高数 函数四类间断点
函数间断点知识笔记
间断点的条件:
设函数()f x 在点0x 的某去心邻域内有定义,在此前提下,如果函数()f x 有下列三种情形之一：
(1) 在0x x 没有定义
(2) 在0x x 有定义，但0
lim ()x x f x 不存在 (3) 在0x x 有定义，0lim ()x x f x 存在,但0
0lim ()()x x f x f x 那么函数()f x 在点0x 不连续，而点0x 称为函数()f x 的不连续点或间断点
无穷间断点：
()tan()f x x
()tan()f x x 在2x 无定义,且2
lim tan()x x 震荡间断点：
1()sin()f x x
1()sin(f x x
在点0x 没有定义,当0x 时，函数值在1 和-1之间变动无限多次 可去间断点：
（图不是很好看）
21()1
x f x x 21()1x f x x 在点1x 没有定义，但在这里有211
1lim =lim(1)21x x x x x 如果补充定义:令(1)2f 那么函数在点1x 成为连续，这种情况间断点为可去间断点 同例有函数:,1,()1, 1.2
x x f x x ，这里就不论述了. 跳跃间断点：
1,0,()0,0,1,0.x x f x x x x
当0x 时,
0000lim ()lim (1)1lim ()lim (1)1x x x x f x x f x x
左右极限都存在但不相等,故0
lim ()x f x 不存在,因图像在0x 处产生跳跃现象，该类间断点成为跳跃间断点
第一类间断点：
左极限0()f x 和0()f x 都存在的间断点（跳跃间断点和可去间断点）
第二类间断点：
非第一类间断点的所有间断点.(无穷间断点和震荡间断点)
同济第六版《高等数学》教案WORD版-第01章 函数与极限
第一章函数与极限 教学目的： 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形。 5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限 之间的关系。 6、掌握极限的性质及四则运算法则。 7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限 的方法。 8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有 界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 教学重点： 1、复合函数及分段函数的概念； 2、基本初等函数的性质及其图形； 3、极限的概念极限的性质及四则运算法则； 4、两个重要极限； 5、无穷小及无穷小的比较； 6、函数连续性及初等函数的连续性； 7、区间上连续函数的性质。 教学难点： 1、分段函数的建立与性质； 2、左极限与右极限概念及应用； 3、极限存在的两个准则的应用； 4、间断点及其分类； 5、闭区间上连续函数性质的应用。 §1. 1 映射与函数 一、集合 1. 集合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为a?M. 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A?{a, b, c, d, e, f, g}. 描述法: 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成, 则M可表示为
(完整版)高中数学《函数的极限》教案
课 题：2.3函数的极限(二) 教学目的： 1.理解函数在一点处的极限，并会求函数在一点处的极限． 2.已知函数的左、右极限，会求函数在一点处的左右极限． 3.理解函数在一点处的极限与左右极限的关系教学重点：掌握当0x x →时函数的极限 教学难点：对“0x x ≠时，当0x x →时函数的极限的概念”的理解 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 上节课我们学习了当x 趋向于∞即x →∞时函数f (x )的极限.当x 趋向于∞时，函数f (x )的值就无限趋近于某个常数a .我们可以把∞看成数轴上的一个特殊的点.那么如果对于数轴上的一般的点x 0，当x 趋向于x 0时，函数f (x )的值是否会趋近于某个常数a 呢？ 教学过程： 一、复习引入： 1.数列极限的定义： 一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a （即n a a -无限趋近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限，或者说a 是数列}{n a 的极限．记作lim n n a a →∞ =，读作“当n 趋向于无穷大时，n a 的极限等 于a ”“n →∞”表示“n 趋向于无穷大”，即n 无限增大的意思n a a →∞ =有 时也记作：当n →∞时，n a →a ． 2.几个重要极限： （1）01 lim =∞→n n （2）C C n =∞ →lim （C 是常数） （3）无穷等比数列}{n q （1 函数间断点求法两个基本步骤 1、间断点（不连续点）的判断 在做间断点的题目时，首要任务是将间断点的定义熟记于心。下面我们一起看一下教材上间断点的定义： 2、间断点类型的判断 找出函数的间断点后，然后判断间断点的类型，主要通过间断点的左右极限情况来划分： （1）第一类间断点：在间断点处的左右极限都存在．可以分为以下两种： ①可去间断点：左右极限存在且相等； ②跳跃间断点：左右极限存在但不相等． （2）第二类间断点：在间断点处的极限至少有一个不存在．经常使用到的，有以下两种形式的第二类间断点： ①无穷间断点：在间断点的极限为无穷大． ②振荡间断点：在间断点的极限不稳定存在． ?间断点： 是f(x)的间断点，f(x)在 点处的左右极限都存在为第一类间断点. f(x)在 点处左右极限至少有一个不存在，则 是f(x)的第二类间断点. 