导数与函数的极值
导数与函数的极值
函数的极值是指函数在某个区间上取得的最大值或最小值。导数是函数变化率的度量，通过导数我们可以研究函数的极值情况。在本文中，我们将讨论导数与函数的极值之间的关系以及如何运用导数来确定函数的极值。
1. 导数的定义
导数表示函数在某一点上的变化速率。对于可导函数f(x)，其导数定义为：
f'(x) = lim(Δx→0) [f(x+Δx) - f(x)] / Δx
其中，Δx表示x的增量，Δx→0表示Δx趋近于0。导数的值代表了函数在该点的瞬时变化率。
2. 极值的定义
函数的极值包括最大值和最小值。在某个区间上，如果函数在某一点的导数为0，那么该点可能是函数的极值点。具体而言，若函数在该点的导数由正变负，这个点就是极大值点；若函数在该点的导数由负变正，这个点就是极小值点。
3. 导数与函数极值的关系
函数的极值点必然是函数的驻点，即导数为0的点。然而，只有导数为0的点不一定是极值点。根据导数的定义，我们可以利用导数判断函数的极值点。具体来说：
- 如果函数在某一点的导数为0，并且导数的符号在此点前后改变，那么该点就是函数的极值点。
- 如果函数在某一点的导数为0，并且导数的符号在此点前后不改变，那么该点可能是函数的驻点但不是极值点。
4. 导数的应用
利用导数判断函数的极值点可以帮助我们解决许多实际问题。例如，在经济学中，我们可以通过求解某种产品的利润函数来确定最大化利
润的产量。通过求解利润函数的导数，我们可以找到使利润最大化的
产量。
同样地，在物理学中，我们可以使用导数来分析物体的运动情况。
通过求解位置函数的导数，我们可以找到物体的最大速度和最大加速
度的时刻。
此外，在数学建模和优化问题中，导数也是一种重要的工具。通过
确定函数的极值点，我们可以优化函数的性能，以满足特定需求。
5. 导数与极值的例子
例如，我们考虑函数f(x) = x^2在区间[0, 2]上的极值问题。首先，
我们求解函数的导数f'(x) = 2x。通过令f'(x) = 0，我们得到x=0为函数
的驻点。然后，我们观察导数的符号变化。在x < 0时，导数为负；在
0 < x < 2时，导数为正；在x > 2时，导数为正。根据导数的符号变化，我们可以得出结论：x=0为函数的极小值点。
通过上述例子可以看出，导数的求解和导数符号的变化分析是寻找
函数极值点的关键步骤。
6. 结论
导数与函数的极值密切相关。导数为0的点可能是函数的极值点，
但并非全部为极值点。通过求解导数和分析导数的符号变化，我们可
以准确确定函数的极值点。导数的应用不仅仅局限于函数极值的求解，它在实际问题中起到了重要的作用，帮助我们解决各种优化和建模问题。
综上所述，导数是研究函数极值的强有力工具。通过利用导数，我
们能够更好地理解函数的变化规律，并解决各种实际问题。在数学和
应用领域中，导数与函数的极值有着广泛的应用，对我们的生活和工
作具有重要意义。
求导数和求极值
求导数和求极值 导数和极值是微积分中的两个基本概念，涉及到求解函数在某 一点的斜率以及找到函数的最大值或最小值。在数学中，导数是 函数在某一点的切线斜率，而极值则是函数的局部最大值或最小值，它们在求解各种数学问题中都有着重要的作用。 求导数的方法 求导数是微积分的基本内容之一，我们可以通过以下几种方法 来求解函数的导数： 1. 用导数定义式：导数定义式是求解导数的基本方法，它是将 像函数一般表示出来的导数的定义进行计算和求解。 2. 用求导法则：求导法则是求解函数导数的基本规律，它可以 通过不同的求导法则来求解不同函数的导数。 3. 用导数的性质：导数的性质是求解函数导数的基本辅助工具，通过导数的连续性、导数的可加性、导数的乘积规则等可以方便 地求解函数的导数。
求极值的方法 求极值的方法主要是通过一阶导数对函数的形状进行判断，找 到函数最大值或最小值的位置，具体方法如下： 1. 求解一阶导数为0的点：求解函数导数为0的点，即极值点，可以通过解一元一次方程来得到。 2. 判断二阶导数的正负：通过判断极值点处的二阶导数的正负 来判断极值的类型，即判断是否为函数的最大值或最小值。 3. 绘制函数图象：将函数绘制出来，通过观察函数的图象来判 断函数的极值。 求导数和求极值的应用 求导数和求极值不仅是数学中的基本概念，也是各种领域中的 核心应用。以下是一些常见的应用：
1. 最优化问题：在计算机科学、经济学、工程学等领域，最优 化问题常出现。求解最大值或最小值问题可以通过求导数和求极 值来解决。 2. 优化控制：在自动控制领域，控制器的输出通常与系统的特 性有关。通过求解系统的导数和极值，可以对系统进行优化控制，从而实现最佳效果。 3. 物理问题：在物理学中，导数和极值可以用来求解运动物体 的速度、加速度和位置，从而应用于物理问题的分析和求解。 总结 求导数和求极值是微积分中的两个基本概念，它们在各个领域 中都有广泛的应用。掌握这两个重要的数学概念可以帮助我们更 好地理解和解决各种数学问题，同时也可以提高我们的数学素养 和解决实际问题的能力。
函数极值与导数
