2019-2020学年江苏省南通中学高三(上)期中数学试卷 (含答案解析)

2019-2020学年江苏省南通中学高三（上）期中数学试卷

一、填空题（本大题共14小题，共70.0分） 1. A ={1,2}，B ={2,3，4}.则A ∩B = ______ ． 2. 设命题p ：?x >0，sinx +1>2x ，则￢p 为________

3. 已知f(x)是一次函数，若f(0)=1，f(?1)=?1，则f(x)的解析式为________．

4. 角α的终边经过点P(x,4)且cosα=x

5，则sinα=______． 5. 函数f(x)=log 2x √1?x 的定义域是________ 6. AB ????? ?BC ????? +BD ?????? ?AD

?????? =__________． 7. 设p:x

x?2<0，q ：0

(2)已知函数f(x)=xln x ，若直线ι过点(0,?1)，并且与曲线y =f(x)相切，则直线ι的方程为________．

9. 在△ABC 中，A =60°，BC =√5，D 是AB 边上的一点，CD =1，△BCD 的面积为1

2，则AC 的

长为________．

10. 已知f (x )，

g (x )均为奇函数，且F(x)=af(x)+bg(x)+2在(0,+∞)上的最大值为5，则在(?∞,0)上F(x)的最小值为__________．

11. 设函数f(x)={x 2, x ≤0

f(x ?1),?x >0，则函数g(x)=f(x)?x 的零点的个数为______ ． 12. 在平行四边形ABCD 中，AB =4，CP

????? =3PD ????? ，若AB ????? ?BP ????? =?1，则AB ????? ?AD ?????? =______． 13. 已知函数f(x)={

|3x ?1|,x <1

3?x,x ≥1

，若关于x 的函数y =2f 2(x)+mf(x)+1有6个不同的零点，则实数m 的取值范围是______．

14. 已知平面向量a ? =(sinx,1)，b ? =(√3,cosx)，若函数f(x)=a ? ?b ? 在[?m,m]上是单调递增函数，

则f(2m)的取值范围为______． 二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）

15. 设平面向量a ? =(cosx,sinx)，b ? =(√22,√22)，|a ? ?b ? |=4√55

． (Ⅰ)求cos(x ?π

4)的值；

(Ⅱ)若x∈[π

2,3π

2

]，求cos2x的值．

16.已知集合A={y|y=x2?3

2x+1,x∈[3

4

,2]}，B={x|x+m2≥1}.命题p：x∈A，命题q：x∈B，

并且命题p是命题q的充分条件，求实数m的取值范围．

17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=√3b且sinB=sinC．

(1)求角A的大小；

(2)若a=2√3，角B的平分线交AC于点D，求线段BD的长度．

18.设某市现有从事第二产业人员100万人，平均每人每年创造产值a万元(a为正常数)，现在决定

从中分流x万人去加强第三产业．分流后，继续从事第二产业的人员平均每人每年创造产值可增加2x%(0

(1)若要保证第二产业的产值不减少，求x的取值范围；

(2)在(1)的条件下，问应分流出多少人，才能使该市第二、三产业的总产值增加最多？

x2?x,x?0．

19.已知函数f(x)=e x?1

2

(1)求f(x)的最小值；

(2)若f(x)?ax+1恒成立，求实数a的取值范围．

20.已知函数f(x)=(x2+ax+a)e x(a≤2,x∈R)．

(1)当a=1时，求f(x)的单调区间；

(2)是否存在实数a，使f(x)的极大值为3？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．

-------- 答案与解析 --------

1.答案：{2}

解析：解：∵A={1,2}，B={2,3，4}，

∴A∩B={2}．

故答案为：{2}．

利用交集的定义直接求解．

本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用．

2.答案：?x>0,sinx+1≤2x

解析：

【分析】

本题考查含有一个量词的命题的否定，属于容易题．

因为特称命题的否定是全称命题，即可得出结论．

【解答】

解：因为特称命题的否定是全称命题，

所以则￢p为?x>0,sinx+1≤2x．

故答案为?x>0,sinx+1≤2x．

3.答案：f(x)=2x+1

解析：

【分析】

本题考查函数解析式的求法，考查待定系数法求函数解析式，由于f(x)是一次函数，设f(x)=kx+ b(k≠0)，结合已知条件f(0)=1和f(?1)=?1求出k和b的值，问题即可得解．

【解答】

解：∵f(x)是一次函数，

∴设f(x)=kx+b(k≠0)，

∵f(0)=1，

∴b=1，

∴f(x)=kx+1(k≠0)，

∵f(?1)=?1，

∴?k+1=?1，

∴k =2， ∴f (x )=2x +1． 故答案f (x )=2x +1．

4.答案：4

5或1

解析： 【分析】

本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题． 由条件利用任意角的三角函数的定义求得x 的值，即可求解． 【解答】

