次分析法的基本思路与人对一个复杂的决策问题的思维、 判断过程 大体上是一样的。 （ 1） 层次分析法的原理 层次分析法是将决策问题按总目标、各层子目标、评价准则直至具体的 备投方案的顺序分解为不同的层次结构， 然后得用求解判断矩阵特征向 量的办法，求得每一层次的各元素对上一层次某元素的优先权重，最后 再加权和的方法递阶归并各备择方案对总目标的最终权重， 此最终权重 最大者即为最优方案。这里所谓 “优先权重 ”是一种相对的量度，它表明 各备择方案在某一特点的评价准则或子目标，标下优越程度的相对量 度，以及各子目标对上一层目标而言重要程度的相对量度。层次分析法 比较适合于具有分层交错评价指标的目标系统， 而且目标值又难于定量 描述的决策问题。其用法是构造判断矩阵，求出其最大特征值。及其所 对应的特征向量 W ，归一化后， 即为某一层次指标对于上一层次某相关 指标的相对重要性权值。 2） 层次分析法的步骤 建立系统的递阶层次结构； 构造两两比较判断矩阵； （正互反矩阵） 针对某一个标准，计算各备选元素的权重； 计算当前一层元素关于总目标的排序权重。 进行一致性检验。 小结：层次分析法的思路与步骤如图 a) b) c) d) e)
正定矩阵的性质及应用
正定矩阵的性质及应用 摘要： 正定矩阵是矩阵理论中的一类重要的矩阵，且在多个不同领域内均有重要的作用，本文回顾了正定矩阵的发展史、性质及应用。矩阵理论的应用愈来愈广，它在众多学科和领域中发挥着不可替代的作用，如在数学分析中用黑塞矩阵来判断函数的极值等。把矩阵理论应用到这些数学学科中时，使很多问题变得简单明了. 关键字： 正定矩阵；主子式；顺序主子式；特征值. 研究矩阵的正定性，在数学理论或应用中具有重要意义，是矩阵论中的热门课题之一.正定矩阵具有广泛的应用价值，是计算数学、数学物理、控制论等领域中具有广泛应用的重要矩阵类，其应用引起人们极大的研究兴趣.本文首先给出了正定矩阵的定义，然后研究了正定矩阵的一些等价条件和一些正定矩阵的若干性质，最后简单的列举了一些正定矩阵在数学其它方面的应用． 一、正定矩阵的定义 定义1.设),,,(21n x x x f 是一个实二次型，若对任意的一组不全为零的实数n c c c ,,, 21 都 有0),,,(21>n c c c f ,则称),,,(21n x x x f 是实正定二次型，它所对应的对称矩阵为正定对称矩阵，简称正定矩阵. 定义2.n 阶是对称矩阵A 称为正定矩阵.如果对于任意的n 维实非零列向量) ,,,(21n x x x f X =都有0>' A X X ，正定的是对称矩阵A 简称为正定矩阵. 注：二次型的正定（负定）、半正定（半负定）统称为二次型及其矩阵的有定型，不具备有定型的二次型及其矩阵为不定. 二次型的有定型与其矩阵的有定型之间具有——对应关系.因此，二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性的判别. 二．正定矩阵的一些性质 1.正定矩阵的充分必要条 （1）n 元实二次型),,,(21n x x x f 正定?它的惯性指数为n .