函数极值与导数 函数极值与导数是数学中的一个重要概念，在微积分学中起到了极为重要的作用。它们被广泛应用于理论研究和实际问题解决中，为 人们的工作和生活带来了便利和创新。本文将分步骤阐述函数极值与 导数的相关知识。 第一步：导数的定义和性质 在微积分学中，导数是函数变化率的表示，它是函数在某一点的切线斜率。导数的定义是：当自变量的增量趋近于0时，函数值的增 量与自变量增量之比的极限称为函数在该点的导数。一般用符号f‘(x)表示。 导数具有以下的性质： （1）导数存在的充分必要条件是函数在该点连续； （2）可导函数的任何一点，切线必然过曲线上相应点； （3）可导函数微小区间上的平均变化率在微小区间趋于零时的 极限，等于这个区间的导数。 第二步：函数极值的定义和判定 函数极值是指函数取得最大值或最小值的点，它是函数曲线的拐点。函数的极大值和极小值统称为极值。通常用f(x)表示函数，x0表示函数的零点，若f(x)在x0处取得极大值，则称f(x)在x0处取得极大值；若f(x)在x0处取得极小值，则称f(x)在x0处取得极小值。 判断函数的极值可以采用以下常用方法： （1）导数法：求出函数的导数f’(x)，令其等于0，求根，根即为函数的极值点。 （2）二阶导数法：计算函数的二阶导数f’’(x)，当 f’(x)=0，f’’(x)<0时，函数在该点有极大值；当f’(x)=0， f’’(x)>0时，函数在该点有极小值。 （3）边界法：当函数定义域中存在有限区间[a，b]时，在区间端点处极值的情况也可能存在，可以通过求函数在端点取值情况比较
的方法来判断该区间内的极值情况。 第三步：函数极值的应用 函数极值在实际问题中的应用非常广泛，下面以几个例子进行说明： （1）优化生产问题：生产厂家需要求出生产成本的最小值，可 以将生产成本函数的导数求解，找出导数为0的点以及随着自变量的 变化，导数变化的趋势，决策者可以依据这些信息来做最优化生产。 （2）为了研究影响空气和水质的因素，需要分析空气和水样品 的样本数据，用标准正态分布的概率密度函数来进行拟合，根据函数 图像的形状以及导数、二阶导数的符号来判断峰值和谷值。 （3）在房地产业中，我们需要根据市场需求来判断房屋价格走势，此时可以利用函数极值的方法来进行分析，以获得更准确的预测。 综上所述，函数极值与导数是微积分学中一个重要的概念，不仅 在数学理论研究中有着广泛的应用，同时在各个领域的实际问题中也 有着广泛的应用。对于我们的生活和工作来说，掌握这些知识是非常 重要的。
高考数学知识点：函数的极值与导数的关系
高考数学知识点：函数的极值与导数的关系高考数学知识点：函数的极值与导数的关系 极值的定义： （1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点； （2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。 极值的性质： （1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小； （2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个； （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值； （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
判别f（x0）是极大、极小值的方法： 若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f （x）的极值点，是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。 求函数f（x）的极值的步骤： （1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）； （2）求方程f′（x）=0的根； （3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。 对函数极值概念的理解： 极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点： ①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图 ②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定
导数与函数极值最值
导数与函数的极值与最值 1. 函数的极值 ⑴．判断 f (x 0)是极值的方法 一般地，当函数 y ＝f (x )在点 x 0 处连续时， ①．如果在 x 0 附近的左侧 f ′(x )＞0，右侧 f ′(x )＜0，那么 f (x 0)是极大值； ②．如果在 x 0 附近的左侧 f ′(x )＜0，右侧 f ′(x )＞0，那么 f (x 0)是极小值． ⑵．求可导函数极值的步骤： ①．求 f ′(x )； ②．求方程 f ′(x )＝0 的根； ③．检查 f ′(x )在方程 f ′(x )＝0 的根左右值的符号．如果左正右负，那么 y ＝f (x )在这个根处取得极大值； 如果左负右正，那么 y ＝f (x )在这个根处取得极小值，如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点． 2. 函数的最值 ⑴．在闭区间[a ，b ]上连续的函数 y ＝f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值． ⑵．若函数 f (x )在[a ，b ]上单调递增，则 f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数 f (x ) 在[a ，b ]上单调递减，则 f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值． ⑶．