数学物理方法第二篇第3章
第三章 行波法和通积分法
§2.3.1一维波动方程哥西问题达朗贝尔公式
无限长均匀弦的自由振动归结为一维齐次波动方程的哥西问题：
??
?==>+∞<<-∞=-)
()0,(),()0,()
0,(,02x x u x x u t x u a u t xx tt ψ? 这个方程的特征方程为 0
)(
2
2
=-a
t x d d ，
所以波动方程是双曲型方程，有两组实的特征线
1c at x =-，2c at x =+，
作自变量的变换，令
at x -=ξ，at x +=η， 应用复合函数求导法则，有
η
ξηξau au a u a u u t +-=?+-=)(,
ηξηξu u u u u x +=?+?=11,
ηηξηξξu a u a u a u tt 2
2
2
2+-=,
ηη
ξηξξu u u u xx ++=2,
代入波动方程中，化简得
0=ξηu ，
利用偏导数的意义，得通解
)()()()(),(at x G at x F G F t x u ++-=+=ηξ，
其中F 和G 是任意二阶连续可微函数.
由),(t x u 满足的初始条件来确定F 和G 的具体形式，于是 得函数方程
?
?
?='+'-=+)()()(),
()()(x x G a x F a x x G x F ψ? 积分第二式得
C a
x G x F x
x +=
+-?α
αψd 0
)(1)()(，C 为积分常数.
从而得
2)(21)(21)(0C a x x F x
x -
-
=
?ααψ?d ，
2
)(21)(2
1)(0
C a
x x G x
x +
+
=?ααψ?d
故得一维齐次波动方程哥西问题的解 ααψ??d ?+-+
++-=
at
x at
x a
at x at x t x u )(21)]()([2
1),(,
这就是著名的达朗贝尔公式.
通常称)(at x F -为右传播波（或右行波），称)(at x G +为左传播波（或左行波），a 为速度.所以这种解波动方程哥西问题的方法称为行波法，在数学上又叫通积分法.
例1. 一端运动的半无限长均匀弦的自由振动，归结为求解下面的初边值问题：
??
?
??+∞<≤==>=>+∞<<=-)
0(),()0,(),()0,()0(),
(),0()
0,0(,02x x x u x x u t t t u t x u a u t xx tt ψ?μ a 是波的传播速度，当x ≥at 时，端点)(),0(t t u μ=的波动不会对解
),(t x u 产生影响，所以这时
ααψ??d ?+-+
++-=
at
x at
x a
at x at x t x u )(21)]()([2
1),(，
（x ≥at ）
特别地，当at x =时，有
)()(21)]2()0([2
1),(20
t g a
at t at u at
≡+
+=
?α
αψ??d
是已知函数.
现在只需确定问题在0≤x at <处的解，由通解式
)()(),(at x G at x F t x u ++-=，分别令0=x 与at
x =可得
??
?==+==+-)
(),()2()0(),
(),0()()(t g t at u at G F t t u at G at F μ
由此导出，)0()2(
)(F a
g G -=β
β， )
0()2()()()()(F a
g a
G a
F +-
--
=---=β
β
μββ
μβ
从而有
)()(),(at x G at x F t x u ++-=
)2(
)2(
)(
a
at x g a
x at g a
x at ++---=μ
α
αψ??μd ?+-+
--++
-
=at
x x
at a
x at at x a
x t )(21)]()([2
1)(，（0≤x at <）
故一端运动的半无限长均匀弦的自由振动问题的解为
???
????<≤+--++-≥+++-=??+-+-)
0(,)(21)]()([21)()(,)(21
)]()([2
1),(at x a x at at x a x t at x a at x at x t x u at
x x
at at
x at x ααψ??μααψ??d d 例2. 一端受力作用的半无限长均匀弦的自由振动问题.
??
?
??==≥=>+∞<<=-),()0,(),()0,()0(),
(),0()0,0(,02x x u x x u t t t u t x u a u t x xx tt ψ?μ
因为a 是波的传播速度，当x ≥at 时，同样，端点0=x 的波
动)(),0(t t u x μ=不会对解),(t x u 产生影响，因此在at x -≥0时有
ααψ??d ?+-+
++-=
at
x at
x a
at x at x t x u )(21)]()([2
1),(，
（x ≥at ）
为了满足边界条件，为此求导得：
)]()([21)]()([2
1),(at x at x a
at x at x t x u x --++
+'+-'=
ψψ??，
于是当at x =时，有
)
()]0()2([21)]2()0([2
1),(t h at a
at t at u x ?
=-+
'+'=
ψψ??，
在0≤at x <时的解
)()(),(at x G at x F t x u ++-=，
就有
)()(),(at x G at x F t x u x +'+-'=
当0=x 时得：
)(),0()()(t t u at G at F x μ=='+-' 即 )()()(ξξ
μξG a
F '--='，
积分得 )()()(0
ξττμξξ
-+-=?-
G a F a
d ，
由)(),(t h t at u x =，得
)()2()0(t h at G F ='+'，
即 )0()2()(F a
h G '-='η
η
积分之，有
ητ
τηη
)0()(2)(20
F h a
G a
'-=?d
这样，在0≤at x <时，有
)()(),(at x G at x F t x u ++-=
ττμα
αψααψ??d d d ???-
-+-+
+
-++=
a
x t x
at at
x a
a
a
x at at x 0
)()(21)(21)]()([2
1
)2)](0()0(21)0(21[at F a
'--'+ψ? 注意到 )0(21
)0(21)0(ψ?a
F -'='，因此得解
??
??
?
???
?<≤-++-++≥+++-=????--++-)
0(,
)()(21
)(212)()()
(,)(21
2)()(),(0
0at x a a a x at at x at x a at x at x t x u a
x t x
at at x at
x at
x ττμααψααψ??ααψ??d d d d 例3. 求解Cauchy 问题：
??
???+===++==x
x u x u u u u x
y x
x
y yy xy xx cos 4,464
31032
解： 写出特征方程 0
310
)(
32
=+-x
y x y d d d d
得 03=-x y d d 或 03=-x y d d
得到特征线 13c x y =-，23c x y =-，21,c c 为任意常数. 令 x y -=3ξ，x y 3-=η， 化简原方程为 6464=-ξηu 即 1=ξηu 得通解有
)()(ηξξηG F u ++-=
这里F ，G 为二阶可微函数.
因此得原方程的通解
)3()3()3)(3(),(x y G x y F x y x y y x u -+-+---=. 由2
4x
u
x
y ==有
2
2
4)2()2(4x
x G x F x =-++,
得函数方程 0)()(=-+x G x F , 由x x x x u x cos 4),(+=，而
)
3(3)3(610),(x y G x y F x y y x u x -'--'--=
得 x x x G x F x cos 4)2(3)2(4+=-'-'-, 所以 2cos
)(3)(x x G x F -=-'+',
积分得 C x x G x F +-=--2
s i n 2)(3)(, 这样就有 4
2sin
21
)(C x x F +-=，4
2
sin
2
1)(C x x G -
-=,
因此问题的解
2
3sin
212
3sin
21)3)(3(),(y x y x x y y x y x u -+-+
--=.
