椭圆题型归纳大全

椭圆典型题型归纳

题型一. 定义及其应用

例1.已知一个动圆与圆22:(4)100C x y ++=相内切，且过点(4,0)A ，求这个动圆圆心M 的轨迹方程；

例2. 方程2x =+所表示的曲线是

练习：

1.6=对应的图形是（ ）

A.直线

B. 线段

C. 椭圆

D. 圆

2.10=对应的图形是（ ）

A.直线

B. 线段

C. 椭圆

D. 圆

3.10=成立的充要条件是（ ）

A.

2212516x y += B.221259x y += C. 2211625x y += D. 22

1925

x y +=

4.1m =+表示椭圆，则m 的取值范围是

5.过椭圆2

2

941x y +=的一个焦点1F 的直线与椭圆相交于,A B 两点，则,A B 两点与椭圆的另一个焦点2F 构成的2ABF ?的周长等于 ；

6.设圆22(1)25x y ++=的圆心为C ，(1,0)A 是圆内一定点，Q 为圆周上任意一点，线段

AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则点M 的轨迹方程为 ；

题型二. 椭圆的方程 （一）由方程研究曲线

例1.方程

22

11625

x y +=的曲线是到定点 和 的距离之和等于 的点的轨迹；

（二）分情况求椭圆的方程

例2.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点(3,0)P ，求椭圆的方程；

（三）用待定系数法求方程

例3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点1P 、2(P ，求椭圆的方程；

例4.求经过点(2,3)-且与椭圆229436x y +=有共同焦点的椭圆方程；

注：一般地，与椭圆22221x y a b

+=共焦点的椭圆可设其方程为22

2221()x y k b a k b k +=>-++； （四）定义法求轨迹方程；

例5.在ABC ?中，,,A B C 所对的三边分别为,,a b c ，且(1,0),(1,0)B C -

，求满足b a c

>>且,,b a c 成等差数列时顶点A 的轨迹；

（五）相关点法求轨迹方程；

例6.已知x 轴上一定点(1,0)A ，Q 为椭圆2

214

x y +=上任一点，求AQ 的中点M 的轨迹方程；

（六）直接法求轨迹方程；

例7.设动直线l 垂直于x 轴，且与椭圆2

2

24x y +=交于,A B 两点，点P 是直线l 上满足

1PA PB =的点，求点P 的轨迹方程；

（七）列方程组求方程

例8.中心在原点，一焦点为F 的椭圆被直线32y x =-截得的弦的中点的横坐标为

1

2

，求此椭圆的方程；

题型三.焦点三角形问题

例1.已知椭圆

22

11625

x y +=上一点P 的纵坐标为53，椭圆的上下两个焦点分别为2F 、1F ，求1PF 、2PF 及12cos F PF ∠；

题型四.椭圆的几何性质

例1.已知P 是椭圆22

221x y a b

+=上的点，的纵坐标为53，1F 、2F 分别为椭圆的两个焦点，

椭圆的半焦距为c ，则12PF PF 的最大值与最小值之差为

例2.椭圆22

221x y a b

+=(0)a b >>的四个顶点为,,,A B C D ，若四边形ABCD 的内切圆恰

好过焦点，则椭圆的离心率为 ；

例3.若椭圆

22

114

x y k +=+的离心率为12，则k = ； 例4.若P 为椭圆22221(0)x y a b a b

+=>>上一点，1F 、2F 为其两个焦点，且0

1215PF F ∠=，

02175PF F ∠=，则椭圆的离心率为

题型五.求范围

例1.方程22

22

1(1)

x y m m +=-表示准线平行于x 轴的椭圆，求实数m 的取值范围；

题型六.椭圆的第二定义的应用

例1. 方程2x y =++所表示的曲线是 例2.求经过点(1,2)M ，以y 轴为准线，离心率为

1

2

的椭圆的左顶点的轨迹方程； 例3.椭圆

22

1259

x y +=上有一点P ，它到左准线的距离等于52，那么P 到右焦点的距离为

例4．已知椭圆13

42

2=+y x ，能否在此椭圆位于y 轴左侧的部分上找到一点M ，使它到左准线的距离为它到两焦点12,F F 距离的等比中项，若能找到，求出该点的坐标，若不能找到，请说明理由。