设函数 f (x )在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，求 f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤如下： ①．求 f (x )在(a ，b )内的极值； ②．将 f (x )的各极值与 f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 3. 利用极值求参数 1. 极值点使得导函数为0，即极值点为导函数的零点. 2. 极值点的个数就是导函数变号零点的个数 3. 方法：①直接法：直接求方程，得到方程的根，在通过解不等式确定参数取值范围； ②分离参数法：将参数分离，构造新函数转化成求最值或者值域的问题； ③数形结合：先对解析式变形，在坐标系中画出函数图像，通过找交点求解. 题型一 求极值 【例1】(1)（2019·湖北高二期末）函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，则（ ）
高中数学导数与函数的极值问题分析与解答
高中数学导数与函数的极值问题分析与解答 在高中数学中，导数与函数的极值问题是一个非常重要的内容，也是学生们经常遇到的难题之一。在本文中，我将通过具体的题目举例，分析和解答这类问题，并给出一些解题技巧和指导性建议。 一、导数的概念与求解 首先，我们需要了解导数的概念。导数可以理解为函数在某一点上的变化率，也可以看作是函数曲线在该点的切线的斜率。对于函数y=f(x)，其导数可以表示为f'(x)或dy/dx。 为了求解导数，我们可以使用求导法则，如常数法则、幂函数法则、指数函数法则、对数函数法则、三角函数法则等。这些法则可以帮助我们简化求导的过程，提高解题效率。 例如，考虑函数y=x^2+3x+2，我们可以使用幂函数法则求解其导数。根据幂函数法则，对于幂函数y=x^n，其导数为y'=nx^(n-1)。因此，对于函数 y=x^2+3x+2，我们可以得到导数y'=2x+3。 二、函数的极值与求解 函数的极值是指函数在某一区间内取得的最大值或最小值。在求解函数的极值时，我们可以通过导数的方法来进行分析。 首先，我们需要找到函数的驻点，即导数为零的点。对于函数y=f(x)，如果 f'(x)=0，则点(x,f(x))为函数的驻点。 接下来，我们需要判断驻点是极大值还是极小值。我们可以通过二阶导数的符号来判断。如果f''(x)>0，则驻点为极小值；如果f''(x)<0，则驻点为极大值。
例如，考虑函数y=x^3-3x^2+2x+1，我们可以先求解其导数y'=3x^2-6x+2。然后，我们再求解其二阶导数y''=6x-6。当二阶导数为零时，即6x-6=0，解得x=1。 因此，点(1,f(1))为函数的驻点。 接下来，我们计算二阶导数在驻点处的值，即f''(1)=6(1)-6=0。由于二阶导数 为零，我们无法通过二阶导数的符号来判断驻点的性质。在这种情况下，我们可以通过一阶导数的变化来判断。 在驻点的左侧，即x<1的区间，一阶导数由负变正，说明函数从下降变为上升，所以驻点为极小值。在驻点的右侧，即x>1的区间，一阶导数由正变负，说明函 数从上升变为下降，所以驻点为极大值。 三、解题技巧与指导性建议 在解决导数与函数的极值问题时，我们可以采用以下一些技巧和建议： 1. 注意函数的定义域：在求解函数的极值时，我们需要注意函数的定义域。有 时候，函数的极值可能出现在定义域的边界上。 2. 利用对称性：有些函数具有对称性，如奇函数或偶函数。在求解这类函数的 极值时，我们可以利用对称性来简化分析的过程。 3. 综合运用多种方法：在解决复杂的极值问题时，我们可以综合运用多种方法，如导数法、二阶导数法、图像法等。通过多种方法的分析，可以更全面地理解和解决问题。 4. 多做练习题：为了熟练掌握导数与函数的极值问题，我们需要多做练习题。 通过反复练习，可以提高解题的速度和准确性，同时加深对知识点的理解。 总结起来，导数与函数的极值问题是高中数学中的重要内容。通过对导数的概 念和求解方法的理解，以及对函数极值的分析和解答，我们可以更好地应对这类问题。同时，通过合理的解题技巧和指导性建议，我们可以提高解题的效率和准确性。
导数与函数的极值
导数与函数的极值 函数的极值是指函数在某个区间上取得的最大值或最小值。导数是函数变化率的度量，通过导数我们可以研究函数的极值情况。在本文中，我们将讨论导数与函数的极值之间的关系以及如何运用导数来确定函数的极值。 1. 导数的定义 导数表示函数在某一点上的变化速率。对于可导函数f(x)，其导数定义为： f'(x) = lim(Δx→0) [f(x+Δx) - f(x)] / Δx 其中，Δx表示x的增量，Δx→0表示Δx趋近于0。导数的值代表了函数在该点的瞬时变化率。 2. 极值的定义 函数的极值包括最大值和最小值。在某个区间上，如果函数在某一点的导数为0，那么该点可能是函数的极值点。具体而言，若函数在该点的导数由正变负，这个点就是极大值点；若函数在该点的导数由负变正，这个点就是极小值点。 3. 导数与函数极值的关系 函数的极值点必然是函数的驻点，即导数为0的点。然而，只有导数为0的点不一定是极值点。根据导数的定义，我们可以利用导数判断函数的极值点。具体来说：
