高中数学椭圆题型完美归纳(经典)

椭圆题型归纳

一、知识总结

1.椭圆的定义：把平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做焦点，两焦点的距离叫做焦距(设为2c ) .

2.椭圆的标准方程：

12222=+b y a x （a ＞b ＞0） 122

22=+b

x a y （a ＞b ＞0）

焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形，

可设方程为221(0,0)mx ny m n +=>>不必考虑焦点位置，求出方程。 3.范围. 椭圆位于直线x ＝±a 和y ＝±b 围成的矩形里．|x|≤a ，|y|≤b ． 4.椭圆的对称性

椭圆是关于y 轴、x 轴、原点都是对称的．坐标轴是椭圆的对称轴． 原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心． 5.顶点

椭圆有四个顶点：A 1(－a , 0)、A 2(a , 0)、B 1(0, －b )、B 2(0, b )． 线段A 1A 2、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴.。 长轴的长等于2a . 短轴的长等于2b .

|B 1F 1|＝|B 1F 2|＝|B 2F 1|＝|B 2F 2|＝a ．

在Rt △OB 2F 2中，|OF 2|2＝|B 2F 2|2－|OB 2|2，即c 2＝a 2－b 2．

6.离心率

7.椭圆22

221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点

12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan

2

F PF S b γ

?=.

8.椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式10||MF a ex =+,20

||MF a ex =-(1(,0)F c - ,2(,0)F c 00(,)M x y ).

9.AB 是椭圆22

221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则

2

2

OM AB

b k k a

?=-，即0

2

02y a x b K AB

-=。

)10(<<=

e a

c

e

定义及其应用

例1.已知一个动圆与圆22:(4)100C x y ++=相内切，且过点(4,0)A ，求这个动圆圆心M 的轨迹方程；

例 2.1m =+表示椭圆，则m 的取值范围是

例3.过椭圆22941x y +=的一个焦点1F 的直线与椭圆相交于,A B 两点，则,A B 两点与椭圆的另一个焦点2F 构成的2ABF ?的周长等于 ；

例4.设圆22(1)25x y ++=的圆心为C ，(1,0)A 是圆内一定点，Q 为圆周上任意一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则点M 的轨迹方程为 ；

椭圆的方程

例1.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点(3,0)P ，求椭圆的方程；

例 2.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点1P 、

2(P ，求椭圆的方程；

例3.求经过点(2,3)-且与椭圆229436x y +=有共同焦点的椭圆方程；

注：与椭圆22

221x y a b

+=共焦点的椭圆可设其方程为2222

21()x y k b a k b k +=>-++； 例 1.在ABC ?中，,,A B C 所对的三边分别为,,a b c ，且(1,0),(1,0)B C -，求满足

b a

c >>且,,b a c 成等差数列时顶点A 的轨迹；

例2.已知x 轴上一定点(1,0)A ，Q 为椭圆2

214

x y +=上任一点，求AQ 的中点M 的

轨迹方程；

例3.设动直线l 垂直于x 轴，且与椭圆2224x y +=交于,A B 两点，点P 是直线l 上满足1PA PB =的点，求点P 的轨迹方程；

例4.中心在原点，一焦点为F 的椭圆被直线32y x =-截得的弦的中点的横

坐标为1

2

，求此椭圆的方程；

焦点三角形问题

例1. 已知椭圆2211625x y +=上一点P 的纵坐标为5

3

，椭圆的上下两个焦点分别为2F 、

1F ，求1PF 、2PF 及12cos F PF ∠；

椭圆的几何性质

例1.已知P 是椭圆22221x y a b +=上的点，的纵坐标为5

3

，1F 、2F 分别为椭圆的两个

焦点，椭圆的半焦距为c ，则12PF PF 的最大值与最小值之差为

例2.椭圆22

221x y a b

+=(0)a b >>的四个顶点为,,,A B C D ，若四边形ABCD 的内切圆

恰好过焦点，则椭圆的离心率为 ；

例3.若椭圆

22114x y k +=+的离心率为1

2

，则k = ； 例 4.若P 为椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>上一点，1F 、2F 为其两个焦点，且

01215PF F ∠=，02175PF F ∠=，则椭圆的离心率为

例1.方程22

22

1(1)x y m m +

=-表示准线平行于x 轴的椭圆，求实数m 的取值范围；

椭圆的第二定义的应用

例1. 方程2x y =++所表示的曲线是 例2.求经过点(1,2)M ，以y 轴为准线，离心率为

1

2

的椭圆的左顶点的轨迹方程； 例 3.椭圆221259x y +

=上有一点P ，它到左准线的距离等于5

2

，那么P 到右焦点的距离为

例4．已知椭圆13

42

2=+y x ，能否在此椭圆位于y 轴左侧的部分上找到一点M ，使它到左准线的距离为它到两焦点12,F F 距离的等比中项，若能找到，求出该点的坐标，若不能找到，请说明理由。

例5．已知椭圆15

92

2=+

y x 内有一点)1,1(A ，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点．求22

3

PF PA +的最小值及对应的点P 的坐标．

求离心率

例1. 椭圆22

221x y a b

+=(0)a b >>的左焦点为1(,0)F c -，(,0)A a -，(0,)B b 是两个顶

点，如果

1F 到直线AB ，则椭圆的离心率e = 例2.若P 为椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>上一点，1F 、2F 为其两个焦点，且12PF F α∠=，