层次分析法一致性检验
层次分析法一致性检验 第１９卷 第２期 内蒙古民族大学学报（然科学版）自 ＪｕｎｏｎｅｎｏｉＵｎｖｒｉｒＮａｉａｉｅ ｏｒ￣ｆＩｎｒＭｏｇｌｉｅｓｙｆｔｎｌｉａ ｔｏｏｔｓ Ｖ０．９Ｎｏ．１１２ Ａｐ．２０ｒ０４ ２００４年４月 层次分析法中残缺判断矩阵的一致性比例检验 法 阮民荣 （西南宁地区教育学院数学系，西南宁广广５００）３０１ 摘 要：首先阐明了检验残缺判断矩阵的传统一致性比例检验法， 然后提出了适用于残缺判断矩阵的一致性 比例检验新方法一残缺判断矩阵的一致性比例检验 法． 关键词：残缺判断矩阵；平均随机一致性指标；一致性指标；一致性检验
中图分类号：２３文献标识码：Ａ文章编￣：６１Ｏ８ｌｏ４ｏ—１９０＇７一１５２ｏ）２０３—３１ ＡｎｉｔｎｙＰｒｐｒｉｎｌＣｈｃｉｇＭｅｈｄｆｒＩｃｍｐｅｅＣｏｓｓｅｃｏｏｔｏ ａｅｋｎｔｏｏｎｏｌｔ ＣｏｐｒｓｎＭａｒｃｓｉｈａｙｉｉｒｒｈｏｅｓｍａｉｏｔｉｅｎｔｅＡｎｌｔｃ ＨｅａｃｙＰｒｃｓ ＲＵＡＮｉ—ｏｇＭｎ—ｒｎ （ｐｒｍｅｔｆｔｅｔｓＮｎｉｇＰｅｅｔｒｄ ｃｔｎｌｏｅｅＮａｎｎ３０１Ｃｈｎ）Ｄｅａｔｎｈｍａｉ，ａｎｎｒｆｃｕｅＥｕａｉａＣＨｇ，ｎｉｇ５００，ｉｏＭａｃｏａ ＡｂｔａｔＡｒｄｔｏａｏｓｓｅｃｈｃｉｇｍｅｈｄｏｈｃｉｇｔｅｉｃｍｐｅｅｃｍｐｒｓ ｎｍａｒｘｓｒｃ：ｔａｉｎｌｎｉｔｎｙｃｅｋｎｔｏｆｃｅｋｎｈｎｉｃｏｌｔｏａｉｏｔｉｉｒｓｎｅＴｈｎ，ｎａｐｏｃｆｉｒｖｎｈｓｍｅｈｄｉｇｖｎ—ｔｅｃｎｉｔｎｙｐｏｏｔｎｓｐｅｅｔｄ．ｅａｐｒａｈｏｍｐｏｉｇｔｉｔｏｓｉｅｈｏｓｅｃｒｐｒｉｓ
ｏｃｅｋｎｔｏｏｃｍｐｅｅｃｍｐｉｎｍａ ｒｘ．ｈｉｇｍｅｈｆｒｉｏｌｔｏａｓｔｉｃ ｄｎｏ ＫｅｒｓＩｃｍｐｅｅｃｍｐｒｓｎｍａｒｘ；ｅａｅｒｄｍｏｓｓｅｃｃｌ；ｏｓｓｅｃｃｌ；ｙｗｏｄ：ｎｏｌｔｏａｉｏ ｔｉＡｖｒｇａｏｃｎｉｔｎｙｓａｅＣｎｉｔｎｙｓａｅｎ ｏｓｓｅｃｈＣｎｉｔｎｙｃｅｋｎｃｉｇ 应用（｛）Ｉ…进行决策的关键是填写两两比较的判断矩阵，）但在实际中经常会出现决策者对一些判断矩阵缺少把握，不感兴趣，或对某些敏感的问题不想发表意见的情况，这种情况是可以允许的，这时得到的判断矩阵称之为残缺判断矩阵．目前，对残缺判断矩阵的研究取得了一些成果［８，２］其中文献［－５均提出了处理残缺判断矩阵的方法，－２）文献（，］６７涉及残缺判断矩阵的排序问题，文献［３８关于残缺判断矩阵的应用．显然一个判断矩阵的残缺程度对排序正确性是有明显影响的． 信息越少，排序的随意性越大．要能够进行排序，必须对残缺程度，及其位置有一些限制，也就是研究什么样的残缺矩阵是
二次型的正定性及其应用
毕业论文 题目：二次型的正定性及其应用 学生姓名：孙云云 学生学号： 0805010236 系别：数学与计算科学系 专业：数学与应用数学 届别： 2012 届 指导教师：李远华
目录 摘要 (1) 前言 (1) 1 二次型的概念 (2) 1.1 二次型的矩阵形式 (2) 1.2 正定二次型与正定矩阵的概念 (2) 2 二次型的正定性一些判别方法及其性质 (3) 3 二次型的应用 (8) 3.1 多元函数极值 (8) 3.2 线性最小二乘法 (12) 3.3 证明不等式 (14) 3.4 二次曲线 (16) 结论 (17) 致谢 (17) 参考文献 (17)