- 如果函数在某一点的导数为0，并且导数的符号在此点前后改变，那么该点就是函数的极值点。 - 如果函数在某一点的导数为0，并且导数的符号在此点前后不改变，那么该点可能是函数的驻点但不是极值点。 4. 导数的应用 利用导数判断函数的极值点可以帮助我们解决许多实际问题。例如，在经济学中，我们可以通过求解某种产品的利润函数来确定最大化利 润的产量。通过求解利润函数的导数，我们可以找到使利润最大化的 产量。 同样地，在物理学中，我们可以使用导数来分析物体的运动情况。 通过求解位置函数的导数，我们可以找到物体的最大速度和最大加速 度的时刻。 此外，在数学建模和优化问题中，导数也是一种重要的工具。通过 确定函数的极值点，我们可以优化函数的性能，以满足特定需求。 5. 导数与极值的例子 例如，我们考虑函数f(x) = x^2在区间[0, 2]上的极值问题。首先， 我们求解函数的导数f'(x) = 2x。通过令f'(x) = 0，我们得到x=0为函数 的驻点。然后，我们观察导数的符号变化。在x < 0时，导数为负；在 0 < x < 2时，导数为正；在x > 2时，导数为正。根据导数的符号变化，我们可以得出结论：x=0为函数的极小值点。
导数与函数的极值、最值-重难点题型精讲 高考数学(新高考地区专用)(解析版)
专题3.5 导数与函数的极值、最值 1．函数的极值与导数 条件 f ′(x 0)＝0 x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0 x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0 图象 极值 f (x 0)为极大值 f (x 0)为极小值 极值点 x 0为极大值点 x 0为极小值点 2．函数的最值 (1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值． (2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．
【题型1 根据函数图象判断极值】 【方法点拨】 由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点： (1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点； (2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性．两者结合可得极值点. 【例1】（2022春•杨浦区校级期末）已知函数y＝f（x）（a＜x＜b）的导函数是y＝f'（x）（a＜x＜b），导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）在（a，b）内有（） A．3个驻点B．4个极值点 C．1个极小值点D．1个极大值点 【解题思路】由题意结合导函数图像即可确定函数的性质． 【解答过程】解：由导函数的图象可知，原函数存在4个驻点，函数有3个极值点，其中2个极大值点，1个极小值点． 故选：C． 【变式1-1】（2022春•纳雍县期末）已知函数f（x）的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（） A．﹣1是f（x）的极小值点 B．曲线y＝f（x）在x＝2处的切线斜率小于零 C．f（x）在区间（﹣∞，3）上单调递减
考点14 导数与函数的极值、最值
考点十四导数与函数的极值、最值 知识梳理 1．函数的极值的定义 一般地，设函数f(x)在点x0及附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0 )，就说f(x0)是函数的极大值，x0叫做函数的极大值点．如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0 )，就说f(x0)是函数的极小值，x0叫做函数的极小值点．极大值与极小值统称为函数的极值．极大值点与极小值点统称为极值点． 注意：可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f′(x0)＝0是可导函数f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件．例如函数y＝x3在x＝0处有y′＝0，但x＝0不是极值点． 2．判断f(x0 )是极大、极小值的方法 当函数f(x)在点x0处连续时，若x0满足f′(x0 )＝0，且在x0的两侧f(x)的导数值异号，则x0 是f(x)的极值点，f(x0 )是极值． 如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值； 如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值． 3．求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义域，求导数f′(x) ； (2)求方程f′(x) ＝0的根； (3)检查f′(x)在x0两侧的符号 ①若f′(x)在x0两侧的符号“左正右负”，则x0为极大值点； ②若f′(x)在x0两侧的符号“左负右正”，则x0为极小值点； ③若f′(x)在x0两侧的符号相同，则x0不是极值点． 4．函数的最值 在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． (1)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． (2)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下： ①求f(x)在(a，b)内的极值； ②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
