知识点35 函数的零点(方程的根)个数的讨论
人教版高中数学必修一-第三章-函数的应用知识点总结
高中数学必修一第三章函数的应用知识点总结（详细） 第三章函数的应用 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数y=f(x),使f(x)=0 的实数x叫做函数的零点。（实质上是函数y=f(x)与x轴交点的横坐标） 2、函数零点的意义：方程f(x)=0 有实数根?函数y=f(x)的图象与x轴有交点?函数y=f(x)有零点 3、零点定理：函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的，并且有f(a)f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间（a,b）至少有一个零点c，使得f( c)=0,此时c也是方程f(x)=0 的根。 4、函数零点的求法：求函数y=f(x)的零点： （1）（代数法）求方程f(x)=0 的实数根； （2）（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 5、二次函数的零点：二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)． 1）△＞0，方程f(x)=0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点． 2）△＝0，方程f(x)=0有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点． 3）△＜0，方程f(x)=0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点． 二、二分法 1、概念：对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法。 2、用二分法求方程近似解的步骤: ⑴确定区间[a,b],验证f(a)f(b)<0，给定精确度ε； ⑵求区间(a,b)的中点c;
函数应用、零点、二分法知识点和练习
一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。 2、函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。 即：方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴有交点?函数)(x f y =有零点． 3、函数零点的求法： ○ 1 （代数法）求方程0)(=x f 的实数根； ○ 2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 4、基本初等函数的零点： ①正比例函数(0)y kx k =≠仅有一个零点。 ②反比例函数(0)k y k x =≠没有零点。 ③一次函数(0)y kx b k =+≠仅有一个零点。 ④二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ． （1）△＞０，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点． （2）△＝０，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两相等实根，二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点． （3）△＜０，方程20(0)ax bx c a ++=≠无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点． ⑤指数函数(0,1)x y a a a =>≠且没有零点。 ⑥对数函数log (0,1)a y x a a =>≠且仅有一个零点1. ⑦幂函数y x α=，当0n >时，仅有一个零点0，当0n ≤时，没有零点。 5、非基本初等函数（不可直接求出零点的较复杂的函数），函数先把()f x 转化成()0f x =，再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数12,y y （基本初等函数），这另个函数图像的交点个数就是 函数()f x 零点的个数。即f(x)=g(x)的解集 f(x)的图像和g(x)的图像的交点。 6、选择题判断区间(),a b 上是否含有零点，只需满足()()0f a f b <。 7、确定零点在某区间(),a b 个数是唯一的条件是:①()f x 在区间上连续，且()()0f a f b <②在区
高一数学必修一函数必背知识点整理
高一数学必修一函数必背知识点整理 高一数学必修一函数必背知识点 1、函数定义域、值域求法综合 2.、函数奇偶性与单调性问题的解题策略 3、恒成立问题的求解策略 4、反函数的几种题型及方法 5、二次函数根的问题——一题多解 &指数函数y=a^x a^a*a^b=a^a+ba>0,a、b属于Q a^a^b=a^aba>0,a、b属于Q ab^a=a^a*b^aa>0,a、b属于Q 指数函数对称规律： 1、函数y=a^x与y=a^-x关于y轴对称 2、函数y=a^x与y=-a^x关于x轴对称 3、函数y=a^x与y=-a^-x关于坐标原点对称 幂函数y=x^aa属于R 1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数. 2、幂函数性质归纳. 1所有的幂函数在0，+∞都有定义并且图象都过点1，1; 2时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数.特别地，当时，幂函数的图象下凸;当时，幂函数的图象上凸; 3时，幂函数的图象在区间上是减函数.在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴. 方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。