第一类间断点中 可去间断点 ： 左右极限相等 跳跃间断点：左右极限不相等 第二类间断点：无穷间断点，振荡间断点等. 下面通过一道具体的真题，说明函数间断点的求法： 函数的间断点 一、函数的间断点 设函数()x f 在点0x 的某去心邻域内有定义．在此前提下，如果函数()x f 有下列三种情形之一： 1．在0x x =没有定义； 2．虽在0x x =有定义，但()x f x x 0 lim →不存在； 3．虽在0x x =有定义，且()x f x x 0 lim →存在，但()()00 lim x f x f x x ≠→； 则函数()x f 在点0x 为不连续，而点0x 称为函数()x f 的不连续点或间断点． 下面我们来观察下述几个函数的曲线在1=x 点的情况，给出间断点的分类： 在1=x 连续． 在1=x 间断，1→x 极限为2． 在1=x 间断，1→x 极限为2． 在1=x 间断， 1→x 左极限为2，右极限为1． 在0=x 间断，0→x 极限不存在． 像②③④这样在0x 点左右极限都存在的间断，称为第一类间断，其中极限存在的②③称作第一类间断的可补间断，此时只要令()21=y ，则在1=x 函数就变成连续的了； ④被称作第一类间断中的跳跃间断．⑤⑥被称作第二类间断，其中⑤也称作无穷间断，而⑥ 称作震荡间断． 就一般情况而言，通常把间断点分成两类：如果0 x 是函数()x f 的间断点，但左极限 ① 1+=x y ② 11 2- +=x x y ③ ???≥<+=1111x x x y ，， ④ ???≥<+=1 1 1x x x x y ，，⑥ x y 1sin = 广西民族师范学院 数计系《高等数学》课程教案 课程代码：061041210 总学时/周学时：_________ 51/3 开课时间：2015年9月16日第3周至第18周授课年级、专业、班级：制药本152班 使用教材：高等数学同济大学第7版 教研室：数学与应用数学教研室 授课教师: 、课程教学计划表 、教案正文 第一章函数与极限 （一）教学目的： 1. 理解映射与函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2?了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3?理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4?掌握基本初等函数的性质及其图形。 5?理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。 6?掌握极限的性质及四则运算法则。 7?了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 8?理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。9?理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型 10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质 (有界性、最大值和最小值定理、介值定理) ，并会应用这些性质。 (二)重点、难点 1．重点函数与复合函数的概念，基本初等函数与初等函数，实际问题中的函数关系，极限概念与极限运算，无穷小，两个重要极限公式，函数连续的概念与初等函数的连续性。 2 ．难点函数符号的运用，复合函数的复合过程，极限定义的理解，两个重要极限的灵活运用。 三)教学方法、手段： 教师讲授，提问式教学，多媒体教学 第一节映射与函数 一、映射 1. 映射概念 定义4.设X、Y是两个非空集合,如果存在一个法则f,使得对X中每个元素X,按法则f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作 f : X Y. 函数的间断点极其分类 1、函数的间断点的定义 作者：教资备考群（865061525）之管理员，—━☆知浅づ 设函数f （x ）在点x 0的某去心邻域内有定义。在此前提下，如果函数 f （x ）满足下列三种情形之一： （1）在x = x 0没有定义； （2）虽在x = x 0有定义，但 lim f (x ) 不存在； x→x 0 （3）虽在x = x 0有定义，且 lim f (x ) 存在，但 lim f (x ) ≠ f (x 0)， x→x 0 x→x 0 那么函数 f （x ）在点x 0处不连续，而点x 0称为函数f （x ）的不连续点或间断点。 2、函数的间断点的分类 （1）第一类间断点 设x 0是函数y = f (x )的间断点，如果f (x )在间断点x 0处的左、右极限都存在， 则称x 0是f (x )的第一类间断点。 第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。左、右极限相等称为可去间断点， 左、右极限不相等则称为跳跃间断点。 【例1】x = 0是f (x ) = sin x 的可去间断点。 x 【解】函数f (x ) = sin x 在 x = 0 处没有定义，所以函数在点 x = 0 处不连续。 x 但这里lim sin x = 1，即极限存在。也就是左极限 = 右极限。 x→0 x 所以 x = 0 称为该函数的可去间断点。 【例2】x = 0是f (x ) = |x | 的跳跃间断点。 x 【解】：函数 f (x ) = |x | 在 x = 0 处没有定义，所以函数在点 x = 0 处不连续。 x 当x < 0 时, f (x ) = |x | = ?x = ?1; 当x > 0 时, f (x ) = |x | x x x x = x = 1; 那么， lim ? f (x ) = lim ? ?1 = ?1， lim + f (x ) = lim + 1 = 1。 lim ? f (x ) ≠ lim + f (x ) 。 