淮南师范学院2012届本科毕业论文1 二次型的正定性及其应用 学生：孙云云 指导老师：李远华 淮南师范学院数学与计算科学系 摘要：二次型与其矩阵具有一一对应关系，本文主要通过研究矩阵的正定性来研究二次型的正定性及其应用。通过研究二次型的性质并利用正（负）定矩阵判断多元函数的极值、证明不等式，由矩阵的特征值求多元函数的最值，再借助于非退化线性替换判断二次曲线的形状。 关键词：二次型；矩阵；正定性；应用 The second type of positive definite matrix and its applications Student: Sun YunYun Instructor: Li YuanHua Department of mathematics and Computational Science, Huainan Normal University Abstract: Quadratic and its matrix is exactly corresponding relation, this paper mainly through the study of the matrix is qualitative to study the second type is qualitative and its application. Through the study of the nature of the second type and use the positive (negative) set judgment matrix function of many extreme value, to testify inequality, the characteristic value of the matrix for the most value of a function of many, then the degradation by linear replace judgment of the shape of the quadratic curves. Key words: Quadratic; Quadratic matrix; Qualitative; Application 前言 二次型常常出现在许多实际应用和理论研究中，有很大的实际使用价值。它不仅在数学的许多分支中用到，而且在物理学中也会经常用到，其中实二次型中的正定二次型占用特殊的位置. 二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别，因此，对正定矩阵的讨论有重要的意义.
讨论对称矩阵的正定性-模板
讨论对称矩阵的正定性 本文主要是从理论的角度简单研究对称矩阵的正定性。从对称矩阵与正定矩阵的关系出发,给出对称矩阵正定性的判别条件。关键词:对称矩阵,正定性二次型与对称矩阵是相互唯一确定的,其中正定二次型的系数矩阵就是正定矩阵,那么,正定矩阵就一定是对称矩阵.那么怎样的对称矩阵是正定矩阵呢?本文将给出正定矩阵的定义以及判别实对称矩阵正定的常用条件. 设=,(其中C,i,j=1,2,…,n), 的共轭转置记为= 定义对于复对称矩阵=,(其中R,i,j=1,2,…,n)若对于任意非零列向量,都有>0,则称是正定矩阵. 若仅在实数域上考虑,此定义等价于 定义对于实对称矩阵=,(其中R,i,j=1,2,…,n)若对于任意非零列向量,都有>0,则称是正定矩阵. 由于二次型与对称矩阵是相互唯一确定的,此定义又等价于 定义如果对于任一组不全为零的非零实数,,…,,都有 f(,,…,)=>0,则称实二次型f(,,…,)是正定的. 由以上定义可知正定矩阵的和仍是正定矩阵. 事实上若与为同价正定矩阵,则对于非零列向量=(,,…,)0,必有>0, >0,从而(+)=+ >0, 所以+也是正定的. 定理 n阶实对称矩阵正定,当且仅当实二次f(,,…,)=的正惯性指数为n. 证明设实二次型f(,,…,)经过非退化线性变换得 ++…+(*) 由于非退化实线性变换保持正定性不变,那么正定当且仅当(*)是正定的,由定义知(*)正定当且仅当>0 (i=1,2,…,n,),因此,正惯性指数为n. 推论1 实对角矩阵正定的充分必要条件是>0,(i=1,2,…,n,). 证明由定理得,实对称矩阵正定当且仅当二次型 f(,,…,)=++…+的正惯性指数为n,因此,>0 (i=1,…,n,). 推论2 实对称矩阵是正定的充要条件矩阵的秩与符号差为n.