例4. 求方程
x
y
u y u y xyu
u x y yy xy
xx 3
2
22
2=
+++ 的通解.
解：写出特征方程 02)(
2
2
2=+-y
x
y xy
x y x d d d d
由于0)(222=--=?y x xy ，所以方程是抛物型的方程，解得一族特征线：0=-ydx xdy , 有 1c x
y =，1c 为实常数.
作变量变换： x
y =
ξ，y =η，
01
10)
,(D ),(D 2
2
≠-=-=
x
y x
x y y x ηξ，
这样原方程可化为
ξ
ηηη=+u u ，)0(≠y
得通解 )()(ξξξηηg e f u +-=-, 故得方程的通解有
)()(),(2
x
y g e x y f x y
y x u y +-=
-, 其中 f 和g 为任意二阶可微函数.
§2.3.2一维非齐次波动方程的Cauchy 问题
一维非齐次波动方程的Cauchy 问题:
??
?+∞<<-∞==>+∞<<-∞=-)(),()0,(),
()0,()
0,(),,(2x x x u x x u t x t x f u a u t xx tt ψ? 利用线性方程的叠加原理，考虑如下两个Cauchy 问题：
问题I ：?
??+∞<<-∞==>+∞<<-∞=-)(),()0,(),()0,()
0,(,02
x x x v x x v t x v a v t xx tt ψ?
它的解为
ααψ??d a
at x at x t x v at
x at
x ?+-+
++-=
)(212
)
()(),(
问题II ：???+∞<<-∞==>+∞<<-∞=-)
(,0)0,(,0)0,()
0,(),,(2x x u x u t x t x f u a u t xx tt
如果这个问题的解),(2t x u 求出来，则原问题的解为 ),(),(),(2t x u t x v t x u += 对于问题II ，有齐次化原理(Duhamel ).
齐次化原理：设0≥τ为参数，如果函数);,(τt x w 是Cauchy 问题
???==>=-),();,(,
0);,()
(,02ττττττx f x w x w t w a w t xx tt
的解，则函数
ττd ?=t
t x w t x u 0
);,(),(
是问题II 的解.
事实上，??=+=t
t t
t t t x w t x w t t x w u 0
0d );,(d );,();,(ττττ
??+=+=t
tt t
tt t tt t x w t x f t x w t t x w u 0
d );,(),(d );,();,(ττττ
?=
t
xx
xx t x w
u 0
d );,(ττ
由此 ),(d )];,();,([),(0
22
t x f t x w a t x w t x f u a u t
tt tt xx tt ?=-+=-τττ.
表明),(t x u 满足问题II 中的方程，满足初始条件是显然的. 对于这个问题的解，令τ-='t t ，这样把初始时刻是τ的转化为0='t ，问题就变为
?????==>'=-=''='''),(,0)0(,
000
2
τx f w w t w a w t t t xx t t
由达朗贝尔公式得 αταττd ?
'
+'
-=+'t a x t a x f a
t x w ),(21);,(,
于是得解
ατατττd ?
-+--=)
()
(),(21);,(t a x t a x f a
t x w ,
这样问题II 的解为
ταταττd d ??-+--=
t t a x t a x f a
t x u 0)
()
(2),(21
),(,
从而得一维非齐次波动方程的Cauchy 问题的解有
τ
αταα
αψ??ττd d d ???-+--+-+
+
++-=
t t a x t a x at
x at
x f a
a
at x at x t x u 0)
()
(),(21
)(212
)
()(),(.
§2.3.3高维波动方程的Cauchy 问题
对于三维波动方程的Cauchy 问题的提法是
??
?==++≡?=)
,,()0,,,(),,,()0,,,()
(22z y x z y x u z y x z y x u u u u a u a u t zz yy xx tt ψ? 用球面平均值法求解.
现在将一维波动方程Cauchy 问题的达朗贝尔解改写成
ααψαα?d d ??+-+-+??=
at
x at
x at
x at
x at t
at
t
t t x u )(2])(2[),(
分析一下这个解的特点： (1)
α
αχd ?+-at
x at
x at
)(21是被积函数)(αχ在区间],[at x at x +-上的算术
平均值；积分值的大小依赖于区间中点x 和区间的半径长at ，因此它是两个变量),(t x 的函数，记为α
αχd ?+-=
at
x at
x at
t x v )(21),(.
(2))(x χ是一个任意函数，但),(),(1t x tv t x u =，t
t x tv t x u ??=)]
,([),(2都满足方程 xx tt u a u 2=.
(3)只要令)()(x x ψχ=，则),(1t x u 满足初始条件)()0,(1x x u t ψ=；
若令)()(x x ?χ=，那么),(2t x u 就满足初始条件)()0,(2x x u ?=，因此，叠加后的),(),(),(21t x u t x u t x u +=都满足初始条件：)()0,(x x u ?=，
)()0,(x x u t ψ=.
由此，启发我们仿照此就可构成三维波动方程Cauchy 问题的达朗贝尔解：
球面方程：22222)()()(t a z y x =-+-+-ζηξ，记为M
at S ；
球心：),,(z y x ；球半径：at ；球面M at S 的面积：224t a π.
这样任意函数),,(z y x χ在球面M
at S 上的平均值为
S
t
a t z y x v d ??=
ππ
ζηξχπ200
2
2),,(41),,,(σ
ζηξχπ
ππ
d ??=
200
),,(41,
这里球面M at S 上的点),,(ζηξ满足参数方程：
??
?
??+=+=+=θζ?θη?
θξcos sin sin cos sin at z at y at x ?
θθd d d sin 2
2
t a S =， ?θθσd d d sin =
这样对于三维波动方程Cauchy 问题：
??
?==++≡?=)
,,()0,,,(),,,()0,,,()
(22z y x z y x u z y x z y x u u u u a u a u t zz yy xx tt ψ? 的解为
]
),,(4[),,,(),(200
22S t
a t
t t z y x u t M u d ????=
=ππ
ζηξ?π
S t
a t d ??+
ππ
ζηξψπ200
2
2),,(4
]),,(4[200
σζηξ?π
ππ
d ????=
t
t σ
ζηξψπππ
d ??+200
),,(4t
这就是泊松公式，用球面平均值方法得到的.
例5．利用泊松公式求解波动方程的Cauchy 问题
?????+==++===yz x u u u u u a u t t t zz yy xx tt 200
2
,0)(
解：这里0),,(=z y x ?，yz x z y x +=2),,(ψ，令
?θξcos sin at x +=，?θηsin sin at y +=，θζcos at z += 由泊松公式得问题的解 ]
sin )]cos )(sin sin ()
cos sin [(41200
2
?θθθ?θ?θπππ
d d at at z at y at x a
u ??++++=
3
22
22
3
1)(])(3
4)(4[4t
a t yz x at yz x t +
+=+
+=
πππ
例6．试用降维法导出二维波动方程Cauchy 问题的解.