x→x 0 x→x 0 x→x 0 x→x 0 x→x 0 x→x 0 （2）第二类间断点 第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。（至少一个单侧极限不存在） 常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。 【例 1】x = 0 是 f (x ) = 1 的无穷间断点。 x 解：f (x ) = 1 在点 x = 0 处没有定义，所以点x = 0 是函数 f (x ) = 1 的间断点。 x x 因为lim 1 = ∞, 所以称点x = 0 为函数 f (x ) = 1 的无穷间断点。 x→0 x x 【例 2】x = 0 是 f (x ) = sin 1 的振荡间断点。 解：f (x ) = sin 1 在点 x = 0 处没有定义。 x 当 x → 0 时，函数值在? 1 和+ 1 之间变动无限多次。 所以，点 x = 0 称为函数sin 1 的振荡间断点。 x 第八节 函数的连续性与间断点 教学目的：理解函数连续的概念，会判断函数间断点的类型，了解初等函数的连 续性和闭区间上连续函数的性质，并会应用这些性质。 教学重点：连续的定义，间断点的分类 教学难点：连续的定义，间断点的分类 教学过程： 一、函数的连续性 对()x f y =，当自变量从0x 变到x ，称0x x x -=?叫自变量x 的增量，而 ()()00x f x x f y -+=?叫函数y 的增量． 定义 设函数()x f y =在点0x 的某一邻域内有定义，如果当自变量的增量0x x x -=?趋于零时，对应的函数的增量()()00x f x x f y -+=?也趋于零，那么就称函数()x f y =在点0x 连续． 它的另一等价定义是：设函数()x f y =在点0x 的某一邻域内有定义，如果函数()x f 当 0x x →时的极限存在，且等于它在点0x 处的函数值()0x f ，即()()00 lim x f x f x x =→，那么就 称函数()x f y =在点0x 连续． 下面给出左连续及右连续的概念． 如果()()0lim 00 0-=-→x f x f x x 存在且等于()0x f ，即()()000x f x f =-，就说函数() x f 在点0x 左连续．如果()()0lim 00 0+=+→x f x f x x 存在且等于()0x f ，即()()000x f x f =+， 就说函数()x f 在点0x 右连续． 在区间上每一点都连续的函数，叫做在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续．如果区间包括端点，那么函数在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续． 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线． 二、函数的间断点 设函数()x f 在点0x 的某去心邻域内有定义．在此前提下，如果函数()x f 有下列三种情形之一： 1．在0x x =没有定义； 2．虽在0x x =有定义，但()x f x x 0 lim →不存在； 教学内§1.1 函数 教学目的】 理解并掌握函数的概念与性质 教学重点】 函数的概念与性质 教学难点】 函数概念的理解 教学时数】 4 学时 一、组织教学，引入新课 极限是微积分学中最基本、最重要的概念之一，极限的思想与理论，是整个高等数 学的基础，连续、微分、积分等重要概念都归结于极限 . 因此掌握极限的思想与方法是 学好高等数学的前提条件 . 本章将在初等数学的基础上，介绍极限与连续的概念 、讲授新课 （一）、实数概述 1、实数与数轴 1）实数系表 2）实数与数轴关系 x,x 0 1）绝对值的定义： x x,x 0 x,x 0 2）绝对值的几何意义 3）绝对值的性质 练习：解下列绝对值不等式：① x 5 3 ，② x 1 2 3、区间 （1）区间的定义：区间是实数集的子集 （2）区间的分类：有限区间、无限区间 ① 有限区间：长度有限的区间 设 a 与 b 均为实数，且 a b ，则 （3）实数的性质： 封闭性 有序性 稠密性 连续性 数集｛ x a x b ｝为以 a 、 b 为端点的半开半闭区间，记作 [a ，b ) 数集｛ x a x b ｝为以a 、 b 为端点的半开半闭区间，记作( a ，b ] 区间长度： b a ② 无限区间 数集｛ xa x ｝记作[a ， )， 数集｛xa x ｝记作( a ， ) 数集｛ x x a ｝记作( ，a]， 数集｛ x x a ｝记作( ，a ) 实数集 R 记作( ， ) 3)邻域 ① 邻域：设 a 与 均为实数，且 0 ，则开区间( a ， a )为点 a 的 邻域 记作U(a, ) ，其中点 a 为邻域的中心， 为邻域的半径 ② 去心邻域：在的 邻域中去掉点 a 后，称为点 a 的去心邻域，记作 U (a, ) (二) 、函数的概念 1、函数的定义 ： 设有一非空实数集 D ，如果存在一个对应法则 f ，使得对于每一个 x D ，都有一个 惟一的实数 y 与之对应，则称对应法则 f 是定义在 D 上的一个函数. 记作 y f(x)， 其中 x 为自变量， y 为因变量，习惯上 y 称是的函数。 定义域： 使函数 y f ( x )有意义的自变量的全体，即自变量 x 的取值范围 D 函数值：当自变量 x 取定义域 D 内的某一定值 x 0时，按对应法则 f 所得的对应 值 y 0 称 为函数 y f(x)在 x x 0时的函数值，记作 y 0 f(x 0)。 值 域：当自变量 x 取遍 D 中的一切数时，所对应的函数值 y 构成的集合，记 数集｛ x a x b ｝为以 a 、 b 为端点的闭区间，记作 [a ，b ] 数集｛ x a x b ｝为以 a 、 b 为端点的开区间，记作 ( a ，b ) §1.5.3函数的间断点及类型 刘毅 财经管理系 【课题】函数的间断点及类型（新授课） 【课时】1课时 【教材分析】本节内容选自经济科学出版社《经济数学基础》第一章第五节，p17。