九年级数学压轴题加答案
【例1】如图10,平行四边形ABCD 中,AB =5,BC =10,BC 边上的高AM =4,E 为BC 边上的一个动点(不与B 、C 重合).过E 作直线AB 的垂线,垂足为F .FE 与DC 的延长线相交于点G ,连结DE ,DF 。 (1)求证:ΔBEF ∽ΔCEG .
(2)当点E 在线段BC 上运动时,△BEF 和△CEG 的周长之间有什么关系?并说明你的理由.
(3)设BE =x ,△DEF 的面积为y ,请你求出y 和x 之间的函数关系式,并求出当x 为何值时,y 有最大值,最大值是多少?
解析过程及每步分值
(1) 因为四边形ABCD 是平行四边形, 所以AB DG ··········· 1分
所以,
B GCE G BFE ∠=∠∠=∠
所以BEF CEG △∽△ ························· 3分 (2)BEF CEG △与△的周长之和为定值. ················· 4分 理由一:
过点C 作FG 的平行线交直线AB 于H ,
因为GF ⊥AB ,所以四边形FHCG 为矩形.所以 FH =CG ,FG =CH 因此,BEF CEG △与△的周长之和等于BC +CH +BH
由 BC =10,AB =5,AM =4,可得CH =8,BH =6,
所以BC +CH +BH =24 ·························· 6分 理由二:
由AB =5,AM =4,可知
在Rt △BEF 与Rt △GCE 中,有:
4343
,,,5555
EF BE BF BE GE EC GC CE ====,
所以,△BEF 的周长是125BE , △ECG 的周长是12
5
CE
又BE +CE =10,因此BEF CEG 与的周长之和是24. ··········· 6分 (3)设BE =x ,则43
,(10)55
EF x GC x =
=- 图10
M B D
C E F
G
x A A M x
H G
F
E
D C
B
所以21143622[(10)5]2255255
y EF DG x x x x =
=-+=-- ········· 8分 配方得:2655121
()2566y x =--+
. 所以,当55
6x =时,y 有最大值. ····················· 9分
最大值为121
6
. ······························ 10分
【例2】如图二次函数y =ax 2+bx +c (a >0)与坐标轴交于点A 、B 、C 且OA =1 OB =OC =3.
(1)求此二次函数的解析式. (2)写出顶点坐标和对称轴方程.
(3)点M 、N 在y =ax 2+bx +c 的图像上(点N 在点M 的右边),且MN ∥x 轴,求以MN 为直径且与x 轴相切的圆的半径.
解析过程及每步分值
(1)依题意(10)(30)(03)A B C --,,,,,分别代入2
y ax bx c =++ ········ 1分 解方程组得所求解析式为2
23y x x =-- ··················· 4分 (2)2
223(1)4y x x x =--=-- ······················ 5分
∴顶点坐标(14)-,,对称轴1x = ······················ 7分
(3)设圆半径为r ,当MN 在x 轴下方时,N 点坐标为(1)r r +-,
········ 8分
把N 点代入2
23y x x =--得r =
·················· 9分
同理可得另一种情形r =
∴圆的半径为
12-+或12
10分 【例3】已知两个关于x 的二次函数1y ,当x k =时,217y =;且二次函数2y 的
图象的对称轴是直线x=-1,22112()2(0).612y a x k k y y x x =-+>+=++. (1)求k 的值;
(2)求函数12y y ,的表达式;
(3)在同一直角坐标系内,问函数1y 的图象与2y 的图象是否有交点?请说明理由.
解析过程
(1)由22112()2612y a x k y y x x =-++=++,
得22222121()612()2610()y y y y x x a x k x x a x k =+-=++---=++--. 又因为当x k =时,217y =,即261017k k ++=, 解得11k =,或27k =-(舍去),故k 的值为1.
(2)由1k =,得222
2610(1)(1)(26)10y x x a x a x a x a =++--=-+++-,
所以函数2y 的图象的对称轴为26
2(1)
a x a +=-
-,
于是,有26
12(1)
a a +-
=--,解得1a =-,
所以22
12212411y x x y x x =-++=++,.
(3)由2
1(1)2y x =--+,得函数1y 的图象为抛物线,其开口向下,顶点坐标为(12),; 由22
224112(1)9y x x x =++=++,得函数2y 的图象为抛物线,其开口向上,顶点坐标
为(19)-,;
故在同一直角坐标系内,函数1y 的图象与2y 的图象没有交点.
【例4】已知,抛物线2
4y x x =+与x 轴分别相交于点B 、O,它的顶点为A,连接AB,把AB
所在的直线沿y 轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P 是直线l 上一动点. (1)求点A 的坐标;
(2)以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P 的坐标;
(3)设以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形的面积为S,点P 的横坐标为x,当
46S +≤+,求x 的取值范围. 解析过程
解:(1)∵4)2(42
2
-+=+=x x x y ∴A(-2,-4)
(2)四边形ABP 1O 为菱形时,P 1(-2,4)
四边形ABOP 2为等腰梯形时,P 1(545
2-,) 四边形ABP 3O 为直角梯形时,P 1(58
54,-)
四边形ABOP 4为直角梯形时,P 1(5
12
56-,)
(3)
由已知条件可求得AB 所在直线的函数关系式是y=-2x-8,所以直线l 的函数关系式是y=-2x
①当点P 在第二象限时,x<0,
△POB 的面积x x S POB 4)2(421
-=-??=
? ∵△AOB 的面积8442
1
=??=?AOB S ,
∴)0(84<+-=+=??x x S S S POB AOB ∵286264+≤≤+S ,
∴?????+≤+≥2
86264S S 即?????+≤+-+≥+-2
868426484x x ∴???
????-≤-≥224122
32S x
∴x 的取值范围是
2
2322241-≤≤-x ②当点P 在第四象限是,x>0,
过点A 、P 分别作x 轴的垂线,垂足为A ′、P ′ 则四边形POA ′A 的面积
44)2(2
1
)2(224+=??-+?+=
-='?'''x x x x x S S S O P P A A P 梯形P A A PO ∵△AA ′B 的面积4242
1
=??=
'?B A A S ∴)0(84>+=+='?'x x S S S B A A A A PO ∵286264+≤≤+S ,
∴?????+≤+≥286264S
S 即?????+≤++≥+2
868426484x x ∴???
?
??
?-≤-≥2
12422
23
S x ∴x 的取值范围是
2
1
242223-≤≤-x 【例5】随着近几年城市建设的快速发展,对花木的需求量逐年提高。某园林专
业户计划投资种植花卉及树木,根据市场调查与预测,种植树木的利润1y 与投资量x 成正比例关系,如图①所示;种植花卉的利润2y 与投资量x 成二次函数关系,如图②所示(注:利润与投资量的单位:万元)
(1)分别求出利润1y 与2y 关于投资量x 的函数关系式;
(2)如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木,他至少获得多少利润?他能获取的最大利润是多少?