二维波动方程的Cauchy 问题：
??
?+∞<<-∞==>+∞<<-∞+=)
,(),,()0,,(),,()0,,()
0,,(),(2y x y x y x u y x y x u t y x u u a u t yy xx tt ψ? 所谓降维法就是把它看成三维问题的特殊情形，函数u 与z 无关，即
0=z u ，所以，初值函数?，ψ也与z 无关.
现在由泊松公式来导出这个问题的解.
由于初值函数?和ψ与z 无关，因此沿球面M
at S 的积分可以用过点
M 平行于平面0=z 的平面与球M at K 相截的圆形区域∑
M
at
上的积分来
代替.球面元素S d 与平面元素)d d (d y x σ有S d d θσcos =，而
at
y x at at
z 2
22)
()()(cos ηξθ----=
=
上半球面与下半球面的积分都用∑M at
上积分代替，从而得
),,(),(t y x u t M u =
]
)
()()(),()
()()(),([212
2
2
2
22??
??
∑∑----+
----??
=
M
at
M
at
y x at y x at t
a ηξη
ξηξψηξη
ξηξ?πd d d d 积分区域∑
M at
：222)()()(at y x ≤-+-ηξ.
例7．非齐次波动方程的Cauchy 问题. 解：考虑带齐次初始条件的Cauchy 问题：
??
?==+?=0
)0,,,(,0),,,(),,,(2z y x u t z y x u t z y x f u a u t tt
用齐次化原理，对τ>t ，τ为参数，考虑问题
???
??==?=);,,();,,,(0
);,,,(2τττττz y x f z y x w z y x w w a w t
tt
则由泊松方程得解
]]),(),(),([4);,,,(200
σττζτητξπ
ττππ
d ??
-+-+-+-=
t a z t a y t a x f t t z y x w 其
中 ?θξcos sin =，?θηsin sin =，θζcos =，那么容易验证函数
?=
t
t z y x w t z y x u 0
);,,,(),,,(τ
τd
]
]),(),(),([)(41200
τσττζτητξτπ
ππ
d d ??
?-+-+-+-=
t a z t a y t a x f t t 就是带齐次初始条件的Cauchy 问题的解.
数学物理方法第三章答案完整版
第三章答案 1. (6分)已知齐次状态方程Ax x =&的状态转移矩阵)(t Φ如下，求其逆矩阵)(1 t -Φ和系统矩阵A 。 ??? ???+-+---=Φ--------2t t 2t t 2t t 2t t 3e 2e 3e 3e 2e 2e 2e 3e )t (。 解： ??????+-+---=-Φ=Φ-2t t 2t t 2t t 2t t 1 3e 2e 3e 3e 2e 2e 2e 3e )t ()t ( （3分） ? ? ? ? ??=Φ==4-3-21|)t (A 0t & （3分） 2. (8分)求定常控制系统的状态响应。 ()()()()()()0101,0,0,11210x t x t u t t x u t t ??????=+≥== ? ? ?--?????? & 解：11t t t At t t t t t t e te te e e t t te e te -------+??+??== ? ?----?? ?? （4分） 0()()(0)()()10t t t t t x t t x Bu t d e te e d te e e ττττττ τττ------=Φ+Φ-????+??=+=??????--?????? ?? （4分） 3．(3分) 已知齐次状态方程Ax x =&的状态转移矩阵)(t Φ如下，求其系统矩阵A 。 ?? ? ???+-+---=Φ--------2t t 2t t 2t t 2t t 3e 2e 3e 3e 2e 2e 2e 3e )t (。 解：? ? ? ? ??=Φ==4-3-21|)t (A 0t & （3分） 4．(8分)已知系统的状态方程为： u x x ?? ????+??????=111101&， 初始条件为1)0(1=x ，0)0(2=x 。求系统在单位阶跃输入作用下的响应。 解：解法1：?? ? ???=??? ? ????????---=Φ--t t t e te e s s L t 01101)(1 1； （4分） ?? ????-=??????-+??????=??? ?????????-+????????????=?---t t t t t t t t t t t t t te e te e te e d e e t e e te e x 212111)(00100τττττ。 （4分） 解法2： ?? ????--=??????--+??????--=+-=-s s s s s s s s s s x s Bu A s s x 21)1(1 11)1(11)1(1)}0()({)I ()(22221 ；
《数学物理方法》各章节作业题
《数学物理方法》各章节作业题 要求：每章讲完后的下一周同一时间将作业收齐并交到辅导教师(2016级硕士生刘璋诚、王俊超和2015级硕士生魏弋翔、 徐鹏飞)处。例如，第一周星期四讲完第一章，则第二周 星期四上课时交第一章的作业，以此类推。 说明：若无特别标注，下面的页码均指梁昆淼编《数学物理方法》。 （第三版的页码用红字标出，第四版的页码用蓝字标出） 希望：若对我的讲授和布置的作业有任何批评和建议，欢迎同学们及时指出和告知，不胜感激。（最好用E-mail：） 辅导答疑安排：待定 辅导答疑教师：刘璋诚、王俊超、魏弋翔、徐鹏飞 第一部分复变函数论 “第一章复变函数的一般概念”作业题（2月23日交）
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?-l z dz α的物理意义。 补充题2：计算()?-l n z dz α，ｎ为正整数，且ｎ≠＋１。 “第四章 复数级数”作业题（3月16日交） 第46页（第三版） 第37页（第四版）：第3题，第4题； 第52页（第三版） 第41页（第四版）：（1），（3），（4），（8）； 第60页（第三版） 第47页（第四版）： （1），（2），（4），（5），（9），（11），（15）； 第64页（第三版） 第50页（第四版）：习题。 “第五章 留数定理”作业题（3月23日交） 第71页（第三版） 第55页（第四版）： 第1题中（1），（2），（3），（5），（9），（10）； 第2题中（1），（4）； 第3题； 第81页（第三版） 第63页（第四版）： 第1题中（4），（5），（7），（8）； 第2题中（4），（6）； 第3题中（1），（2），（7），（8）。 第二部分 积分变换
数学物理方法第八章作业答案
