小学奥数 1-3-2 多位数计算.教师版
多位数的运算在奥数计算体系里面一般都扮演难题角色,因为多位数计算不仅能体现普通数字四则运算的一切考法,还有自身的“独门秘籍”,那就是“数字多的数不出来”,只能依靠观察数字结构发现数
字规律的方式掌握多位数的整体结构,然后再确定方法进行解题。
多位数的主要考查方式有
1.用带省略号的描述方式进行多位数的具体值四则计算
2.计算多位数的各个位数字之和
一、 多位数运算求精确值的常见方法
1. 利用9
999
9101k k =-个,进行变形
2. “以退为进”法找规律递推求解
二、 多位数运算求数字之和的常见方法
M ×k 9
999...9个的数字和为9×k .(其中M 为自然数,且
M ≤k 9
999...9个).可以利用上面性质较快的获得结
果.
模块一、多位数求精确值运算
【例 1】 计算:200720073
555333???????个5
个
【考点】多位数计算之求精确值 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 这道题目,你会发现无规律可循.这时我们就要从找规律这个思想里走出来,将 20073
333???个乘以3凑
出一个20073
999???个,然后在原式乘以3的基础上除以3,所以
原式20075
20079
5559993=???????÷个个20075
20070
5550003=????
???÷个个(1-1)20075
20070
20075
5550005553=?????????÷个个个(-) 20074
20065
55544453=??????÷个个668185
668148
185185184814814815=??????个个
【答案】668185
668148
185185184814814815??????个个
知识点拨
教学目标
例题精讲
多位数计算
【巩固】 计算:20078
20073
888333???????个个
【考点】多位数计算之求精确值 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 这道题目,你会发现无规律可循.这时我们就要从找规律这个思想里走出来,将 20073
333???个乘以3凑
出一个20079
999???个,然后在原式乘以3的基础上除以3,所以
原式20078
20079
8889993=???????÷个个20078
20070
8880003=???????÷个个(1-1)20078
20070
20078
8880008883=?????????÷个个个(-)
20061
20068
888711123=??????÷个个668296
668037
296296295703703704=??????个个
【答案】668296
668037
296296295703703704??????个个
【巩固】 计算20043
333
359049?个
【考点】多位数计算之求精确值 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 我们可以把20043
3333个转化为2004999
93÷个9
,进而可以进行下一步变形,具体为: 原式20043
333359049=?=个20042004999
9359049999
919683÷?=?个9个9
20040
20040
19999
(1000
01)196831968300...0196831968299...9980317=-?=-=个个个
【答案】19999
1968299...9980317个
【巩固】 计算200420083
666
69333...3??个6
个的乘积是多少?
【考点】多位数计算之求精确值 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 我们可以将原题的多位数进行9
999
9101k k =-个的变形:
原式=20043
3333个20082333333????个3
=20043
3333个200823999
9???个9
=2003199998?个9(20081000
01-个0
)=2003199998个9×20081000
0个0
-20031999
98个9
=20039
20030
1999
979998000
02个个.
【答案】20039
20030
1999
979998000
02个个
【巩固】 快来自己动手算算
20071
20079
20079
20077
111999999777???????+???????÷个个个个()3的结果看谁算得准? 【考点】多位数计算之求精确值 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 本题是提取公因数和凑整的综合。
原式20071
20079
20077
999(111777)]???????+???÷个个个=[320079
20078
999888???????÷个个= 3 20070
20078
0001)888???-????÷个个=(13
200720070
20078
888000888)??????-???÷个8
个个=(320061
20068
88871112??????÷个个=3668296
668037
296296295703703704=??????个个
【答案】668296
668037
296296295703703704??????个个
【巩固】 计算20089
20088
20086
999888666???????÷???个个个
【考点】多位数计算之求精确值 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 本题着重是给大家一种凑的思想,除数是20086
666???个,所以需要我们的被除数也能凑出20086
666???个
这就需要我们根据乘法的性质来计算了。所以: 原式20082
20083
20086
33334222666=?????????÷???个个个20081
20086
20086
34111666666=?????????÷???个个个
20084
3444=????个200713332=个3
【答案】200713332个3
【例 2】 请你计算200892008920089
99
9999199
9?+个个个结果的末尾有多少个连续的零?
【考点】多位数计算之求精确值 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 同学们观察会发现,两个乘数都非常大,不便直接相乘,可以引导学生按照两种思路给学生展开
方法一:是学生喜欢的从简单情况找规律
9×9=81;99×99=9801 ;999×999=998001;9999×9999=99980001;…… 所以:20089
20089
999999?个个20079
200799980001=个个0
原式2007920072008999
980001+1999=个个0个40160
100
0=个
方法二:观察一下你会发现,两个乘数都非常大,不便直接相乘,其中 999 很接近 1 000
,
于是我们采用添项凑整,简化运算。 原式20080
20089
20080
20089
100019991000999-?++个个个个=(
)20089
20080
20089
20080
20089
9990009991000999=??????-???+???+???个个个个个 2008
9
2008
20
9990001000=??????+???个个个
4016
100=
???个 所以末尾有4016个0
【答案】4016个0
【例 3】 计算19982
19982
22222222?个个的积
【考点】多位数计算之求精确值 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 我们先还是同上例来凑成k 9
999
9个;
199821998222222222?个个=19982199892999922229???? ? ???个个=19982
19980
210000122229?
??-? ? ???个个 =1998419980110000144449???-? ? ???个个=199841998419980
14444000044449?
??- ? ???个个个 =1997419975
1
44443555569?个个、 我们知道94
444
4个能被9整除,商为:049382716.又知1997个4,9个数一组,共221组,还
剩下8个4,则这样数字和为8×4=32,加上后面的3,则数字和为35,于是再加上2个5,数字
和为45,可以被9整除.84444355个4
能被9整除,商为04938271595;我们知道55559个5
能被9
整除,商为:061728395;这样9个数一组,共221组,剩下的1995个5还剩下6个5,而6个5和1个、6,数字和36,可以被9整除.555566个5
能被9整除,商为0617284.于是,最终
的商为:
220049382716
221061728395
49382716049382716
049382716049382715950617283950617283950617284个个 【答案】220049382716221061728395
49382716049382716
04938271604938271595061728395
0617283950617284个个
【例 4】 计算:12345679
12345679012345679
01234567981?99个0
【考点】多位数计算之求精确值 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 原式000000001
12345679100000000100000000181=??99个
000000001
9999999991000000001000000001=?99个
999999999
999999999
999999999=100个
【答案】999999999
999999999999999999100个
【巩固】 1234567901234567981?
【考点】多位数计算之求精确值 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】武汉,明心奥数
【解析】 原式(12345679100000000012345679)81=?+?
12345679100000000181=?? 9999999991000000001=?
189
99
9=个
【答案】189
99
9个
【例 5】 求20073
333333...33...3++++个的末三位数字.
【考点】多位数计算之求精确值 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 原式的末三位和每个数字的末三位有关系,有2007个3,2006个30,2005个300 ,
则200732006302005300602160180601500667701?+?+?=++=,原式末三位数字为701
【答案】701
模块二、多位数求数字之和
【例 6】 求33333336666666?乘积的各位数字之和.
