高中数学-奇偶性定义的四个特性

奇偶性定义的四个特性

函数奇偶性的定义为：设,如果对于任意,都有,则称函数为偶函数；如果对于任意,都有,则称函数为奇函数.

深刻理解函数奇偶性的定义,可以得到以下四个方面的特性：

一. 任意性

奇偶性定义中的及对定义域中任意x均成立.

例1. （2001年两省一市高考题）设,是R上的偶函数,求a 的值.

解：因为是R上的偶函数,所以对任意x均成立,

即恒成立.整理为（）（）=0对任意x均成立,

所以.又因为,所以.

二. 对称性

对于函数,有为奇函数的图象关于原点对称；为偶函数的图象关于y轴对称.

例2. 把函数的图象向右平移个单位,所得函数为偶函数,则的最小值是（）

A. B. C. D.

解：依题意,为偶函数,其图象关于y轴对称.

因为对称轴方程为,且直线是其中的一条对称轴,

所以.

又因为,所以时,的最小值是,选（B）.

例3. 已知定义在R上的偶函数在（,0上是减函数,若,求不等式的解集.

解：利用偶函数图象的对称性,画出函数的示意图（如图1）.

图1

观察图象知,不等式可化为,即

或.从而

不等式的解集为.

三. 同值性

若是奇函数,则当自变量取互为相反数的一对值时,其函数值也是互为相反数；若是偶函数,则当自变量取互为相反数的一对值时,其函数值相等.

例4. 已知是定义在实数集上的奇函数,求函数f(x)的解析式.

解1：因为f(x)是奇函数,

所以

即

解得,所以

解2：因为是定义在实数集上的奇函数,所以,得.所以.

例5. 已知是奇函数,函数,且

,求的值.

解：令.注意到是奇函数,那么

所以是奇函数

由

有,从而

四. 穿越性

若是奇函数,则中的负号可以穿越f,即；若是偶函数,则中的负号不能穿越f,即.

例6. 设的定义域是R,（1）若都是奇函数,求证：

是奇函数；（2）若是偶函数,是奇函数,求证：是偶函数.

证明：（1）因为是奇函数,

所以负号能穿越f与g.这样,所以是奇函数.

（2）因为f(x)是偶函数,是奇函数,所以负号能穿越g而不能穿越f.

这样,,所以是偶函数.

练习：

1. 判断下列函数的奇偶性：

（1）；

（2）.

2. 若都是奇函数,在（0,）上有最大值5,则在（,0）上有（）

A. 最小值-5

B. 最大值-5

C. 最小值-1

D. 最大值-3

3. 已知为偶函数,求的值.

4. 已知函数的周期为4,且等式对任意均成立,求证为偶函数.

5. 已知是定义在R上的偶函数,且在［0,］上为减函数,若

,求实数a的取值范围.

答案：

1. （1）非奇非偶函数,（2）奇函数；

2. （C）；

3.

4. 利用定义；

5. 或