P 175 8.1在0x =的邻区域内，求解下列方程： (1) 2 (1)0x y''xy'y -+-= 解：依题意将方程化为标准形式2 2 10(1) (1) x y''y'y x x + - =-- 2 ()(1) x p x x = -，2 1()(1) q x x =- - 可见0x =是方程的常点． 设方程的级数解为0 ()n n n y x c x ∞ == ∑，则1 1 ()n n n y'x nc x ∞ -== ∑，2 2 ()(1)n n n y''x n n c x ∞ -== -∑ 代入原方程得2 2 2 1 2 2102 2 2 1 (1)(1)0(1)(1)0 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n c x x n n c x x nc x c x n n c x n n c x nc x c x ∞ ∞ ∞ ∞ ---====∞ ∞ ∞ ∞ -====---+- =? -- -+ - =∑∑∑∑∑∑∑∑ 由0 x 项的系数为0有：202012102 c c c c ?-=?= 由1 x 项的系数为0有：311313200 (0)c c c c c ?+-=?=≠ 由2x 项的系数为0有：42224201143212012 24 c c c c c c c ?-?+-=?= = 由3 x 项的系数为0有：533355432300c c c c c ?-?+-=?= 由4x 项的系数为0有：64446403165434010 80 c c c c c c c ?-?+-=?= = 由5 x 项的系数为0有：755577654500c c c c c ?-?+-=?= 由6 x 项的系数为0有：866686025587656056 896 c c c c c c c ?-?+-=?== …… ∴ 方程的级数解为 2 4 6 8 0100000 1115()2 24 80 896 n n n y x c x c c x c x c x c x c x ∞== =++ + + + +???∑
数学物理方法习题答案[1]
数学物理方法习题答案： 第二章： 1、（1）a 与b 的连线的垂直平分线；以0z 为圆心，2为半径的圆。 （2）左半平面0,x <但是除去圆22(1)2x y ++=及其内部；圆2211()416x y -+= 2、2 ,cos(2)sin(2)i e i π ππ+； 32,2[cos(sin(3)i e i π ππ+； ,(cos1sin1)i e e e i ?+ 3、22k e ππ--； (623)i k e ππ+； 42355cos sin 10cos sin sin ?????-+； 11()sin ()cos 22b b b b e e a i e e a --++- 1 ()cos 2 y y ay b e e x e ---- 4、（1） 2214u υ+= 变为W 平面上半径为1 2的圆。 （2）u υ=- 平分二、四象限的直线。 5、(1) z ie iC -+; 2(1) 2i z -; ln i z - (2) 选取极坐标 ,, ()2 2 u C f z ?? υ==+=6、ln C z D + 第三章： 1、 （1） i π （2）、 i ie π-- （3）、 0 （4）、i π （5）、6i π 2、 设 ()!n z z e f n ξ ξ= z 为参变数，则 () 1 220 1 1 () 1(0)2!2! 1()()!!! ! n z n n n l l n n n n z z n z e d f d f i n i n z d z z e e n n d n n ξξξξξξξξπξξπξ ξ +=== ====? ? 第四章： 1、（1） 23 23 ()()ln 22z i z i z i i i i i ---+-+- （2）23313 (1) 2!3!e z z z ++++ （3） 211111()()[(1)(1)](1)11222k k k k k k z z i i i z z z i z i z i ∞=---=-=--++--<+-+∑ 2、(1) 1 n n z ∞ =--∑ (2) 11()43f z z z =--- ①3z <时 11011()34k k k k z ∞ ++=-∑ ， 34z <<时
数学物理方法第二次作业答案
第七章 数学物理定解问题 1．研究均匀杆的纵振动。已知0=x 端是自由的，则该端的边界条件为 __。 2．研究细杆的热传导，若细杆的0=x 端保持绝热，则该端的边界条件为 。 3．弹性杆原长为l ，一端固定，另一端被拉离平衡位置b 而静止，放手任其振动，将其平衡位置选在x 轴上，则其边界条件为 00,0x x l u u ==== 。 4．一根长为l 的均匀弦，两端0x =和x l =固定，弦中张力为0T 。在x h =点，以横向力0F 拉弦，达到稳定后放手任其振动，该定解问题的边界条件为___ f (0)=0,f (l )=0; _____。 5、下列方程是波动方程的是 D 。 A 2tt xx u a u f =+； B 2 t xx u a u f =+； C 2t xx u a u =； D 2tt x u a u =。 6、泛定方程20tt xx u a u -=要构成定解问题，则应有的初始条件个数为 B 。 A 1个； B 2个； C 3个； D 4个。 7．“一根长为l 两端固定的弦，用手把它的中 点朝横向拨开距离h ，（如图〈1〉所示）然后放 手任其振动。”该物理问题的初始条件为( D )。 A ．?????∈-∈==] ,2[),(2]2,0[,2l l x x l l h l x x l h u o t B ．???? ?====00 t t t u h u C ．h u t ==0 D ．???????=?????∈-∈===0 ] ,2[),(2]2,0[,200t t t u l l x x l l h l x x l h u 8．“线密度为ρ，长为l 的均匀弦，两端固定，开始时静止，后由于在点)0(00l x x <<受谐变力t F ωsin 0的作用而振动。”则该定解问题为( B )。 A ．?????===<<-=-===0 ,0,0)0(,)(sin 0000 2 t l x x xx tt u u u l x x x t F u a u ρ δω u x h 2 /l 0 u 图〈1〉
数学物理方法123章作业解答
另：()y x u u ,=，()y x v v ,=，?? ?==? ρ?ρsin ,cos y x ? ?ρ ρ ρ sin cos y u x u y y u x x u u ??+ ??= ????+ ????= ?? ρ ?????ρ?ρρ??ρ? ρ??= ??+ ??= ??+ ??- =??? ? ????+-??=???? ??????+????= ??u x u y u y v x v y v x v y y v x x v v cos sin cos sin cos )sin (111 ? ?ρ ρ ρ sin cos y v x v y y v x x v v ??+ ??= ????+ ????= ?? ρ ?????ρ?ρρ??ρ? ρ??- =??- ??- =??+ ??- =??? ? ????+-??=???? ??????+????= ??v x v y v y u x u y u x u y y u x x u u cos sin cos sin cos )sin (111 所以，有 ?????? ???-=????=??ρ?ρ?ρρv u v u 11 第18页 第2题