导数与函数的单调性、极值、最值
§3.2导数与函数的单调性、极值、最值 1．函数的单调性 在某个区间(a，b)，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间单调递减． 2．函数的极值 (1)判断f(x0)是极值的方法 一般地，当函数f(x)在点x0处连续时， ①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤 ①求f′(x)； ②求方程f′(x)＝0的根；
③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x) 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值． 3．函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函 数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． (3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步 骤如下： ①求f(x)在(a，b)的极值； ②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小 值． 1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f′(x)>0是f(x)为增函数的充要条件． (×) (2)函数在某区间上或定义域极大值是唯一的． (×) (3)函数的极大值不一定比极小值大． (√) (4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件． (×) (5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值． (√) (6)函数f(x)＝x sin x有无数个极值点．
2021届高考数学(理)考点复习：导数与函数的极值、最值(含解析)
2021届高考数学（理）考点复习 导数与函数的极值、最值 1．函数的极值与导数 条件 f ′(x 0)＝0 x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0 x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0 图象 极值 f (x 0)为极大值 f (x 0)为极小值 极值点 x 0为极大值点 x 0为极小值点 2.函数的最值 (1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值． (2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值． 概念方法微思考 1．对于可导函数f (x )，“f ′(x 0)＝0”是“函数f (x )在x ＝x 0处有极值”的________条件．(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”) 提示 必要不充分 2．函数的最大值一定是函数的极大值吗？ 提醒 不一定，函数的最值可能在极值点或端点处取到． 1．（2019•新课标Ⅱ）已知函数()(1)1f x x lnx x =---．证明： （1）()f x 存在唯一的极值点； （2）()0f x =有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数． 【解析】（1）函数()(1)1f x x lnx x =---． ()f x ∴的定义域为(0,)+∞， 11 ()1x f x lnx lnx x x -'= +-=-，
y lnx =单调递增，1 y x = 单调递减，()f x ∴'单调递增， 又f '（1）10=-<，f '（2）1412022 ln ln -=- =>， ∴存在唯一的0(1,2)x ∈，使得0()0f x '=． 当0x x <时，()0f x '<，()f x 单调递减， 当0x x >时，()0f x '>，()f x 单调递增， ()f x ∴存在唯一的极值点． （2）由（1）知0()f x f <（1）2=-， 又22()30f e e =->， ()0f x ∴=在0(x ，)+∞内存在唯一的根x a =， 由01a x >>，得 01 1x a <<， 1111()()(1)10f a f ln a a a a a =---==， ∴ 1 a 是()0f x =在0(0,)x 的唯一根， 综上，()0f x =有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数． 2．（2019•江苏）设函数()()()()f x x a x b x c =---，a ，b ，c R ∈，()f x '为()f x 的导函数． （1）若a b c ==，f （4）8=，求a 的值； （2）若a b ≠，b c =，且()f x 和()f x '的零点均在集合{3-，1，3}中，求()f x 的极小值； （3）若0a =，01b <，1c =，且()f x 的极大值为M ，求证：427 M ． 【解析】（1）a b c ==，3()()f x x a ∴=-， f （4）8=，3(4)8a ∴-=， 42a ∴-=，解得2a =． （2）a b ≠，b c =，设2()()()f x x a x b =--． 令2()()()0f x x a x b =--=，解得x a =，或x b =． 2()()2()()()(32)f x x b x a x b x b x b a '=-+--=---．