【考点】多位数计算之求数字和 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 方法一:本题可用找规律方法:
3×6=18 ; 33 × 66 =2178 ;333 × 666 =221778;3333 × 6666 =22217778;…… 所以:3
6
33....366....6?n 个n 个27
22...2177...78=(n-1)个(n-1)个,则原式数字之和26176863?++?+=
原式99999992222222=?
(100000001)2222222=-?
222222200000002222222=- 22222217777778=
所以,各位数字之和为7963?=
【答案】63
【巩固】 求111 111 × 999 999 乘积的各位数字之和。
【考点】多位数计算之求数字和 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 观察可以发现,两个乘数都非常大,不便直接相乘,其中 999 999 很接近 1 000 000, 于是我们
采用添项凑整,简化运算。
原式=111111×(1000000-1)
=111111×1000000-111111×1 =111111000000-111111 =111110888889 数字之和为9654?=
【答案】54
【例 7】 如果20103
333333333A =++++个,那么A 的各位数字之和等于
。
【考点】多位数计算之求数字和 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】学而思杯,5年级 【解析】
20103
103033033303330A =++++个,所以
2010332010933
3033333
327300A =---
-=个2006个次
,3
668370
33
3273009370370
370369700A =÷=2006个个,数字和为
66810256705?+=.
【答案】6705
【例 8】 若100415
20083
1515153333a =?个个,则整数a 的所有数位上的数字和等于( ).
(A )18063 (B )18072 (C )18079 (D )18054
【考点】多位数计算之求数字和 【难度】3星 【题型】选择 【关键词】第十三届,华杯赛 【解析】
100415
200831515153333a =?个个1004510032008950505059999=?个和个0个1004510030
20080
505050510000
01=?-个和个个()
100450
20070
1004510030
505050
500000
05050505=-个个个和个100350
100449
505050
50494949
495=个个
所以整数a 的所有数位上的数字和100351004(49)518072=?+?++=.
【答案】(B )18072
【巩固】 计算666
6666
6725??2004个6
2003个6
的乘积数字和是多少?
【考点】多位数计算之求数字和 【难度】4星 【题型】计算 【解析】 我们还是利用999
91000
01=-k 个9
k 个0
,来简便计算,但是不同于上式的是不易得出凑成999
9k 个9
,
于是我们就创造条件使用:
66662004个6
6666725??2003个6
20042[99993=?个9×20042(99991)]253?+?个9=[23×(100001-2004个0)]×[2
3×(100002004个0
)+1]×25 =13×13×[2×100002004个0-2]×[2×(100002004个0)+1]×25=25
9×[4×100004008个0-2×100002004个0-2] =
1009×99994008个9-50
9×20049999个9
=100×40081111个1-50×20041111个1
=40081
20045111100555
50-个个=1
20045
11110555
502004个个
所以原式的乘积为1
20045
11110555
502004个个,那么原式乘积的数字和为1×2004+5×2004=12024.
【答案】12024
【例 9】 试求1993×123×999999乘积的数字和为多少?
【考点】多位数计算之求数字和 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 我们可以先求出1993×123的乘积,再计算与(1000000—1)的乘积,但是1993×123还是有点
繁琐.
设1993×123=M ,则(1000×123=)123000 且末位不是0;令M =abcdef 则M ×999999=M ×(1000000-1)=1000000M -M =000000abcdef -abcdef =()1999999abcdef f -+1-abcdef =()()()()()()()1999999abcdef f a b c d e f -------+1 =()()()()()()()19999991abcdef f a b c d e f -------+ 那么这个数的数字和为:a +b +c +d +e +(f -1)+(9-a )+(9-b )+(9-c )+(9-d )+(9-e )+(9-f +1)=9×6=54.所以原式的计算结果的数字和为54. 【答案】54 【巩固】 下面是两个1989位整数相乘:19891 19891 111...11111...11?个个。那么乘积的各位数字之和是多少? 【考点】多位数计算之求数字和 【难度】4星 【题型】计算 【解析】 解法一: 在算式中乘以9,再除以9,则结果不变.因为19891 111...11个能被9整除,所以将一个19891 111...11个乘以9, 另一个除以9,使原算式变成: 19899 1988999......99123456790......012345679?个共位数 =19890 19881000......001123456790......012345679-?个共位数 () =198819890 1988123456790......012345679000......00123456790......012345679-共位数 个共位数 =19881980123456790......012345679123456789876543209......987654320987654321共位数 共位数 得到的结果中有1980÷9=220个“123456790”和“987654320”及一个“12345678”和一个“987654321”,所以各位数之和为: 1234567922098765432220+++++++?++++++++?()() +1234567898765432117901++++++++++++++++=()() 解法二: 198911989119891989119891 111...11111...11999...99111...11999...999N ?=??=?个个个9个个9,其中N <1989999...99个9 所以19891 19891 111...11111...11?个个的各个位数字之和为:9×1989=17901 【答案】17901 【巩固】 试求9 9 9 9999999 (999) 9999 9999 9??????256个512个1024个乘积的数字和为多少? 【考点】多位数计算之求数字和 【难度】4星 【题型】计算 【解析】 设9 9 9999999 (999) 9999 9M ?????=256个512个 则原式表示为9 999 9M ?1024个。 注意到9×99×9999×99999999×…×9 999 9256个×9 999 9512个=M , 则M <10×100×100013×100000000×…×2560 1000 0个×0 1000 0512个=0 1000 0k 个 其中k =1+2+4+8+16+…+512=1024-l =1023 即M <0 100001023个,即M 最多为1023位数,所以满足的使用条件,那么M 与9 999 91024个乘积的数字 和为1024×9=10240—1024=9216.原式的乘积数字和为9216. 