第27页 指出下列多值函数的支点及其阶。 （1） ) (a z - 解：根式的可能支点是∞点和根式内多项式的零点，现在来逐个考察这些点的性质。 ① a z =：在此点的邻域内任取一点 1 11φρi e a z +=（11 <<ρ），则有 2 11)(φ φ ρρi i e e a z = = - 当保持 1ρ不变 π φφ211+→（绕 a z =一周）时，有
数学物理方法第十二章
第12章 第12.1节 一、数学物理问题分为正向问题和逆向问题。 正向问题，即为已知源求场；逆向问题，即为已知场求源。 前者是经典数学物理所讨论的主要内容.后者是高等数学物理所讨论的主要内容。 二、数学物理方程的类型和所描述的物理规律多数为二阶线性偏微分方程 1.振动与波（振动波，电磁波）传播满足波动方程。 2.热传导问题和扩散问题满足热传导方程。 3.静电场和引力势满足拉普拉斯方程或泊松方程。 三、三类典型的数学物理方程 1.双曲型方程（以波动方程为代表） 错误！未找到引用源。 2.抛物型方程（以热传导方程为代表） 错误！未找到引用源。 3.椭圆型方程（以泊松方程为代表） 错误！未找到引用源。当f(x,y,z)=0时，退化为拉普拉斯方程。 四、三类数学物理方程的一种最常用解法 分离变量法 -> 偏微分方程 -> 标准的常微分方程 ->标准解，即为各
类特殊函数 第12.2节 一、振动方程 1.弦的横振动 考察一根长为 l 且两端固定、水平拉紧的弦． 确定弦的微分方程的方法： 1)要研究的物理量是弦沿垂直方向的位移u(x,t) 2)被研究的物理量遵循牛顿第二定律。 3)按物理定理写出数学物理方程（即建立泛定方程） 其中必须注意两点：（a）由于数学物理方程必须反映弦上任一位置上的垂直 位移所遵循的普遍规律，所以考察点不能取在端点上，但可以取除端点之外 的任何位置作为考察点．（b）由于物理问题涉及的因素较多，往往还需要引 入适当假设才能使方程简化． 根据牛顿第二定律F =ma运动的方程可以描述为： 错误！未找到引用源。 仅考虑微小的横振动，夹角θ1 θ2为很小的量， cosθ1≈cosθ2≈1 Sinθ1≈tgθ1sinθ2≈tgθ2 ?s≈ds≈?x=dx
数学物理方法习题
数学物理方法习题 第一章： 应用矢量代数方法证明下列恒等式 1、 2、 3、 4、 5、 第二章： 1、下列各式在复平面上的意义是什么? （1） （2） ; 2、把下列复数分别用代数式、三角式和指数式表示出来。 3、计算数值（和为实常数，为实变数） 4、函数 将平面的下列曲线变为平面上的什么曲线？ （1） （2） 5、已知解析函数的实部或虚部，求解析函数。 （1） ； （2） 6、已知等势线族的方程为 常数，求复势。 第三章： 1、计算环路积分： 3r ?= 0r ??= ()()()()()A B B A B A A B A B ???=?-?-?+? 21()0 r ?=()0A ???= 0; 2 Z a Z b z z -=--=0arg 4z i z i π -<<+1Re()2 z =1;1i i e ++a b x sin5i i ?sin sin() iaz ib z a i b e -+1 W z = z W 224x y +=y x =()f z (,)u x y (,)x y υ22sin ;,(0)0;,(1)0x u e y u x y xy f u f ?==-+== =(00) f υ==22 x y +=
2、证明：其中是含有的闭合曲线。 3、估计积分值 第四章： 1、泰勒展开 （1） 在 （2）在 （3）函数在 2、（1） 在区域展成洛朗级数。 （2） 按要求展开为泰勒级数或洛朗级数：① 以为中心展开； ②在的邻域展开；③在奇点的去心邻域中展开；④以奇点为中心展开。 3、确定下列函数的奇点和奇点性质 第五章： 1、计算留数 （1） 在点。 （2） ，在点； （3） 在孤立奇点和无穷远点（不是非孤立奇点）； 2211132124sin 4(1).(2).11sin (3). (4). () 231 (5). (1)(3)z z z i z z z z z e dz dz z z z e dz dz z z z dz z z π π+=+====-+--+-????? 21()!2!n n z n l z z e d n i n ξξ πξξ=? l 0ξ=222i i dz z +≤? ln z 0 z i =1 1z e -0 0z =21 1z z -+1z =1 ()(1)f z z z = -01z <<1 ()(3)(4)f z z z = --0z =0z =521 (1);(2)(1)sin cos z z z z -+2 (1)(1)z z z -+1,z =±∞3 1sin z e z -0z =31 cos 2z z -
(整理)数学物理方法
《数学物理方法》课程考试大纲 一、课程说明： 本课程是物理学专业的一门重要基础课程，它是继高等数学后的一门数学基础课程。 本课程的教学目的是：(1) 掌握复变函数、数学物理方程、特殊函数的基本概念、基本原理、基本解题计算方法；(2) 掌握把物理问题归结成数学问题的方法，以及对数学结果做出物理解释。为今后学习电动力学、量子力学和统计物理等理论物理课程打下必要的数学基础。 本课程的重点是解析函数、留数定理、傅里叶变换、数学物理方程、分离变数法、傅里叶级数法、本征值问题等。 本课程的难点是把物理问题归结成数学问题，以及各种数学物理方程的求解。 二、参考教材： 必读书：《数学物理方法》，梁昆淼编，高等教育出版社，1998年6月第3版。 参考书：《数学物理方法》，汪德新编，科学出版社，2006年8月第3版；《数学物理方法》，赵蕙芬、陆全康编，高等教育出版社，2003年8月第2版。 三、考试要点： 第一章复变函数 （一）考核知识点 1、复数及复数的运算 2、复变函数及其导数 3、解析函数的定义、柯西-黎曼条件 （二）考核要求 1、掌握复数三种形式的转换。 2、掌握复变函数的导数和解析等基本概念，并掌握判断导数是否存在和函数是否解析的 方法。 u 。 3、了解解析函数与调和函数的关系，并能从已知调和函数u或v，求解析函数iv 第二章复变函数的积分 （一）考核知识点 1、复变函数积分的运算 2、柯西定理 （二）考核要求 1、理解单通区域和复通区域的柯西定理，并能用它们来计算复变函数的积分。
2、掌握应用原函数法计算积分。 3、掌握柯西公式计算积分。 第三章幂级数展开 （一）考核知识点 1、幂级数的收敛半径 2、解析函数的泰勒展开 3、解析函数的洛朗展开 （二）考核要求 1、理解幂级数收敛圆的性质。 2、掌握把解析函数展开成泰勒级数的方法。 3、掌握把环域中的解析函数展开成洛朗级数的方法。 4、理解孤立奇点的分类及其类型判断。 第四章留数定理 （一）考核知识点 1、留数的计算 2、留数定理 3、利用留数定理计算实变函数定积分 （二）考核要求 1、掌握留数定理和留数计算方法。 2、掌握利用留数定理计算三类实变函数定积分。 第五章傅里叶变换 （一）考核知识点 1、傅里叶级数 2、傅里叶变换 3、δ函数 （二）考核要求 1、掌握周期函数的傅里叶级数形式和定义在有限区间) ,0(l上的函数的傅里叶展开。 2、掌握非周期函数的傅里叶变换。 3、掌握δ函数的性质及其傅里叶积分的形式。 第七章数学物理方程的定解问题
数学物理方法
