判断极点阶数的方法
判断极点阶数的方法
已知0z 是()z f 的n 阶极点，是()z g 的m 阶极点。 （一）0z 是()()z g z f 的m+n 阶极点
()
的二级极点是则的一级极点的一级极点，是是例如：1
1
0;1110-=-=z z e z z e z z
（二）如果n m ≠，则0z 是()()z g z f ±的),max(n m 阶极点
的二级极点是则级极点的级极点，是的是
例如：1
110;11121022-+=-=z z e z z e z z
如果n m =，则需要把()()z g z f +通分成
()
()
z g z f 11这种形式 ()
判断。再用下面（三）的方法通分成需要把的一级极点
却不是则的一级极点的一级极点，是是例如：,1
111111
10;1110-------=-=z
z z z z e z z
e e z e z z e z z 已知0z 是()z
f 1的n 阶零点，是()z
g 1的m 阶零点。 （三）0z 是
()
()
z g z f 11的m-n 阶极点，其中0>-n m ， (
)
(
)
级极点的是
则级零点的级零点，是的是例如：21
sin 0;311sin 02
2
-=-=z z e z z
z e z z z
如果0≤-n m ，则0z 是
()
()
z g z f 11的可去奇点。 (
)
()
的可去奇点
是则级零点的级零点，是的是例如：1
10;21210---=---=z z z
z
e z z
e z e z z e z 判断零点阶数的方法
已知0z 是()z f 1的n 阶零点，是()z g 1的m 阶零点。 （四）0z 是()()z g z f 11的m+n 阶零点
(
)
的二级零点
是则的一级零点的一级零点，是是例如：10;10-=-=z
z
e z z e z z
（五）如果n m ≠，则0z 是()()z g z f ±的),min(n m 阶零点
()
级零点
的是则级零点的级零点，是的是例如：110;112022-+=-=z z e z z e z z
如果n m =，则需要对()()z g z f ±用（六）的方法判断
()
级零点。
级零点，而是的却不是级零点的级零点，是的是例如：211;1110z e e z z z z ---=（六）判断0z 是()z f 1的n 阶零点的方法有两个
1. 求导法，如果()()()()0;1,,1,0,00101≠-==z f n k z f n k ，则0z 是()z f 1的n 阶零点 简单的说，就是求导一直到在0z 点的导数不等于零了，导几次就是几阶零点。
级零点的是所以例如：1sin 0,010cos 0n si ,00sin z ≠=='=
(
)级零点的是所以例如：110,011
,010
0-≠=='
-=-==z z z
z z e e e e
()
()级零点
的是所以例如：2cos 10,010cos 0n si ,00sin cos 1,00cos 10
z z z -≠=='=='-=-=(
)(
)级零点
的是所以例如：210,011
,011,0100
00
z e e e e z
e z e z z z z z z --≠=='
-=-='
--=--== 2. 阶数法， 如果()()
()()
+-+-=-=
+++∞
=∑1
0100
1n n n
n n
k k
k
z z c z z c z z c z f ，则0z 是()z f 1的n 阶零点
也就是说()z f 1在0z 点展成泰勒阶数的第一项的幂次是n ，那0z 就是()z f 1的n 阶零点
级零点
的是所以例如：1sin 0,!3sin 3z z z z +-=级零点的是所以例如：110,!
212
-++=-z z
e z z e
()级零点的是所以例如：2cos 10,!
4121cos 14
2z z z z -+-=
- （七）0z 是()k
z
f 1的n k *阶零点
级零点的是级零点的是例如：2sin 0,1sin 02z z
级零点的是级零点的是例如：41,1104
--z z e e
极点及系统稳定性
极点对系统性能影响 一．控制系统与极点 自动控制系统根据控制作用可分为：连续控制系统和采样控制系统，采样系统又叫离散控制系统。通常把系统中的离散信号是脉冲序列形成的离散系统,称为采样控制系统。连续控制系统即指控制量为连续的模拟量如时变系统。 系统的数学模型一般由系统传递函数表达。传递函数为零初始条件下线性系统响应（即输出）量的拉普拉斯变换（或z 变换）与激励（即输入）量的拉普拉斯变换之比。记作Φ（s ）=Xo （s ）/Xi （s ），其中Xo （s ）、Xi （s ）分别为输出量和输入量的拉普拉斯变换。 特征方程的根称为极点。如试Φ﹙S ﹚= C [∏（S-Pi ）/∏(S-Qi) ]中Q1 Q2 Q3 …… Qi ……即为系统的极点。 二．极点对系统的影响 极点--确定了系统的运动模态；决定了系统的稳定性。下面对连续系统与离散系统分别进行分析： ⑴连续系统 理论分析：连续系统的零极点分布有如下几种形式 设系统函数为： 将H(S)进行部分分式展开： 1n a s -+++