【答案】9216 【例 10】 计算:670789 9 78978929999?个2009个结果的各位数字之和是 【考点】多位数计算之求数字和 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 原式6707890789 789300001?? =?- ? ??? 个2009个 669 9360 67066993 669 102 236936936700 00 789 789 23693 69359102 10211 =-=个2009个个个6 个 各位数字之和是236691859669311++?+++?++=6702114070?= 【答案】14070 模块三、多位数运算中的公因式 【例 11】 (1)20082008 20092009 20082009 20092008 200820082008200920092009200920092009200820082008?-?个个个个 (2)20092009 20084100 20092009200941004100410041÷个个 【考点】多位数计算之提取公因式 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 ⑴原式 200720080001 200720080001 2008100010001 00012009100010001 00012009100010001 00012008100010001 0001=???-???个0001 个个0001 个 0= ⑵原式20080001 20094100 20091000100010001410041004100100=?÷÷个个(()) 20080001 20080001 10001000100012009100010001 0001?=?÷个个((41)) 200941=÷ 49= 【答案】⑴0 ⑵49 【巩固】 计算(1)2009200920092008200820082008200820092009?-? (2)20072007200722302230223÷ 【考点】多位数计算之提取公因式 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 (1)原式2009100010002008100012008100010001200910001=???-???0= (2)原式(2007100010001)(223100010001)=?÷?20072239=÷= 【答案】(1)0 (2)9 【巩固】 计算:333332332333332333333332?-? 【考点】多位数计算之提取公因式 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】我爱数学夏令营 【解析】 原式333(3323323321)332(3333333331)=?+-?- 333(33210010011)332(33310010011)=??+-??- 333332=+ 665= 【答案】665 【巩固】 计算:2008511 2008512 512511511511512511512512 512511?-?个个 【考点】多位数计算之提取公因式 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 原式2009511 2009512 5125115115111511(5125125121)=?+?-个个()- 2008001 2008001 5125111001001 0015125115121001001 001511=??+-??+个个 512511=+1023= 【答案】1023 【巩固】 计 算 : ( 1998+19981998+199819981998+… 19981998 个199819981998 )÷ (1999+19991999+199919991999… 19981999 个199919991999)×1999 【考点】多位数计算之提取公因式 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 19981998 个199819981998=1998×19981001 个100110011001 原式=1998(1+10001+100010001+… 19981001 个100110011001 )÷[1999× (1+10001+100010001+ (19981001) 个100110011001)]×1999=1998÷1999×1999=1998. 【答案】1998 【巩固】 计算:5555566666744445666666155555?+?- 【考点】多位数计算之提取公因式 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】小学奥林匹克 【解析】 原式555556666665555544445666666155555=?++?- (5555544445)666666100000=+?- 66666500000= 【答案】66666500000 【例 12】 计算:341344134441344444444134444444441 2389275277527775277777777527777777775 +?+?++?+?= 。 【考点】多位数计算之提取公因式 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】学而思杯,6年级 【解析】 341311131275251125?==?,3441311113127752511125?==?,3444131111131 2777525111125 ?== ?,, 34444444441311111111111312777777777525111111111125?== ?,即这9个数都等于31 25 , 原式31(1239)25=?++++279 5 = 【答案】279 5 第六讲平均数问题教案 教学目标: 1:认识什么是算数平均数、加权平均数、调和平均数和基准数平均数。 2:学会解决平均数问题的方法,理解平均数的意义。 教学重点:如何解决复杂平均数问题,弄清楚总数、份数、一份数三量之间的关系。 教学难点:如何让学生把握理解复杂平均数应用题的技巧与方法。 教学过程: 平均数问题包括算术平均数、加权平均数、连续数和求平均数、调和平均数和基准数求平均数。 解答这类应用题时,主要是弄清楚总数、份数、一份数三量之间的关系,根据总数除以它相对应的份数,求出一份数,即平均数。 一、算术平均数 学习例1:用4个同样的杯子装水,水面高度分别是4厘米、 5厘米、7厘米和8厘米,这4个杯子水面平均高度是多少厘米 集体讨论:这是很简单的一道题,大家试着自己解答一下。 分析与解答:求4个杯子水面的平均高度,就相当于把4个杯子里的水合在一起,再平均倒入4个杯子里,看每个杯子里水面的高度。 解:(4+5+7+8)÷4=6(厘米) 答:这4个杯子水面平均高度是6厘米。 学习例2:蔡琛在期末考试中,政治、语文、数学、英语、生物五科的平均分是 89分.政治、数学两科的平均分是分.语文、英语两科的平均分是84分.政治、英语两科的平均分是86分,而且英语比语文多10分.问蔡琛这次考试的各科成绩应是多少分 集体讨论:你能在这几个平均数中发现什么 分析与解答:解题关键是根据语文、英语两科平均分是84分求出两科的总分,又知道两科的分数差是10分,用和差问题的解法求出语文、英语各得多少分后,就可以求出其他各科成绩。 解:①英语:(84×2+10)÷2=89(分) ②语文: 89-10=79(分) ③政治:86×2-89=83(分) ④数学:×2-83=100(分) ⑤生物: 89×5-(89+79+83+100)=94(分) 答:蔡琛这次考试英语、语文、政治、数学、生物的成绩分别是89分、79分、83分、100分、94分。 二、加权平均数 学习例3:果品店把2千克酥糖,3千克水果糖,5千克奶糖混合成什锦糖.已知酥糖每千克元,水果糖每千克元,奶糖每千克元.问:什锦糖每千克多少元 分析与解答:要求混合后的什锦糖每千克的价钱,必须知道混合后的总钱数和与总钱数相对应的总千克数。 解:①什锦糖的总价: ×2+×3+×5=(元) ②什锦糖的总千克数: 2+3+5=10(千克) ③什锦糖的单价:÷10=(元) 平均数问题 把几个不相等的数,在总数不变的条件下,通过移多补少,使它们完全相等,求得的相等的数就是平均数。 