数学物理方法课程教学大纲 一、课程说明 （一）课程名称：数学物理方法 所属专业：物理、应用物理专业 课程性质：数学、物理学 学分：5 （二）课程简介、目标与任务 这门课主要讲授物理中常用的数学方法，主要内容包括线性空间和线性算符、复变函数、积分变换和δ-函数、数学物理方程和特殊函数等，适当介绍近年来的新发展、新应用。本门课程是物理系学生建立物理直观的数学基础，其中很多内容是为后续物理课程如量子力学、电动力学等服务，是其必需的数学基础。 这门课中的一些数学手段将在今后的基础研究和工程应用中发挥重要的作用，往往构成了相应领域的数学基础。一般来讲，因为同样的方程有同样的解，掌握和运用这些数学方法所体现的物理内容将更深入，更本质。 （三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接 本课程以普通物理、高等数学和部分线性代数知识为基础，为后继的基础课程和专业课程研究有关的数学问题作准备，也为今后工作中遇到的数学物理问题求解提供基础。 （四）教材：《数学物理方法》杨孔庆编 参考书：1. 《数学物理方法》柯朗、希尔伯特著 2. 《特殊函数概论》王竹溪、郭敦仁编著 3. 《物理中的数学方法》李政道著 4. 《数学物理方法》梁昆淼编 5. 《数学物理方法》郭敦仁编 6. 《数学物理方法》吴崇试编 二、课程内容与安排 第一部分线性空间及线性算子 第一章R3空间的向量分析 第一节向量的概念 第二节R3空间的向量代数
第三节R3空间的向量分析 第四节R3空间的向量分析的一些重要公式 第二章R3空间曲线坐标系中的向量分析 第一节R3空间中的曲线坐标系 第二节曲线坐标系中的度量 第三节曲线坐标系中标量场梯度的表达式 第四节曲线坐标系中向量场散度的表达式 第五节曲线坐标系中向量场旋度的表达式 第六节曲线坐标系中Laplace（拉普拉斯）算符▽2的表达式第三章线性空间 第一节线性空间的定义 第二节线性空间的内积 第三节Hilbert（希尔伯特）空间 第四节线性算符 第五节线性算符的本征值和本征向量 第二部分复变函数 第四章复变函数的概念 第一节映射 第二节复数 第三节复变函数 第五章解析函数 第一节复变函数的导数 第二节复变函数的解析性 第三节复势 第四节解析函数变换 第六章复变函数积分 第一节复变函数的积分 第二节Cauchy（柯西）积分定理 第三节Cauchy（柯西）积分公式 第四节解析函数高阶导数的积分表达式 第七章复变函数的级数展开
数学物理方法第二篇第3章
第三章 行波法和通积分法 §2.3.1一维波动方程哥西问题达朗贝尔公式 无限长均匀弦的自由振动归结为一维齐次波动方程的哥西问题： ?? ?==>+∞<<-∞=-) ()0,(),()0,() 0,(,02x x u x x u t x u a u t xx tt ψ? 这个方程的特征方程为 0 )( 2 2 =-a t x d d ， 所以波动方程是双曲型方程，有两组实的特征线 1c at x =-，2c at x =+， 作自变量的变换，令 at x -=ξ，at x +=η， 应用复合函数求导法则，有 η ξηξau au a u a u u t +-=?+-=)(, ηξηξu u u u u x +=?+?=11, ηηξηξξu a u a u a u tt 2 2 2 2+-=, ηη ξηξξu u u u xx ++=2, 代入波动方程中，化简得 0=ξηu ， 利用偏导数的意义，得通解
)()()()(),(at x G at x F G F t x u ++-=+=ηξ， 其中F 和G 是任意二阶连续可微函数. 由),(t x u 满足的初始条件来确定F 和G 的具体形式，于是 得函数方程 ? ? ?='+'-=+)()()(), ()()(x x G a x F a x x G x F ψ? 积分第二式得 C a x G x F x x += +-?α αψd 0 )(1)()(，C 为积分常数. 从而得 2)(21)(21)(0C a x x F x x - - = ?ααψ?d ， 2 )(21)(2 1)(0 C a x x G x x + + =?ααψ?d 故得一维齐次波动方程哥西问题的解 ααψ??d ?+-+ ++-= at x at x a at x at x t x u )(21)]()([2 1),(, 这就是著名的达朗贝尔公式. 通常称)(at x F -为右传播波（或右行波），称)(at x G +为左传播波（或左行波），a 为速度.所以这种解波动方程哥西问题的方法称为行波法，在数学上又叫通积分法.
数学物理方法名词解释
第一章 1.定解条件：边界条件和初始条件统称为定解条件。边界条件又有Dirichlet 边界条件（也称第一类边界条件）、Neumann 条件,也称第二类边界条件、Robin 边界条件，第三类边界条件。P3-4 2.定解问题：一个微分方程（组）和相对应的定解条件合在一起就构成了一个定界问题。又分有初始问题（Cauchy 问题），只有初始条件没有边界条件的定界问题；边值问题，只有边界条件没有初始条件的定解问题；混合问题，两者都有。对于边值问题，根据边界条件不同，又可以分为第一、第二和第三边值问题。 P11 3.定解问题的适定性 从数学上看，判断一个定解问题是否合理，即是否能够完全描述给定的物理状态，一般来说有一下三个标准： ⑴解的存在性：所给定的定解问题至少存在一个解。 ⑵解的惟一性：所给定的定解问题至多存在一个解。 ⑶解的稳定性：当给定条件以及方程中的系数有微小变动时，相应的解也只有微小变动。 定解问题解的存在性、惟一性和稳定性统称为定解问题的适定性。P12 4.Dirichlet 、Neumann 定解问题 定解条件只有Dirichlet 条件没有初始条件的定解问题叫做Dirichlet 定解问题。 定解条件只有Neumann 条件没有初始条件的定解问题叫做Neumann 定解问题。 5.热传导Fourier 定律：热量以传导形式传递时，单位时间内通过单位面积所传递的热量与当地温度梯度成正比。对于一维问题，可表示为:Φ＝-λA(dt/dx) 其中Φ为导热量，单位为W,λ为导热系数,A 为传热面积，单位为m2, t 为温度，单位为K, x 为在导热面上的坐标。 6.Hooke 弹性定律：在弹性限度内，物体的形变跟引起形变的外力成正比。χχεσE = 7.发展方程：所描述的物理过程随时间而演变,如:波动方程、热传导方程等 8.在热传导方程中，如果温度分布稳定，即0u t =，则三维热传导方程f u a u 2t +?=变为 0f u =+?，此方程为Poisson 方程。特别地，若f(x,y,z)=0，即0u =?，则为Laplace 方程。 Poisson 方程或Laplace 方程统称为位势方程。 9.二阶线性偏微分方程分类方法 022*******=++++++F Cu u B u B u A u A u A ηξηηξηξξ的二阶主部为yy xy xx u A u A u A 2212112++。 若二阶主部作成的判别式在区域Ω中的某点 ），（00y x 02211212>-≡?a a a ，则称方程在这点），（00y x 是双曲型的；若某点），（00y x 022112 12=-≡?a a a ，称方程在这点），（00y x 是 抛物型的；若某点），（00y x 02211212<-≡?a a a ，则称方程在这点），（00y x 是椭圆型的。 第二章 1.特征值： 使常微分方程边值问题具有非零解的数λ称为这个边值问题的特征值，相对应的非零解称为这个特征值的特征函数。P26
数学物理方法第十章作业答案