2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。 即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点. 3、函数零点的求法： 1 代数法求方程的实数根; 2 几何法对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点. 4、二次函数的零点： 二次函数. 1△>0，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点. 2△=0，方程有两相等实根，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点. 3△<0，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点. 感谢您的阅读，祝您生活愉快。
方程的根与函数的零点
方程的根与函数的零点 教学重点：确定方程实数根的个数 教学难点：通过计算器或计算机做出函数的图象 教学方法：探讨法 教学过程： 引入问题 一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根与二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的图象有什么关系？ 通过复习二者之间的关系引出新课（板书课题）： 1．函数零点的定义： 对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点（zero point ）.这样，函数()y f x =的零点就是方程()0f x =的实数根，也就是函数()y f x =的图象与x 轴的交点的横坐标，故有 2．一般结论 方程()0f x =有实数根?函数()y f x =的图象与x 轴有交点?函数()y f x =有零点 3．函数变号零点具有的性质 对于任意函数()y f x =，只要它的图象是连续不间断的，则有 （1）当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号。如函数2()23f x x x =--的图象在零点1-的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点1-时，函数值由正变为负，再通过第二个零点3时，函数值又由负变成正（见教材第102页“探究”题）。 （2）在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号。 4．注意点 （1）函数是否有零点是针对方程是否有实数根而言的，若方程没有实数根，则函数没有零点。 （2）如方程有二重实数根，可以称函数有二阶零点。 5．勘根定理 如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续不间断的一条曲线，并且有 ()()0f a f b ?<那么函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点， 即存在(,)c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的实数根。 例1．求函数()ln 26f x x x =+-的零点个数。 分析：求函数的零点个数实际上是判断方程有没有实数根，有几个实数根的方法，其步骤是：
人教版数学必修一函数与方程练习题
人教版数学必修一函数与方程练习题 重点：掌握零点定理的内容及应用 二次函数方程根的分布 学会利用图像进行零点分布的分析 1． 下列函数中，不能用二分法求零点的是（ ） 2． 如果二次函数 )3(2+++=m mx x y 有两个不同的零点，则m 的取值范围是（ ） 3． A.()6,2- B.[]6,2- C.{}6,2- D.( )(),26,-∞-+∞ 4． 已知函数22)(m mx x x f --=，则)(x f （ ） A ．有一个零点 B ．有两个零点 C ．有一个或两个零点 D ．无零点 5． 已知函数)(x f 的图象是连续不间断的，有如下的)(,x f x 对应值表 x 1 2 3 4 5 6
函数)(x f 在区间]6,1[上的零点至少有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 6． 若方程0=--a x a x 有两个根，则a 的取值范围是（ ） A ．)1(∞+ B ．)1,0( C ．),0(+∞ D ．? 7． 设函数???>≤++=,0,3,0,)(2x x c bx x x f 若2)2(),0()4(-=-=-f f f ，则函数 x x f y -=)(的零点的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8． 无论m 取哪个实数值，函数)2 3(232--+-=x m x x y 的零点个数都是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．不确定 9． 已知函数).0(42)(2>++=a ax ax x f 若0,2121=+