如何灵活运用平均数的数量关系解答一些稍复杂的问题呢? 下面的数量关系必须牢记: 平均数=总数量÷总份数 总数量=平均数×总份数 总份数=总数量×平均数 【例1】★有4箱水果,已知苹果、梨、橘子平均每箱42个,梨、橘子、桃平均每箱36个,苹果和桃平均每箱37个。一箱苹果多少个? 【解析】(1)1箱苹果+1箱梨+1箱橘子=42×3=136(个); (2)1箱桃+1箱梨+1箱橘子=36×3=108(个) (3)1箱苹果+1箱桃=37×2=72(个) 由(1)(2)两个等式可知: 1箱苹果比1箱桃多126-108=18(个),再根据等式(3)就可以算出:1箱桃有(74-18)÷2=28(个),1箱苹果有28+18=46(个)。 1箱苹果和1箱桃共有多少个:37×2=74(个) 1箱苹果比1箱桃多多少个:42×3-36=18(个) 1箱苹果有多少个:28+18=46(个) 【小试牛刀】一次考试,甲、乙、丙三人平均分91分,乙、丙、丁三人平均分89分,甲、丁二人平均分95分。问:甲、丁各得多少分? 【解析】甲113 丁77 【例2】★一次数学测验,全班平均分是91.2分,已知女生有21人,平均每人92分;男生平均每人90.5分。求这个班男生有多少人? 【解析】女生每人比全班平均分高92-91.2=0.8(分),而男生每人比全班平均分低91.2-90.5=0.7(分)。全体女生高出全班平均分0.8×21=16.8(分),应补给每个男生0.7分,16.8里包含有24个0.7,即全班有24个男生。 【小试牛刀】两组学生进行跳绳比赛,平均每人跳152下。甲组有6人,平均每人跳140下,乙组平均每人跳160下。乙组有多少人? 【解析】9人 【例3】★五一班同学数学考试平均成绩91.5分,事后复查发现计算成绩时将一位同学的98分误作89分计算了。经重新计算,全班的平均成绩是91.7分,五一班有多少名同学? 【解析】98分比89分多9分。多算9分就能使全班平均每人的成绩上升91.7-91.5=0.2(分)。9里面包含有几个0.2,五一班就有几名同学。 【小试牛刀】五(1)班有40人,期中数学考试,有2名同学去参加体育比赛而缺考,全班平均分 四年级数学多位数的读 写法练习 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】 快乐数学一认识多位数 读多位数的方法: 1、先要把这个多位数分级。 2、从高位到低位一级一级地往下读。读亿级、万级时,按个级的读法去读,只要在后面再加上级的单位“亿”或“万”。 3、每级开头或中间有一个0,或者连续0的,都只读一个零。级的末尾所有0都不读出来。若某一级全为0,那么只读一个零。 写多位数的方法: 1、从高位写起,一级一级往下写,先写亿级,再写万级。 2、写万级或亿级的数,先按照个级的写法写。 3、哪一位上一个单位也没有,就写0占位。 一、读出下面各数。(4分) 720000读作:() 读作:() 读作:() 40500000720读作:() 二、写出下面各数。(4分) 九十万零七百写作:() 二亿三千五百万九千三百二十写作:() 八百二十亿四千零三万写作:() 五亿零二千写作:() 三、按要求写数。(9分) 1.用“万”或“亿”作单位表示数。 2.省略“万”“亿”后面的尾数,求近似数。 亿96481≈万亿 亿4005400≈万14980≈万 四、□中最大能填几?(3分) 4□400≈4万39□000≈40万35□860≈36万 五、填出下面各数的相邻数。(4分) 1.(),100000,() 2.(),4870,()。 3.(),26500,() 4.(),34999,()。 六、填空。(45分) 1.万级的包含有()、()()、()四个数位;亿级的计数单位有()、()、()()。 2.10个一千万是(),一百万包含有()个万。 平均数问题(一) 1、有五个数,平均数是9,如果把其中一个数改为1,这五个数的平均数为8,这个改动的数原来应该是多少? 2、四(1)班有40个同学参加考试,其中2个同学缺考,平均成绩是89分,缺考的同学补考后各得99分,这个班的平均成绩是多少分? 3、在一次登山比赛中,李明上山时每分钟走50米,18分钟到达山顶,然后按原路下山,每分钟走75米。李明上、下山平均每分钟走多少米? 4、养鸡小组养了15只母鸡,2只公鸡,每只鸡平均每个月下蛋25只,一个月共下蛋多少只? 5、摩托车驾驶员以每小时20千米的速度行了60千米,回来时每小时行30千米,问往返全程平均速度是多少? 6、小明第一、二两次测验的数学平均成绩60分,第三次测验后,三次平均成绩是70分,第三次是多少分? 7、三年级一班有45人,三年级二班和三年级一班的平均人数是47人,三年级二班比三年级三班少1人,三年级三有几人? 8、甲、乙两数的平均数是30,乙、丙两数的平均数是34,甲、丙两数的平均数是32,则甲、乙、丙三数的平均数是多少? 9、已知九个数的平均数是72,去掉一个数之后,余下的数平均为78,去掉的数是多少? 10、把198个自然数,1、2、3、……、198平均分成三组,并使这三组的平均数相等,那么这三个平均数的和是多少? 11、以下20个数的平均数是多少? 401 398 400 403 399 396 402 402 404 403 399 396 398 398 405 401 400 400 402 403 12、期中考试中,小明语文、数学两科的平均分是87分,数学、英语两科的平均分是90分,英语、常识两科的平均分是88分。已知常识成绩比语文高10分,试问各科成绩是多少? 13、摄影小组为第一小队同学拍摄一张集体照,一张底片和三张照片共收成本费2.70元,加印一张照片收费0.4元,第一小队有十五个同学,如果每个人要一张照片(底片费由十五人共同分担),那么每人应付多少元? 14、一辆汽车由甲城开往乙城,从出发到两城中点,平均每小时40千米,从中点到乙城,平均每小时行50千米,这辆汽车从甲城开往乙城,平均每小时行多少千米? 对于六年级的同学来说,分数乘法算式的一些计算技巧必须开始掌握.这既与基础课程进度结合,更是小学奥数经典内容.裂项、换元与通项归纳这三项内容,通称“分数计算之三大绝招”.考察近年来的小升初计算部分,分数计算成为热点.可以这么说:“一道非常难的分数运算,要么是裂项,要么是换元,要么是通项归纳.如果都不是,那它一定是比较简单的分数小数混合运算.” 三、换元思想 解数学题时,把某个式子看成一个整体,用另一个量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法.换元的实质是转化,将复杂的式子化繁为简. 【例 1】计算: 1111111111 (1)()(1)() 2424624624 ++?++-+++?+ 【考点】换元法【难度】2星【题型】计算 【解析】令 111 1 246 a +++=, 111 246 b ++=,则: 原式 11 ()() 66 a b a b =-?-?- 11 66 ab b ab a =--+ 1 () 6 a b =- 11 1 66 =?= 【答案】1 6 【巩固】 11111111111111 (1)()(1)() 23423452345234 +++?+++-++++?++ 【考点】换元法【难度】2星【题型】计算 【解析】设 111 234 a=++,则原式化简为: 111 1(1 555 a a a a + (+)(+)-+)= 【答案】1 5 【巩固】计算: 621739458739458378621739458378739458 126358947358947207126358947207358947????????++?++-+++?+ ? ? ? ????????? 【考点】换元法【难度】2星【题型】计算 【解析】令621739458 126358947 a ++=; 739458 358947 b +=, 原式 378378 207207 a b a b ???? =?+-+? ? ? ???? ()3786213789 207126207 a b =-?=?=例题精讲 教学目标 换元法 《认识多位数》习题 第1节认识整万数 1.填空。 (1)按照我国的计数习惯,通常把数位的每()个数位分为一级。个级的数位分别是()位、()位、()位、()位;万级的数位分别是()位、()位、()位、()位。 (2)—百万一百万地数,数十次是()。 (3)40个万是(),二百四十万里面有()个万。 (4)80800000,左边的“8”表示()右边的“8”表示()。 (5)最小的八位数是(),它的计数单位是();()是最小的六位数,它的最高位是()。 (6)5个百万和8个万组成的数是()。 (7)70060000是由7个()和6个()组成的。 (9)由5个千万、2个十万和8个万组成的数写作(),读作()。2090000是由2个()和9个()组成的。 (10)—个数的百万位、万位上都是3,其余各位上都是0,这个数写作(),读作()。 (11)—个整万数,万级的最高位和最低位上的计数单位都是5,百万位和十万位上都是0,这个数写作(),读作()。 2.读出横线上的数。 (1)火箭的速度必须达到每小时28440000米,才能冲出地球的大气层。如果速度达到每小时60120000米,就能冲出太阳系的引力进入银河系。()()(2)1吨等于1000000克。() (3)万里长城全长约6700000米,是世界上最伟大的建筑之一。() 3.写出横线上的数。 (1)绕地球赤道一圈的路程大约是四千万米,合四万千米。()()(2)我国领土的面积约九百六十万平方千米。() (3)北京故宫占地面积约七十二万平方米,是世界上最大的宫殿。()4.判断。 (1)千万位右边第一位上的计数单位是十万。() (2)万级上计数单位之间的进率是10。() (3)整数的数位顺序,从个位起,第三位是百位,第七位是百万位。()(4)80090000中,8表示8个千万,9表示9个千。() 5.100张崭新的100元面值的人民币大约厚8毫米,照这样计算,10000张崭新的100元面值的人民币大约厚多少毫米,合多少厘米?1000000张呢? 第2节认识含有万级和各级的数 1.读出下面的数。 28090030读作()7300050读作()59007000读作()80060050读作()9008070读作()3600036读作()2.写出下面各数。 九千零三万五千写作()三千万零两百写作() 九万零九写作()八千零八万零八写作()三千万零四百写作()九百九十万零五写作 3.幸运选择。 (1)最大的八位数是()。 A.99999999 B.80000000 C.10000000 (2)—个数百位和百万位都是5,其他各位都是0,这个数是()。A.5050000 B.5000500 C.500500 (3)9360024中的“6”表示()。 A.6个千B.6个万C.6个十万 (4)下面各数中只读一个零的数是()。 A.30050001 B.45007000 C.8025000 4.选一选。 (1)饲料公司去年总产值二千零八十五万零四十元,横线上的数写作()。A.2085040 B.20805040 C.20850040 (2)下面各数中,一个“零”也不读的是()。 A.68000005 B.27000080 C.7003000 (3)下面各数中,只读出一个“零”的数是()。 A.40050007 B.34002007 C.5003000 小学奥数平均数问题试题专项练习(一) 一、填空题 1.已知9个数的平均数是72,去掉一个数后,余下的数平均数为78,去掉的数是 _________. 2.某班有40名学生,期中数学考试,有两名同学因故缺考,这时班级平均分为89分,缺考的同学补考各得99分,这个班级中考平均分是_________分. 3.有5个数,其平均数为138,按从小到大排列,从小端开始前3个数的平均数为127,从大端开始顺次取出3个数,其平均数为148,则第三个数是_________. 4.某5个数的平均值为60,若把其中一个数改为80,平均值为70,这个数是 _________. 5.如果三个人的平均年龄为22岁.年龄最小的没有小于18岁.那么最大年龄可能是 _________岁. 6.数学考试的满分是100分,六位同学的平均分是91分,这6个同学的分数各不相同,其中一个同学得65分,那么居第三名的同学至少得_________分. 7.在一次登山比赛中,小刚上山时每分钟走40米,18分钟达到山顶,然后按原路下山,每分钟走60米,小刚往返的平均速度是每分_________米. 8.某校有100名学生参加数学竞赛,平均分是63分,其中男生平均分是60分,女生平均分是70分,男同学比女同学多_________人. 9.一些同学分一些书,若平均每人分若干本,还余14本,若每人分9本,则最后一人分得6本,那么共有学生_________人. 10.有几位同学参加语文考试,赵峰的得分如果再提高13分,他们的平均分就达到90分,如果赵峰的得分降低5分,他们的平均分就只得87分,那么这些同学共有_________ 人. 11.有四个数每次取三个数,算出它们的平均数再加上另一个数,用这种方法计算了四次,分别得到以下四个数:86,92,100,106那么原4个数的平均数是_________. 12.甲、乙、丙三人一起买了8个面包平均分着吃,甲拿出5个面包的钱,乙付了3个面包的钱,丙没付钱.等吃完结算,丙应付4角钱,那么甲应收回钱_________分. 二、解答题 鸡兔同笼问题 在我国古代的数学著作《孙子算经》中,记载着流传甚广的数字歌谣:鸡兔同笼不知数,三十五头笼中露。数清脚共九十四双,各有多少鸡和兔。翻译成现代数学语言为:今有鸡兔共居一笼,已知鸡头与兔头共有35个,鸡脚与兔脚一共有94只。问鸡和兔一共有多少只? 这就是我们通常说的“鸡兔同笼”问题。这一古老的数学问题在现实生活中普遍存在,解法多种多 样,但一般采用假设法。 【例1】★今有鸡、兔共居一笼,已知鸡头和兔头共35个,鸡脚与兔脚共94只。问鸡、兔各有多 少只? 【解析】鸡兔同笼问题往往用假设法来解答,即假设全是鸡或全是兔,脚的总数必然与条件矛盾,根据数量上出现的矛盾适当调整,从而找到正确答案。 假设全是鸡,那么相应的脚的总数应是2×35=70只,与实际相比,减少了94-70=24只。减 少的原因是把一只兔当作一只鸡时,要减少4-2=2只脚。所以兔有24÷2=12只,鸡有35-12=23只。 【小试牛刀】小梅数她家的鸡与兔,数头有16个,数脚有44只。问:小梅家的鸡与兔各有多少只? 【解析】假设16只都是鸡,那么就应该有2×16=32(只)脚,但实际上有44只脚,比假设的情 况多了44-32=12(只)脚,出现这种情况的原因是把兔当作鸡了。如果我们以同样数量的兔去换 同样数量的鸡,那么每换一只,头的数目不变,脚数增加了2只。因此只要算出12里面有几个 2,就可以求出兔的只数。有兔(44-2×16)÷(4-2)=6(只),有鸡16-6=10(只)。 【例2】★面值是2元、5元的人民币共27张,全计99元。面值是2元、5元的人民币各有多少张? 【解析】这道题类似于“鸡兔同笼”问题。假设全是面值2元的人民币,那么27张人民币是 2×27=54元,与实际相比减少了99-54=45元,减少的原因是每把一张面值2元的人民币当作一 张面5元的人民币,要减少5-2=3元,所以,面值是5元的人民币有45÷3=15张,面值2元的人民币有27-15=12张。 【小试牛刀】小白有2分、5分硬币共40枚,一共是1元7角。两种硬币各有多少枚? 【解析】2分10枚,5分30枚 【例3】★一批水泥,用小车装载,要用45辆;用大车装载,只要36辆。每辆大车比小车多装4吨,这批水泥有多少吨? 【解析】求出大车每辆各装多少吨,是解题关键。如果用36辆小车来运,则剩4×36=144吨,需 45-36=9辆小车来运,这样可以求出每辆小车的装载量是144÷9=16吨,所以,这批水泥共有 16×45=720吨。 【小试牛刀】一批货物用大卡车装要16辆,如果用小卡车装要48辆。已知大卡车比小卡车每辆多装4吨,问这批货物有多少吨? 【解析】96吨 多位数的运算在奥数计算体系里面一般都扮演难题角色,因为多位数计算不仅能体现普通数字四则运算的一切考法,还有自身的“独门秘籍”,那就是“数字多的数不出来”,只能依靠观察数字结构发现数字规律的方式掌握多位数的整体结构,然后再确定方法进行解题。 多位数的主要考查方式有 1.用带省略号的描述方式进行多位数的具体值四则计算 2.计算多位数的各个位数字之和 一、 多位数运算求精确值的常见方法 1. 利用9999 9101k k =-个,进行变形 2. “以退为进”法找规律递推求解 二、 多位数运算求数字之和的常见方法 M×k 9999...9个的数字和为9×k.(其中M 为自然数,且M≤k 9999...9个).可以利用 上面性质较快的获得结果. 