分离变量法(驻波法)求一维有界区域的自由振动问题(第二类齐次边界条件)： 2000(,)(,) (0)0 , 0 () , () tt xx x x x l t t t u x t a u x t x l u u u x u x ?ψ====?=≤≤?? ==??==?? 其中()x ?，()x ψ，为已知函数． 解：依题意设定解问题的解为 (,)()()u x t X x T t = 其中()X x 只是x 的函数，与t 无关，()T t 只是t 的函数，与x 无关．代入方程得 2 2 ()()()()()()() () T''t X''x T''t X x a X''x T t a T t X x =? = 等式两边分别是t 和x 两个独立变量的函数，要使它们相等，必须都等于一个常数，设为λ- 即 2 ()()()() T ''t X ''x a T t X x λ==- 则得到两个常微分方程 2 ()()0 (1)()()0 (2) T''t a T t X''x X x λλ+=+= 由边界条件有(0)0 ()0 (3)X'X l == 当0λ<或0λ=方程(2)都只有平凡解(,)0u x t = 当0λ>时(2) 的解为12()cos sin (4)X x C C =+ (12,C C 为任意常数) 将(4)代入(3) 的第一式得2(0)=0X'C C =?，而1C 不可能为0，再将(4)代入(3)的第二式得 1(21)(21)()cos 0cos 02 2n n X l C l π π --==?=?=?= （1,2,3,n =???） ∴ λ只能取相应的一系列值
数学物理方法作业习题第二篇第3章
习 题 1. 求下列方程的通解： (1)032=--yy xy xx u u u ； (2)032=-+yy xy xx u u u ； (3)23253=++--y x yy xy xx u u u u u ； (4)022 2 =+++-y x yy xy xx yu xu u y xyu u x ； (5)03222=--yy xy xx u y xyu u x ；(6)y x y x xy e u u u u +=+--2632； (7) 22 2 )(y u x u x x ??=????；提示：令),(1),(y x v x y x u = . 2. 求解下列初值问题： (1)| |2)0,(,2)0,(x t xx tt e x u x u u a u -=???== (2)2211)0,(,cos )0,(x x u x x u u a u t xx tt +=?? ?== (3)????? ==+=) ()0,(,)()0,()2(2x x u x x u u x u a u t x xx tt ψ? 3. 求解下列定解问题： (1)x x u x x u u u t xx tt 4)0,(,)0,(6 2 =?? ?=+= (2)? ??==+=x o x u x x u xt u u t xx tt ),(,)0,(42 (3)???==+=0)0,(,sin )0,(sin x u x x u x u u t xx tt (4)?? ?+==+=x x x u x x u e u u t x xx tt cos )0,(, sin )0,(
(5)???==+=0 )0,(,0)0,(sin 2x u x u x u a u t xx tt ω (6)???==+=0)0,(,0)0,(sin 2x u x u t u a u t xx tt ω 4. 求解下列定解问题： (1)、?? ?==∞ <<∞-=+==1|, sin |0 x y x x y x xy u x u x u u (2)???===++-==0|, |02200y y y y x yy xx u x u u u u u (3)???-=-==---==1|,|4 2200 y u y u u u u u x x x y x yy xx (4)?? ?<===+++-==) 1(|, 0|0 2 533x e u u xyu xu yu u x x y y x y y x xy (5)????? ==>=+-==,0|, |) 0(02 100y y y x yy xx u x u x u u xu (6)?? ???=-=>=-+==3|,1|)0(, 02112 y y y y yy xy u x u y u y u u y 5. 求解下列初值问题： (1)???==++===20202|,|)(z u y u u u u a u t t t zz yy xx tt (2)???=+=++===0|,|)(03 02t t t zz yy xx tt u yz x u u u u a u (3)???==+++===2 02022|,|)(8z u y u t x u u u u t t t zz yy xx tt (4)???==++===y u x u u u u t t t yy xx tt 00|,|2 (5)???+=-=+===2 202 202|, 2|) (2y x u y x u u u u t t t yy xx tt
北邮数理方程课件-第六章-Legendre多项式
第六章Legendre多项式 6.2 基础训练 6.2.1例题分析 例1 氢原子定态问题的量子力学Schrodinger（薛定谔）方程是 ?? 2 2 ?2u? Ze2 u=Eu 其中?,μ,Z,e,E都是常数。试在球坐标系下把这个方程分离变量。 解：先令A= 2 8π2μ ,B=Ze2，则Schrodinger方程可以简单写为 A?2u+B u+Eu=0 由laplace算符在球坐标下的表达式，则在球坐标下，Schrodinger方程的表达式为 A[1 2 e e (r2 eu e )+ 1 2 e e (sinθ eu e )+ 1 22 e2u e2 ]+B u +Eu=0 令u(r,θ,?)=R(r)Y(θ,?)，代入上式得 AY 2d (r2 dR )+ AR 2 e e (sinθ eY e )+ AR 22 e2Y e2 +( B +E)RY=0 两边分别乘以r 2 ARY ，得 1 R d dr (r2 dR dr )+ r2 A ( B r +E)=? 1 Y sinθ e eθ (sinθ eY eθ )? 1 Y sin2θ e2Y e?2 要使上式成立，则必有两边等于同一个常数，记为l(l+1)，从而 d dr (r2 dR dr )+[ B A r+Er2?l(l+1)]R=0 即 1 r2d dr (r2dR dr )+[8π2μ ? 2 (Ze2 r +E)?l(l+1) r2 ]R=0（1） 至于Y则满足球函数方程 1 sinθ e eθ (sinθeY eθ )+1 sinθ e2Y e? +l(l+1)Y=0（2） 球函数方程（2）的可以进一步分离变，令Y(θ,?)=Θ(θ)Φ(?)代入（2），并有周期条件，则得Φ满足 Φ′′+m2Φ=0（3） 它的解是 Φm=A m cos m?+B m cos m?m=0,1,2,? Θ满足缔合勒让德方程 (1?x2)d2Θ dθ2?2x dΘ dθ +[l(l+1)?m2 1?x2 ]Θ=0（4） 其中x=cosθ. 例2.证明：P n(1)=1,P n(?1)=(?1)n,P2n?1(0)=0,P2n(0)=(?1)n2n! 2n! .