函数的零点与方程的解教学讲义
函数的零点与方程的解教学讲义 必备知识·探新知 基础知识 知识点1 函数的零点 (1)函数f (x )的零点是使f (x )＝0的__实数x __. (2)函数的零点、函数的图象、方程的根的关系． 思考1：(1)函数的零点是点吗？ (2)函数的零点个数、函数的图象与x 轴的交点个数、方程f (x )＝0根的个数有什么关系？ 提示：(1)不是，是使f (x )＝0的实数x ，是方程f (x )＝0的根． (2)相等． 知识点2 函数的零点存在定理 (1)条件：函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是__连续不断的曲线__，f (a )f (b )<0； (2)函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有零点，即存在c ∈(a ，b )使f (c )＝0，这个c 也就是f (x )＝0的根． 思考2：(1)函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，f (a )f (b )<0时，能否判断函数在区间(a ，b )上的零点个数？ (2)函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有零点，是不是一定有f (a )f (b )<0? 提示：(1)只能判断有无零点，不能判断零点的个数． (2)不一定，如f (x )＝x 2在区间(－1,1)上有零点0，但是f (－1)f (1)＝1×1＝1>0. 基础自测 1．函数f (x )＝4x －6的零点是( C ) A ．2 3 B ．(3 2，0) C ．3 2 D ．－32 [解析] 令4x －6＝0，得x ＝32，∴函数f (x )＝4x －6的零点是3 2 . 2．(2020·广州荔湾区高一期末测试)函数f (x )＝x －2＋log 2x ，则f (x )的零点所在区间为( B )
方程的根与函数的零点题型及解析
方程的根与函数的零点 题型及解析 标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]
方程的根与函数的零点题型及解析1.求下列函数的零点 （1）f（x）=x3+1；（2）f（x）=；（3）y=﹣x2+3x+4；（4）y=x2+4x+4． 分析：根据函数零点的定义解f（x）=0，即可得到结论． 解：（1）由f（x）=x3+1=0得x=﹣1，即函数的零点为﹣1；（2）由f（x）==0 得x2+2x+1=0得（x+1）2=0，得x=﹣1，即函数的零点为﹣1．（3）由y=﹣x2+3x+4=0，可得（x﹣4）（x+1）=0，所以函数的零点为4，﹣1；（4）y=x2+4x+4，可得（x+2）2=0，所以函数的零点为﹣2． 2.①求函数f（x）=2x+x﹣3的零点的个数；②求函数f（x）=log 2 x﹣x+2的零点的个数；③求函数的零点个数是多少？ 分析：①由题意可判断f（x）是定义域上的增函数，从而求零点的个数；②由题意可 得，函数y=log 2 x 的图象和直线y=x﹣2的交点个数，数形结合可得结论．③由函数 y=lnx 的图象与函数y=的图 象只有一个交点，可得函数f（x）=lnx-（1／x）的零点个数． 解：①∵函数f（x）=2x+x﹣3单调递增，又∵f（1）=0，故函数f（x）=2x+x﹣3 有且只有一个零点 ②函数f（x）=log 2x﹣x+2的零点的个数，即函数y=log 2 x 的图象和直线y=x﹣2 的交点个数，如图所示：故函数y=log 2 x 的图象（红色部分）和直线y=x﹣2（蓝 色部分）的交点个数为2，即函数f（x）=log 2 x﹣x+2的零点的个数为2；③函数 f（x）=lnx-（1／x）的零点个数就是函数y=lnx的图象与函数y=1／x的图象 的 交点的个数，由函数y=lnx 的图象与函数y=1／x的图象只有一个交点，如图 所示， 可得函数f（x）=lnx-（1／x）的零点个数是1 3.①已知方程x2﹣3x+a=0在区间（2，3）内有一个零点，求实数a的取值范围 ②已知a是实数，函数f（x）=﹣x2+ax﹣3在区间（0，1）与（2，4）上各有一个 零点，求a的取值． ③已知函数f（x）=x2﹣2ax+4在区间（1，2）上有且只有一个零点，求a的取值范围 分析：①由已知，函数f（x）在区间（2，3）内有一个零点，它的对称轴为x=3／2，得出不等式组，解出即可； ②若函数f（x）=﹣x2+ax﹣3在区间（0，1）与（2，4）上各有一个零点，则f（0）＜0，f（1）＞0，f（2）＞0，f（4）＜0，解得答案；③若函数f（x）=x2﹣2ax+4只有一个零点，则△=0，经检验不符合条件；则函数f（x）=x2﹣2ax+4有两个零点，进而f （1）f（2）＜0，解得答案 解：①若函数f（x）=﹣x2+ax﹣3在区间（0，1）与（2，4）上各有一个零点，则f （0）＜0，f（1）＞0，f（2）＞0，f（4）＜0，即-3＜0，a-4＞0，2a-7＞0，4a-19＜0，解得：a∈（4，19／4）；②∵令f（x）=x2﹣3x+a，它的对称轴为x=3／2，∴函数f （x）在区间（2，3）单调递增，∵方程x2﹣3x+a=0在区间（2，3）内有一个零点，∴函数f（x）在区间（2，3）内与x轴有一个交点，根据零点存在性定理得出：f（2）＜0，f（3）＞0，即a-2＜0，9-9+a＞0，解得0＜a＜2；③解：若函数f（x）=x2﹣2ax+4只有
苏教版高中数学必修一函数的零点教案