导数与函数的极值问题
导数与函数的极值问题 在微积分中，导数是一个重要的概念，它与函数的极值问题密切相关。本文将探讨导数与函数的极值问题以及如何通过导数求解极值。 一、导数的定义和意义 导数是用于描述函数变化率的概念。对于函数f(x)而言，它在某一点x处的导数可以用以下极限表示： f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h 导数可以理解为函数在某一点处的瞬时变化率。具体来说，如果导数为正，意味着函数在该点上升；如果导数为负，意味着函数在该点下降；而导数为零则表示函数在该点达到极值。 二、函数的极值点 函数的极值点指的是函数在其定义域内取得极大值或极小值的点。通过导数可以求解函数的极值点。 1. 极大值和极小值的判断 一阶导数的符号能够帮助我们判断函数的极值类型。具体而言，如果在某点的邻域内，函数的导数从正数变为负数，那么该点就是一个极大值点；反之，若导数从负数变为正数，那么该点就是一个极小值点。 2. 驻点和拐点
驻点是指导数等于零的点，它可能是函数的极值点，也可能是函数的拐点。通过二阶导数可以进一步判断。 如果某点的二阶导数大于零，那么该点为函数的极小值点；反之，若二阶导数小于零，则为函数的极大值点。而二阶导数等于零的点则是函数的拐点。 三、求解极值的步骤 求解函数的极值可以遵循以下步骤： 1. 找到函数的定义域。 2. 求解导数并求出临界点，即导数等于零或不存在的点。 3. 确定临界点是否为极值点，可以通过导数的符号或者二阶导数判断。 4. 检查定义域的端点是否为极值点。 5. 比较所有极值点的函数值，得出最大值和最小值。 值得注意的是，求解函数的极值可能会有一些特殊情况，如存在无界区间、导数不存在的点以及多项式函数的极值情况等。在实际求解中需要注意这些特殊情况，并做出适当的处理。 结束语 导数与函数的极值问题是微积分中的重要研究内容，通过导数的求解可以帮助我们判断函数的极值类型，进而在数学模型、最优化问题等领域得到应用。掌握导数和极值的概念及求解方法，对于理解函数
高三数学讲义 导数与函数的极值、最值
高三数学讲义导数与函数的极值、最值 1．导数与函数的极值 (1)函数的极小值与极小值点 若函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值01都小，f′(a)＝0，而且在x＝a附近的左侧02f′(x)<0，右侧03f′(x)＞0，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． (2)函数的极大值与极大值点 若函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值04都大，f′(b)＝0，而且在x＝b附近的左侧05f′(x)＞0，右侧06f′(x)＜0，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．2．导数与函数的最值 (1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条07连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤 ①求函数y＝f(x)在(a，b)上的08极值. ②将函数y＝f(x)的各极值与09端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中10最大的一个是最大值，11最小的一个是最小值． 1．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件． 2．若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．
3．极值有可能是最值，但最值只要不在区间端点处取得，其必定是极值． 1．(2020·衡水模拟)下列四个函数，在x＝0处取得极值的函数是() ①y＝x3；②y＝x2＋1；③y＝|x|；④y＝2x. A．①②B．②③ C．③④D．①③ 答案 B 解析①y′＝3x2≥0恒成立，所以函数在R上单调递增，无极值点．②y′＝2x，当x>0时，函数单调递增；当x<0时，函数单调递减，且y′|x＝0＝0，②符合．③结合该函数图象可知函数在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0]上单调递减，③符合．④y＝2x在R上单调递增，无极值点．故选B. 2．设函数f(x)＝x e x，则() A．x＝1为f(x)的极大值点 B．x＝1为f(x)的极小值点 C．x＝－1为f(x)的极大值点 D．x＝－1为f(x)的极小值点 答案 D 解析f′(x)＝e x＋x e x＝(1＋x)e x.令f′(x)＝0，则xx<－1时，f′(x)<0，当x>－1时，f′(x)>0，所以x＝－1为f(x)的极小值点． 3．函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e]上的最大值为() A．1－e B．－1 C．－e D．0 答案 B 解析因为f′(x)＝1 x －1＝1－x x ，当x∈(0,1)时，f′(x)>0；当x∈(1，e]时， f′(x)<0，所以当x＝1时，f(x)取得最大值ln 1－1＝－1.故选B. 4．(多选)已知函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列判断正确的是()