例5．已知椭圆15

92

2=+y x 内有一点)1,1(A ，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点．求22

3

PF PA +的最小值及对应的点P 的坐标．

题型七.求离心率

例1. 椭圆22

221x y a b +=(0)a b >>的左焦点为1(,0)F c -，(,0)A a -，(0,)B b 是两个顶点，

如果

1F 到直线

AB e = 例2.若P 为椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>上一点，1F 、2F 为其两个焦点，且12PF F α∠=，

212PF F α∠=，则椭圆的离心率为

例 3. 1F 、2F 为椭圆的两个焦点，过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点，1PF PQ ⊥，且

1PF PQ =，则椭圆的离心率为 ；

题型八.椭圆参数方程的应用

例1. 椭圆22

143

x y +=上的点P 到直线270x y -+=的距离最大时，点P 的坐标

例2.方程22

sin cos 1x y αα-=(0απ<<)表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围；

题型九.直线与椭圆的关系 （1）直线与椭圆的位置关系

例1. 当m 为何值时，直线:l y x m =+与椭圆2

2

916144x y +=相切、相交、相离？

例2.曲线22222x y a +=（0a >）与连结(1,1)A -，(2,3)B 的线段没有公共点，求a 的取值范围。

例3.过点)0 ,3(-P OAB ?分析：的斜率一定要存在，3-=my x 了运算。

解：设11(,),(A x y B )(3|)||(|3||||2

1

||||21212121y y y y y OP y OP S AOB -=+=?+?=

? 把3-=my x 代入椭圆方程得：0124)332(3222=-++-y my y m ，即

0336)43(22=--+my y m ，4

336221+=

+m m

y y ，43322

1+-=m y y 48144431

4312)43(108||22

222221++=+++=-x m m m m y y 3)13(1

33443133443394222222+++?=++?=++=m m m m m m 23

23

41

33133422=≤

++

+=

m m m

∴3223=?≤

S ，此时1

331322+=

+m m 36

±=m

令直线的倾角为α，则tan

2α==± 即OAB ?面积的最大值为3，此时直线倾斜角的正切值为2

6

±

。 例 4.求直线cos sin 2x y θθ+=和椭圆2236x y +=有公共点时，θ的取值范围

(0)θπ≤≤。

（二）弦长问题

例1.已知椭圆22212x y +=，A 是x 轴正方向上的一定点，若过点A ，斜率为1的直线被

椭圆截得的弦长为

3

13

4，求点A 的坐标。 分析：若直线y kx b =+与圆锥曲线(,)0f x y =相交于两点11(,)P x y 、22(,)Q x y ， 则弦PQ 的长度的计算公式为||1