本内容是之前函数连续性的自然延伸部分。因本书的很多重要内容都是以连续函数作为论述前提的。因此函数的间断点这部分内容往往得不到有效的重视。其实，我们通过函数间断点的讨论和其类型的分辨，反过来这会我们对连续函数的性质的理解更加深刻也更加丰满，这就犹如通过正、反两个方向观察事物那样。 【学情分析】所教班级为13会计6班，虽然班级已经参加并顺利通过成考。但实际上班级中大部分学生的数学能力还是很薄弱的。还未养成良好的学习习惯，知识遗忘速度很快，学习比较被动。 这就决定了在授课时需要将内容的难度降低，合理安排、积极利用图像，缩减知识点。 【教学目标】知识目标：了解间断点的主要类型和分类 能力目标：能通过图形判断间断点的类型， 能对简单函数间断点的类型进行判断（复杂函数不涉及） 情感目标：通过对非连续函数间断点的研究讨论，使学生对连续性有了更全面 的认识和理解，体现了对立统一的数学思想 【教学重难点】 重点：函数间断点的类型 难点：间断点的类型判断 【教学思路】 ①复习函数连续性相关知识（三个必备条件） ②给出几种常见的非连续函数的图像，分析他们不连续的原因。给出分类及名称 ③通过对上一节内容中已讨论过的非连续函数的再次分析，即加深了连续性的理解，也为学生演示了通过计算推理分辨间断点类型的方法。这样也给学生的学习降低了难度。 ④通过简单的图像展示，简单函数的间断点判断的练习。让学生进一步明确间断点的分类，也进一步明确了连续性的三个必要条件。 【教学过程】 一、复习和引入 ①函数连续性的特点:“紧紧跟随” ②两个数学式的含义 ③函数连续性的等价公式 二、新课讲解和探究 1、函数间断点的定义 00,()(),()(). f x x x f x 如果上述三个条件中只要有一个不满足则称函数在点处不连续或间断并称点为的不连续点或间断点①在某点没定义 第七节 函数的连续性与间断点 一、函数的连续性 1． 增量：变量x 从初值1x 变到终值2x ，终值与初值的差叫变量x 的增量，记作 x ?，即x ?＝1x －2x 。（增量可正可负）。 例1 分析函数2x y =当x 由20=x 变到05.20=?+x x 时，函数值的改变量。 2．函数在点连续的定义 定义１：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果自变量x 的增量 x ?=0x x -趋向于零时，对应的函数增y ?＝)()(0x f x f -也趋向于零，则称函数y ＝)(x f 在点0x 处连续。 定义２：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果函数)(x f 当 0x x →时的极限存在，即)()(lim 00 x f x f x x =→，则称函数y ＝)(x f 在点0x 处连续。 定义3：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果对任意给定的正数 ε，总存在正数δ，使得对于适合不等式δ<-0x x 的一切x ，所对应的函数值 )(x f 都满足不等式：ε <-)()(0x f x f ，则称函数y ＝)(x f 在点0x 连续。 注：1、上述的三个定义在本质上是一致的，即函数)(x f 在点0x 连续，必须同时满足下列三个条件：（1） 函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义（函数y ＝)(x f 在点0x 有定义） ，（2） )(lim 0 x f x x →存在；（3）)()(lim 00 x f x f x x =→。 3．函数y ＝)(x f 在点0x 处左连续、右连续的定义： （1）函数y ＝)(x f 在点0x 处左连续?)(x f 在(]00,x x δ-内有定义，且 )()(lim 000 x f x f x x =-→（即)()0(00x f x f =-）。 （2）函数y ＝)(x f 在点0x 处右连续?)(x f 在[)δ+00,x x 内有定义，且 )()(lim 000 x f x f x x =+→（即)()0(00x f x f =+）。 显然，函数y ＝)(x f 在点0x 处连续?函数y ＝)(x f 在点0x 处既左连续又右连 第一章 函数、极限和连续 §1.1 函数 一、 主要内容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: ?? ?∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数： y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X 且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2), 则称f(x)在D 内单调增加( )； 若f(x 1)≥f(x 2), 则称f(x)在D 内单调减少( )； 若f(x 1)＜f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调增加( )； 若f(x 1)＞f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性： 周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c 为常数) 2.幂函数： y=x n , (n 为实数) 3.指数函数： y=a x , (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数 1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x) y=f[φ(x)] , x ∈X 2.初等函数: 函数间断点的图解法 李小平 (株洲职业技术学院 株洲 412001) 在高等数学教学中，当讲到函数的连续性概念时，就要讲到第一类间断点和第二类间断点的概念，倘若用文字来说明它们的区别，学生是很难理解透彻，倘若将抽象问题具体化，用图像的方法来说明，其教学效果是显著的。 