解析过程
解:(1)设1y =kx ,由图①所示,函数1y =kx 的图像过(1,2),所以2=1?k ,2=k 故利润1y 关于投资量x 的函数关系式是1y =x 2;
因为该抛物线的顶点是原点,所以设2y =2ax ,由图12-②所示,函数2y =2ax 的图像过(2,2),
所以222?=a ,2
1
=
a 故利润2y 关于投资量x 的函数关系式是2
2
1x y =; (2)设这位专业户投入种植花卉x 万元(80≤≤x ),
则投入种植树木(x -8)万元,他获得的利润是z 万元,根据题意,得
z =)8(2x -+221x =162212+-x x =14)2(2
1
2+-x
当2=x 时,z 的最小值是14;
因为80≤≤x ,所以622≤-≤-x
所以36)2(2
≤-x
所以18)2(21
2≤-x 所以32141814)2(2
1
2=+≤+-x ,即32≤z ,此时8=x
当8=x 时,z 的最大值是32.
【例6】已知 (4,0)A -,(0,4)B ,现以A 点为位似中心,相似比为9:4,将OB
向右侧放大,B 点的对应点为C .
(1)求C 点坐标及直线BC 的解析式;
(2)一抛物线经过B 、C 两点,且顶点落在x 轴正半轴上,求该抛物线的解析式并画出函数图象;
(3)请找出抛物线上所有满足到直线AB
距离为P . 解析过程
解:(1)过C 点向x 轴作垂线,垂足为D ,由位似图形性质可知:
△ABO ∽△ACD , ∴
4
9
AO BO AD CD ==. 由已知(4,0)A -,(0,4)B 可知: 4,4AO BO ==. ∴9AD CD ==.∴C 点坐标为(5,9). 直线BC 的解析是为: 40
9450
y x --=
-- 化简得: 4y x =+
(2)设抛物线解析式为2
(0)y ax bx c a =++>,由题意得:24925540c a b c b ac =??=++??-=?
,
解得: 111
144a b c =??=-??=?222125
454a b c ?=??
?
=
??
=???
∴解得抛物线解析式为2
144y x x =-+或2214
4255
y x x =
++.
又∵2214
4255
y x x =
++的顶点在x 轴负半轴上,不合题意,故舍去. ∴满足条件的抛物线解析式为2
44y x x =-+ (准确画出函数2
44y x x =-+图象) (3) 设P 到 直线AB 的距离为h ,
故P 点应在与直线AB
平行,且相距1l 和2l 上. 由平行线的性质可得:两条平行直线与y 轴的交点到直线BC
的距离也为 如图,设1l 与y 轴交于E 点,过E 作EF ⊥BC 于F 点, 在Rt △BEF
中EF h ==,45EBF ABO ∠=∠=, ∴6BE =.∴可以求得直线1l 与y 轴交点坐标为(0,10) 同理可求得直线2l 与y 轴交点坐标为(0,2)- ∴两直线解析式1:10l y x =+;2:2l y x =-.
根据题意列出方程组: ⑴24410y x x y x ?=-+?=+?;⑵244
2
y x x y x ?=-+?=-?
∴解得:11
616x y =??=?;2219x y =-??=?;3320x y =??=?;443
1x y =??=?
∴满足条件的点P 有四个,它们分别是1(6,16)P ,2(1,9)P -,3(2,0)P ,4(3,1)P .
【例7】如图,抛物线2
1:23L y x x =--+交x 轴于A 、B 两点,交y 轴于M 点.抛物线1L 向
右平移2个单位后得到抛物线2L ,2L 交x 轴于C 、D 两点. (1)求抛物线2L 对应的函数表达式;
(2)抛物线1L 或2L 在x 轴上方的部分是否存在点N ,使以A ,C ,M ,N 为顶点的四边形是平行四边形.若存在,求出点N 的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若点P 是抛物线1L 上的一个动点(P 不与点A 、B 重合),那么点P 关于原点的对称点Q 是否在抛物线2L 上,请说明理由.
解析过程
AB=,AD=点P是边BC上的动点(点【例8】如图,在矩形ABCD中,9
∥,交CD边于Q点,再把P不与点B,点C重合),过点P作直线PQ BD
△沿着动直线PQ对折,点C的对应点是R点,设CP的长度为x,PQC
PQR △与矩形ABCD 重叠部分的面积为y .
(1)求CQP ∠的度数;
(2)当x 取何值时,点R 落在矩形ABCD 的AB 边上? (3)①求y 与x 之间的函数关系式;
②当x 取何值时,重叠部分的面积等于矩形面积的
7
27
?
解析过程
解:(1)如图,
四边形ABCD 是矩形,AB CD AD BC ∴==,.
又9AB =
,AD =,90C ∠=,
9CD ∴=
,BC =
tan BC CDB CD ∴∠=
=30CDB ∴∠=. PQ BD ∥,30CQP CDB ∴∠=∠=.
(2)如图1,由轴对称的性质可知,RPQ CPQ △≌△,
RPQ CPQ ∴∠=∠,RP CP =.
由(1)知30CQP ∠=,60RPQ CPQ ∴∠=∠=,
60RPB ∴∠=,2RP BP ∴=.
CP x =,PR x ∴=
,PB x =.
在RPB △
中,根据题意得:)x x =,
解这个方程得:x =
(3)①当点R 在矩形ABCD 的内部或AB 边上时,
0x <≤2
11
3322
CPQ S CP CQ x
x x =??==
△, D
Q
C B
P
R A
B
A
D
C
(备用图1)
B A
D
C
(备用图2)
D
Q
C B
P
A
(图1)
RPQ CPQ △≌△,∴
当0x <≤
2y x =
当R 在矩形ABCD 的外部时(如图2)
,3
x <<
在Rt PFB △中,
60RPB ∠=,
2)PF BP x ∴==,
又
RP CP x ==
,3RF RP PF x ∴=-=-
在Rt ERF △中,
30EFR PFB ∠=∠=
,6ER ∴=-.
21182ERF S ER FR x x ∴=
?=-+△, RPQ ERF y S S =-△△,
∴
当x <
218y x =+-.
综上所述,y 与x
之间的函数解析式是:2
2(018x x y x x <=??+-<
≤.