模块一、多位数求精确值运算 【例 1】 计算:200720073555333???????个5个 知识点拨 教学目标 例题精讲 多位数计算 【巩固】 计算:2007820073 888333???????个个 【巩固】 计算20043 333359049?个 【巩固】 计算200420083 666 69333...3??个6个的乘积是多少? 【巩固】 快来自己动手算算 20071200792007920077 111999999777???????+???????÷个个个个()3的结果看谁算得准? 【巩固】 计算200892008820086 999888666???????÷???个个个 【例 2】 请你计算200892008920089 9999991999?+个个个结果的末尾有多少个连续的零? 【例 1】 12481632641282565121024++++++++++=________ 。 【考点】通项归纳 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】走美杯,初赛,六年级 【解析】 方法一:令12481024a =+++++,则22481610242048a =++++++,两式相减,得 204812047a =-=。 方法二:找规律计算得到102421=2047?- 【答案】2047 【例 2】 在一列数:135********,,,,,中,从哪一个数开始,1与每个数之差都小于1 1000 ? 【考点】通项归纳 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】华杯赛,初赛 【解析】 这列数的特点是每个数的分母比分子大2,分子为奇数列,要1-2121n n -+<1 1000 ,解出n >999.5, 从n =1000开始,即从 1999 2001 开始,满足条件 【答案】1999 2001 【例 3】 计算:111 112123122007 + ++? +++++? 【考点】通项归纳 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 先找通项公式1211 2()12(1)1n a n n n n n ===-++?++ 原式111 12(21)3(31)2007(20071) 222 =++++?+?+?+ 222212233420072008=++++ ???? 200722008=? 2007 1004= 【答案】2007 1004 【巩固】 1111 33535735721 ++++ +++++++ 【考点】通项归纳 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 先找通项:()() ()111 1352122132 n a n n n n n ===+++++?++? 原式111111 132435469111012 =++++++ ?????? 1 111111335 91124461012????=+++++++ ? ??????????? 11111121112212????=?-+?- ? ????? 175 264 = 例题精讲 通项归纳 四年级奥数-第三讲-多位数计算 第三讲:多位数计算 学习内容:提升版凑整法、提公因数、平方差公式。 学习目标:灵活运用简便方法,提高做作业的计算速度以及准确率。 一、凑整法 【例1】(★★★) 计算:999999999×111111111 原式=(10000000000-1)×111111111 =1111111111000000000-1111111111 =111111110888888889 99……9常用处理方式——化为(100……0-1) 【例2】(★★★★) 计算:66666×133332 原式=33333×2×3×44444 =(33333×3)×(2×44444) =99999×88888 =(100000-1)×88888 =8888800000-88888 =8888711112 99......9的亲戚:33......3 ,66 (6) 【例3】(★★★★) 求算式99……9×88……8÷66……6的计算结果的各位数字之和。 20099 2009个6 原式=99......9×44......4÷33 (3) 2009个9 2009个4 2009个3 =3×44 (4) 2009个4 =133 (32) 2008个3 解析:抵消思想。 ……32之和=3×2009=6027 2008个3 【例4】(★★★★) 计算:88......82-11 (12) 2010个8 2010个1 (解析:利用平方差公式) 原式=(88……82+11……12)×(88……82-11……12) 2010个8 2010个1 2010个8 2010个1 =99......9×77 (7) 个9个7 =(100......0-1)×77 (7) 个020107 =77......700......0-77 (7) 2010个72010个02010个7 =77......7622 (23) 2009个7 2009个2 二、提公因数 【例5】(★★★) 计算:22222×99999+33333×33334 原式=22222×3×33333+33333×33334 =666666×33333+33333×33334 =33333×(66666+33334) =33333×100000 =3333300000 公因数常见给法——倍数关系 【例6】(★★★★) 日期和时间的计算 一、学习目标 1.学会在日期的计算中发现和识别呈周期性变化的规律,并能列式解答. 2.学会时间计算的一般方法,能说明解答的基本依据. 3.感受简单的分析、推理等方法. 二、内容提要与方法点拨 1.被除数=商×除数+余数,余数要小于除数. 2.找准有一定变化规律的周期,如1年有12个月,1周有7天,1小时是60分,1分是60秒等. 三、例题选讲 例12008年元旦是星期二,那么,2012年元旦是星期几? 解:从2008年元旦到2012年元旦这四年中,2008年是闰年,其余三年是平年.四年的天数加上2012年元旦这一天,共有 366+365×3+1=1462(天) (或365×4+1+1) 一共是1462÷7=208(周)……6(天) 从星期二开始算,第六天是星期日.所以,2012年元旦是星期日. 这道题还可以这样算: 365÷7=52……1,平年有52周余1天,闰年就有52周余2天. 直接算出每一年的天数除以7的余数的和 2+1×3+1=6,从星期二开始算,第六天是星期日. 有一类数学问题是围绕每月天数、日期数和星期几的天数等关系展开的.解答这类问题的焦点往往在它的余数上. 我们知道,在一年的12个月中,每个月最少有28天,最多有31天,一个星期有7天.而 一个月的天数÷7 = 4……(余数),余数可以是0、1、2、3. 下面,我们根据这个除法算式进一步弄清有关的几个数量之间的关系. (1)由上式知,一个月的星期几的个数最少有4个,最多有5个. (2)当余数为0时,即这个月只有28天(平年的2月),那么,这个月所 有的星期几分别有4个.同时,这个月的第一天是星期几,最后一天就是星期几 的前一天.例如,2月1日是星期二,2月28日就是星期一. (3)当余数为1、2、3时,即这个月多于28天.多出了几天,就有几个星 期几是5个的,而且是连续的.例如,7月有31天,当7月1日是星期二时,7 月28日是星期一,7月29日、30日、31日就分别是星期二、三、四,则这个 月的星期二、三、四各有5个. 多出的几天及对应是星期几也可以放到月头考虑,在此不一一分述. 想一想:某年的六月一日是星期五,这个月有5个星期()和星期(). 例2某年的3月份正好有4个星期三和4个星期六,那么这个月的1日是星期几? 有4个星期还多3天。这3天是连续的而 且不能是星期三和星期六,因此,也不可 能是在星期三和星期六之间的星期四和星 期五。这样,只能是星期一、星期二和星 期日。 即这3天按顺序是星期日、一、二(29日、30日、31日)。所以,三月一 日是星期日(如图)。 例3有一个月,星期四的天数比星期三多,星期日的天数比星期六少,这个月的20日是星期几? 解:要求某月某日是星期几,一般可以由这个月的第一日或最后一日是星期 几推出. 由条件“星期四的天数比星期三多,星期日的天数比星期六少”可知这个月 的星期三、星期日只有4个,而星期四、星期六都有5个.