数学物理方法知识点归纳
第一章 复述和复变函数 1.5连续 若函数)(x f 在0z 的领域内（包括0z 本身）已经单值确定，并且 )()(0lim z f z f z z =→， 则称f(z)在0z 点连续。 1.6导数 若函数在一点的导数存在，则称函数在该点可导。 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的导数存在的条件 (i) x u ??、y u ??、x v ??、y v ??在点不仅存在而且连续。 (ii)C-R 条件在该点成立。C-R 条件为 ???? ?? ???-=????=??y y x u x y x v y y x v x y x u ),(),(),(),( 1.7解析 若函数不仅在一点是可导的，而且在该点的领域内点点是可导的，则称该点是解析的。 解析的必要条件：函数f(z)=u+iv 在点z 的领域内(i) x u ??、y u ??、x v ??、y v ??存在。 (ii)C-R 条件在该点成立。 解析的充分条件：函数f(z)=u+iv 在领域内(i) x u ??、y u ??、x v ??、y v ??不仅存在而且连续。 (ii)C-R 条件在该点成立。 1.8解析函数和调和函数的关系 拉普拉斯方程的解都是调和函数： 22x u ??+2 2y u ??=0 ①由此可见解析函数的实部和虚部都是调和函数。但是任意的两个调和函数作为虚实两部形成的函数不一定是解析函数，因为它们不一定满足C —R 条件。 ②当知道f(z)=u(x,y)+iv(x,y)中的u(x,y)时，如何求v(x,y)? 通过C —R 条件列微分方程 第二章 复变函数的积分 2.2解析函数的积分 柯西定理：若函数f(z)在单连区域D 内是解析的，则对于所有在这个区域内而且在两个公共端点A 与B 的那些曲线来讲，积分 ?B A dz z f )(的值均相等。 柯西定理推论：若函数f(z)在单连区域D 内解析，则它沿D 内任一围线的积分都等于零。 ?=C dz z f 0)( 二连区域的柯西定理：若f(z)在二连区域D 解析，边界连续，则f(z)沿外境界线(逆时针方向)的积分等于f(z)沿内境界线(逆时针方向)的积分。 n+1连区域柯西定理： ???? ΓΓΓΓ+++=n i i i e dz z f dz z f dz z f dz z f )(....)()()(2 1 推论：在f(z)的解析区域中，围线连续变形时，积分值不变。 2.3柯西公式 若f(z)在单连有界区域D 内解析，在闭区域D 的边界连续，则对于区域D 的任何一个内点a ，有?Γ -= dz a z z f i a f ) (21)(π其中Γ是境 界线。 2.5柯西导数公式 ξξξπd z f i n z f C n n ?+-= 1)() () (2!)( 第三章 级数 3.2复变函数项级数 外尔斯特拉斯定理：如果级数 ∑∞ =0 )(k k z u 在境 界Γ上一致收敛，那么 (i)这个级数在区域内部也收敛，其值为F(z) (ii)由它们的m 阶导数组成的级数
数学物理方法第14章.
第14章 第14.1节 一、二阶线性偏微分方程的通解 例题14.1.1求偏微分方程 X 2u xx +2xyu xy +y 2u yy =0 )0(≠y 的通解 解：判别式?=B 2?4AC=4x 2y 2-4x 2y 2=0,所以方程为抛物型的，其 特征方程为（xdy-ydx ）2=0因此，特征曲线为)(常数c x y =若令 y x y == ηξ,，做自变量变换，原方程化为如下标准形式： ） 即（或0y 00 2≠≠==ηηηηηηu u 将上式对η积分两次，得u(ζ,η)=ηf(ζ)+g （ζ) 其中，f(ζ)和g(ζ)是两个任意连续二次可微函数。 恢复到原来x 、y,就得到原方程的通解 u(x,y)=yf(y/x)+g(y/x) 例题14.1.2求偏微分方程x 2u xx -y 2u yy =0 (x>0,y>0)的通解。 解：因为方程的判别式?=B 2?4AC=x 2y 2>0,所以方程为双曲型的， 其特征方程为（xdy+ydx ）(xdy-ydx)=0因此特征曲线是如下两族曲线： Xy=c 1)（常数），y/x=c 2(常数) 做自变量变换 x y xy = =ηξ, 则题设方程可化为如下标准形式：)0,0(21>>= ηξξ ηξηu u
再作代换v=u η,将上述方程化简为v u ξ ξη21= 这个方程经过分离变量很容易积分。对ζ积分后，我们有)(ηξf v = 再将上式对η积分，即得u(ζ,η)=G(ζ)+)(ηξf 其中f(η),F(η),G(ζ)是三个任意二次连续可微函数。 恢复到原来变量x,y,就得到原方程的通解 u(x,y)=G(x,y)+)(x y F xy (14.1.2) 再求上述方程适合如下条件的解： )3.1.14() (),(), () ,(1 1x y y x u x y x u y y ψ?=??=== 将式(14.1.2)代入式(14.1.3) ) 5.1.14() ()1 (1)1(2)() 4.1.14() ()1 ()(''x x F x x F x x xG x x F x x G ψ?=++=+ 微分式(14.1.4),得 )()1(1)1(21 )('''x x F x x x F x x G ?=-+ （14.1.6） 式（14.1.5）与式（14.1.6），解出 因此） （为常数） （为常数8.1.14)() (2 ) (2)()(G 7.1.14)c () (21)(21)1(0 002 /3'2/3'c x c dz z z x dz z z x x x c dz z z dz z z x F x x x x x x x x -+ -=+-=? ? ??????? 于是
数学物理方法简明教程 林福民编 北京大学出版社 第1-6章总结
第一章 复数与复变函数 1. 复数的定义 2. 区域与复变函数 区域 具备：1. 开集性；2. 连通性 符合上述两个性质的复平面上的点集称为区域 复变函数 当复变数z 在复平面上变动时，如果复数ω的值随着复数z 的值而定，就称ω为z 的函数，记作()f z ω= 复数的表 示形式 直角坐标 表示形式 z x iy =+ Re Im x z y z i ==实部：；虚部：；虚数单位 三角函数 表示形式 ()cos sin z i ρθθ=+ 22arctan y x y x θρ==+辐角；模： 指数形式 i z e θρ= 相等 121212x x y y z z ===当，时，则称 共轭 12121212x x y y z z z z ==-==当，时，则称或 运算规则 加法 ()()121212z z z x x i y y =+=+++ 减法 ()()121212z z z x x i y y =-=-+- 乘法 ()()()()()1 2 1211221212122112121212exp i i z z z x iy x iy x x y y i x y x y z z z e e i θθρρρρθθ==++=-++==?=+???? 或 除法 ()1 211112122112 22222222222 111 12222 exp i i z x iy x x y y x y x y z i z x iy x y x y z e z i z e θθρρθθρρ++-= ==++++= ==-????或 乘方 ()()cos sin cos sin n n i n in n z e e i n i n θθ ρρθθθθ ==+=+里莫夫公式 开方 () cos sin 22(cos sin )0,1, (1) n n z i k k z i k n n n ρθθθπ θπ ωρ=+++==+=-