系统冲激响应H(S)的时域特性h(t)随时间衰减的信号分量完全由系统函数H(S)的极点位置决定。每一个极点将决定h(t)的一项时间函数。 稳定性：由上述得知Y(S)= C [∏（S-Pi ）/(S-Qi) ]可分解为Y(S)=C1/(S-τ1)+ C2/(S-τ2)+ C3/(S-τ3)+……+ Ci/(S-τi)+…… 则时间响应为 …… 由于特征方程的根不止一个，这时，应把系统的运动看成是多个运动分量的合成。只要有一个运动分量是发散的，则系统是不稳定的。因此，特征方程所有根的实部都必须是负数，亦即所有的根都在复平面的左半平面。 通过复变函数幅角定理将S 由G 平面映射到GH 平面。 如果封闭曲线 F 内有Z 个F(s)的零点，有P 个F(s)的极点，则s 沿 F 顺时针转一圈时，在F(s)平面上，F(s)曲线绕原点顺时针转的圈数R 为z 和p 之差，即R ＝z －p 。 若R 为负,表示F(s)曲线绕原点逆时针转过的圈数。 F(s)的分母是G0(s)的分母，其极点是G0(s)的极点；其分子是?(s)的分母，即?(s)的特征多项式，其零点是?(s)的极点。 取D 形曲线（D 围线）如图所示，是整个右半复平面。 且设D 曲线不经过F(s)的任一极点或零点。 s 沿D 曲线顺时针变化一周，F(s)顺时针包围原点的周数为： n=z-p=F(s)在右半复平面的零点数(闭环传函在右半复平面极点数) -F(s)在右半复平面的极点数(开环传函在右半复平面极点数) 所以闭环系统稳定的充分必要条件是： n=- p =-开环传函在右半复平面的极点数 1212()n s t s t s t n y t C e C e C e =+++0()0()0()0()t s y t y t Ce y t y t t ααααα=<→?? ===??>→∞? →∞（1）只有一个实根：时，时，恒量时，()()121()0cos()00j t j t t s j y t C e C e C e t t αωαωααωαω?αα+-=±=+? →∞（2）有一对复根：时，收敛时，等幅振荡时，发散
数学物理方法作业
数学物理方法简答题 1.复数有哪几种表达方式？在复数的开方运算和对数函数的计算中，应特别 注意复数的什么性质？（复习掌握复数运算和几种基本函数的定义和计算） 书上列出了三种：代数式，三角式，指数式。其实还可以用级数式表示复数。 注意角度是除以/乘以一个数。 2.复变函数可导的充分必要条件是什么？可导与解析这两个概念有什么联 系和区别？（复习掌握柯西-黎曼条件以及求解解析函数的实部或虚部的方法） 复变函数可导的充分必要条件：函数的偏导数存在且连续，并满足柯西-黎曼方程。 联系与区别：对于一个点，函数解析必定可导，反之不一定；对于一个区域，解析和可导等价。 3.解析函数的两条性质是什么？ 一：函数的实部和虚部分别等于一个常数，这个两个曲线族在其区域B上是相互正交的。 二：函数的实部和虚部均为其区域B上的调和函数。 4.已知某函数在某一回路上的积分为零，可否据此对此函数的解析性质作出 判断？为什么？（复习掌握柯西定理、柯西公式） 可以，根据柯西定理，在闭单连通区域上的解析函数回路积分为零，可以据此对函数解析性质做出判断。 5.什么情况下某一积分回路的内部一定是复连通的区域？ 在回路内有奇点，则该回路积分会等于对其内部奇点所有回路积分之和。 6.收敛的幂级数和双边幂级数的收敛区域分别是什么类型的区域？在收敛 区域的境界线和外部是否一定发散？（复习掌握计算泰勒展开和洛朗展开的基本方法，特别是有理分式的展开） 一个是圆一个是环。在幂级数的境界线上要具体分析，其余都发散。 7.奇点可分为哪几类？孤立奇点可分为哪几类？简要说明它们之间的区别。
奇点分为孤立奇点和非孤立奇点，。函数在点z不可导，若在z的任意小领域除点z外处处可导，则为孤立奇点，若在任意小领域内可以找到除z以外不可导的点，则z为非孤立奇点。 孤立奇点根据挖去该点而形成环域上的解析函数的洛朗展开级数中负幂项情况，可以分为可取奇点（没有负幂项）、极点（有限个负幂项）、本性奇点（无限个负幂项）。 8.如何判断极点的阶数？ 函数在该极点上的洛朗展开，最低次幂项的次数的绝对值是极点的阶数。 9.试用文字说明什么是留数？（复习掌握留数计算相关公式） 被积函数在回路上的积分，将被积函数展开后逐项积分，除去留下来的项其他都为零，则这个不为零的项除以一常数后称之为留数/残数。 10.留数定理将回路积分归结成什么？对于回路积分的计算有什么意义？（复 习掌握留数定理计算回路积分和实函数积分的相关公式） 将回路积分归结成根据极点求留数，简化了对回路积分的计算。
系统稳定性意义以及稳定性的几种定义.