导数及函数的极值、最值
导数与函数的极值、最值 最新考纲了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次). 知识梳理 1.函数的极值与导数 (1)判断f(x0)是极值的方法 一般地，当函数f(x)在点x0处连续且f′(x0)＝0， ①如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0附近的左侧f′(x)≤0，右侧f′(x)≥0，那么f(x0)是极小值. (2)求可导函数极值的步骤： ①求f′(x)； ②求方程f′(x)＝0的根； ③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值. 2.函数的最值与导数 (1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. (2)设函数f(x)在[a，b]上连续且在(a，b)可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下： ①求f(x)在(a，b)的极值； ②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比拟，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 诊断自测
1.判断正误(在括号打“√〞或“×〞) 精彩PPT展示 (1)函数在某区间上或定义域极大值是唯一的.(×) (2)函数的极大值不一定比极小值大.(√) (3)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件.(×) (4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.(√) 2.函数f(x)＝－x3＋3x＋1有( ) A.极小值－1，极大值1 B.极小值－2，极大值3 C.极小值－2，极大值2 D.极小值－1，极大值3 解析因为f(x)＝－x3＋3x＋1，故有y′＝－3x2＋3，令y′＝－3x2＋3＝0，解得x＝±1，于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，－1)－1(－1，1)1(1，＋∞) f′(x)－0＋0－ f(x)极大值极小值 所以f(x)的极小值为f(－1)＝－1，f(x)的极大值为f(1)＝3. 答案 D 3.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－ x)f′(x)的图象如下图，那么以下结论中一定成立的是( ) A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1) C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2) D.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2) 解析由题图可知，当x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜1时，f′(x)＜0；当1＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值.
导数与函数的极值解析与归纳
导数与函数的极值解析与归纳导数和函数的极值是微积分中的重要概念，对于函数的研究和应用 都有着重要的意义。在这篇文章中，我们将探讨导数与函数的极值， 并对其进行解析与归纳。 一、导数的定义与性质 导数可以看作是函数变化率的极限，它的定义可以用以下公式表示：\[f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h}\] 其中，\(f'(x)\) 表示函数 \(f(x)\) 在点 \(x\) 处的导数。导数具有以下 性质： 1. 导数存在性：当函数在某点可导时，该点的导数存在； 2. 导数与函数图像：导数的值可以用来描述函数图像在某点的切线 斜率； 3. 导数与函数极值：导数为零的点可能是函数的极值点。 二、函数的极值与导数 函数的极值可以分为最大值与最小值，即函数在某个区间内取得的 最大值和最小值。在寻找函数的极值时，我们可以利用导数的性质。 1. 极值的必要条件 若函数在某点 \(x_0\) 处取得极值，则导数在该点的值为零或不存在。 2. 求导数与解析表达式