②矩形面积9=?=,
当0x <≤
函数2
y x =随自变量的增大而增大,所以y
的最大值是727
的值727
=?=,
而>
,所以,当0x < 27 ; 当x << 218x +-= x =± > 所以x = 所以x = 综上所述,当x =PQR △与矩形ABCD 重叠部分的面积等于矩形面积的 727 . D Q C B P R A (图2) F E 初三九年级数学上册数学压轴题(提升篇)(Word版含解析) 一、压轴题 1.已知P是⊙O上一点,过点P作不过圆心的弦PQ,在劣弧PQ和优弧PQ上分别有动点 A、B(不与P,Q重合),连接AP、BP. 若∠APQ=∠BPQ. (1)如图1,当∠APQ=45°,AP=1,BP=22时,求⊙O的半径; (2)如图2,选接AB,交PQ于点M,点N在线段PM上(不与P、M重合),连接ON、OP,若∠NOP+2∠OPN=90°,探究直线AB与ON的位置关系,并证明. 2.如图,矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上,点B的坐标为(3, 4),一次函数 2 3 y x b =-+的图像与边OC、AB分别交于点D、E,并且满足OD BE =, M是线段DE上的一个动点 (1)求b的值; (2)连接OM,若ODM △的面积与四边形OAEM的面积之比为1:3,求点M的坐标;(3)设N是x轴上方平面内的一点,以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形,求点N的坐标. 3.如图,在平面直角坐标系中,直线1l: 1 6 2 y x =-+分别与x轴、y轴交于点B、C, 且与直线2l: 1 2 y x =交于点A. (1)分别求出点A、B、C的坐标; (2)若D是线段OA上的点,且COD △的面积为12,求直线CD的函数表达式;(3)在(2)的条件下,设P是射线CD上的点,在平面内里否存在点Q,使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由. 4.阅读理解: 如图,在纸面上画出了直线l与⊙O,直线l与⊙O相离,P为直线l上一动点,过点P作⊙O的切线PM,切点为M,连接OM、OP,当△OPM的面积最小时,称△OPM为直线l与⊙O的“最美三角形”. 解决问题: (1)如图1,⊙A的半径为1,A(0,2) ,分别过x轴上B、O、C三点作⊙A的切线BM、OP、CQ,切点分别是M、P、Q,下列三角形中,是x轴与⊙A的“最美三角形”的是.(填序号) ①ABM;②AOP;③ACQ (2)如图2,⊙A的半径为1,A(0,2),直线y=kx(k≠0)与⊙A的“最美三角形”的面积 为1 2 ,求k的值. (3)点B在x轴上,以B为圆心,3为半径画⊙B,若直线y=3x+3与⊙B的“最美三 角形”的面积小于 3 2 ,请直接写出圆心B的横坐标B x的取值范围. 5.如图1:在Rt△ABC中,AB=AC,D为BC边上一点(不与点B,C重合),试探索AD,BD,CD之间满足的等量关系,并证明你的结论.小明同学的思路是这样的:将线段AD绕点A逆时针旋转90°,得到线段AE,连接EC,DE.继续推理就可以使问题得到解 初三九年级上册数学压轴题专题练习(解析版) 一、压轴题 1.问题提出 (1)如图①,在ABC 中,42,6,135AB AC BAC ==∠=,求ABC 的面积. 问题探究 (2)如图②,半圆O 的直径10AB =,C 是半圆AB 的中点,点D 在BC 上,且 2CD BD =,点P 是AB 上的动点,试求PC PD +的最小值. 问题解决 (3)如图③,扇形AOB 的半径为20,45AOB ∠=在AB 选点P ,在边OA 上选点E ,在边OB 上选点F ,求PE EF FP ++的长度的最小值. 2.在平面直角坐标系xOy 中,对于任意三点A ,B ,C ,给出如下定义: 若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行,且A ,B ,C 三点都在矩形的内部或边界上,则称该矩形为点A ,B ,C 的外延矩形.点A ,B ,C 的所有外延矩形中,面积最小的矩形称为点A ,B ,C 的最佳外延矩形.例如,图中的矩形, , 都是 点A ,B ,C 的外延矩形,矩形 是点A ,B ,C 的最佳外延矩形. (1)如图1,已知A (-2,0),B (4,3),C (0,). ①若 ,则点A ,B ,C 的最佳外延矩形的面积为 ; ②若点A ,B ,C 的最佳外延矩形的面积为24,则的值为 ; (2)如图2,已知点M (6,0),N (0,8).P (,)是抛物线 上一点,求点M ,N ,P 的最佳外延矩形面积的最小值,以及此时点P 的横坐标的取值范 围; (3)如图3,已知点D(1,1).E(,)是函数的图象上一点,矩形 OFEG是点O,D,E的一个面积最小的最佳外延矩形,⊙H是矩形OFEG的外接圆,请直接写出⊙H的半径r的取值范围. 3.如图,在矩形ABCD中,AB=20cm,BC=4cm,点p从A开始折线A——B——C——D以4cm/秒的速度移动,点Q从C开始沿CD边以1cm/秒的速度移动,如果点P、Q分别从A、C同时出发,当其中一点到达D时,另一点也随之停止运动,设运动的时间t(秒) (1)t为何值时,四边形APQD为矩形. (2)如图(2),如果⊙P和⊙Q的半径都是2cm,那么t为何值时,⊙P和⊙Q外切?4.问题发现: (1)如图①,正方形ABCD的边长为4,对角线AC、BD相交于点O,E是AB上点(点E 不与A、B重合),将射线OE绕点O逆时针旋转90°,所得射线与BC交于点F,则四边形OEBF的面积为. 问题探究: (2)如图②,线段BQ=10,C为BQ上点,在BQ上方作四边形ABCD,使∠ABC=∠ADC =90°,且AD=CD,连接DQ,求DQ的最小值; 问题解决: (3)“绿水青山就是金山银山”,某市在生态治理活动中新建了一处南山植物园,图③ 九年级数学几何模型压轴题专题练习(解析版) 一、初三数学 旋转易错题压轴题(难) 1.已知:如图①,在矩形ABCD 中,3,4,AB AD AE BD ==⊥,垂足是E .点F 是点 E 关于AB 的对称点,连接A F 、BF . (1)求AF 和BE 的长; (2)若将ABF 沿着射线BD 方向平移,设平移的距离为m (平移距离指点B 沿BD 方向所经过的线段长度).当点F 分别平移到线段AB AD 、上时,直接写出相应的m 的值. (3)如图②,将ABF 绕点B 顺时针旋转一个角1(080)a a ?<,记旋转中ABF 为 ''A BF ,在旋转过程中,设''A F 所在的直线与直线AD 交于点P ,与直线BD 交于点Q .是否存在这样的P Q 、两点,使DPQ 为等腰三角形?若存在,求出此时DQ 的 长;若不存在,请说明理由. 【答案】(1)129,55AF BF = =;(2)95 m =或16 5m =;(3)存在4组符合条件的点 P 、点Q ,使DPQ 为等腰三角形; DQ 的长度分别为2或 258 9 1055或3 5105 【解析】 【分析】 (1)利用矩形性质、勾股定理及三角形面积公式求解; (2)依题意画出图形,如图①-1所示.