系统稳定性意义以及稳定性的几种定义 一、引言： 研究系统的稳定性之前，我们首先要对系统的概念有初步的认识。 在数字信号处理的理论中，人们把能加工、变换数字信号的实体称作系统。由于处理数字信号的系统是在指定的时刻或时序对信号进行加工运算，所以这种系统被看作是离散时间的，也可以用基于时间的语言、表格、公式、波形等四种方法来描述。从抽象的意义来说，系统和信号都可以看作是序列。但是，系统是加工信号的机构，这点与信号是不同的。人们研究系统还要设计系统，利用系统加工信号、服务人类，系统还需要其它方法进一步描述。描述系统的方法还有符号、单位脉冲响应、差分方程和图形。 电路系统的稳定性是电路系统的一个重要问题，稳定是控制系统提出的基本要求，也保证电路工作的基本条件；不稳定系统不具备调节能力，也不能正常工作，稳定性是系统自身性之一，系统是否稳定与激励信号的情况无关。对于线性系统来说可以用几点分布来判断，也可以用劳斯稳定性判据分析。对于非线性系统的分析则比较复杂，劳斯稳定性判据和奈奎斯特稳定性判据受到一定的局限性。 二、稳定性定义： 1、是指系统受到扰动作用偏离平衡状态后，当扰动消失，系统经过自身调节能否以一定的准确度恢复到原平衡状态的性能。若当扰动消失后，系统能逐渐恢复到原来的平衡状态，则称系统是稳定的，否则称系统为不稳定。 稳定性又分为绝对稳定性和相对稳定性。 绝对稳定性。如果控制系统没有受到任何扰动，同时也没有输入信号的作用，系统的输出量保持在某一状态上，则控制系统处于平衡状态。 （1）如果线性系统在初始条件的作用下，其输出量最终返回它的平衡状态，那么这种系统是稳定的。 （2）如果线性系统的输出量呈现持续不断的等幅振荡过程，则称其为临界稳定。（临界稳定状态按李雅普洛夫的定义属于稳定的状态，但由于系统参数变化等原因，实际上等幅振荡不能维持，系统总会由于某些因素导致不稳定。因此从工程应用的角度来看，临界稳定属于不稳定系统，或称工程意义上的不稳定。） （3）如果系统在初始条件作用下，其输出量无限制地偏离其平衡状态，这称系统是不稳定的。 实际上，物理系统的输出量只能增大到一定范围，此后或者受到机械制动装置的限制，或者系统遭到破坏，也可以当输出量超过一定数值后，系统变成非线性的，从而使线性微分方程不再适用。因此，绝对稳定性是系统能够正常工作的前提。
第五章 留数(答案)
复变函数练习题 第五章 留数 系 专业 班 姓名 学号 §1 孤立奇点 孤立奇点类型的判别法 1、洛朗展开法 f(z)在点a 处的洛朗展式中， 若无负幂项，则点a 为可去奇点； 若负幂项最高次数为m ，则点a 为m 阶极点； 若负幂项为无穷多个，则点a 为本性奇点。 2、极限法 lim ()z a f z → 存在且有限，则点a 为可去奇点； 等于无穷，则 a 为极点（无法判断阶数）； 不存在且不等于无穷，则a 为本性奇点。 3、判断极点的方法 1 ()()()m f z g z z a = -，g(z)在点a 解析且g(a)不等于零； 1()()lim ()lim()()() m m z a z a f z g z g z z a f z z a →→= =--，存在且有限; 1 ()()() m z a h z f z =-， h(z)在点a 解析且h(a)不等于零 一、选择题 1．函数 cot 23 z z π-在||2z i -=内奇点的个数为 [ D ] （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 cot cos 3 (23)sin 0,()23(23)sin 2 z z z z z k k z z z ππππ=-=?=∈--Z ，
2．设()f z 与()g z 分别以z a =为可去奇点和m 级极点，则z a =为()()f z g z +的 [ C ] （A ）可去奇点 （B ）本性奇点 （C ）m 级极点 （D ）小于m 级的极点 (对f(z)和g(z)分别进行洛朗展开并求和) 3．0z =为函数2 41sin z e z z -的m 级极点，那么m = [ C ] （A ）5 （B ）2 （C ）3 （D ） 4 224 2 2455 32 01112!3.3=(1)sin sin sin sin 2!lim (1)1sin 2!z z z z z e z e z z z z z z z z z z z z z z →??++ ?--?=?=?++ ? ? ?++= ?? ? L L L 利用方法， 4．z =∞是函数3 2 32z z z ++的 [ B ] （A ）可去奇点 （B ）一级极点 （C ）二级极点 （D ）本性奇点 32 22 32321=32=0z z z z z z ζζζζ??++++=++ ??? 以为一阶极点 5．1z =是函数1 (1)sin 1 z z --的 [ D ] （A ）可去奇点 （B ）一级极点 （C ）一级零点 （D ）本性奇点 （将函数在z=1洛朗展开，含无穷多个负幂项） 二、填空题 1．设0z =为函数3 3 sin z z -的m 级零点，那么m = 9 。 () () 3 5 3391563 3 3 3 91sin ()()3!5!3!5!3!5! z z z z z z z z z z -=--++=-+=-+L L L 2．设0z =为函数3sin z z 的n 级极点，那么n = 2 。 三、解答题 1．下列函数在有限点处有些什么奇点如果是极点，指出它的级：
判断极点阶数的方法
判断极点阶数的方法 已知0z 是()z f 的n 阶极点，是()z g 的m 阶极点。 （一）0z 是()()z g z f 的m+n 阶极点 () 的二级极点是则的一级极点的一级极点，是是例如：1 1 0;1110-=-=z z e z z e z z （二）如果n m ≠，则0z 是()()z g z f ±的),max(n m 阶极点 的二级极点是则级极点的级极点，是的是 例如：1 110;11121022-+=-=z z e z z e z z 如果n m =，则需要把()()z g z f +通分成 () () z g z f 11这种形式 () 判断。再用下面（三）的方法通分成需要把的一级极点 却不是则的一级极点的一级极点，是是例如：,1 111111 10;1110-------=-=z z z z z e z z e e z e z z e z z 已知0z 是()z f 1的n 阶零点，是()z g 1的m 阶零点。 （三）0z 是 () () z g z f 11的m-n 阶极点，其中0>-n m ， ( ) ( ) 级极点的是 则级零点的级零点，是的是例如：21 sin 0;311sin 02 2 -=-=z z e z z z e z z z 如果0≤-n m ，则0z 是 () () z g z f 11的可去奇点。 ( ) () 的可去奇点 是则级零点的级零点，是的是例如：1 10;21210---=---=z z z z e z z e z e z z e z 判断零点阶数的方法 已知0z 是()z f 1的n 阶零点，是()z g 1的m 阶零点。 （四）0z 是()()z g z f 11的m+n 阶零点 ( ) 的二级零点 是则的一级零点的一级零点，是是例如：10;10-=-=z z e z z e z z （五）如果n m ≠，则0z 是()()z g z f ±的),min(n m 阶零点
判断系统稳定性