要求得函数的导数，我们可以先找到函数的解析表达式，然后对其求导。例如，对于多项式函数： \[f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0\] 我们可以通过幂函数的求导法则得到： \[f'(x) = na_nx^{n-1} + (n-1)a_{n-1}x^{n-2} + ... + a_1\] 3. 导数与极值的关系 当函数在某点的导数为零时，该点可能是函数的一个极值点。根据导数的定义，我们可以得到极值点的关键条件为： \[f'(x) = 0\] 我们称满足该条件的点为驻点。 4. 极值点的判断 在驻点中，根据导数的一阶导数或二阶导数的正负确定极值类型：（1）一阶导数判定法：若驻点处的导数符号改变，即从正变负或从负变正，则该点为函数的极值点； （2）二阶导数判定法：当驻点处的二阶导数大于零时，该点为函数的极小值；当二阶导数小于零时，该点为函数的极大值。 三、函数的极值解析与归纳 通过对导数与函数极值的探究，我们可以得到以下结论：
《函数的极值与导数》知识归纳
《函数的极值与导数》知识归纳 知识点1 函数的极值 极大值点和极小值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值.③ 正确理解极值的概念: （1）极值是一个局部性概念.由极值的定义知,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小,即反映的是函数在某一点附近的情况. （2）函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点. （3）函数的极值不一定是唯一的,即一个函数在某个区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个. （4）如果函数() a b上有极值,那么它的极值点的分布是有规律的.一般地, f x在[,] 当函数() a b内的极 f x在[,] f x在[,] a b上的图象连续且有有限个极值点时,函数()
大值点、极小值点是交替出现的.④ 例1（★）设函数()f x 的定义域为R ，00(0)x x ≠是()f x 的极大值点,以下结论一定正确的是（ ） A.0x -是()f x --的极小值点 B.对任意()0,()x f x f x ∈R C.0x -是()f x -的极小值点 D.0x 是()f x -的极大值点 解析 对于A ,函数()f x --与函数()f x 的图象关于原点对称,因此0x -是()f x --的极小值点;对于B ,极值是一个局部性概念,因此不能确定在整个定义域上 ()0f x 是否最大;对于C ,函数()f x -与函数()f x 的图象关于y 轴对称,因此0x -是 ()f x -的极大值点;对于D ,函数()f x 与函数()f x -的图象关于x 轴对称,因此0 x 是()f x -的极小值点,故D 错误. 答案 A 在曲线上，青蛙的左右两边都比它高，所以青蛙所在处就是一个极小值点；老鹰的左右两边都比它低，所以老鹰所在处就是一个极大值点. 知识补充 ①极小值对应点为函数局部的“低谷”. 知识补充 ②极大值对应点为函数局部的“高峰”. 方法技巧 ③怎样根据函数图象确定极值？ 答：由函数图象确定极大值或极小值时，需关注图象在某点处从左侧到右侧的变化情况，极值点一般是指单调性的转折点.若图象由“上升”变为“下降”，则函
导数的应用于函数的极值与拐点
导数的应用于函数的极值与拐点在微积分中，导数是一个关键概念，用于描述函数的变化率。它不仅可以帮助我们求解函数的极值，还可以找到函数的拐点。通过对导数的应用，我们能够更好地理解函数的特性与性质。本文将介绍导数在函数极值和拐点方面的应用，以及如何利用导数求解这些问题。 一、函数的极值 函数的极值指的是函数取得的最大值和最小值。在函数曲线上，极值出现在函数的局部最高点和最低点。为了找到这些极值点，我们可以利用导数的概念和性质。 1. 导数的正负性 若函数f(x)在某区间(a, b)内连续，并在(a, b)的开区间内可导，那么在该开区间内，如果f'(x)>0，则函数在该区间上是增函数；如果 f'(x)<0，则函数在该区间上是减函数。因此，我们可以通过观察导数的正负性来判断函数的增减性。当导数从正数转为负数时，函数达到极大值；当导数从负数转为正数时，函数达到极小值。 2. 驻点与极值 驻点是指函数的导数等于零的点。如果函数在某个驻点附近导数的符号在相邻区间内变化（即驻点处导数曲线的切线穿过x轴），则该驻点为极值点。这是因为在驻点处，函数由增转减或由减转增，表示函数在该点附近取得极值。
3. 临界点 临界点是指函数的定义域内的导数不存在或者为零的点。临界点是找寻函数极值的重要依据之一。需要注意的是，临界点只是极值的可能出现的位置，并不一定就是极值点。 通过以上方法，我们可以发现函数的极值点，并进一步求解极值点的横坐标和纵坐标，从而得到函数的极值。 二、函数的拐点 函数的拐点是指曲线由凹变凸或由凸变凹的点。类似于函数的极值点，利用导数的概念和性质我们可以找到函数的拐点。 注：以下内容均指可导函数。 1. 凹凸性 若函数f(x)在某区间(a, b)内连续，并在(a, b)的开区间内二阶可导，那么在该开区间内函数的凹凸性与二导数的正负相关。如果f''(x)>0，则函数在该区间上是凹函数（曲线向上凸起）；如果f''(x)<0，则函数在该区间上是凸函数（曲线向下凸起）。因此，通过观察二阶导数的正负性，我们就能找到函数的拐点。 2. 拐点的判定 在二阶可导函数中，拐点出现在二阶导数等于零或者二阶导数不存在的点上。当二阶导数变号的位置，就是拐点的位置。当二阶导数由