利用平移性质,确定图形中的等腰三角形,分别求出m 的值; (3)在旋转过程中,等腰△DPQ 有4种情形,分别画出图形,对于各种情形分别进行计算即可. 【详解】 (1)∵四边形ABCD 是矩形, ∴∠BAD=90°, 在Rt △ABD 中,AB=3,AD=4, 由勾股定理得:2222345AB AD +=+=, ∵S △ABD 12= BD?AE=1 2 AB?AD , 初三九年级数学上册数学压轴题测试卷附答案 一、压轴题 1.如图,在平面直角坐标系中,直线1l :1 62 y x =-+分别与x 轴、y 轴交于点B 、C ,且与直线2l :1 2 y x = 交于点A . (1)分别求出点A 、B 、C 的坐标; (2)若D 是线段OA 上的点,且COD △的面积为12,求直线CD 的函数表达式; (3)在(2)的条件下,设P 是射线CD 上的点,在平面内里否存在点Q ,使以O 、 C 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形?若存在,直接写出点Q 的坐标;若不存在,请说明理 由. 2.已知在ABC 中,AB AC =.在边AC 上取一点D ,以D 为顶点、DB 为一条边作 BDF A ∠=∠,点E 在AC 的延长线上,ECF ACB ∠=∠. (1)如图(1),当点D 在边AC 上时,请说明①FDC ABD ∠=∠;②DB DF =成立 的理由. (2)如图(2),当点D 在AC 的延长线上时,试判断DB 与DF 是否相等? 3.数学概念 若点P 在ABC ?的内部,且APB ∠、BPC ∠和CPA ∠中有两个角相等,则称P 是 ABC ?的“等角点”,特别地,若这三个角都相等,则称P 是ABC ?的“强等角点”. 理解概念 (1)若点P 是ABC ?的等角点,且100APB ∠=,则BPC ∠的度数是 . (2)已知点D 在ABC ?的外部,且与点A 在BC 的异侧,并满足 180BDC BAC ∠+∠<,作BCD ?的外接圆O ,连接AD ,交圆O 于点P .当BCD ?的 边满足下面的条件时,求证:P 是ABC ?的等角点.(要求:只选择其中一道题进行证明!) ①如图①,DB DC = ②如图②,BC BD = 初三九年级上册上册数学压轴题专题练习(解析版) 一、压轴题 1.已知P是⊙O上一点,过点P作不过圆心的弦PQ,在劣弧PQ和优弧PQ上分别有动点 A、B(不与P,Q重合),连接AP、BP. 若∠APQ=∠BPQ. (1)如图1,当∠APQ=45°,AP=1,BP=22时,求⊙O的半径; (2)如图2,选接AB,交PQ于点M,点N在线段PM上(不与P、M重合),连接ON、OP,若∠NOP+2∠OPN=90°,探究直线AB与ON的位置关系,并证明. 2.如图1,△ABC中,AB=AC=4,∠BAC=100,D是BC的中点. 小明对图1进行了如下探究:在线段AD上任取一点E,连接EB.将线段EB绕点E逆时针旋转80°,点B的对应点是点F,连接BF,小明发现:随着点E在线段AD上位置的变化,点F的位置也在变化,点F可能在直线AD的左侧,也可能在直线AD上,还可能在直线AD的右侧.请你帮助小明继续探究,并解答下列问题: (1)如图2,当点F在直线AD上时,连接CF,猜想直线CF与直线AB的位置关系,并说明理由. (2)若点F落在直线AD的右侧,请在备用图中画出相应的图形,此时(1)中的结论是否仍然成立,为什么? (3)当点E在线段AD上运动时,直接写出AF的最小值. 3.如图,在平面直角坐标系中,直线1l: 1 6 2 y x =-+分别与x轴、y轴交于点B、C, 且与直线2l: 1 2 y x =交于点A. (1)分别求出点A 、B 、C 的坐标; (2)若D 是线段OA 上的点,且COD △的面积为12,求直线CD 的函数表达式; (3)在(2)的条件下,设P 是射线CD 上的点,在平面内里否存在点Q ,使以O 、 C 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形?若存在,直接写出点Q 的坐标;若不存在,请说明理 由. 4.问题提出 (1)如图①,在ABC 中,42,6,135AB AC BAC ==∠=,求ABC 的面积. 问题探究 (2)如图②,半圆O 的直径10AB =,C 是半圆AB 的中点,点D 在BC 上,且 2CD BD =,点P 是AB 上的动点,试求PC PD +的最小值. 问题解决 (3)如图③,扇形AOB 的半径为20,45AOB ∠=在AB 选点P ,在边OA 上选点E ,在边OB 上选点F ,求PE EF FP ++的长度的最小值. 5.如图,等边ABC 内接于 O ,P 是AB 上任一点(点P 不与点A 、B 重合),连接 AP 、BP ,过点C 作CM BP 交PA 的延长线于点M . (1)求APC ∠和BPC ∠的度数; (2)求证:ACM BCP △≌△; (3)若1PA =,2PB =,求四边形PBCM 的面积; (4)在(3)的条件下,求AB 的长度. 6.如图①, O 经过等边ABC 的顶点A ,C (圆心O 在ABC 内),分别与AB , CB 的延长线交于点D ,E ,连结DE ,BF EC ⊥交AE 于点F . (1)求证:BD BE =. (2)当:3:2AF EF =,6AC =,求AE 的长. 九年级数学上册几何模型压轴题单元试卷(word版含答案) 一、初三数学旋转易错题压轴题(难) 1.在Rt△ACB和Rt△AEF中,∠ACB=∠AEF=90°,若点P是BF的中点,连接PC,PE. (1) 如图1,若点E,F分别落在边AB,AC上,求证:PC=PE; (2) 如图2,把图1中的△AEF绕着点A顺时针旋转,当点E落在边CA的延长线上时,探索PC与PE的数量关系,并说明理由. (3) 如图3,把图2中的△AEF绕着点A顺时针旋转,点F落在边AB上.其他条件不变,问题(2)中的结论是否发生变化?如果不变,请加以证明;如果变化,请说明理由. 【答案】(1)见解析;(2)PC=PE,理由见解析;(3)成立,理由见解析 【解析】 【分析】 (1)利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半,即可; (2)先判断△CBP≌△HPF,再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半; (3)先判断△DAF≌△EAF,再判断△DAP≌△EAP,然后用比例式即可; 【详解】 解:(1)证明:如图: ∵∠ACB=∠AEF=90°, ∴△FCB和△BEF都为直角三角形. ∵点P是BF的中点, ∴CP=1 2BF,EP= 1 2 BF, ∴PC=PE. (2)PC=PE理由如下: 如图2,延长CP,EF交于点H, ∵∠ACB=∠AEF=90°, ∴EH//CB, ∴∠CBP=∠PFH,∠H=∠BCP, ∵点P是BF的中点, ∴PF=PB, ∴△CBP≌△HFP(AAS), ∴PC=PH, ∵∠AEF=90°, ∴在Rt△CEH中,EP=1 2 CH, ∴PC=PE. (3)(2)中的结论,仍然成立,即PC=PE,理由如下: 如图3,过点F作FD⊥AC于点D,过点P作PM⊥AC于点M,连接PD, ∵∠DAF=∠EAF,∠FDA=∠FEA=90°, 在△DAF和△EAF中, DAF, , , EAF FDA FEA AF AF ∠=∠ ? ? ∠=∠ ? ?