2.5.1函数的零点 教学目标： 1．理解函数的零点的概念，了解函数的零点与方程根的联系． 2．理解“在函数的零点两侧函数值乘积小于0”这一结论的实质，并运用其解决有关一元二次方程根的分布问题． 3．通过函数零点内容的学习，分析解决对一元二次方程根的分布的有关问题，转变学生对数学学习的态度，加强学生对数形结合、分类讨论等数学思想的进一步认识． 教学重点： 函数零点存在性的判断． 教学难点： 数形结合思想，转化化归思想的培养与应用． 教学方法： 在相对熟悉的问题情境中，通过学生自主探究，在合作交流中完成学习任务．尝试指导与自主学习相结合． 教学过程： 一、问题情境 1．情境：在第2.3.1节中，我们利用对数求出了方程0.84x＝0.5的近似解； 2．问题：利用函数的图象能求出方程0.84x＝0.5的近似解吗？ 二、学生活动 1．如图1，一次函数y＝kx＋b的图象与x轴交于点(－2，0)，试根据图象填空： （1）k0，b0； （2）方程kx＋b＝0的解是； （3）不等式kx＋b＜0的解集； x y O －2 图1
2．如果二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于点(－3，0)和(1，0)，且开口方向向下，试画出图象，并根据图象填空： （1）方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解是 ； （2）不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为 ； ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为 ． 三、建构数学 1．函数y ＝f (x )零点的定义； 2．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象之间关系： △＝b 2－4ac △＞0 △＝0 △＜0 ax 2＋bx ＋c ＝0的根 y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象 y ＝ax 2＋bx ＋c 的零点 3．函数零点存在的条件：函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上不间断，且f (a )·f (b )＜0，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有零点． 四、数学运用 例1 函数y ＝f (x )(x [－5，3])的图象如图所示 ，根据图象，写出函数f (x ) 的零点及不等式f (x )＞0与f (x )＜0的解集． 例2 求证：二次函数y ＝2x 2＋3x －7有两个不同的零点． 例3 判断函数f (x )＝x 2－2x －1在区间(2，3)上是否存在零点？ 例4 求证：函数f (x )＝x 3＋x 2＋1在区间(－2，－1)上存在零点． 练习：（1）函数f (x )＝2x 2－5x ＋2的零点是_______ ． O x 1 x 2 x y O x 1＝x 2 x y O x y y x O －5 －3 －1 1 3
高一数学必修一函数知识点总结--新版
高一数学必修一函数知识点总结 二、函数的有关概念 1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域． 注意： 1．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零， (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本21页相关例2) 2．值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法 3. 函数图象知识归纳
(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x ∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 . (2) 画法 A、描点法： B、图象变换法 常用变换方法有三种 1)平移变换 2)伸缩变换 3)对称变换 4．区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间 （2）无穷区间 （3）区间的数轴表示． 5．映射 一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象）→B（象）” 对于映射f：A→B来说，则应满足： (1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的； (2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个； (3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。 6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况． (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．
函数与函数的零点知识点总结