1||1||212

212

y y k x x k PQ -+=-+=， 而21221214)(||x x x x x x -+=

-，因此只要把直线y kx b =+的方程代入圆锥曲线

(,)0f x y =方程，消去y （或x ），结合一元二次方程根与系数的关系即可求出弦长。

解：设0(,0)A x （00x >），则直线l 的方程为0y x x =-，设直线l 与椭圆相交于11(,)P x y 、

22(,)Q x y ，由0

2

2

212

y x x x y =-??+=?，可得2200342120x x x x -+-=， 34021x x x =+，3

12

22

021-=?x x x ，则

2

02

020212

21212363

234889164)(||x x x x x x x x x -=--=-+=-

∴

||13

144212x x x -?+=，即2

023********x -??= ∴2

04x =，又00x >，∴02x =，∴(2,0)A ；

例2.椭圆221ax by +=与直线1x y +=相交于,A B 两点，C 是AB 的中点，

若22||=AB ，O 为坐标原点，OC 的斜率为2

2

，求,a b 的值。

例 3.椭圆

120

452

2=+y x 的焦点分别是1F 和2F ，过中心O 作直线与椭圆交于,A B 两点，若2ABF ?的面积是20，求直线方程。

（三）弦所在直线方程

例1.已知椭圆22

1164

x y +=，过点(2,0)P 能否作直线l 与椭圆相交所成弦的中点恰好是P ；

例2.已知一直线与椭圆2

2

4936x y +=相交于,A B 两点，弦AB 的中点坐标为(1,1)M ，求直线AB 的方程；

例3. 椭圆E 中心在原点O ，焦点在x 轴上，其离心率3

2

=e ,过点(1,0)C -的直线l 与椭圆E 相交于,A B 两点，且C 分有向线段AB 的比为

（1）用直线l 的斜率(0)k k ≠表示OAB ?的面积； （2）当OAB ?的面积最大时，求椭圆E 的方程．

解：（1）设椭圆E 的方程为12222=+b y a x ，由c e a ==a 2=3b 2

故椭圆方程22233x y b +=；

设1122(,),(,)A x y B x y ，由于点(1,0)C -分有向线段AB 的比为2．

∴???????=+-=+0

3

213

2212

1y y x x ，即???-=+-=+21212)1(21y y x x

由???+==+)

1(33222x k y b y x 消去y 整理并化简得(3k 2+1)x 2+6k 2x+3k 2－3b 2=0 由直线l 与椭圆E 相交于1122(,),(,)A x y B x y

两点

???

?

?

?

???