= ? ∴△DAF≌△EAF(AAS), ∴AD=AE, 在△DAP≌△EAP中, , , , AD AE DAP EAP AP AP = ? ? ∠=∠ ? ?= ? ∴△DAP≌△EAP (SAS), ∴PD=PF, ∵FD⊥AC,BC⊥AC,PM⊥AC, ∴FD//BC//PM, ∴DM FP MC PB =, 2014-2015学年度???学校1月月考卷 试卷副标题 1.(本题满分10分)如图,在半径为2的扇形AOB中,∠AOB=90°,点C是弧AB上的一个动点(不与点A、B重合)OD⊥BC,OE⊥AC,垂足分别为D、E. (1)当BC=1时,求线段OD的长; (2)在△DOE中是否存在长度保持不变的边?如果存在,请指出并求其长度,如果不存在,请说明理由; 【答案】① 15 2;②存在,2 DE 【解析】 试题分析:(1)如图(1),∵OD⊥BC,∴BD=BC=, ∴OD==; (2)如图(2),存在,DE是不变的.连接AB,则AB==2, ∵D和E分别是线段BC和AC的中点,∴DE=AB=; (3)如图(3),连接OC, ∵BD=x, ∴OD=, ∵∠1=∠2,∠3=∠4, ∴∠2+∠3=45°, 过D作DF⊥OE. ∴DF==,由(2)已知DE=, ∴在Rt△DEF中,EF==, ∴OE=OF+EF=+= ∴y=DF?OE=?? =(0<x<) 考点: 1.垂径定理;2.勾股定理;3.三角形中位线定理 2.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BD是△ABC的角平分线, DE⊥AB于点E. (1)如图1,连接EC,求证:△EBC是等边三角形; (2)点M是线段CD上的一点(不与点C,D重合),以BM为一边,在BM的下方作∠BMG=60°,MG交DE延长线于点G.请你在图2中画出完整图形,并直接写出MD,DG与AD之间的数量关系; (3)如图3,点N是线段AD上的一点,以BN为一边,在BN的下方作∠BNG=60°,NG 交DE延长线于点G.试探究ND,DG与AD数量之间的关系,并说明理由. 【答案】(1)证明见解析:(2)AD=DG+DM.(3)AD=DG-DN.理由见解析. 【解析】 试题分析:(1)利用“三边相等”的三角形是等边三角形证得△EBC是等边三角形;(2)延长ED使得DN=DM,连接MN,即可得出△NDM是等边三角形,利用△NGM≌△DBM 即可得出BD=NG=DG+DM,再利用AD=BD,即可得出答案; (3)利用等边三角形的性质得出∠H=∠2,进而得出∠DNG=∠HNB,再求出△DNG≌△HNB 即可得出答案. 试题解析:(1)证明:如图1所示: 在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°, ∴∠ABC=60°,BC=1 2 AB. ∵BD平分∠ABC, ∴∠1=∠DBA=∠A=30°.∴DA=DB. ∵DE⊥AB于点E. ∴AE=BE=1 2 AB. ∴BC=BE. ∴△EBC是等边三角形; (2)结论:AD=DG+DM. 证明:如图2所示:延长ED使得DN=DM,连接MN, 九年级上册数学 几何模型压轴题专题练习(解析版) 一、初三数学 旋转易错题压轴题(难) 1.阅读材料并解答下列问题:如图1,把平面内一条数轴x 绕原点O 逆时针旋转角 00)90(θ??<<得到另一条数轴,y x 轴和y 轴构成一个平面斜坐标系.xOy 规定:过点P 作y 轴的平行线,交x 轴于点A ,过点P 作x 轴的平行线,交y 轴于点B , 若点A 在x 轴对应的实数为a ,点B 在y 轴对应的实数为b ,则称有序实数对(),a b 为点 P 在平面斜坐标系xOy 中的斜坐标.如图2,在平面斜坐标系xOy 中,已知60θ?=,点P 的斜坐标是()3,6,点C 的斜坐标是()0,6. (1)连接OP ,求线段OP 的长; (2)将线段OP 绕点O 顺时针旋转60?到OQ (点Q 与点P 对应),求点Q 的斜坐标; (3)若点D 是直线OP 上一动点,在斜坐标系xOy 确定的平面内以点D 为圆心,DC 长为半径作 D ,当⊙D 与x 轴相切时,求点D 的斜坐标, 【答案】(1)37OP =2)点Q 的斜坐标为(9,3-);(3)点D 的斜坐标为: ( 3 2 ,3)或(6,12). 【解析】 【分析】 (1)过点P 作PC ⊥OA ,垂足为C ,由平行线的性质,得∠PAC=60θ=?,由AP=6,则 AC=3,33PC =OP 的长度; (2)根据题意,过点Q 作QE ∥OC ,QF ∥OB ,连接BQ ,由旋转的性质,得到OP=OQ ,∠COP=∠BOQ ,则△COP ≌△BOQ ,则BQ=CP=3,∠OCP=∠OBQ=120°,然后得到△BEQ 是等边三角形,则BE=EQ=BQ=3,则OE=9,OF=3,即可得到点Q 的斜坐标; (3)根据题意,可分为两种情况进行分析:①当OP 和CM 恰好是平行四边形OMPC 的对角线时,此时点D 是对角线的交点,求出点D 的坐标即可;②取OJ=JN=CJ ,构造直角三角 最新初三九年级数学上册上册数学压轴题测试卷附答案 一、压轴题 1.问题提出 (1)如图①,在ABC 中,42,6,135AB AC BAC ==∠=,求ABC 的面积. 问题探究 (2)如图②,半圆O 的直径10AB =,C 是半圆AB 的中点,点D 在BC 上,且 2CD BD =,点P 是AB 上的动点,试求PC PD +的最小值. 问题解决 (3)如图③,扇形AOB 的半径为20,45AOB ∠=在AB 选点P ,在边OA 上选点E ,在边OB 上选点F ,求PE EF FP ++的长度的最小值. 2.已知在ABC 中,AB AC =.在边AC 上取一点D ,以D 为顶点、DB 为一条边作 BDF A ∠=∠,点E 在AC 的延长线上,ECF ACB ∠=∠. (1)如图(1),当点D 在边AC 上时,请说明①FDC ABD ∠=∠;②DB DF =成立 的理由. (2)如图(2),当点D 在AC 的延长线上时,试判断DB 与DF 是否相等? 3.已知:在ABC 中,,90AC BC ACB ? =∠=,点F 在射线CA 上,延长BC 至点 D ,使CD CF =,点 E 是射线B F 与射线DA 的交点. (1)如图1,若点F 在边CA 上; ①求证:BE AD ⊥; ②小敏在探究过程中发现45BEC ?∠=,于是她想:若点F 在CA 的延长线上,是否也存在同样的结论?请你在图2上画出符合条件的图形并通过测量猜想BEC ∠的度数. (2)选择图1或图2两种情况中的任一种,证明小敏或你的猜想. 4.如图1,有一块直角三角板,其中AB 16=,ACB 90∠=,CAB 30∠=,A 、B 在x 轴上,点A 的坐标为()20,0,圆M 的半径为33,圆心M 的坐标为() 5,33-,圆M 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴向右做平移运动,运动时间为t 秒; ()1求点C 的坐标; ()2当点M 在ABC ∠的内部且M 与直线BC 相切时,求t 的值; ()3如图2,点E 、F 分别是BC 、AC 的中点,连接EM 、FM ,在运动过程中,是否存在某一 时刻,使EMF 90∠=?