212PF F α∠=，则椭圆的离心率为

例3. 1F 、2F 为椭圆的两个焦点，过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点，1PF PQ ⊥，且

1PF PQ =，则椭圆的离心率为 ；

例1.椭圆22

143

x y +

=上的点P 到直线270x y -+=的距离最大时，点P 的坐标 例 2.方程22sin cos 1x y αα-=(0απ<<)表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围；

（1）直线与椭圆的位置关系

例1. 当m 为何值时，直线:l y x m =+与椭圆22916144x y +=相切、相交、相离？

例2.曲线22222x y a +=（0a >）与连结(1,1)A -，(2,3)B 的线段没有公共点，求a 的取值范围。

例3.过点)0 ,3(-P 作直线l

求OAB ?

例4.求直线cos sin 2x y θθ+=和椭圆2236x y +=有公共点时，θ的取值范围

(0)θπ≤≤。

（二）弦长问题

例1.已知椭圆22212x y +=，A 是x 轴正方向上的一定点，若过点A ，斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为3

13

4，求点A 的坐标。

例2.椭圆221ax by +=与直线1x y +=相交于,A B 两点，C 是AB 的中点， 若22||=AB ，O 为坐标原点，OC 的斜率为2

2

，求,a b 的值。

例3.椭圆120

452

2=+y x 的焦点分别是1F 和2F ，过中心O 作直线与椭圆交于,A B 两点，

若2ABF ?的面积是20，求直线方程。

（三）弦所在直线方程

例1.已知椭圆22

1164

x y +

=，过点(2,0)P 能否作直线l 与椭圆相交所成弦的中点恰好是P ；

例2. 椭圆E 中心在原点O ，焦点在x 轴上，其离心率3

2

=

e ,过点(1,0)C -的直线l 与椭圆E 相交于,A B 两点，且C 分有向线段AB 的比为2. （1）用直线l 的斜率(0)k k ≠表示OAB ?的面积；

（2）当OAB ?的面积最大时，求椭圆E 的方程．

例 4.已知11022(,),(1,),(,)A x y B y C x y 是椭圆22

143

x y +

=上的三点，F 为椭圆的左焦点，且,,AF BF CF 成等差数列，则AC 的垂直平分线是否过定点？请证明你的结论。

（四）关于直线对称问题

例 1.已知椭圆22

143

x y +

=，试确定m 的取值范围，使得椭圆上有两个不同的点关于直线4y x m =+对称；

例2.已知中心在原点，焦点在y 轴上，长轴长等于6，离心率3

2

2=

e ，试问是否存在直线l ，使l 与椭圆交于不同两点,A B ，且线段AB 恰被直线2

1

-=x 平分？若存在，求出直线l 倾斜角的取值范围；若不存在，请说明理由。

考点十.最值问题

例1．若(2,3)P -，2F 为椭圆

116

252

2=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上移动，求2MP MF +的最大值和最小值。 分析：欲求2MP MF +的最大值和最小值 可转化为距离差再求。由此想到椭圆第一定义

212MF a MF =-, 1F 为椭圆的左焦点。

例2．(2,6)P -,2F 为椭圆116

252

2=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上移动，求2MP MF +的最大值和最小值。

F 2

F 1

M 1

M 2

o

例3．求定点(,0)A a 到椭圆122

22=+b

y a x 上的点之间的最短距离。

3.三角函数法

例4．求椭圆14

222

=+y x 上的点(,)M x y 到直线:24l x y +=的距离的最值；

4.判别式法

把直线平移使其与椭圆相切，有两种状态，一种可求最小值，另一种求最大值。

例5.已知定点(A -，点F 为椭圆22

11612

x y +

=的右焦点，点M 在该椭圆上移动时，求2AM MF +的最小值，并求此时点M 的坐标；（第二定义的应用）

例6．已知1F 、2F 分别为椭圆

22

110064x y +=的左、右焦点，椭圆内一点M 的坐标为(2,6)-，P 为椭圆上的一个动点，试分别求：

（1）25

3

PM PF +的最小值； （2）2PM PF +的取值范围．

考点十一. 轨迹问题

例1．到两定点(2,1)，(2,2)--的距离之和为定值5的点的轨迹是 ( ) A ．椭圆 Ｂ．双曲线

Ｃ．直线

Ｄ．线段

例2．已知点(3,0)A ，点P 在圆221x y +=的上半圆周上(即y ＞0)，∠AOP 的平分线交PA 于Q ，求点Q 的轨迹方程。

例3.已知圆22:(3)100C x y -+=及点(3,0)A -，P 是圆C 上任一点，线段PA 的垂直平分线l 与PC 相交于Q 点，求Q 点的轨迹方程。

题型十二.椭圆与数形结合

例1． 关于x 22220x kx k -+=有两个不相等的实数解，求实数k 的取值

范围.

仰望天空时，什么都比你高，你会自卑;

俯视大地时，什么都比你低，你会自负;

只有放宽视野，把天空和大地尽收眼底，

才能在苍穹泛土之间找准你真正的位置。

无须自卑，不要自负，坚持自信。

用心工作，快乐生活！（工作好，才有好的生活！）

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