摘要 现今数字信号处理理论与应用已成为一门很重要的高新科学技术学科，通过功能强大的MATLAB软件与数字信号处理理论知识相互融合在一起，既使我们对数字信号处理的理论知识能够有更加深厚的解也提高了动手能力，实践并初步掌握了MATLAB 的使用。 根据本次课题要求，通过使用MATLAB，方便了对系统函数的繁琐的计算，并且直观形象的用计算机进行模拟仿真，通过观察图，由图像的特征从而进一步的对系统进行形象的分析。 本课题中给出了系统函数，对其稳定性进行分析我们可以通过MATLAB画零极图观察极点的分布，另外还可以通过MATLAB分析系统的单位阶跃响应、单位脉冲响应、幅频相频特性的图形更加具体的对系统进行分析。 关键字：离散系统函数、MATLAB、零极点分布、系统稳定性。
一、设计原理 1.设计要求 （1）：根据系统函数求出系统的零极点分布图并且判断系统的稳定性。 （2）：求解系统的单位阶跃响应，并判断系统的稳定性。 （3）：求系统的单位脉冲响应，并判断系统的稳定性 （4）：求出各系统频率响应，画出幅频特性和相频特性图（zp2tf,zplane，impz等） 2、系统稳定性、特性分析 进行系统分析时我主要利用MATLAB软件绘制出系统零极点的分布图、单位脉冲响应图、单位阶跃响应图等。采用MATLAB 软件进行设计时我调用了软件本身的一些函数来对课题进行绘图和分析。诸如zplane、impz、stepz、freqz等。 对系统函数的零极图而言：极点在单位圆内,则该系统稳定,极点在单位圆外，则该系统为非稳定系统。 当极点处于单位圆内，系统的冲激响应曲线随着频率的增大而收敛；当极点处于单位圆上，系统的冲激响应曲线为等幅振荡；当极点处于单位圆外，系统的冲激响应曲线随着频率的增大而发散。 系统的单位阶跃响应若为有界的则系统为稳定系统。由以上的判据配合图形对系统的稳定性进行分析，达到我们的课程要求。 系统函数H（z）的零极点分布完全决定了系统的特性，若某系统函数的零极点已知，则系统函数便可确定下来。 因此，系统函数的零极点分布对离散系统特性的分析具有非常重要意义。通过对系统函数零极点的分析，可以分析离散系统以下几个方面的特性： (1)系统单位样值响应h(n)的时域特性； (2)离散系统的稳定性； (3)离散系统的频率特性；
极点与系统稳定性
极点对系统性能影响 一．控制系统与极点 自动控制系统根据控制作用可分为：连续控制系统和采样控制系统，采样系统又叫离散控制系统。通常把系统中的离散信号是脉冲序列形成的离散系统,称为采样控制系统。连续控制系统即指控制量为连续的模拟量如时变系统。 系统的数学模型一般由系统传递函数表达。传递函数为零初始条件下线性系统响应（即输出）量的拉普拉斯变换（或z变换）与激励（即输入）量的拉普拉斯变换之比。记作Φ（s）=Xo（s）/Xi（s），其中Xo（s）、Xi（s）分别为输出量和输入量的拉普拉斯变换。 特征方程的根称为极点。如试Φ﹙S﹚= C [∏（S-Pi）/∏(S-Qi) ]中Q1 Q2 Q3 ……Qi ……即为系统的极点。 二．极点对系统的影响 极点--确定了系统的运动模态；决定了系统的稳定性。下面对连续系统与离散系统分别进行分析： ⑴连续系统 理论分析：连续系统的零极点分布有如下几种形式 设系统函数为： 将H(S)进行部分分式展开：
系统冲激响应H(S)的时域特性h(t)随时间衰减的信号分量完全由系统函数H(S)的极点位置决定。每一个极点将决定h(t)的一项时间函数。 稳定性：由上述得知Y(S)= C [∏（S-Pi ）/(S-Qi) ]可分解为Y(S)=C1/(S-τ1)+ C2/(S-τ2)+ C3/(S-τ3)+……+ Ci/(S-τi)+…… 则时间响应为 …… 由于特征方程的根不止一个，这时，应把系统的运动看成是多个运动分量的合成。只要有一个运动分量是发散的，则系统是不稳定的。因此，特征方程所有根的实部都必须是负数，亦即所有的根都在复平面的左半平面。 通过复变函数幅角定理将S 由G 平面映射到GH 平面。 如果封闭曲线 F 内有Z 个F(s)的零点，有P 个F(s)的极点，则s 沿 F 顺时针转一圈时，在F(s)平面上，F(s)曲线绕原点顺时针转的圈数R 为z 和p 之差，即R ＝z －p 。 若R 为负,表示F(s)曲线绕原点逆时针转过的圈数。 F(s)的分母是G0(s)的分母，其极点是G0(s)的极点；其分子是?(s)的分母，即?(s)的特征多项式，其零点是?(s)的极点。 取D 形曲线（D 围线）如图所示，是整个右半复平面。 且设D 曲线不经过F(s)的任一极点或零点。 s 沿D 曲线顺时针变化一周，F(s)顺时针包围原点的周数为： n=z-p=F(s)在右半复平面的零点数(闭环传函在右半复平面极点数) -F(s)在右半复平面的极点数(开环传函在右半复平面极点数) 所以闭环系统稳定的充分必要条件是： n=- p =-开环传函在右半复平面的极点数 1212()n s t s t s t n y t C e C e C e =+++ 0()0()0()0()t s y t y t Ce y t y t t ααααα=<→?? ===??>→∞?→∞（1）只有一个实根：时，时，恒量时，()()121 ()0cos()00j t j t t s j y t C e C e C e t t αωαωααωαω?αα+-=±=+? →∞ （2）有一对复根：时，收敛时，等幅振荡时，发散
二阶系统性能改善与稳定性
例1 系统结构图如图所示。求开环增益K分别为10，0.5，0.09时系统的动态性能指标。 计算过程及结果列表 K 计算 10 0.5 0.09 开环 传递 函数 )1 ( 10 ) ( 1+ = s s s G )1 ( 5.0 ) ( 2+ = s s s G )1 ( 09 .0 ) ( 3+ = s s s G 闭环 传递 函数10 10 ) ( 2 1+ + = Φ s s s 5.0 5.0 ) ( 2 2+ + = Φ s s s 09 .0 09 .0 ) ( 2 3+ + = Φ s s s 特征 参数 ? ? ? ?? ? ? ? = = = ? = = = 81 arccos 158 .0 16 .3 2 1 16 .3 10 ξ β ξ ω n ? ? ? ?? ? ? ? = = = ? = = = 45 arccos 707 .0 707 .0 2 1 707 .0 5.0 ξ β ξ ω n ?? ? ? ? = ? = = = 67 .1 3.0 2 1 3.0 09 .0 ξ ω n 特征 根 12 .3 5.0 2,1 j ± - = λ5.0 5.0 2,1 j ± - = λ ? ? ? - = - = 9.0 1.0 2 1 λ λ ? ? ? = = 11 .1 10 2 1 T T 动态 性能 指标 2 2 1 00 00 1.01 1 60.4 3.5 3.5 7 0.5 p n s n t e t ξπξ π ξω σ ξω -- ? == ? - ? ? == ? ? ?=== ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = = = = = - = - - 7 5.3 5 238 .6 1 1 2 2 n s n p t e t ξω σ ω ξ π ξ ξπ() 1221 11 9 31 ,0 s s p T T t t T T t λλ σ ?== ? =?= ? ?=∞= ?