若存在,直接写出t 的值,若不存在,请说明理由. 5.已知,如图Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =6cm ,BC =8cm ,点P 为AC 的中点,Q 从点A 运动到B ,点Q 运动到点B 停止,连接PQ ,取PQ 的中点O ,连接OC ,OB . (1)若△ABC ∽△APQ ,求BQ 的长; (2)在整个运动过程中,点O 的运动路径长_____; (3)以O 为圆心,OQ 长为半径作⊙O ,当⊙O 与AB 相切时,求△COB 的面积. 6.我们知道,如图1,AB 是⊙O 的弦,点F 是AFB 的中点,过点F 作EF ⊥AB 于点E ,易得点E 是AB 的中点,即AE =EB .⊙O 上一点C (AC >BC ),则折线ACB 称为⊙O 的一条“折弦”. (1)当点C 在弦AB 的上方时(如图2),过点F 作EF ⊥AC 于点E ,求证:点E 是“折弦ACB ”的中点,即AE =EC+CB . (2)当点C 在弦AB 的下方时(如图3),其他条件不变,则上述结论是否仍然成立?若 拔高专题:旋转变化中的压轴题 一、基本模型构建 探究点一:以三角形为基础的图形的旋转变换 例1:(2015?盘锦中考)如图1,△ABC 和△AED 都是等腰直角三角形,∠BAC=∠EAD=90°,点B 在线段AE 上,点C 在线段AD 上. (1)请直接写出线段BE 与线段CD 的关系: BE=CD ; (2)如图2,将图1中的△ABC 绕点A 顺时针旋转角α(0<α<360°), ①(1)中的结论是否成立?若成立,请利用图2证明;若不成立,请说明理由; ②当AC= 1 2 ED 时,探究在△ABC 旋转的过程中,是否存在这样的角α,使以A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出角α的度数;若不存在,请说明理由. 解:(1)∵△ABC 和△AED 都是等腰直角三角形,∠BAC=∠EAD=90°,∴AB=AC ,AE=AD , ∴AE-AB=AD-AC ,∴BE=CD ; (2)①∵△ABC 和△AED 都是等腰直角三角形,∠BAC=∠EAD=90°,∴AB=AC ,AE=AD , 由旋转的性质可得∠BAE=∠CAD ,在△BAE 与△CAD 中,AB AC BAE CAD AE AD ? ∠?? ∠??===, ∴△BAE ≌△CAD (SAS ),∴BE=CD ; ②∵以A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形是平行四边形,△ABC 和△AED 都是等腰直角三角形, ∴∠ABC=∠ADC=45°,∵AC= 1 2 ED ,∴AC=CD ,∴∠CAD=45°,或360°-90°-45°=225°, ∴角α的度数是45°或225°. 等腰直角三角形的性质,等量代换,旋转的性质,全等三角形的判定和性质,平行四边形的判定和性质,综合性较强 【变式训练】1. 如图①,在Rt △ABC 和Rt △EDC 中,∠ACB=∠ECD=90°,AC=EC=BC=DC ,AB 与EC 交于F ,ED 与AB 、BC 分别交于M 、H . (1)求证:CF=CH ; (2)如图②,Rt △ABC 不动,将Rt △EDC 绕点C 旋转到∠BCE=45°时,判断四边形ACDM 的形状,并证明你的结论. (1)证明:∵∠ACB=∠ECD=90°,AC=BC=CD=CE ,∴∠1=∠2=90°-∠BCE ,∠A=∠B=∠D=∠E=45°, 在△ACF 和△DCH 中,12A D AC CD ∠∠∠??∠? ?? ===,∴△ACF ≌△DCH ,∴CF=CH ; (2)四边形ACDM 是菱形,证明:∵∠ACB=∠ECD=90°,∠BCE=45°,∴∠1=∠2=90°-45°=45°, ∵∠A=∠D=45°,∴∠A+∠ACD=45°+90°+45°=180°,同理∠D+∠ACD=180°,∴AM ∥DC ,AC ∥DM , ∴四边形ACDM 是平行四边形,∵AC=CD ,∴四边形ACDM 是菱形. 【教师总结】三角形从一个位置旋转到另一个位置,除去对应线段和对应角相等外,里面也存在着相等的角,和全等三角形,在解决问题过程要善于将“基本图形”分离出来分析。 探究点二 以四边形为基础的图形的旋转变换 九年级数学几何模型压轴题单元综合测试(Word版含答案) 一、初三数学旋转易错题压轴题(难) 1.探究:如图1和图2,四边形ABCD中,已知AB=AD,∠BAD=90°,点E、F分别在BC、CD上,∠EAF=45°. (1)①如图1,若∠B、∠ADC都是直角,把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,使AB与AD重合,直接写出线段BE、DF和EF之间的数量关系; ②如图2,若∠B、∠D都不是直角,但满足∠B+∠D=180°,线段BE、DF和EF之间的结论是否仍然成立,若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由. (2)拓展:如图3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=22.点D、E均在边BC边上,且∠DAE=45°,若BD=1,求DE的长. 【答案】(1)①EF=BE+DF;②成立,理由详见解析;(2)DE=5 3 . 【解析】 【分析】 (1)①根据旋转的性质得出AE=AG,∠BAE=∠DAG,BE=DG,求出∠EAF=∠GAF=45°,根据SAS推出△EAF≌△GAF,根据全等三角形的性质得出EF=GF,即可求出答案; ②根据旋转的性质作辅助线,得出AE=AG,∠B=∠ADG,∠BAE=∠DAG,求出C、D、G 在一条直线上,根据SAS推出△EAF≌△GAF,根据全等三角形的性质得出EF=GF,即可求出答案; (2)如图3,同理作旋转三角形,根据等腰直角三角形性质和勾股定理求出∠ABC=∠C=45°,BC=4,根据旋转的性质得出AF=AE,∠FBA=∠C=45°,∠BAF=∠CAE,求出∠FAD =∠DAE=45°,证△FAD≌△EAD,根据全等得出DF=DE,设DE=x,则DF=x,BF=CE=3﹣x,根据勾股定理得出方程,求出x即可. 【详解】 解:(1)∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,使AB与AD重合, ∴AE=AG,∠BAE=∠DAG,BE=DG,∠B=∠ADG=90°, ∵∠ADC=90°, ∴∠ADC+∠ADG=90° ∴F、D、G共线, ∵∠BAD=90°,∠EAF=45°, ∴∠BAE+∠DAF=45°, ∴∠DAG+∠DAF=45°, 即∠EAF=∠GAF=45°, 1.如图,直线3y x =-+与x 轴,y 轴分别相交于点B ,点C ,经过B C ,两点的抛物线 2 y ax bx c =++与x 轴的另一交点为A ,顶点为P ,且对称轴是直线2x =. (1)求A 点的坐标; (2)求该抛物线的函数表达式; (3)连结A C .