解：由题意可得cosα=x

5=22，求得x =0或x =±3， 当x =0时，sinα=1；当x =±3时，sinα=4

5． 故答案为：4

5或1．

5.答案：(0,1)

解析： 【分析】

本题考查函数的定义域，属于基础题．

根据函数式有意义，得到x 的不等式组，解得x 的取值范围，即可得到答案． 【解答】

解：要使函数f(x)有意义，则有：{x >0

1?x >0，解得0

所以函数f(x)的定义域为(0,1)． 故答案为(0,1)． 6.答案：CB

?????

解析：AB ????? ?BC ????? +BD ?????? ?AD ?????? =AB ????? +BD ?????? ?BC ????? ?AD ?????? =CB

????? 7.答案：(2,+∞)

解析： 【分析】

本题考查充要条件的判定及不等式的求解，属于基础题.求出p ，将问题转化为集合的包含关系，根据集合的包含关系得到集合的端点的大小关系，列出不等式即可求出m 的取值范围． 【解答】

<0可得：0

解：解不等式x

x?2

因为p是q成立的充分不必要条件，

所以集合{x|0

∴m>2，

故答案为(2,+∞)．

8.答案：(1)5x+y+2=0

(2)x?y?1=0

解析：

(1)【分析】

本题考查由导数求函数在某点处的切线方程．

先求导数，得切线斜率，再由点斜式求切线方程．

【解答】

解：∵y=?5e x+3，

∴y′=?5e x，

∴在点(0,?2)处的切线的斜率为k=y′|x=0=?5，

∴在点(0,?2)处的切线方程为y+2=?5x，即5x+y+2=0．

故答案为5x+y+2=0．

(2)【分析】

本题考查导数得几何意义．

设切点为(x0,x0lnx0)，由到导数求出切线的斜率，由点斜式得切线方程，再由过点(0,?1)得x0的值，从而得切线方程．

【解答】

解：∵函数f(x)=xln x，

∴f′(x)=1+lnx，

设切点为(x0,x0lnx0)，

∴函数在点(x0,x0lnx0)处的切线方程为y?x0lnx0=(1+lnx0)(x?x0)，

∵切线ι过点(0,?1)，

∴?1?x0lnx0=(1+lnx0)(?x0)，

解得x0=1，

∴切线方程为x?y?1=0．

故答案为x?y?1=0．

9.答案：√6

3

解析：

【分析】

本题考查正弦定理，余弦定理及面积公式的应用，由△BED的面积可得∠BCD的正弦，从而在三角形中利用正弦定理，余弦定理，得到结果．

【解答】

解：∵由题意可得1

2CB?CD?sin∠BCD=1

2

，

∴1

2×√5×1×sin∠BCD=1

2

，

∴解得?sin∠BCD=

√5

，

∴?cos∠BCD=

√5

，

∵△BCD中，由余弦定理可得：

?BD=√CB2+CD2?2CB×CD×cos∠BCD=√2，

∴△BCD中，由正弦定理BD

sin∠BCD =CD

sinB

：

∴可得√21

√5=1

sinB

，

∴sinB=

√10

，

∵在△ABC中，由正弦定理AC

sinB =BC

sinA

：

∴可得AC1

√10=√5

√3

2

，

∴解得AC=√6

3

．

故答案为√6

3

．

10.答案：?1

解析：

【分析】

本题考查函数奇偶性的判断，属于基础题，根据函数的奇偶性构造函数是解决本题的关键，根据函数奇偶性的性质，建立不等式关系即可得到结论．

【解答】

解：令?(x)=F(x)?2=af(x)+bg(x)，

则?(x)为奇函数，

∵x ∈(0,+∞)时，F(x)≤5，

∴x ∈(0,+∞)时，?(x)=F(x)?2≤3， 又x ∈(?∞,0)时，?x ∈(0,+∞)，

∴?(?x)≤3???(x)≤3

??(x)≥?3， ∴F(x)≥?3+2=?1，

即F(x)在 (?∞,0)上的最小值为?1． 故答案为?1．

11.答案：2

解析：解：函数g(x)=f(x)?x 的零点的个数即函数y =f(x)的图象与直线y =x 的交点个数，如图所示：

由于函数y =f(x)的图象与直线y =x 只有2个交点， 故答案为2．

函数g(x)=f(x)?x 的零点的个数即函数y =f(x)的图象与直线y =x 的交点个数，数形结合可得答案．

本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，抽象函数的应用，体现了转化与数形结合的数学思想，属于中档题．