从而推知在星期四和 星期六之间的星期五也应有5个.这个月有31天,31÷7=4…3,而且1日是星期 四,31日是星期六. 再由1日是星期四知,8日、15日、22日也是星期四,得知20日就是星期 二.或由31日是星期六,31-20-7=4,推算出20日是星期二(如图). 小学三年级奥数题——平均数问题 求平均数问题的数量关系式是: 总数量÷总份数=平均数总数 =平均数×份数总数量÷平均数=总份数 例题一: 例 1、用 4 个同样的杯子,水面的高度分别是8 厘米、5 厘米、4 厘米和 3 厘米。这四杯水面的平均高度是多少厘米? 练习二 2、小明期末测试语文、数学、英语和科学分别是90 分、 96 分、 92 分和98 分。小明这四门功课的平均成绩是多少分? 3、某学校1— 4 年级,分别有260 人、 300 人、 280 人和 312 人。这个学校平均每个年级多 少人? 4、甲筐有梨32 千克,乙筐有梨38 千克,丙、丁两筐共有梨50 千克,平均每筐梨有多少千克? 例题二 : 1、幼儿园小朋友做红花,小明做了7 朵,小红做了9 朵,小花和小张合作了12 朵。平均每人做红花多少朵? 2、一个书架上第一层放书52 本,第二层放书和第三层共46 本。平均每层放书多少本? 练习二: 1、某工厂第一、第二车间共有工人180 人,第三车间有103 人,第四车间有81 人。平均每个车间有多少人? 2、商店有蓝气球和红气球共 43 只,黄气球有 20 只,绿气球有 33 只。平均每种气球有多少只? 3、植树小组植一批树, 3 天完成。前 2 天共植了 113 棵,第三天植了 55 棵。植树小组平均每天 植树多少棵? 4、小明期中考试,语文、数学总分是 197 分,英语考了 91 分,小明三门功课的平均成绩是多少分? 例题三: 1、小红、小青的平均身高是103 厘米,小军的身高是115 厘米,三个人的平均身高是多少 厘米? 2、一个同学读一本故事书,前 4 天每天读25 页,以后每天读40 页,又读了 6 天正好读完。 这个同学平均每天读多少页? 练习三: 1、一辆摩托车从甲地开往乙地,前 2 小时每小时行驶60 千米,后 3 小时每小时行驶70 千米,这辆摩托车平均每小时行使多少千米? 2、小明家先后买了两批小鸡,第一批的 20 只每只重 60 克,第二批的 30 只每只重 70 克,小明家的小鸡平均每只多少克? 3、少先队员为饲养场割草,第一组7 人,平均每人割13 千克,第二组 5 人,平均每人割25千克,平均每人割草多少千克? 4、有一小组同学量身高,其中 2 人都是 124 厘米,另外 4 人都是 130 厘米。这组同学平均身高 是多少厘米? 例题四: 1、数学测试中,一组学生的最高分是98 分,最低分是86,其余 5 名学生的平均分是92。这一组同学的平均分是多少分? 2、一组同学进行立定跳远比赛。最远的跳了152 厘米,最近的跳了144 厘米,其余 6 名同学都跳了148 厘米。这一组同学平均跳了多少厘米? 练习四 3、一组学生测量身高,最高的是150 厘米,最矮的是136 厘米,其余 4 名同学都为143 厘米。这组同学的平均身高是多少厘米? 4、音乐考试中,一组学生中有 2 人得了最高分 90 分, 1 人得了最低分 70 分,其余 5 名同学都 得了 78 分。这组同学平均成绩是多少分? 小学奥数教案---平均数问题 第1讲平均数(一) 一、知识要点 把几个不相等的数,在总数不变的条件下,通过移多补少,使它们完全相等,求得的相等的数就是平均数。 如何灵活运用平均数的数量关系解答一些稍复杂的问题呢? 平均数=总数量÷总份数总数量=平均数×总份数总份数=总数量×平均数 二、精讲精练 【例题1】有4箱水果,已知苹果、梨、橘子平均每箱42个,梨、橘子、桃平均每箱36个,苹果和桃平均每箱37个。一箱苹果多少个? 【思路导航】(1)1箱苹果+1箱梨+1箱橘子=42×3=136(个); (2)1箱桃+1箱梨+1箱橘子=36×3=108(个)(3)1箱苹果+1箱桃=37×2=72(个)由(1)(2)两个等式可知: 1箱苹果比1箱桃多126-108=18(个),再根据等式(3)就可以算出:1箱桃有(74-18)÷2=28(个),1箱苹果有28+18=46(个)。 1箱苹果和1箱桃共有多少个:37×2=74(个) 1箱苹果比1箱桃多多少个:42×3-36=18(个) 1箱苹果有多少个:28+18=46(个) 练习1: 1.一次考试,甲、乙、丙三人平均分91分,乙、丙、丁三人平均分89分,甲、丁二人平均分95分。问:甲、丁各得多少分? 2.甲、乙、丙、丁四人称体重,乙、丙、丁三人共重120千克,甲、丙、丁三人共重126千克,丙、丁二人的平均体重是40千克。求四人的平均体重是多少千克? 【例题2】一次数学测验,全班平均分是91.2分,已知女生有21人,平均每人92分;男生平均每人90.5分。求这个班男生有多少人? 【思路导航】女生每人比全班平均分高92-91.2=0.8(分),而男生每人比全班平均分低91.2-90.5=0.7(分)。全体女生高出全班平均分0.8×21=16.8(分),应补给每个男生0.7分,16.8里包含有24个0.7,即全班有24个男生。 练习2: 1.两组学生进行跳绳比赛,平均每人跳152下。甲组有6人,平均每人跳140下,乙组平均每人跳160下。乙组有多少人? 2.有两块棉田,平均每亩产量是92.5千克,已知一块地是5亩,平均每亩产量是101.5千克;另一块田平均每亩产量是85千克。这块田是多少亩? 【例题3】某3个数的平均数是2.如果把其中一个数改为4,平均数就变成了3。被改的数原来是多少? 【思路导航】原来三个数的和是2×3=6,后来三个数的和是3×3=9,9比6多出了3.是因为把那个数改成了4。因此,原来的数应该是4-3=1。 练习3: 定义新运算 教学目标 定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力,我们大家都习惯四则运算,定义新运算就打破了运算规则,要求我们要严格按照题目的规定做题.新定义的运算符号,常见的如△、◎、※等等,这些特殊的运算符号,表示特定的意义,是人为设定的.解答这类题目的关键是理解新定义,严格按照新定义的式子代入数值,把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。 知识点拨 一定义新运算 基本概念:定义一种新的运算符号,这个新的运算符号包含有多种基本(混合)运算。 基本思路:严格按照新定义的运算规则,把已知的数代入,转化为加减乘除的运算,然后按照基本运算过程、规律进行运算。 关键问题:正确理解定义的运算符号的意义。 注意事项:①新的运算不一定符合运算规律,特别注意运算顺序。 ②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。 我们学过的常用运算有:+、-、×、÷等. 如:2+3=52×3=6 都是2和3,为什么运算结果不同呢?主要是运算方式不同,实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法,对应法则不同就是不同的运算.当然,这个对应法则应该是对任意两个数,通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求,不同的法则就是不同的运算.在这一讲中,我们定义了一些新的运算形式,它们与我们常用的“+”,“-”,“×”,“÷”运算不相同.二定义新运算分类 1.直接运算型 2.反解未知数型 3.观察规律型 4.其他类型综合 例题精讲 模块一、直接运算型 【例1】若*A B 表示()()3A B A B +?+,求5*7的值。 【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算 【解析】A *B 是这样结果这样计算出来:先计算A +3B 的结果,再计算A +B 的结果,最后两个结果求乘 积。 由A *B =(A +3B )×(A +B ) 四年级奥数第1讲:多位数计算 多位数的运算在奥数体系里面一般扮演难题角色,多位数运算不仅体现普通数字四则运算的一切考法,还要靠观察数字结构发现数字规律的方式掌握多位数的整体结构,确定方法解题。 主要方法: 1.利用 9 99999个n 进行变形,变成10000010 - 个n ,有进行计算尽量转化成 9993332.