请问在x 轴上是否存在点Q ,使得以点P B Q ,,为顶点的三角形与 A B C △相似,若存在,请求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由. [解] 直线3y x =-+与x 轴相交于点B ,∴当0y =时,3x =, ∴点B 的坐标为(30), . 又 抛物线过x 轴上的A B ,两点, 且对称轴为2x =,根据抛物线的对称性,∴点A 的坐标为(10),. (2)3y x =-+ 过点C ,易知(03)C ,,3c ∴=. 又 抛物线2y ax bx c =++过点(10)(30)A B ,,,, 309330a b a b +==?∴?++=?,. 解得14a b =??=-?,. 2 43y x x ∴=-+. (3)连结P B ,由22 43(2)1y x x x =-+=--,得(21)P -,, 设抛物线的对称轴交x 轴于点M ,在R t P B M △中,1PM M B ==, 452PBM PB ∴== ,∠.由点(30)(03)B C ,,,易得3O B O C ==, 在等腰直角三角形O BC 中,45ABC = ∠,由勾股定理,得32BC =. 假设在x 轴上存在点Q ,使得以点P B Q ,,为顶点的三角形与A B C △相似. ①当 B Q P B B C A B =,45PBQ ABC == ∠∠时,PBQ ABC △∽△. 即 2232 B Q = ,3BQ ∴=,又3B O = ,∴点Q 与点O 重合,1Q ∴的坐标是(00),. ②当 Q B P B A B B C = ,45Q BP ABC == ∠∠时,QBP ABC △∽△. A B C P O y 2x = A B C P O x y 2x = 九年级上册上册数学压轴题测试卷附答案 一、压轴题 1.已知,如图1,⊙O 是四边形ABCD 的外接圆,连接OC 交对角线BD 于点F ,延长AO 交BD 于点E ,OE=OF. (1)求证:BE=FD ; (2)如图2,若∠EOF=90°,BE=EF ,⊙O 的半径25AO =,求四边形ABCD 的面积; (3)如图3,若AD=BC ; ①求证:22?AB CD BC BD +=;②若2?12AB CD AO ==,直接写出CD 的长. 2.在长方形ABCD 中,AB =5cm ,BC =6cm ,点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以 1/cm s 的速度移动,与此同时,点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以2/cm s 的速度移 动.如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发,当点Q 运动到点C 时,两点停止运动.设运动时间为t 秒. (1)填空:______=______,______=______(用含t 的代数式表示); (2)当t 为何值时,PQ 的长度等于5cm ? (3)是否存在t 的值,使得五边形APQCD 的面积等于226cm ?若存在,请求出此时t 的值;若不存在,请说明理由. 3.如图,在Rt △AOB 中,∠AOB =90°,tan B =3 4 ,OB =8. (1)求OA 、AB 的长; (2)点Q 从点O 出发,沿着OA 方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动,同时动点P 从点A 出发,沿着AB 方向也以1个单位长度秒的速度匀速运动,设运动时间为t 秒(0<t ≤5)以P 为圆心,PA 长为半径的⊙P 与AB 、OA 的另一个交点分别为C 、D ,连结CD ,QC . ①当t 为何值时,点Q 与点D 重合? ②若⊙P 与线段QC 只有一个公共点,求t 的取值范围. 九年级数学几何模型压轴题综合测试卷(word 含答案) 一、初三数学 旋转易错题压轴题(难) 1.如图,在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,抛物线2 y ax bx c =++的顶点是A(1,3),将OA 绕点O 顺时针旋转90?后得到OB ,点B 恰好在抛物线上,OB 与抛物线的对称轴交于点C . (1)求抛物线的解析式; (2)P 是线段AC 上一动点,且不与点A ,C 重合,过点P 作平行于x 轴的直线,与 OAB ?的边分别交于M ,N 两点,将AMN ?以直线MN 为对称轴翻折,得到A MN '?. 设点P 的纵坐标为m . ①当A MN '?在OAB ?内部时,求m 的取值范围; ②是否存在点P ,使' 5 6 A MN OA B S S ?'?=,若存在,求出满足m 的值;若不存在,请说明理 由. 【答案】()2 1y x 22x =-++;(2)①433 m <<;②存在,满足m 的值为619-或 639 -. 【解析】 【分析】 (1)作AD ⊥y 轴于点D ,作BE ⊥x 轴于点E ,然后证明△AOD ≌△BOE ,则AD=BE ,OD=OE ,即可得到点B 的坐标,然后利用待定系数法,即可求出解析式; (2)①由点P 为线段AC 上的动点,则讨论动点的位置是解题的突破口,有点P 与点A 重合时;点P 与点C 重合时,两种情况进行分析计算,即可得到答案; ②根据题意,可分为两种情况进行分析:当点M 在线段OA 上,点N 在AB 上时;当点M 在线段OB 上,点N 在AB 上时;先求出直线OA 和直线AB 的解析式,然后利用m 的式子表示出两个三角形的面积,根据等量关系列出方程,解方程即可求出m 的值. 【详解】 最新初三九年级数学上册上册数学压轴题(提升篇)(Word 版 含解析) 一、压轴题 1.阅读理解: 如图,在纸面上画出了直线l 与⊙O ,直线l 与⊙O 相离,P 为直线l 上一动点,过点P 作⊙O 的切线PM ,切点为M ,连接OM 、OP ,当△OPM 的面积最小时,称△OPM 为直线l 与⊙O 的“最美三角形”. 解决问题: (1)如图1,⊙A 的半径为1,A(0,2) ,分别过x 轴上B 、O 、C 三点作⊙A 的切线BM 、OP 、CQ ,切点分别是M 、P 、Q ,下列三角形中,是x 轴与⊙A 的“最美三角形”的是 .(填序号) ①ABM ;②AOP ;③ACQ (2)如图2,⊙A 的半径为1,A(0,2),直线y=kx (k≠0)与⊙A 的“最美三角形”的面积为 1 2 ,求k 的值. (3)点B 在x 轴上,以B 为圆心,3为半径画⊙B ,若直线y=3x+3与⊙B 的“最美三角形”的面积小于 3 ,请直接写出圆心B 的横坐标B x 的取值范围. 2.点P 为图形M 上任意一点,过点P 作PQ ⊥直线,l 垂足为Q ,记PQ 的长度为d . 定义一:若d 存在最大值,则称其为“图形M 到直线l 的限距离”,记作()max ,D M l ; 定义二:若d 存在最小值,则称其为“图形M 到直线l 的基距离”,记作()min ,D M l ; (1)已知直线1:2l y x =--,平面内反比例函数2 y x = 在第一象限内的图象记作,H 则 ()1,min D H l = . (2)已知直线2:33l y x =+,点()1,0A -,点()()1,0,,0B T t 是x 轴上一个动点, T 的半径为3,点C 在T 上,若()max 243,63,D ABC l ≤≤求此时t 的取值范 围, (3)已知直线21211k k y x k k --= +--恒过定点1111,8484P a b c a b c ?? ??