12.答案：11

解析： 【分析】

本题考查了平面向量加减法及数量积运算，属于中档题．用AB ????? ,AD ?????? 表示出BP ????? ，根据AB ????? ?BP ????? =?1解出答案． 【解答】

解：∵在平行四边形ABCD 中，AB =4，CP ????? =3PD ????? ，

∴CP ????? =34

CD

????? =?3

4AB ????? ， ∴BP ????? =BC ????? +CP ????? =AD ?????? ?34

AB ????? ，

∴AB ????? ?BP ????? =AB ????? ?(AD ?????? ?34AB ????? )=AB ????? ?AD ?????? ?34AB ????? 2

=AB ????? ?AD ?????? ?12=?1， AB ????? ?AD ?????? =11． 故答案为：11．

13.答案：(?3,?2√2)

解析： 【分析】

本题考查了函数图象的应用，函数的零点和方程根的关系，二次函数的性质，属于中档题． 根据f(x)的图象判断f(x)=t 的解的情况，从而得出关于t 的方程2t 2+mt +1=0的根的分布情况，根据二次函数的性质列不等式组解出m 的范围． 【解答】

解：作出f(x)的函数图象，如图：

设f(x)=t ，则当t =2或t <0时， 方程f(x)=t 只有1解，

当t =0或1≤t <2时，方程f(x)=t 有2解， 当02时，方程f(x)=t 无解．

∵关于x 的函数y =2f 2(x)+mf(x)+1有6个不同的零点， ∴关于t 的方程2t 2+mt +1=0在(0,1)上有两不同解， ∴{ m 2?8>00

4<11>02+m +1>0，解得?3

14.答案：[1,2]

解析：解：由平面向量a ? =(sinx,1)，b ? =(√3,cosx)，

得f(x)=a ? ?b ? =√3sinx +cosx =2sin(2x +π

6

)， 令2kπ?π2≤2x +π6≤2kπ+π

2， 解得kπ?π

3≤x ≤kπ+π

6，k ∈Z ， 又函数f(x)在[?m,m]上是单调递增函数， 则0

6<4m +π

6≤

5π6，

即1≤f(2m)≤2， 故答案为：[1,2]．

由三角恒等变换中的辅助角公式得：由平面向量a ? =(sinx,1)，b ? =(√3,cosx)，得f(x)=a ? ?b ? =√3sinx +cosx =2sin(2x +π

6)，

令2kπ?π

2≤2x +π

6≤2kπ+π

2，解得kπ?π

3≤x ≤kπ+π

6，k ∈Z ，又函数f(x)在[?m,m]上是单调递增函数，则0

6，则0<2m ≤π

3，则π

6<4m +π

6≤

5π6

，即1≤f(2m)≤2，得解．

本题考查了三角恒等变换中的辅助角公式及三角函数的值域问题，属中档题．

15.答案：解：(Ⅰ)∵a ? =(cosx ，sinx)，b ? =(√22,√22)，|a ? ?b ? |=4√55

， ∴a ? ?b ? =(cosx ?√22

,sinx ?√22

)，∴|a ? ?b ? |2=(cosx ?√22

)2+(sinx ?√2

2

)2=2?√2(sinx +

cosx)=2?2cos(x ?π4

)=

165

，

∴cos(x ?π4)=?3

5． (Ⅱ)若x ∈[π2,

3π

2

]，∴x ?π4

∈[π4

,5π

4

]，∵cos(x ?π4)<0，∴x ?π4为钝角，∴sin(x ?π

4)=

√1?cos 2(x ?π

4)=4

5．

∴cos2x =?sin(2x ?π

2)=?2sin(x ?π

4)cos(x ?π

4)=24

25．

解析：(Ⅰ)利用两个向量坐标形式的运算，两角和差的三角公式，求得cos(x ?π

4)的值． (Ⅱ)根据x ∈[π2,

3π

2

]，利用正弦函数的定义域和值域、诱导公式求得cos2x 的值．

本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两角和差的三角公式的应用，还考查了同角三角函数的基本关系、诱导公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．

16.答案：m ≥34或m ≤?3

4

解析：化简集合A ，由y =x 2?3

2x +1，配方得y =(x ?34

)2

+

7

16

，∵x ∈[34

,2]，∴y min =7

16，y max =2，∴y ∈[7

16,2]，∴A ={y |7

16≤y ≤2}， 化简集合B ，由x +m 2≥1，x ≥1?m 2，B ={x |x ≥1?m 2}，命题p 是命题q 的充分条件，∴A ?B ，∴1?m 2≤7