函数及函数的零点有关概念 函数的概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作： y=f(x)，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域． 要点一：函数三要素及分段函数 (一)函数三要素 1.定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。 1.1求函数的定义域时从以下几个方面入手： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)指数为零底不可以等于零。 (6)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合即交集.(7)三角函数正切函数tan y x =中()2 x k k Z π π≠+ ∈. (8)实际问题或几何问题中的函数的定义域不仅要考虑使其解析式有意义,还要保证实际问题或几何问题有意义. (9)以上这些在题目中都没出现，则函数的定义域为R. 1.2复合函数定义域的求法： 复合函数：如果y=f(u)(u ∈M),u=g(x)(x ∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x ∈A) 称为f 、g 的复合函数。 (1)已知f(x)的定义域是[a,b],求f[g(x)]的定义域，是指满足()a g x b ≤≤的x 的取值范围； (2)已知f[g(x)]的定义域是[a,b],求f(x)的定义域，是指在[,]x a b ∈的条件下，求g(x)的值域； (3) 已知f[g(x)]的定义域是[a,b],求f[h(x)]的定义域，是指在[,]x a b ∈的条件下，求g(x)的值域,g(x)的值域就是h(x)的值域,再由h(x)的范围解出x 即可。 2).求函数的解析式的常用求法： 1、定义法； 2、换元法； 3、待定系数法； 4、函数方程法； 5、参数法； 6、配方法 3).值域 : 先考虑其定义域 3.1求函数值域的常用方法 1、图像法； 2、层层递进法； 3、分离常数法； 4、换元法； 5、单调性法； 6、判别式法； 7、有界性； 8、奇偶性法； 9、不等式法；10、几何法； 3.2分段函数的值域是各段的并集 3.3复合函数的值域
方程的根与函数的零点练习答案
方程的根与函数零点综合练习题答案 一、选择题 1．下列函数中在区间[1,2]上有零点的是( ) A ．f (x )＝3x 2－4x ＋5 B ．f (x )＝x 3－5x －5 C ．f (x )＝ln x －3x ＋6 D ．f (x )＝e x ＋3x －6 2．设函数f (x )＝1 3 x －lnx (x ＞0)则y ＝f (x )( ) A ．在区间????1e ，1，(1，e )内均有零点 B ．在区间??? ?1 e ，1， (1，e )内均无零点 C ．在区间????1e ，1内有零点；在区间(1，e )内无零点D ．在区间????1 e ，1内无零点，在区间(1，e )内有零点 3．函数f (x )＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2) 4．函数y ＝3 x －1x 2的一个零点是( ) A ．－1 B ．1 C ．(－1,0) D ．(1,0) 5．若函数f (x )是奇函数，且有三个零点x 1、x 2、x 3，则x 1＋x 2＋x 3的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．3 D ．不确定 6．已知f (x )＝－x －x 3，x ∈[a ，b ]，且f (a )·f (b )<0，则f (x )＝0在[a ，b ]内( ) A ．至少有一实数根 B ．至多有一实数根 C ．没有实数根 D ．有惟一实数根 7．若函数)(x f y =在区间[a ,b ]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ ） A ．若0)()(>b f a f ，不存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ； B ．若0)()(b f a f ，有可能存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ； D ．若0)()(0，f (2)<0，则f (x )在(1,2)上零点的个数为( ) A ．至多有一个 B ．有一个或两个 C ．有且仅有一个 D ．一个也没有 9．函数f (x )＝2x －log 12 x 的零点所在的区间为( ) A.??? ?0，1 4 B.????14，12 C.??? ?1 2，1 D ．(1,2) 10．根据表格中的数据，可以判定方程e x －x －2＝0的一个根所在的区间为( ) A.(－1,0) B 11．若函数f (x )＝ax ＋b 的零点是2，则函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( )
高中数学人教B版必修一第二章2.4.1《函数的零点》 教学设计
《函数的零点》课堂教学设计 一．教学内容 本课内容选自经全国中小学教材审定委员会2004年初审通过的人教版普通高中课程标准试验教科书，数学必修①，B 版第二单元《函数》中的《函数的零点》，新授课，第一课时。 1．知识背景 2．4节《函数与方程》作为新课程改革试验教材中的新增内容，其课程目标是想 通过对本节的学习，使学生学会用二分法求函数零点近似解的方法，从中体会函数与方程之间的联系，同时达到“方法构建、技术运用、算法渗透”这一隐性的教学目标。建立实际问题的函数模型，利用已知函数模型解决问题，作为一条主线贯穿了全章的始终，而方程的根与函数的零点的关系、用二分法求函数零点的近似解，是在建立和运用函数模型的大背景下展开的。方程的根与函数的零点的关系、用二分法求函数零点的近似解中均蕴涵了“函数与方程的思想”，这也是本章渗透的主要数学思想． 2．