1、间断点的概念 根据函数()y f x =在点0x 处的极限情况，函数的间断点可分为两类： ①00lim ()x x f x →+、00 lim ()x x f x →?都存在的间断点，就是第一类间断点； ②不为第一类间断点的间断点，就是第二类间断点[1]。 第一类间断点的定义，学生从字面上可以理解，但第二类间断点的定义，太抽象了，单从定义上看，学生难以接受，理解不透彻，教学中需要从其他方面着手帮助学生理解，直观的图像法是最好的教学手段，下面讲到的就是第一、二类函数间断点的图像和实例。 2、用图像来说明 2.1第一类间断点的图像 以下图1至图4是第一类间断点的图像。 对图1来说：00lim ()x x f x →+、00lim ()x x f x →?都存在，00lim ()x x f x →+=00 lim ()x x f x →?，但0()f x 不存在。 例如2(,2)()2(2,) x x f x x x ?∈?∞=?∈+∞?，函数()f x 在2x =处为第一类间断点（因为函数 ()f x 在2x =时未定义）。 对图2来说：00lim ()x x f x →+、00lim ()x x f x →?都存在，000 lim ()()x x f x f x →?=，但 [作者简介]：李小平，株洲职业技术学院副教授、程序员。 考研数学(二)真题解读：间断点的分类 来源：文都教育 间断点及分类是考研数学重要考点，考研数学（二）考试中也出现了此考点。下面文都考研数学老师帮大家复习一下间断点的概念及分类。 、间断点定义 若()x f 在0x 点出现下列三种情形之一： （）在 0x x =处无定义； （）在 0x x =处有定义，但)(lim 0x f x x →不存在； （）在0x x =处有定义，) (lim 0x f x x →存在，但)()(lim 00x f x f x x ≠→； 则称()x f 在点0x 处不连续．0x 称为()x f 的不连续点或间断点． 、间断点分类 第一类间断点：)(lim 0x f x x -→与)(lim 0 x f x x +→都存在的间断点. 若)(lim 0x f x x -→)(lim 0 x f x x +→，则称0x 为可去间断点. 若≠-→)(lim 0x f x x )(lim 0 x f x x +→，则称0x 为跳跃型间断点. 第二类间断点：)(lim 0x f x x -→与)(lim 0 x f x x +→中至少有一个不存在的间断点 若)(lim 0x f x x -→与)(lim 0 x f x x +→中至少有一个为无穷大，则称0x 为无穷间断点. 当0x x →时函数值在摆动, 称0x 为振荡间断点. 数二在年和今年都考到了间断点的分类，题目和解读如下： 【数二】设函数 ()sin ,02,2x x f x x πππ≤ 函数的间断点 一、复习回顾 函数()f x 在点0x 处连续的定义：()f x 在点0x 的某一邻域内有定义，且()()00lim x x f x f x →= 即：极限值等于函数值。 二、出示反例，揭示课题 是不是所有的函数都是连续的呢？观察以下几个函数的图象： ①()2 x x f x x += ②()1,0,0,01,0.x x f x x x x +? ③()1,0,1,0.x x f x x x +>?=?-≤? ④()1f x x = 不难发现，这些函数的图象在0x =这点处不连续，我们把不连续的点称为函数的间断点。 虽然都是间断点，这些间断点有什么区别吗？这节课我们就一起来研究函数的间断点。 三、比较差异，学会分类 刚才我们说0x =是函数的间断点，说明函数在0x =处不满足连续的定义，那么究竟哪里不满足连续的定义呢？下面我们逐一对这四个函数进行分析。 ①左边()()00 lim lim 11x x f x x →→=+= 右边()0f 不存在，所以在0x =处不连续，也就是间断 ②左边()0lim 1x f x →=，右边()00f = ，但是()()0 lim 0x f x f →≠，所以在0x =处间断 ①和②，当0x →时，函数的极限值存在，但函数在0x =处的函数值不存在或者虽然存在，但函数值与极限值不相等，像这样的间断点叫做可去间断点。 所以一般地，如果()0lim x x f x →存在，但()0f x 不存在或()()0 0lim x x f x f x →≠，则这种间断点称为可去间断点。 按照刚才的分析过程，请大家分别考察一下③和④中0x →时的极限值 ③()0lim 1x f x -→=-，()0 lim 1x f x +→=，左极限和右极限都存在但不相等。像这样的间断点叫做跳跃间断点。 一般地，如果()()00 lim lim x x x x f x f x -+→→≠，则这种间断点称为跳跃间断点。 根据定义，我们知道函数在可去间断点、跳跃间断点处的左、右极限都存在，所以我们把可去间断点、跳跃间断点统称为第一类间断点。 ④()0lim x f x -→，()0 lim x f x +→不存在 像④，如果()f x 在点0x 处的左极限或右极限不存在，称点0x 为第二类间断点。 思考：第一类断点和第二类间断点有什么不同？ 四、例题讲解，课堂练习 函数的连续性与间断点 一、函数的连续性 1． 增量：变量x 从初值1x 变到终值2x ，终值与初值的差叫变量x 的增量，记作x ?，即x ?＝1x －2x 。（增量可正可负）。 例1 分析函数2x y =当x 由20=x 变到05.20=?+x x 时，函数值的改变量。 2．函数在点连续的定义 定义１：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果自变量x 的增量x ?=0x x -趋向于零时，对应的函数增y ?＝)()(0x f x f -也趋向于零，则称函数y ＝)(x f 在点0x 处连续。 定义２：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果函数)(x f 当 0x x →时的极限存在，即)()(lim 00 x f x f x x =→，则称函数y ＝)(x f 在点0x 处连续。 