信号与系统_——零极点及稳定性响应
实验七、系统极零点及其稳定性 三、已知下列传递函数H(s)或H(z)，求其极零点，并画出极零图。 1. b=[3 -9 6]; a=[1 3 2]; zplane(b,a) 2. b=[1]; a=[1 0]; zplane(b,a)
3. b=[1 0 1]; a=[1 2 5]; zplane(b,a)
4. b=[1.8 1.2 1.2 3]; a=[1 3 2 1]; zplane(b,a) 五、求出系统的极零点，判断系统的稳定性。 5、先求出分子分母多项式系数 >> syms s >> zs=100*s*(s+2)^2*(s^2+3*s+2)^2; >> expand(zs) ans = 100*s^7+1000*s^6+4100*s^5+8800*s^4+10400*s^3+6400*s^2+1600*s >> syms s >> ps=(s+1)*(s-1)*(s^3+3*s^2+5*s+2)*((s^2+1)^2+3)^2; >> expand(ps) ans = -32-80*s-48*s^2+8*s^4-16*s^3+28*s^6+20*s^5+44*s^7+30*s^8+s^13+8*s^11+23*s^9+3*s^12 +11*s^10 再求出极零点 b=[100 1000 4100 8800 10400 6400 1600 0]; a=[1 3 8 11 23 30 44 28 20 8 -16 -48 -80 -32];
[z,p]=tf2zp(b,a) 求解结果： z = -2.0005 + 0.0005i -2.0005 - 0.0005i -1.9995 + 0.0005i -1.9995 - 0.0005i -1.0000 + 0.0000i -1.0000 - 0.0000i p = 1.0000 0.7071 + 1.2247i 0.7071 - 1.2247i 0.7071 + 1.2247i 0.7071 - 1.2247i -1.2267 + 1.4677i -1.2267 - 1.4677i -0.7071 + 1.2247i -0.7071 - 1.2247i -0.7071 + 1.2247i -0.7071 - 1.2247i -1.0000 -0.5466 极点不是都在左半平面，因此系统不稳定。 6、clear all; clc; num=conv([1 -1.414 1],[1 1]); den=conv([1 0.9 0.81],[1 -0.3]); [z,p]=tf2zp(num,den) zplane(z,p); z = -1.0000 0.7070 + 0.7072i 0.7070 - 0.7072i
实验二：系统稳定性和稳态性能分析
实验二：系统稳定性和稳态性能分析 主要内容： 自动控制系统稳定性和稳态性能分析上机实验 目的与要求： 熟悉 MATLAB 软件对系统稳定性分析的基本命令语句 熟悉 MATLAB 软件对系统误差分析的 Simuink 仿真 通过编程或 Simuink 仿真完成系统稳定性和稳态性能分析 一 实验目的 1、研究高阶系统的稳定性，验证稳定判据的正确性； 2、了解系统增益变化对系统稳定性的影响； 3、观察系统结构和稳态误差之间的关系。 二 实验任务 1、稳定性分析 欲判断系统的稳定性，只要求出系统的闭环极点即可，而系统的闭环极点就是闭环传递函数的分母多项式的根，可以利用MATLAB 中的tf2zp 函数求出系统的零极点，或者利用root 函数求分母多项式的根来确定系统的闭环极点，从而判断系统的稳定性。 （1）已知单位负反馈控制系统的开环传递函数为0.2( 2.5)()(0.5)(0.7)(3)s G s s s s s +=+++，用 MA TLAB 编写程序来判断闭环系统的稳定性，并绘制闭环系统的零极点图。 （2）已知单位负反馈控制系统的开环传递函数为( 2.5)()(0.5)(0.7)(3)k s G s s s s s +=+++，当取k =1，10，100用MA TLAB 编写程序来判断闭环系统的稳定性。 只要将（1）代码中的k 值变为1，10，100，即可得到系统的闭环极点，从而判断系统的稳定性，并讨论系统增益k 变化对系统稳定性的影响。 2、稳态误差分析 （1）已知如图所示的控制系统。其中2(5)()(10) s G s s s +=+，试计算当输入为单位阶跃信号、单位斜坡信号和单位加速度信号时的稳态误差。 从 Simulink 图形库浏览器中拖曳Sum （求和模块）、Pole-Zero （零极点）模块、Scope （示波器）模块到仿真操作画面，连接成仿真框图如右上图所示： （2）若将系统变为I 型系统，5()(10) G s s s =+，在阶跃输入、斜坡输入和加速度信
滤波器稳定性与极点