本节内容 《函数的零点》通过对二次函数图像的绘制、分析，得到零点的概念，从而进一步 探索一般函数零点存在性的判定，这些活动就是想让学生在了解初等函数的基础上，对函数图像进行全新的认识，在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值。 二．教学目标 知识与技能:（1）通过对二次函数增图像的描绘，理解函数零点的概念，体会我们在 研究和解决问题过程的一般思维方法。 （2）通过对一般函数图像的描绘分析，领会函数零点与相应方程之间的 关系，掌握零点存在的判定条件。 （3）培养学生对事物的观察、归纳能力和探究能力。 过程与方法: 通过画函数图像，分析零点的存在性。 情感态度与价值观: 使学生再次领略“数形”的有机结合，渗透由抽象到具体的思想, 理解动与静的辨证关系,体会数学知识之间的紧密联系。 三．教学重点 重点：理解零点的概念，判定二次函数零点的个数，会求函数的零点． 具体流程设计 一、创设情境 画函数322--=x x y 的图像，并观察其图象与其对应的一元二次方程0322=--x x [师生互动] 师：引导学生通过配方，画函数图象，分析方程的根与图象和x 轴交点坐标的关系。
高中数学必修一函数知识点总结
高中数学必修一函数知识点总结 同学们，今天开始讲解函数章节学习，函数这章极其重要，因为函数是高中数学重要的枢纽章节，高中数学除了立体几何和概率统计和函数没有关系之外，所有章节多多少少和函数有关系，所以函数学不好高中数学很难突破100以上，那么从第一堂开始往下面讲，认真往下听把所有题目听懂按照肖老师的要求掌握函数，学好函数是没有问题。函数这章我们应该讲什么内容呢？ 函数先看他的树枝图，第一个点要了解函数定义讲完，讲解函数三要素（定义域、解析式、值域）
接下来讲解函数四性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性） 接下来讲解函数类型主要讲解二次函数、指数、对数、幂函数、反函数这些内容讲完后，这个就是函数基础内容。 函数基础内容讲完后，准备了函数专题一：讲解函数零点问题分为了四个题型格外重要，一出题就是高考压轴题
那么第二个专题讲到恒成立问题 第三个专题总结一下函数压轴小题不能常规做，如果常规做，极有可能时间浪费掉正确答案也做不出来，有技巧的，有三个技巧方法非常高效。 第一种题型：三次函数的单调性、极值、最值及其应用，其实这个点，我们在六类不等式提到过。 第二种题型：差异取值验证法在解决函数选择难题中的妙用，全国卷做完百分之八十压轴选择题，除了一点函数题之外，其他章节题目也能用这个思想去做，同学可能或多或少有了解，带着大家把这种方法彻底让你掌握，高效去做压轴选择题 第三种题型：已知函数不等式求解抽象不等式这种题型是构造函数这些内容全部讲完相信你对函数这章体系特别完整，那么后续学习其他章节就不会因为函数这章没有学好而影响后面的学习。 那么开始进入第一个点函数三要素，一个点定义域，给大家讲解三个
方程的根与函数的零点教案(新)
《方程的根与函数的零点》教案 一、课题：方程的根与函数的零点 二、课型：新授课 三、课时安排：1课时 四、教学目标：以一元二次函数的图象与对应的一元二次方程的 关系为突破口， 探究方程的根与函数的零点的关系式.发现并掌握在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法，探究过程中体验发现乐趣，体会数形结合的数学思想，从特殊到一般的归纳思想，培养学生分析问题、解决问题的能力. 五、教学重点：函数零点的概念与函数零点存在性. 六、教学难点：探究函数零点存在性. 七、教学内容分析： 函数与方程是中学数学的重要内容，既是 初等数学的 基础，又是初等数学与高等数学的连接纽带，也是中学数学四大数学思想之一，因此函数与方程便自然地成为了高考考查的焦点，在整个高中数学中占有非常重要的地位. 八、教学方法：启发诱导式. 九、教学工具：黑板与多媒体. 十、教学步骤： 1.导入新课 解方程比赛： （学生口答） （逐层加深） （无法解） 2.引入课题 以下一元二次方程的实数根与相应的二次函数的图像有什么关系？ （1） （2） (3) 通过一元二次方程的实数根与相应的二次函数的图像可得出结论：一元二次方程的实数根就是与之相应的一元二次函数的图像与X 轴的交点的横坐标. 从而引出函数零点的概念：对于函数y=f(x), 使f(x)=0的实数x 叫做函数 y=f(x)的零点. 注意：（1）“零点”不是一个点； （2）函数零点的意义：就是一元二次方程的实数根，亦是一元二 （3）等价关系：方程y=f(x)的图象与x 函数y=f(x)有零点. 通过上面的关系式的探讨，求函数零点主要方法有：（1）定义法（求方程的实数根）；（2）图象法（利用函数图象确定）. ()1320 x +=求下列方程的根： 032)2(2 =--x x 0 2)3(3=-+x x (4)ln 260 x x +-=0 322=--x x 322--=x x y 0122=+-x x 122+-=x x y 0322=+-x x 322+-=x x y
人教版高一数学必修一知识点总结
高一数学知识总结 必修一 一、集合 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合 {H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一 个集合 3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太 平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球 队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1）列举法：{a,b,c……} 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4）Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合 例：{x|x2=－5｝