定义3：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果对任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得对于适合不等式δ<-0x x 的一切x ，所对应的函数值)(x f 都满足不等式：ε<-)()(0x f x f ，则称函数y ＝)(x f 在点0x 连续。 注：1、上述的三个定义在本质上是一致的，即函数)(x f 在点0x 连续，必须同时满足下列三个条件：（1） 函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义（函数y ＝ )(x f 在点0x 有定义），（2） )(lim 0x f x x →存在；（3）)()(lim 00 x f x f x x =→。 3．函数y ＝)(x f 在点0x 处左连续、右连续的定义： （1）函数y ＝)(x f 在点0x 处左连续?)(x f 在(]00,x x δ-内有定义，且)()(lim 000x f x f x x =-→（即)()0(00x f x f =-）。 （2）函数y ＝)(x f 在点0x 处右连续?)(x f 在[)δ+00,x x 内有定义，且)()(lim 000x f x f x x =+→（即)()0(00x f x f =+）。 显然，函数y ＝)(x f 在点0x 处连续?函数y ＝)(x f 在点0x 处既左连续又右连 函数间断点知识笔记 间断点的条件: 设函数()f x 在点0x 的某去心邻域内有定义,在此前提下,如果函数()f x 有下列三种情形之一： (1) 在0x x 没有定义 (2) 在0x x 有定义，但0 lim ()x x f x 不存在 (3) 在0x x 有定义，0lim ()x x f x 存在,但0 0lim ()()x x f x f x 那么函数()f x 在点0x 不连续，而点0x 称为函数()f x 的不连续点或间断点 无穷间断点： ()tan()f x x ()tan()f x x 在2x 无定义,且2 lim tan()x x 震荡间断点： 1()sin()f x x 1()sin(f x x 在点0x 没有定义,当0x 时，函数值在1 和-1之间变动无限多次 可去间断点： （图不是很好看） 21()1 x f x x 21()1x f x x 在点1x 没有定义，但在这里有211 1lim =lim(1)21x x x x x 如果补充定义:令(1)2f 那么函数在点1x 成为连续，这种情况间断点为可去间断点 同例有函数:,1,()1, 1.2 x x f x x ，这里就不论述了. 跳跃间断点： 1,0,()0,0,1,0.x x f x x x x 当0x 时, 0000lim ()lim (1)1lim ()lim (1)1x x x x f x x f x x 左右极限都存在但不相等,故0 lim ()x f x 不存在,因图像在0x 处产生跳跃现象，该类间断点成为跳跃间断点 第一类间断点： 左极限0()f x 和0()f x 都存在的间断点（跳跃间断点和可去间断点） 第二类间断点： 非第一类间断点的所有间断点.(无穷间断点和震荡间断点) 第一章 函数与极限 教学目的： 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系 式。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形。 5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极 限之间的关系。 6、掌握极限的性质及四则运算法则。 7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极 限的方法。 8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有 界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 教学重点： 1、复合函数及分段函数的概念； 2、基本初等函数的性质及其图形； 3、极限的概念极限的性质及四则运算法则； 4、两个重要极限； 5、无穷小及无穷小的比较； 6、函数连续性及初等函数的连续性； 7、区间上连续函数的性质。 教学难点： 1、分段函数的建立与性质； 2、左极限与右极限概念及应用； 3、极限存在的两个准则的应用； 4、间断点及其分类； 5、闭区间上连续函数性质的应用。 §1. 1 映射与函数 一、集合 1. 集合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为a M. 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A ={a , b , c , d , e , f , g }. 描述法: 若集合M 是由元素具有某种性质P 的元素x 的全体所组成, 则M 可表示为 A ={a 1, a 2, ? ? ?, a n }, M ={x | x 具有性质P }. 例如M ={(x , y )| x , y 为实数, x 2+y 2=1}. 几个数集: N 表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集. N ={0, 1, 2, ? ? ?, n , ? ? ?}. N +={1, 2, ? ? ?, n , ? ? ?}. R 表示所有实数构成的集合, 称为实数集. Z 表示所有整数构成的集合, 称为整数集. Z ={? ? ?, -n , ? ? ?, -2, -1, 0, 1, 2, ? ? ?, n , ? ? ?