+-=

+-=+>-+-=13331360)23)(13(436222212

2212224k b k x x k k x x b k k k Δ 而122222211333

|||2||||(1)||||1|22222

OAB S y y y y y k x k x ?=

-=--==+=+ ⑥ 由①④得:222131x k +=-+，代入⑥得：2

3||

(0)31

OAB k S k k ?=≠+. （2

）因2

3||313123||||

OAB k S k k k ?=

=≤=++, 当且仅当,3

3

±

=k OAB S ?取得最大值． 此时121x x +=-，又∵12

213

x x +=-，∴121,2x x =-=-； 将12,x x 及2

13

k =

代入⑤得3b 2=5，∴椭圆方程22

35x y +=． 例4.已知11022(,),(1,),(,)A x y B y C x y 是椭圆22

143

x y +=上的三点，F 为椭圆的左焦点，且,,AF BF CF 成等差数列，则AC 的垂直平分线是否过定点？请证明你的结论。

③

④ ⑤

（四）关于直线对称问题

例 1.已知椭圆22

143x y +=，试确定m 的取值范围，使得椭圆上有两个不同的点关于直线4y x m =+对称；

例2.已知中心在原点，焦点在y 轴上，长轴长等于6，离心率3

2

2=e ，试问是否存在直线l ，使l 与椭圆交于不同两点,A B ，且线段AB 恰被直线2

1

-=x 平分？若存在，求出直线l 倾斜角的取值范围；若不存在，请说明理由。

题型十.最值问题 例1．

若(2,P -，2F 为椭圆116

252

2=+y x

的最大值和最小值。

分析：欲求2MP MF +的最大值和最小值 可转化为距离差再求。由此想到椭圆第一定义

212MF a MF =-, 1F 为椭圆的左焦点。

解：212MP MF MP a MF +=+-，连接1PF ，延长1PF 交椭圆于点M 1,延长1F P 交椭圆于点2M 由三角形三边关系知111

PF MP MF PF -≤-≤

当且仅当M 与1M 重合时取右等号、M 与2M 重合时取左等号。

因为1210,2a PF ==，所以2max ()12MP MF +=, 2min ()8MP MF +=；

结论1：设椭圆12222=+b

y a x 的左右焦点分别为12,F F ,00(,)P x y 为椭圆内一点，(,)M x y 为

椭圆上任意一点，则2MP MF +的最大值为12a PF +,最小值为12a PF -；

例2．(2,6)P -,2F 为椭圆

116

252

2=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上移动，求2MP MF +的最大值和最小值。

分析：点P 在椭圆外，2PF 交椭圆于M ，此点使2MP MF +值最小，求最大值方法同例1。

解：212MP MF MP a MF +=+-，连接1PF

并延长交椭圆于点M 1， 则M 在M 1处时1MP MF -取最大值1PF ； ∴2MP MF +最大值是10+37，最小值是41。

结论2设椭圆122

22=+b

y a x 的左右焦点分别为12,F F ，00(,)P x y 为椭圆外一点，(,)M x y 为

椭圆上任意一点，则2MP MF +的最大值为12a PF +，最小值为2PF ; 2.二次函数法

例3．求定点(,0)A a 到椭圆122

22=+b

y a x 上的点之间的最短距离。

分析：在椭圆上任取一点，由两点间距离公式表示PA ，转化为,x y 的函数求最小值。 解：设(,)P x y 为椭圆上任意一点，

2

22222211

()()1(2)122

PA x a y x a x x a a =-+=-+-

=-+-

由椭圆方程知x 的取值范围是[

（1）若a ≤

，则2x a =时，min PA =

（2）若2

a >

,则x =min PA a =

（3）若2

a <-

,则min PA a = 结论3：椭圆122

22=+b

y a x 上的点(,)M x y 到定点A(m,0)或B(0,n)距离的最值问题，可以用

两点间距离公式表示︱MA ︱或︱MB ︱，通过动点在椭圆上消去y 或x,转化为二次函数求最值，注意自变量的取值范围。 3.三角函数法

例4．求椭圆14

2

22=+y x 上的点(,)M x y 到直线:24l x y +=的距离的最值；

解：三角换元d =

∵142

22=+y x ∴令()R y x ∈???==θθθsin cos 2

则)24

d π

θ=

=+-

当sin()14

π

θ+

=时min d =

；当sin()14πθ+=-时,max d =

结论4：若椭圆122

22=+b

y a x 上的点到非坐标轴上的定点的距离求最值时,可通过椭圆的参数

方程，统一变量转化为三角函数求最值。

4.判别式法

例4的解决还可以用下面方法

把直线平移使其与椭圆相切，有两种状态，一种可求最小值，另一种求最大值。

解。令直线:20m x y c ++=将2x y c =--代入椭圆方程整理得228440y cy c ++-=，

由△=0解得c =±, c =-时直线:20m x y +-=与椭圆切于点P ， 则P 到直线l 的距离为最小值，且最小值就是两平行直线m 与l 的距离，

所以min d =

；

c =:20m x y ++=与椭圆切于点Q ，则Q 到直线l 的距离为最大值，且

最大值就是两平行直线m 与l 的距离，所以max d =

结论5：椭圆上的点到定直线l 距离的最值问题,可转化为与l 平行的直线m 与椭圆相切的问题,利用判别式求出直线m 方程，再利用平行线间的距离公式求出最值。

例5.已知定点(A -，点F 为椭圆

22

11612

x y +=的右焦点，点M 在该椭圆上移动时，求2AM MF +的最小值，并求此时点M 的坐标；（第二定义的应用）

例3．已知1F 、2F 分别为椭圆22

110064x y +=的左、右焦点，椭圆内一点M 的坐标为(2,6)-，P 为椭圆上的一个动点，试分别求：

（1）25

3

PM PF +的最小值； （2）2PM PF +的取值范围． 解：（1）

44

3

，此时点P 为过点M 且垂直于l 的线段与椭圆的交点； （2）由椭圆的定义知1220PF PF +=，故2120PM PF PM PF +=+-， ①1110PM PF MF -≤=，故230PM PF +≤

（当且仅当P 为有向线段1MF 的延长线与椭圆的交点时取“=”）； ②1110PF PM MF -≤=，故2120()10PM PF PF PM +=--≥; （当且仅当P 为有向线段1MF 的反向延长线与椭圆的交点时取“=”） 综上可知，2PM PF +的取值范围为[10,30]; 题型十一.轨迹问题

例1．到两定点(2,1)，(2,2)--的距离之和为定值5的点的轨迹是 ( )

．椭圆 Ｂ．双曲线

Ｃ．直线 Ｄ．线段

例2．已知点(3,0)A ，点P 在圆2

2

1x y +=的上半圆周上(即y ＞0)，∠AOP 的平分线交PA 于Q ，求点Q 的轨迹方程。

例3.已知圆2

2

:(3)100C x y -+=及点(3,0)A -，P 是圆C 上任一点，线段PA 的垂直平分线l 与PC 相交于Q 点，求Q 点的轨迹方程。

题型十二.椭圆与数形结合

例1．关于x 20kx k +=有两个不相等的实数解，求实数k 的取值范围.

例2．求函数μ=