经常使用的方法有凑整法、提取公因式法、平方差公式、乘法的性质 3.多位数M× 9 99999个n 的数字和为9n(注意M 要小于 9 99999个n )题型一:求算式结果某数位上的数码 常用方法:1.提取公因数;2.利用 9 99999个n 进行变形,变成10000010 - 个n 例1在将10000000000中减去1101011后所得的答案中,数码8 出现了 次? 分析:10000000000-1101011=9998898989,数码8共出现了4次。例2 求6+66+666+6666+66666+666666+6666666的和的万位数字是 分析:方法一:提取公因数 6+66+666+6666+66666+666666+6666666=6×(1+11+111+1111+11111+111111+1111111)=6×1234567=7407402 方法二:利用加法的计算方法个位和为:6×7=42,个位数字为2 十位和为:6×6+4=40,十位数字为0千位和为:6×5+4=34,千位数字为4万位和为:6×4+3=27,万位数字为7 例3 920051 20059999911111个个?的乘积中含有个偶数数码。 分析:利用 9 99999个n 进行变形,变成10000010 - 个n . 20051200498888801111111111000001111110000011111199999111118 20041 20041 20050 20051 200502005120059 20051 2005个偶数数码因此含有个个个个个个个个个=+=-=? ??? ??-?=? <训练巩固>1. 8 199288888888,88,8个,,把这1992个数相加,所得和的个位数是十位数字是 ,百位数字是 . 2. 7 1002 20067777722222个个减去,得数的个位数字是(提示:多个2相乘,多个7相乘,尾数有周期现象) 题型二:求算式结果有几位数(或末尾有几个0) 常用方法:1.提取公因数;2.因数末尾有0的计算方法例4 将1000 2009 = 1000 2009100010001000个??的数值写下,它有 位数? 分析:利用因数末尾有0计算方法 10002009 = 1000 2009100010001000个??= 6027320090000001个=?因此总共有6027+1=6028位数. 平均数问题 一、算术平均数 例1用4个同样的杯子装水,水面高度分别是4厘米、5厘米、7厘米和8厘米,这4个杯子水面平均高度是多少厘米? 分析求4个杯子水面的平均高度,就相当于把4个杯子里的水合在一起,再平均倒入4个杯子里,看每个杯子里水面的高度。 解:(4+5+7+8)÷4=6(厘米) 答:这4个杯子水面平均高度是6厘米。 例2蔡琛在期末考试中,政治、语文、数学、英语、生物五科的平均分是 89分.政治、数学两科的平均分是91.5分.语文、英语两科的平均分是84分.政治、英语两科的平均分是86分,而且英语比语文多10分.问蔡琛这次考试的各科成绩应是多少分? 分析解题关键是根据语文、英语两科平均分是84分求出两科的总分,又知道两科的分数差是10分,用和差问题的解法求出语文、英语各得多少分后,就可以求出其他各科成绩。 解:①英语:(84×2+10)÷2=89(分) ②语文: 89-10=79(分) ③政治:86×2-89=83(分) ④数学:91.5×2-83=100(分) ⑤生物:89×5-(89+79+83+100)=94(分) 答:蔡琛这次考试英语、语文、政治、数学、生物的成绩分别是89分、79分、83分、100分、94分。 二、加权平均数 例3果品店把2千克酥糖,3千克水果糖,5千克奶糖混合成什锦糖.已知酥糖每千克4.40元,水果糖每千克4.20元,奶糖每千克7.20元.问:什锦糖每千克多少元? 分析要求混合后的什锦糖每千克的价钱,必须知道混合后的总钱数和与总钱数相对应的总千克数。 解:①什锦糖的总价: 4.40×2+4.20×3+7.20×5=57.4(元) ②什锦糖的总千克数: 2+3+5=10(千克) ③什锦糖的单价:57.4÷10=5.74(元) 答:混合后的什锦糖每千克5.74元。 我们把上述这种平均数问题叫做“加权平均数”.例3中的5.74元叫做4.40元、4.20元、7.20元的加权平均数.2千克、3千克、5千克这三个数很重要,对什锦糖的单价产生不同影响,有权衡轻重的作用,所以这样的数叫做“权数”。 例4甲乙两块棉田,平均亩产籽棉185斤.甲棉田有5亩,平均亩产籽棉203斤;乙棉田平均亩产籽棉170斤,乙棉田有多少亩? 分析此题是已知两个数的加权平均数、两个数和其中一个数的权数,求另一个数的权数的问题.甲棉田平均亩产籽棉203斤比甲乙棉田平均亩产多18斤,5亩共多出90斤.乙棉田平均亩产比甲乙棉田平均亩产少15斤,乙少的部分用甲多的部分补足,也就是看90斤里面包含几个15斤,从而求出的是乙棉田的亩数,即“权数”。 解:①甲棉田5亩比甲乙平均亩产多多少斤? (203-185)×5=90(斤) ②乙棉田有几亩? 90÷(185-170)=6(亩) 答:乙棉田有6亩。 三、连续数平均问题 我们学过的连续数有“连续自然数”、“连续奇数”、“连续偶数”.已知几个连续数的和求出这几个数,也叫平均问题。 例5已知八个连续奇数的和是144,求这八个连续奇数。 分析已知偶数个奇数的和是144.连续数的个数为偶数时,它的特点是首项与末项之和等于第二项与倒数第二项之和,等于第三项与倒数第三项之和……即每两个数分为一组,八个数分成4组,每一组两个数的和是144÷4=36.这样可以确定出中间的两个数,再依次求出其他各数。 解:①每组数之和:144÷4=36 ②中间两个数中较大的一个:(36+2)÷2=19 ③中间两个数中较小的一个:19-2=17 整数计算综合 1. 加法交换律:两个数相加,交换加数的位置,它们的和不变. 2. 加法结合律:三个数相加,先把前两个数相加,再加上第三个数;或者,先把后两个 数相加,再与第一个数相加,它们的和不变. 3. 乘法交换律:两个数相乘,交换两个数的位置,其积不变,即a b b a ?=?,其中a ,b 为任意数. 4. 乘法结合律:三个数相乘,可以先把前两个数相乘后,再与后一个数相乘,或先把后两个数 相乘后,再与前一个数相乘,积不变,即()()a b c a b c a b c ??=??=?? . 解题时需要注意的几点: 1. 要认真观察算式中数的特点,算式中运算符号的特点。 2. 掌握基本的运算定律:乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。 3. 掌握速算与巧算的方法:如等差数列求知、凑整、拆数等等。 【例1】★19199199919999199999++++ 【解析】原式()()()() =(201)+2001+20001+200001+2000001 ----- =20+200+2000+20000+2000005 =2222205 =222215 -- 【小试牛刀】898998999899998999998+++++= 【解析】1111098 【例2】★10099989796321+-+-++-+L 【解析】暂不看头尾两个数,就会发现中间都是先加后减,并且加数与减数相差1,所以就算这题可以先把中间部分分组凑成若干个1,再与其余部分进行计算。 原式100(9998)(9796)(32)1=+-+-++-+L 100491=++ 150= 【小试牛刀】989796959493929190894321+--++--++---++L 【解析】99 【例3】★1111111111? 【解析】1111111111123454321?=奥数平均数问题教案
(完整版)小学奥数-平均数问题(教师版)(2)
四年级数学多位数的读写法练习
小学奥数平均数问题练习题(一)
(小学奥数)1-3-5 换元法.教师版
苏教版四年级下册数学同步练习-认识多位数
完整版小学奥数平均数问题试题专项练习
小学奥数-鸡兔同笼问题(教师版)
小学奥数 多位数计算.学生版
小学奥数教师版合辑-1-23通项归纳
四年级奥数-第三讲-多位数计算
四年级奥数日期和时间地计算含问题详解
(完整版)小学三年级奥数题平均数问题.doc
小学奥数教案平均数问题
小学奥数教师版-1-3-1 定义新运算
四年级下册数学试题-奥数 第1讲 多位数计算 全国通用(图片版无答案)
最新小学奥数(平均数问题)
(完整版)小学奥数-整数计算综合(教师版)