+-+? +,点(),D a b 恒在直线3l 上,点(),28E m m +是平面上一动点,记以点E 为顶点,原点为对角线交点的正方形为图形,K ()min 3,0D K l =,若请直接写出m 的取值范围. 3.如图,等边ABC 内接于 O ,P 是AB 上任一点(点P 不与点A 、B 重合),连接 AP 、BP ,过点C 作CM BP 交PA 的延长线于点M . (1)求APC ∠和BPC ∠的度数; (2)求证:ACM BCP △≌△; (3)若1PA =,2PB =,求四边形PBCM 的面积; (4)在(3)的条件下,求AB 的长度. 4.数学概念 若点P 在ABC ?的内部,且APB ∠、BPC ∠和CPA ∠中有两个角相等,则称P 是 ABC ?的“等角点”,特别地,若这三个角都相等,则称P 是ABC ?的“强等角点”. 理解概念 (1)若点P 是ABC ?的等角点,且100APB ∠=,则BPC ∠的度数是 . (2)已知点D 在ABC ?的外部,且与点A 在BC 的异侧,并满足 180BDC BAC ∠+∠<,作BCD ?的外接圆O ,连接AD ,交圆O 于点P .当BCD ?的 边满足下面的条件时,求证:P 是ABC ?的等角点.(要求:只选择其中一道题进行证明!) ①如图①,DB DC = ②如图②,BC BD = 九年级上册数学压轴题易错题(Word 版 含答案) 一、压轴题 1.如图①,A (﹣5,0),OA =OC ,点B 、C 关于原点对称,点B (a ,a +1)(a >0). (1)求B 、C 坐标; (2)求证:BA ⊥AC ; (3)如图②,将点C 绕原点O 顺时针旋转α度(0°<α<180°),得到点D ,连接DC ,问:∠BDC 的角平分线DE ,是否过一定点?若是,请求出该点的坐标;若不是,请说明理由. 2.已知在ABC 中,AB AC =.在边AC 上取一点D ,以D 为顶点、DB 为一条边作 BDF A ∠=∠,点E 在AC 的延长线上,ECF ACB ∠=∠. (1)如图(1),当点D 在边AC 上时,请说明①FDC ABD ∠=∠;②DB DF =成立 的理由. (2)如图(2),当点D 在AC 的延长线上时,试判断DB 与DF 是否相等? 3.问题发现: (1)如图①,正方形ABCD 的边长为4,对角线AC 、BD 相交于点O ,E 是AB 上点(点E 不与A 、B 重合),将射线OE 绕点O 逆时针旋转90°,所得射线与BC 交于点F ,则四边形OEBF 的面积为 . 问题探究: (2)如图②,线段BQ =10,C 为BQ 上点,在BQ 上方作四边形ABCD ,使∠ABC =∠ADC =90°,且AD =CD ,连接DQ ,求DQ 的最小值; 问题解决: (3)“绿水青山就是金山银山”,某市在生态治理活动中新建了一处南山植物园,图③为南山植物园花卉展示区的部分平面示意图,在四边形ABCD 中,∠ABC =∠ADC =90°,AD =CD ,AC =600米.其中AB 、BD 、BC 为观赏小路,设计人员考虑到为分散人流和便观赏,提出三条小路的长度和要取得最大,试求AB +BD +BC 的最大值. 4.如图,AB 是⊙O 的直径,AF 是⊙O 的弦,AE 平分BAF ∠,交⊙O 于点E ,过点 E 作直线ED A F ⊥,交AF 的延长线于点D ,交AB 的延长线于点C . (1)求证:CD 是⊙O 的切线; (2)若10,6AB AF ==,求AE 的长. 5.如图,⊙M 与菱形ABCD 在平面直角坐标系中,点M 的坐标为(﹣3,1),点A 的坐标为(2,0),点B 的坐标为(1,﹣3),点D 在x 轴上,且点D 在点A 的右侧. (1)求菱形ABCD 的周长; (2)若⊙M 沿x 轴向右以每秒2个单位长度的速度平移,菱形ABCD 沿x 轴向左以每秒3个单位长度的速度平移,设菱形移动的时间为t (秒),当⊙M 与AD 相切,且切点为AD 的中点时,连接AC ,求t 的值及∠MAC 的度数; (3)在(2)的条件下,当点M 与AC 所在的直线的距离为1时,求t 的值. 6.如图,已知AB 是⊙O 的直径,AB =8,点C 在半径OA 上(点C 与点O 、A 不重合),过点C 作AB 的垂线交⊙O 于点D ,连结OD ,过点B 作OD 的平行线交⊙O 于点E 、交射线CD 于点F . (1)若ED =BE ,求∠F 的度数: 压轴题几何专项训练(三) ——有关旋转、平移、折叠问题 (旋转)1、如图,点O 是等边ABC △内一点,110AOB BOC α∠=∠=,.将 BOC △绕点C 按顺时针方向旋转60得ADC △,连接OD . (1)求证:COD △是等边三角形; (2)当150α=时,试判断AOD △的形状,并说明理由; (3)探究:当α为多少度时,AOD △是等腰三角形? A B C D O 110 α (旋转)2、如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置,其中∠C =90°, ∠B =∠E =30°. (1)操作发现 如图2,固定△ABC ,使△DEC 绕点C 旋转,当点D 恰好落在AB 边上时,填空: ①线段DE 与AC 的位置关系是_________; ②设△BDC 的面积为S 1,△AEC 的面积为S 2,则S 1与S 2的数量关系是________. (2)猜想论证 当△DEC 绕点C 旋转到图3所示的位置时,小明猜想(1)中S 1与S 2的数量关系仍 然成立,并尝试分别作出了△BDC 和△AEC 中BC 、CE 边上的高,请你证明小明的 猜想. (3)拓展探究 已知∠ABC =60°,点D 是其角平分线上一点,BD =CD =4,DE //AB 交BC 于点E (如 图4).若在射线BA 上存在点F ,使BDE DCF S S ??=,请直接写出....相应的BF 的长. A (D ) B (E ) C 图 1 图 2 图3 图4 (平移)3、如图(1)所示,一张三角形纸片ABC , ACB =90o,AC =8,BC =6.沿斜边AB 的中线CD 把这张纸片剪成△AC 1D 1和△BC 2D 2两个三角形,如图(2)所示.将纸片△AC 1D 1沿直线D 2B (AB )方向平移(点A 、D 1、D 2、B 始终在同一条直线上),当点D 1与点B 重合时,停止平移.在平移的过程中,C 1D 1与BC 2交于点E ,AC 1与C 2D 2、BC 2分别交于点F 、P . (1)当△AC 1D 1平移到如图(3)所示的位置时,猜想图中D 1E 与D 2F 的数量关系,并证明你的猜想; (2)设平移距离D 2D 1为x ,△AC 1D 1和△BC 2D 2重叠部分的面积为y ,请写出y 与x 的函数关系式,以及自变量x 的取值范围; (3)对于(2)中的结论是否存在这样的x ,使得重叠部分的面积等于原△ABC 纸片面积的1 4 ?若存在,请求出x 的值;若不存在,请说明理由.初三九年级数学上册数学压轴题(提升篇)(Word版 含解析)
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