16，解得m ≥3

4或m ≤?3

4．

17.答案：解：(1)由sinB =sinC 及正弦定理知b =c ，

又a =√3b ， 由余弦定理得cosA =b 2+c 2?a 2

2bc

=

b 2+b 2?3b 2

2b 2

=?1

2．

由A ∈(0,π)， 可得A =

2π3

；

(2)由(1)知B =C =π

6， 在△BCD 中知∠BDC =3π

4

，∠BCD =π

6， 又BC =2√3，

在△BCD 中，由正弦定理得2√3sin 3π4

=BD

sin π6

．

即有BD =

2√3×

1

2

√22

，

可得BD =√6．

解析：(1)由正弦定理可得b =c ，运用余弦定理可得cos A ，进而得到A ； (2)由题意可得∠BDC ，∠BCD ，在△BCD 中，运用正弦定理计算可得BD ．

本题考查三角形的正弦定理、余弦定理的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．

18.答案：解：(1)依题意，(100?x)(1+2x%)a ≥100a(0

整理得：x 2≤50x ， 解得：0

∴满足题意的x 的取值范围是：(0,50]； (2)由(1)可知0

记该市第二、三产业的总产值为y ， 则y =(100?x)(1+2x%)a +1.2ax ?100a =?

a 50

(x ?55)2+

121a 2

，

又∵0

121a 2

?

25a 50

=60a ，

答：在(1)的条件下，应分流出50万人，才能使该市第二、三产业的总产值增加最多．

解析：本题考查函数模型的选择与应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．

(1)通过解不等式(100?x)(1+2x%)a≥100a(0

(2)通过(1)可知0

x2?x，

19.答案：解：解：(1)因为f(x)=e x?1

2

所以f′(x)=e x?x?1，

令g(x)=e x?x?1，则g′(x)=e x?1，

所以当x≥0时，g′(x)≥0，

故g(x)在上单调递增，

所以当x≥0时，g(x)≥g(0)=0，即f′(x)≥0，

所以f(x)在上单调递增，

故当x=0时，取得最小值1;

(2)①当a?0时，对于任意的x?0，恒有ax+1?1，

又由(1)得f(x)?1，故f(x)?ax+1恒成立．

x2?x?ax?1，则?′(x)=e x?x?a?1，

②当a>0时，令?(x)=e x?1

2

由(1)知g(x)=e x?x?1在上单调递增，

所以?′(x)=e x?x?a?1在上单调递增，

而?′(0)=?a<0，取x=2√a，

(2√a)2+2√a+1，

由(1)得e2√a?1

2

(2√a)2+2√a+1?2√a?a?1=a>0，

则?′(2√a)=e2√a?2√a?a?1?1

2

所以函数?′(x)存在唯一的零点x0∈(0,2√a)，

当x∈(0,x0)时，?′(x)<0,?(x)在[0,x0)上单调递减，

所以当x∈(0,x0)时，?(x)

即f(x)

综上，a的取值范围为．

解析：本题主要考查了函数的最值，导数极其应用问题，也考查了不等式的应用问题，考查了推理论证能力与逻辑思维能力以及运算求解能力的应用问题，是综合性题目．

(1)求函数f(x)的导数f′(x)，利用导数判断f(x)在[0,+∞)上单调递增，从而求出f(x)的最小值；

x2?x?ax?1的单调性，可知当a>0时f(x)≥ax+ (2)讨论a≤0以及a>0时，讨论?(x)=e x?1

2

1不恒成立，故可求a的取值范围．

20.答案：解：函数的导数f′(x)=(2x+a)e x+(x2+ax+a)e x=[x2+(a+2)x+2a]e x

(1)若a=1，则f′(x)=(x2+3x+2)e x，

当f′(x)>0时，解得x?1，

当f′(x)<0时，解得?2

所以函数的单调增区间为(?∞,?2)，(?1,+∞)；

单调减区间为(?2,?1)．

(2)由f′(x)=[x2+(a+2)x+2a]e x=0得x2+(a+2)x+2a=0，解得x=?2或x=?a，

当a=2时，f′(x)=(x+2)2e x>0，此时函数单调递增，故无极值，

当a<2时，

则当x=?2时，函数取得极大值f(?2)，

由f(?2)=3得a=4?3e2．

故存在a=4?3e2．

解析：本题主要考查导数的几何意义，以及函数极值的求解，求函数的导数，利用导数进行研究是解决本题的关键．

(1)求函数的导数，把a=1代入，对函数求导，分别解不等式f′(x)>0，f′(x)<0，从而可求函数的单调区间；

(2)求函数的导数，根据函数的极值和导数的关系求出函数的极大值，进行判断．