在数字信号处理中，系统的稳定性是一个很重要的问题，比如说在滤波器的设计中，都要求系统必须稳定，否则是无法使用的。那么，如何判断系统是否稳定呢？ 从定义上说，如果输入有界，则输出必定有界的系统是稳定的。从数学上可以推导出，因果系统冲击响应Z变换的收敛域包含单位圆的系统是稳定的。从零点极点的角度，则是系统函数的所有极点都在单位圆内的系统是稳定的。如何来理解呢？ 我们先以一个简单的单极点系统为例来理解系统的稳定性。比如有一个单极点系统： H(z)=1/(1-2z-1) 表示的是如下的如下的信号处理过程：系统当前输出是当前的输入加上2倍的系统上一时刻输出之和。这个系统是不稳定的，因为当前输出需要放大上一个时刻的输出，这也就是说，系统存在的自激的过程，直观上我们就可以很好地理解，自激系统是不稳定的。从分析极点的角度看，这个系统的极点为2，在单位圆外，与数学上的分析是一致的。极点在单位圆内的要求，对一阶极点而言，实际上也就是直观上要求系统不能自激。 对于高阶极点的情况，由代数学可知，高阶极点可进行分式的分解，也即是高阶极点可以分解成多个一阶极点并联而成的系统，在并联系统中，只要有一个系统不稳定，整个系统就是不稳定的。这与数学上要求的所有极点都在单位圆内是对应的。对于更一般的既包含零点又包含极点的系统，可以看成一个全零点系统和全极点系统串接而成，零点与系统的稳定性无关，分析和结论与高阶全极点系统完全一致。 在滤波器的设计中，可以很方便地通过调整极点改变滤波器的特性。而在许多设计精巧的滤波器中，极点往往在单位圆上或单位圆附近，在实际中还要考虑量化及数的精度等问题，确保系统的稳定性。
零点与极点计算和分析
关于放大器极、零点与频率响应的初步实验 1．极零点的复杂性与必要性 一个简单单级共源差分对就包含四个极点和四个零点，如下图所示： 图1 简单单级共源全差分运放极零点及频率、相位响应示意图 上图为简单共源全差分运放的极零点以及频率响应的示意图，可以看到，运放共有四个极点，均为负实极点，共有四个零点，其中三个为负实零点，一个为正实零点。后面将要详细讨论各个极零点对运放的频率响应的影响。 正在设计中的折叠共源共栅运算放大器的整体极零点方针则包括了更多的极零点（有量级上的增长），如下图所示：
图2 folded-cascode with gain-boosting and bandgap all-poles details
图3 folded-cascode with gain-boosting and bandgap all-zeros details 从上述两张图可以看到，面对这样数量的极零点数量（各有46个），精确的计算是不可能的，只能依靠计算机仿真。但是手算可以估计几个主要极零点的大致位置，从而预期放大器的频率特性。同时从以上图中也可以看到，详细分析极零点情况也是很有必要的。可以看到46个极点中基本都为左半平面极点（负极
点）而仿真器特别标出有一个正极点（RHP ）。由于一般放大器的极点均应为LHP ，于是可以预期这个右半平面极点可能是一个设计上的缺陷所在。（具体原因现在还不明，可能存在问题的方面：1。推测是主放大器的CMFB 的补偿或者频率响应不合适。 2。推测是两个辅助放大器的带宽或频率响应或补偿电容值不合适）其次可以从极零点的对应中看到存在众多的极零点对（一般是由电流镜产生），这些极零点对产生极零相消效应，减少了所需要考虑的极零点的个数。另外可以看到46个零点中45个为负零点，一个为正零点，这个正零点即是需要考虑的对放大器稳定性产生直接影响的零点。 以上只是根据仿真结果进行的一些粗略的分析，进一步的学习和研究还需要 进行一系列实验。 1． 单极点传输函数——RC 低通电路 首先看一个最简单的单极点系统——RC 低通电 路，其中阻值为1k ，电容为1p ，传输函数为： sRC s H +=11)( 则预计极点p0=1/（2πRC ）=1.592e8 Hz ，仿真得 到结果与此相同。 而从输出点的频率响应图中可以得到以下几个结 论： 图4 一阶RC 积分电路 1）-3dB 带宽点（截止频率）就是传输函数极点，此极点对应相位约为-45°。 2）相位响应从0°移向高频时的90°，即单极点产生+90°相移。 3）在高于极点频率时，幅度响应呈现-20dB/十倍频程的特性。 图5 一阶RC 电路极点与频率响应（R=1k C=1p ）
数理方法习题解答(部分)
课后习题答案 P60（1）解 ∑∑-∞=+-∞ ===05 05 /15!1n n n n z z z n z e z （2）解 ()()()[]2 2211111111111111-+--+--=---=-z z z z z z z z ()()()∑∞ =-=+-++-+-=+03 2 1111/1n n n n n x x x x x x ()()()()∑∑∞ =+∞=-++-=-='??? ??+-=+0 21112 1111111 n n n k k k x n kx x x ()()()∑∞ =+-==+++02 211111n n n x n x x ()()()()()()()n n n n n n z n z n z z z 121121*********-+-=-+-+-=-∑∑∞ -=+∞=+ （3）解 在点 00=z ()z z z z z z 11111111---=--=-∑∑∞ -=-∞=-=--=11 0n n n n z z z 在点10 =z ()()1111111111-+- -=--=-z z z z z z ()()()()∑∑∞ -=+∞=+--=--+-=1 101111111n n n n n n z z z （6）解 ∞ < 题 目: 高阶系统的零、极点分析 初始条件：设单位系统的开环传递函数为 2 (),()(48)p K s b G s D s s s s s a += =+++ 要求完成的主要任务: （包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要求） 1、 当系统开环传递函数为()p G s 时，绘制根轨迹并用Matlab 求取单位阶跃响应、单位 斜坡响应，并求取动态和稳态性能指标 2、 当系统开环传递函数为()()p G s D s ，a=0.1,b=0.11时，绘制根轨迹并用Matlab 求取 单位阶跃响应、单位斜坡响应，并求取动态和稳态性能指标 3、 当系统开环传递函数为()()p G s D s ，a ＝b=20时，绘制根轨迹并用Matlab 求取单位阶跃响应、单位斜坡响应，并求取动态和稳态性能指标 4、 比较上述三种情况的仿真结果，分析原因，说明偶极子对系统的影响。 