二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意：B A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2） A与B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?/B或B?/A 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A?B那就说集合A是集合B的 真子集，记作A B(或B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集 二、函数 1、函数定义域、值域求法综合 2.、函数奇偶性与单调性问题的解题策略 3、恒成立问题的求解策略 4、反函数的几种题型及方法 5、二次函数根的问题——一题多解 &指数函数y=a^x a^a*a^b=a^a+b(a>0,a、b属于Q) (a^a)^b=a^ab(a>0,a、b属于Q) (ab)^a=a^a*b^a(a>0,a、b属于Q)
函数的零点
函数的零点 ■教材：人教版高中数学必修1〖教学设计说明〗 本节课知识点为课程改革后新增内容——通过函数与方程研究进一步探讨函数的性质即函数零点不变性 我所授课的班级为我校普通班学生。班级构成男生较多，思维活跃但落实欠佳，学生的能力一般，属于中等水平。 本节知识在处理过程中主要想通过学生所熟悉的知识入手，引出零点概念——通过功能题组由学生自己总结出1、求函数零点的步骤及2、学生们熟悉的基本初等函数零点情况3、一元高次函数零点的求解方法等——再通过图组引导学生发现并总结出连续函数零点的性质——最后利用零点的性质解决问题。这样的处理方式是想让学生在解决旧问题的过程中收获新知识，并利用新知识解决新问题。在教学中，注意引导学生自主探索，通过抽象、概括形成概念，在这个过程中让学生体会收获知识的快乐，养成学生探求新知的方法和能力。 本节内容希望学生从数、形的双重角度去认识零点，同时还突出零点在作图中的应用。通过PPT 应用，能够使学生在认识上更加直观，同时可以增加课堂的容量。学生热情、活跃，通过多媒体可以使学生增加感性认知。 〖教学设计〗 【教学目标】 （一）知识与技能 理解函数零点的意义，能判断二次函数零点的存在性，会求简单函数的零点，了解函数的零点与
方程根的关系。体验函数零点概念的形成过程，提高数学知识的综合应用能力。 （三）情感态度与价值观 让学生初步体会事物间相互转化的辩证思想，逐步学会用辩证与联系的观点看问题和分析问题。 【教学重点】 【教学难点】 函数零点的应用。 【教学过程】 一、复习引入 请作出函数2 ()23f x x x =--+的草图； 解：解方程得：123,1x x =-= 过与x 轴的交点(3,0),(1,0)-，顶点(1,4)- 函数2 ()23f x x x =--+ (3,0),(1,0)- 令0y = 2230x x --+= 解方程 123,1x x =-= 二、形成概念 零点定义：一般地，如果函数()y f x =在实数α处的值等于零，即()0f α=，则α叫做这个函数的零点。 三、概念深化及应用 练习1：求下列各函数的零点 请学生总结通过这组练习能得到什么结论？ a 、 求函数零点的步骤。 b 、 不是所有的函数都有零点。例如反比例函数就不存在零点。 辅助作图 2 222 51)2)473)444)235)23 6)(23)(1)7)2y x y x y x x y x x y x x y x x x y = =--=-+=-+=--=---=数 形结合
《方程的根与函数的零点》测试题
《3.1.1 方程的根与函数的零点》测试题 一、选择题 1.(2012天津)函数在区间(0，1)内的零点个数是( ). A.0 B.1 C.2 D.3 考查目的：考查函数零点的概念与零点存在性定理的应用. 答案：B. 解析：∵函数在区间(0，1)上连续且单调递增，又∵，，∴根据零点存在性定理可知，在区间内函数零点的个数有1个，答案选B. 2.(2010浙江)已知是函数的一个零点.若，，则( ). A. B. C. D. 考查目的：考查函数零点的概念、函数的性质和数形结合思想. 答案：B. 解析：(方法1)由得，∴.在同一直角坐标系中，作出函数，的图象，观察图象可知，当时，；当时，，∴，. (方法2)∵函数、在上均为增函数，∴函数在上为增函数，∴由，得，由，得. 3.若是方程的解，则属于区间( ).
A. B. C. D. 考查目的：考查函数零点的存在性定理. 答案：D. 解析：构造函数，由，知，属于区间(1.75，2). 二、填空题 4.若函数的零点位于区间内，则 . 考查目的：考查函数零点的存在性定理. 答案：2. 解析：∵函数在定义域上是增函数，∴函数在区间上只有一个零点. ∵，，，∴函数的零点位于区间内，∴. 5.若函数在区间(-2，0)与(1，2)内各有一个零点，则实数的取值范围. 考查目的：考查函数零点的概念，函数零点的存在性定理和数形结合思想. 答案：. 解析：由题意画出函数的草图，易得，即，解得. 6.已知函数，设函数有两个不同的零点，则实数 的取值范围是. 考查目的：考查函数零点的概念、函数与方程的关系和数形结合思想. 答案：.