}. Q 表示所有有理数构成的集合, 称为有理数集. },|{互质与且q p q Z p q p +∈∈=N Q 子集: 若x ∈A , 则必有x ∈B , 则称A 是B 的子集, 记为A ?B (读作A 包含于B )或B ?A . 如果集合A 与集合B 互为子集, A ?B 且B ?A , 则称集合A 与集合B 相等, 记作A =B . 若A ?B 且A ≠B , 则称A 是B 的真子集, 记作A ≠?B . 例如, N ≠?Z ≠?Q ≠?R . 不含任何元素的集合称为空集, 记作?. 规定空集是任何集合的子集. 2. 集合的运算 设A 、B 是两个集合, 由所有属于A 或者属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的并集(简称并), 记作A ?B , 即 A ? B ={x |x ∈A 或x ∈B }. 设A 、B 是两个集合, 由所有既属于A 又属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的交集(简称交), 记作A ?B , 即 A ? B ={x |x ∈A 且x ∈B }. 设A 、B 是两个集合, 由所有属于A 而不属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的差集(简称差), 记作A \B , 即 A \ B ={x |x ∈A 且x ?B }. 如果我们研究某个问题限定在一个大的集合I 中进行, 所研究的其他集合A 都是I 的子集. 此时, 我们称集合I 为全集或基本集. 称I\A 为A 的余集或补集, 记作A C . 集合运算的法则: 设A 、B 、C 为任意三个集合, 则 (1)交换律A ?B =B ?A , A ?B =B ?A ; (2)结合律 (A ?B )?C =A ?(B ?C ), (A ?B )?C =A ?(B ?C ); (3)分配律 (A ?B )?C =(A ?C )?(B ?C ), (A ?B )?C =(A ?C )?(B ?C ); 怎么理解函数的间断点及其分类？ [答] 函数的间断点是以否定连续性来定义的，要讨论函数f(x)在点x=x0的连续性，主要是讨论极限()x f lim x x0 → 。按现行高等数学教材的定义，只有当f(x)在 x 0的邻域或某个去心邻域 ? ? ? ? ?δ ∧ , x U 内有定义时，才可能讨论此极限，这时也说此 极限是有意义的（注意：极限是否有意义与极限是否存在是两码事）。如果极限没有意义，说函数f(x)在点x0是连续或间断，也就没有意义。此外，由于我们定义了单侧极限，因此，在双侧极限无意义而单侧极限有意义时，我们也可说该点是函数的连续点或间断点。 间断点的分类也按极限()x f lim x x0 → 的情况来分：左、右极限都存在的间断点称第一类间断点（包括可去间断点和跳跃间断点两种）左右极限至少有一个不存在的间断点称为第二类间断点（包括无穷间断点，振荡间断点，以及其它有名称或无名称的间断点）。此外，在双侧极限无意义而单侧极限有意义时，也按单侧极限存在与否来对间断点分类，例如 ()x e x f 1 1=，x=0是()x f 1 的第二类间断点。因此()+∞ = +0 1 f，()0 1 = - f， 所以x=0不是第一类间断点，也不是无穷间断点。 ()x ln x f= 2，x=0是()x f 2 的第二类（无穷）间断点（虽然在x=0只有单侧极 限）；x=-1即不是()x f 2 的间断点，也不是连续点。 ()x x f= 3，x=0是()x f 3 的连续点，因为()()03 3 f x f lim x = + → ，即()x f 3 在x=0 右连续，而在x<0时()x f 3 无定义。 () x x sin x f= 4，x=0是()x f 4 的第一类（可去）间断点，因为右极限存在， 而左极限无意义。 授课时间： 20 年9月 日 使用班级： 授课时间： 20 年9月 日 使用班级： 授课章节名称： 第1章 函数、极限与连续 第1节 函数（二）、第2节 极限 教学目的： 1.理解复合函数的定义及复合过程，分段函数的定义及表示方法，极限的概念，函数左极限与右极限的概念； 2.熟练掌握∞→x 和 x x →时f(x)的极限存在的充要条件； 3.理解无穷大、无穷小的概念； 4.掌握无穷大的判定方法和无穷小的概念及性质，会用无穷小量的性质求教学重点： 1.函数极限与数列极限的概念，求极限的方法； 2.无穷大量与无穷小量的概念及性质. 教学难点： 1.函数极限的定义； 2.无穷大量与无穷小量的概念和性质及其应用。 教学方法：讲授，启发式、讲练结合 教学手段：传统讲授。 作业： 层次1：书16页1、2（1）（2）、4、6 层次2：书16页5、7 教案实施效果追记： （手书） 第1章 函数、极限与连续 第1节 函数（二）、第2节 极限 复习及课题引入（时间：5分钟）： 1、作业题处理； 2、复习函数的相关性质以及基本初等函数的相关知识点。 讲授新内容 ※※※※ 一、函数的概念（二）（时间：15分钟） 1、复合函数： 【引例】（公司员工问题） 某公司员工的工资占公司利润的若干比例，而公司的利润又取决于所销售的商品的数量，因此，该公司员工的工资由所销售商品的数量决定。 定义7设 ()u f y =,其中()x u ?=,且函数()x u ?=的值域包含在函 数 ()u f y =的定义域内,则称()[]x f y ?=为由()u f y =与()x u ?=复 合而成的复合函数,其中u 称为中间变量. 例如，x u u y sin ,2 ==可复合成x y 2 sin =. 注意： ①、并不是任意两个函数都能构成复合函数. 如，21u y -=和22+=x u 就不能构成复合函数。因为对函数 21u y -=而言， 必须要求变量[]11，-∈u ，而222≥+=x u ，所以对任何x 的值，y 都得不到确定的对应值。 ②、利用复合函数不仅能将若干个简单的函数复合成一个函数，还可以 把一个较复杂的函数分解成几个简单的函数，这对于今后掌握微积分的运算时很重要的。 例4、将下列复合函数进行分解. (1)x y cos ln =; (2)3 sin x y =. 