时间安排： 指导教师签名： 年 月 日 系主任（或责任教师）签名： 年 月 日 摘要 本次课程设计的主要任务是对高阶系统零、极点的分析。 一个控制系统的好坏，主要是从系统的稳定性、准确性和快速性三个方面来进行描述的。此次课程设计主要是利用MATLAB绘制高阶系统的根轨迹，了解高阶系统零、极点的分布情况，求取高阶系统的单位阶跃响应和单位斜坡响应，并分析系统的动态和稳态性能指标。通过增加系统零、极点，求解不同闭环传递函数下系统的各项性能指标，来分析总结零、极点和偶极子对于高阶系统的影响。 关键字：劳斯稳定判据根轨迹零极点稳定要求性能指标 高阶系统的零、极点分析 1系统稳定性分析 劳斯稳定判据：系统稳定的充分必要条件是劳斯表中的第一列数的符号完全相同。如果劳斯表中的第一列的符号不完全相同，则系统不稳定。而且，系统正实部特征根的个数等于劳斯表第一列数的符号变化次数。 根据已知条件可知，所研究系统的开环传递函数： 22() ()()()(48)(48)() k p K s b K s b G s G s D s s s s s a s s s s a ++=?= ?= ++++++ 由开环传递函数可得其闭环特征方程为： 432(4)(84)(8)0s a s a s a K s bK +++++++= 劳斯表如下： 4s 1 84a + bK 3s 4a + 8a K + 0 2 s 2416324a a K a ++-+ bK 1 s 224163241632[(8)(4)]44a a K a a K a K a bK a a ++-++-?+-+?++ 0 0s bK 根据劳斯判据可知，系统稳定，则劳斯表中第一列数的符号完全相同。由以上劳斯表可知，当表中第一列均为正数时，系统稳定，得下列不等式组： 40a +> 24163204a a K a ++->+ 224163241632[(8)(4)]044a a K a a K a K a bK a a ++-++-?+-+?>++ 0bK > 一、填空、选择、判断： 1. 一线性时不变系统，输入为 x （n ）时，输出为y （n ） ； 则输入为2x （n ）时，输出为 2y(n) ；输入为 x （n-3）时，输出为 y(n-3) 。 2. 线性时不变系统离散时间因果系统的系统函数为 252)1(8)(22++--=z z z z z H ，则系统的极点为 2,2121-=-=z z ； 系统的稳定性为 不稳定 。 3. 4. 对模拟信号（一维信号，是时间的函数）进行采样后，就 是 时域离散信 信号，再进行幅度量化后就是 数字 信号。 5. 单位脉冲响应不变法缺点 频谱混迭 ，适合____低通 带通 滤波器设计，但不适合高通带阻 滤波器设计。 6. 请写出三种常用低通原型模拟滤波器特沃什滤波器、切比 雪夫滤波器 、 椭圆滤波器。 7. FIR 数字滤波器的单位取样响应为 h(n), 0≤n≤N -1, 则其 系统函数 H(z)的极点在 z=0 是 N-1 阶的。 8. 对于N 点（N ＝2L ）的按时间抽取的基2FFT 算法，共需 要作 2/NlbN 次复数乘和 _NlbN 次复数加。 9. 从奈奎斯特采样定理得出，要使实信号采样后能够不失真 还原，采样频率fs 与信号最高频率f max 关系为： fs>=2f max 。 10. 已知一个长度为N 的序列x(n)，它的离散时间傅立叶变换 为X （e jw ），它的N 点离散傅立叶变换X （K ）是关于X （e jw ）的 N 点等间隔 采样 。 11. 有限长序列x(n)的8点DFT 为X （K ），则X （K ） =()7 0()nk N n X k x n W ==∑。 12. 用脉冲响应不变法进行IIR 数字滤波器的设计，它的主要 缺点是频谱的 交叠 所产生的现象。 13. 若数字滤波器的单位脉冲响应h （n ）是奇对称的，长度 为N ，则它的对称中心是 (N-1)/2 。 14. 用窗函数法设计FIR 数字滤波器时，加矩形窗比加三角窗 时，所设计出的滤波器的过渡带比较 窄 ，阻带衰 减比较 小 。 15. 无限长单位冲激响应（IIR ）滤波器的结构上有反馈环路， 因此是 递归 型结构。 16. 若正弦序列x(n)=sin(30n π/120)是周期的,则周期是N= 8 。 17. 用窗函数法设计FIR 数字滤波器时，过渡带的宽度不但与窗的 类型 有关，还与窗的 采样点数 有关 18. D FT 与DFS 有密切关系，因为有限长序列可以看成周期 序列的 主值区间截断 ，而周期序列可以看成有限长序列 的 周期延拓 。 