解析：函数有两个不同的零点，即方程有两个不同的实数根，画出函数图象与直线，观察图象可得满足题意的实数的取值范围是. 三、解答题 7.利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根？ ⑴； ⑵. 考查目的：考查方程有实数根等价于函数的图象与轴交点的情况. 解析：⑴方程可化为，作出函数的图象，与轴有两个交点，故原方程有两个实数根； ⑵方程可化为，作出函数的图象，开口向上，顶点坐标为，与轴没有交点，故原方程没有实数根． 8.求出下列函数零点所在的区间. ⑴；⑵. 考查目的：考查函数零点的存在性定理. 解析：⑴∵函数的定义域为，且在定义域上单调递增，在 上最多只有一个零点.又∵，， ，∴函数的零点所在的区间为. ⑵∵函数的定义域为R，且在定义域上单调递减，∴函数在R上最多只有一个零点，又∵，，，∴函数零点所在的区间为.
高中数学必修一至必修五知识点精选
高中数学必修一至必修五知识点精选 必修一 １.函数奇偶性： （１）偶函数：对于函数f(x ）定义域内任意一个x,都有f （-x)＝f(x)．图象关于ｙ轴对称． （２）奇函数:对于函数ｆ(x)定义域内任意一个ｘ,都有f(-x)＝-f(x)．图象关于原点对称． 奇函数和偶函数的性质： (1）若函数()f x 为奇函数,且在0x =处有定义，则(0)0f =. (2)奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反. 2.分数指数幂的运算性质 ①(0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 3.对数式与指数式的互化:log (0,1,0)x a x N a N a a N =?=>≠>． 4.几个重要的对数恒等式 log 10a =，log 1a a =,log b a a b =． ５.常用对数:lg N ,即10log N 自然对数:ln N ,即log e N (其中 2.71828e =…）. 6.对数的运算性质 (1）log log log ()a a a M N MN += (2）log log log a a a M M N N -= (３)log log ()n a a n M M n R =∈ (4)log a N a N = （5）log log (0,)b n a a n M M b n R b =≠∈ （6)log log (0,1)log b a b N N b b a = >≠且 ７.指数函数 （１)定义:形如)1,0(≠>=a a a y x 且的函数,叫指数函数。 ａ>1 0＜a <1 图象
函数与函数地零点知识点的总结
函数及函数的零点有关概念 函数的概念：设 A 、 B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f ，使对于集合A 中的任意一个数 x ，在 集合B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作： y=f(x) ， x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集 合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域． 要点一：函数三要素及分段函数(一)函数三要素 1.定义域：能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。 1.1求函数的定义域时从以下几个方面入手：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5) 指数为零底不可以等于零。 (6)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的 集合即交集.(7)三角函数正切函数 tan y x 中()2 x k k Z . (8)实际问题或几何问题中的函数的定义域不仅要考虑使其解析式有意义,还要保证实际问题或几何问题有意义 . (9)以上这些在题目中都没出现，则函数的定义域为R. 1.2复合函数定义域的求法：复合函数：如果y=f(u)(u ∈M),u=g(x)(x ∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x ∈A) 称为f 、g 的复合函数。 (1) 已知f(x)的定义域是[a,b],求f[g(x)] 的定义域，是指满足 () a g x b 的x 的取值范围； (2)已知f[g(x)]的定义域是[a,b],求f(x)的定义域，是指在[,]x a b 的条件下，求g(x)的值域； (3) 已知f[g(x)] 的定义域是[a,b], 求f[h(x)] 的定义域，是指在[,]x a b 的条件下，求g(x)的值域,g(x)的值 域就是h(x)的值域,再由h(x)的范围解出x 即可。2).求函数的解析式的常用求法： 1、定义法； 2、换元法； 3、待定系数法； 4、函数方程法； 5、参数法； 6、配方法3).值域 : 先考虑其定义域3.1求函数值域的常用方法 1、图像法； 2、层层递进法； 3、分离常数法； 4、换元法； 5、单调性法； 6、判别式法； 7、有界性； 8、奇偶性法； 9、不等式法；10、几何法；3.2分段函数的值域是各段的并集3.3复合函数的值域