解 (1)x y cos ln =是由u y ln =,x u cos =复合而成的. (2)3 sin x y =是由3 u y = ,x u sin =复合而成的. 2、初等函数： 定义8：由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成并用一个式子表示的函数，称为初等函数. 例如：x y cos ln =，1 ) 1(2-++=x x x x y ，2cos 2+=x y 等都是初等函数。 3、分段函数： 定义9：在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子表示的函数，称为分段函数. 注: (1)分段函数仍旧是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段函数定义域的并集. (2)分段函数一般不是初等函数.除???-==,,x x x y ,0, 0<≥x x 例如： 关于“函数间断点”的教学探讨 函数的连续性是微积分讨论的一个重要内容,给定一个函数我们需要确定该函数的连续区间和间断点,而初等函数在其定义区间上都是连续的,所以间断点就成为讨论的重点。在给出间断点的定义之前,首先给出函数f(x)在点x0连续的定义: 定义1设函数f(x)在点x0的某邻域内有定义,如果limx?x0f(x)=f(x0)那么就称函数f(x)在点x0连续。如果limx?x0-f(x)=f(x0),就说f(x)在点x0左连续;如果limx?x0+f(x)=f(x0),就说f(x)在点x0右连续。函数在端点连续是指在右端点左连续,在左端点右连续。 那么如何理解函数f(x)在点x0不满足连续的条件呢? “高等数学”(第五版)给出的定义: 定义2设函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义,如果函数f(x)有下列三种情形之一: (1)在x=x0没有定义; (2)虽在x=x0有定义,但limx?x0f(x)不存在; (3)虽在x=x0有定义,且limx?x0f(x)存在,但limx?x0f(x)≠f(x0), 则函数f(x)在点x0为不连续,而点x0称为函数f(x)的不连续点或间断点。 上面间断点的定义是在函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义的前提下给出的,如果函数f(x)在开区间(a,b)内有定义,但在端点无定义,那么端点就不作为间断点考虑。但是前面已经给出函数在端点连续的概念,基于数学知识的系统性和完备性,不应该排除在端点不连续、即端点作为间断点的客观存在。所以不满足函数“在点x0的某邻域有定义”应理解为“在点x0无定义,但在其附近有定义”更准确,这里的“附近”应解释为点x0的某去心邻域或左去心邻域或右去心邻域。所以上面的定义2可叙述为下面的形式: 定义3如果函数f(x)具有下列三种情形之一: (1)在点x0无定义(但在其附近有定义); (2)虽在点x0有定义,但limx?x0f(x)不存在; (3)虽在点x=x0有定义,且limx?x0f(x)存在,但limx?x0f(x)≠f(x0),则称函数f(x)在点x0不连续,点x0称为函数f(x)的不连续点或间断点。 事实上,对开区间(a,b)的两个端点做连续性的讨论是非常必要的,就以初等函数来说,如果函数在闭区间上有定义,则在该闭区间上连续,那么函数在端点附近的特性及图形是很明了的,但是如果函数在开区间内有定义,而在端点无定义,则在端点附近函数的特性要复杂的多,我们看下面的例题: 例1函数y=lnxx在区间(0,+∞)上有定义,x=0是函数的间断点。由于limx?0+lnxx=-∞,所以x=0是函数的无穷间断点。对于开区间端点性质的讨论可以延伸到函数的作图和积分的计算。该函数的图形如图1所示,其中直线x=0是曲线的铅垂渐近线积分∫10lnxxdx是广义积分,由于∫10lnxxdx=limε?0+∫1εlnxxdx=limε?0+12ln2x|1ε=12limε?0+(-ln2ε)=-∞该广义积分发散。 例2函数y=ln(1+1x)x在(-∞,-1)U(0,+∞)上有定义,x1=-1与x2=0是函数的间断点,因为limx?-1-ln(1+1x)x=+∞,limx?0+ln(1+1x)x=0所以,x1=-1是无穷间断点,x2=0是可去间断点。该函数的图形如图2所示,其中直线x=-1是曲线的铅垂渐进线。图2积分∫10ln(1+1x)xdx是定积分,而∫-1-2ln(1+1x)xdx是广义积分。∫10ln(1+1x)xdx=∫10xln(1+1x)dx=12[x2ln(1+1x)+x-ln(1+x)]10=12∫-1-2ln(1+1x)xdx=limε?0+∫-1-ε-2xln(1+1x)dx=12limε?0+[x2ln(1+1x)+x-ln|1+x|]-1-ε-2=2ln2+12该广义积分收敛。 例3函数y=sinlnx在(0,+∞)上有定义,x=0是函数的间断点,由于极限limx?0+sinlnx不存在,且属于振荡无极限,所以x=0是非无穷第二类间断点。图3该函数的图形如图3所示。由于函数y=sinlnx在(0,1]上有界,积分∫10sinlnxdx是一个定积分,且∫10sinlnxdx=xsinlnx|10-∫10coslnxdx=-xcoslnx|10-∫10sinlnxdx=-1-∫10sinlnxdx于是∫10sinlnxdx=-12ProbeintotheTeachingoftheFunction’sDiscontinuousPo函数的间断点
高数同济7版教案第一章函数与极限
函数的间断点极其分类
第8节 函数的连续性与间断点
高等数学第一章函数极限与连续教案
(精编资料推荐)函数间断点分类及类型
函数的连续性与间断点
大学高等数学函数极限和连续
函数间断点的图解法
考研数学真题解析间断点的分类
函数的间断点
函数的连续性与间断点(重点内容全)
高数 函数四类间断点
高等数学-函数与极限-教案.
函数的间断点分类
最新高数函数与极限教案
函数间断点