实验七连续时间系统S 域零极点分析 一、 目的 (1) 掌握连续系统零极点分布与系统稳定性关系 (2) 掌握零极点分布与系统冲激响应时域特性之间的关系 (3) 掌握利用MATLAB 进行S 域分析的方法 二、 零极点分布与系统稳定性 根据系统函数H (s)的零极点分布来分析连续系统的稳定性是零极点分析的重要应 用之一。稳定性是系统固有的性质，与激励信号无关，由于系统函数 H(s)包含了系统 的所有固有特性，显然它也能反映出系统是否稳定。 对任意有界信号f(t)，若系统产生的零状态响应y(t)也是有界的，则称该系统为稳 定系统，否则，则称为不稳定系统。 上述稳定性的定义可以等效为下列条件： 时域条件：连续系统稳定充要条件为 h(t)dt ，即冲激响应绝对可积； 复频域条件：连续系统稳定的充要条件为系统函数 H(s)的所有极点位于S 平面 的左半平面。 系统稳定的时域条件和频域条件是等价的。因此，只要考察系统函数 H(s)的极点 分布，就可判断系统的稳定性。对于三阶以下的低阶系统，可以利用求根公式方便地求 出极点位置，从而判断系统稳定性，但对于告阶系统，手工求解极点位置则显得非常困 难。这时可利用MATLAB 来实现这一过程。 例7-1 :已知某连续系统的系统函数为: 解：调用实验六介绍的绘制连续系统零极点图函数 sjdt 即可解决此问题，对应的 MATLAB 命令为： a=[8 2 3 1 5]; b=[1 3 2]; [p,q]=sjdt(a,b) 运行结果为： P = -0.6155 - 0.6674i -0.6155 + 0.6674i 0.4905 - 0.7196i 0.4905 + 0.7196i q = -2 -1 绘制的零极点图如图7-1所示。 由程序运行结果可以看出，该系统在 S 平面的右半平面有一对共轭极点，故该系统 是一个不稳定系统。 三、零极点分布与系统冲激响应时域特性 设连续系统的系统函数为H (s)，冲激响应为h(t)，贝U H(s) 0 h(t)e st dt 显然，H(s)必然包含了 h(t)的本质特性。 对于集中参数的LTI 连续系统，其系统函数可表示为关于 s 的两个多项式之比，即 H(s) 试用MATLAB 求出该系统的零极点, s 2 3s 2 8s 4 2s 3 3s 2 s 5 画出零极点图，并判断系统是否稳定 系统的稳定性以及稳定性的几种定义 一、系统 研究系统的稳定性之前，我们首先要对系统的概念有初步的认识。在数字信号处理的理论中，人们把能加工、变换数字信号的实体称作系统。由于处理数字信号的系统是在指定的时刻或时序对信号进行加工运算，所以这种系统被看作是离散时间的，也可以用基于时间的语言、表格、公式、波形等四种方法来描述。从抽象的意义来说，系统和信号都可以看作是序列。但是，系统是加工信号的机构，这点与信号是不同的。人们研究系统还要设计系统，利用系统加工信号、服务人类，系统还需要其它方法进一步描述。描述系统的方法还有符号、单位脉冲响应、差分方程和图形。 中国学者钱学森认为：系统是由相互作用相互依赖的若干组成部分结合而成的，具有特定功能的有机整体，而且这个有机整体又是它从属的更大系统的组成部分。 二、系统的稳定性 一个系统，若对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则称该系统是有界输入有界输出(Bound Input Bound Output------ BIBO)稳定的系统，简称为稳定系统。即，若系统对所有的激励|f(·)|≤Mf ，其零状态响应|yzs(·)|≤My(M为有限常数），则称该系统稳定。 三、连续（时间）系统与离散(时间)系统 连续系统：时间和各个组成部分的变量都具有连续变化形式的系统。系统的激励和响应均为连续信号。 离散系统：当系统各个物理量随时间变化的规律不能用连续函数描述时，而只在离散的瞬间给出数值，这种系统称为离散系统。系统的激励和响应均为离散信号。 四、因果系统 因果系统 (causal system) 是指当且仅当输入信号激励系统时，才会出现输出（响应）的系统。也就是说，因果系统的（响应）不会出现在输入信号激励系统的以前时刻。即输入的响应不可能在此输入到达的时刻之前出现的系统；也就是说系统的输出仅与当前与过去的输入有关，而与将来的输入无关的系统。 判定方法 对于连续时间系统： t=t1的输出y(t1)只取决于t≤t1的输入x(t≤t1)时，则此系统为因果系统。 特殊的：当该系统为线性移不变系统时，系统的冲激响应函数h(t)，在t≤t1的条件下，h(t)=0，则此系统为因果系统； 对于离散时间系统： n=n1的输出y(n1)只取决于n≤n1的输入x(n≤n1)时，则此系统为因果系统，特殊的：当该系统为线性移不变系统时，系统的冲激响应函数h(n)，在n≤n1的条件下，h(n)=0，则此系统为因果系统。 举例说明 函数：1.y(t)=x(sin(t)) 不是因果系统，因为y(-π)=x(0), 表明y(t)在一段时间内可能取决于未来的x(t)。 2.y（t）=x（t）cos（t+1)是因果系统，cos（t+1)是时变函数，相当于一个已知的函数波形，所以x（t）的当前值影响了y（t）的当前值。 五、连续系统稳定性与离散系统稳定性的充分必要条件（证明见教材） （1）连续系统稳定的充分必要条件高阶系统的零、极点分析
2013《数字信号处理》期末复习(填空选择判断)真题解析
信号与系统实验7连续系统零极点分析
系统的稳定性以及稳定性的几种定义