柱体与锥体

数学科教案

设计者：

教学主题：柱体与锥体

<图3>

算算看三角柱有几个面、几个顶点、几个边？

<图5>

甲

乙丙丁戊

己

甲

乙

丙丁甲乙丙

丁

戊

<图12>

生活中或校园里有看过这个图形吗？

，各部位名称分别为：顶点、侧面、底面、边。教师归纳：角锥的底面是多边形，图

从顶点到底面的距离都一样长

甲乙

丙 A B C D

甲

乙

※小朋友们，请你加入我少年侦查队的行列，变成一个生活观察王。现在给你们几项任务，看看你是不是可以成为我们的一员！

请找出你房间里的任何两个柱体，并将它的图形画下。

请在到学校的途中观察二个锥体，画在空格中。

一、请连至正确的锥体与柱体 1.

? ? ?

4. 5. 6.

二、想想看，它是谁

( ) ( ) ( )

( )

什么叫做圆柱体和圆锥体

什么叫做圆柱体和圆锥体？在小学数学教材中，对圆柱和圆锥都没有下明确的定义，为了更好地驾驭教材，作为数学教师，有必要较为确切地掌握圆柱和圆锥概念。圆柱：以矩形的一边所在直线为轴，其余各边绕轴旋转而成的曲面所围成的几何体，叫做圆柱体，简称圆柱。圆柱可以看成一个矩形A1AOO1，统一边O1O 旋转一周形成的旋转体（如下图）。O1O称为圆柱的轴，垂直于轴的边旋转而成的两个圆面，叫做圆柱的底面，平行于轴的边旋转而成的曲面，叫做圆柱的侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做圆柱的母线。圆柱两个底面之间的距离，叫做圆柱的高。当两个底面中心的连线垂直于底面时，这种圆柱叫做直圆柱。在小学里，所说的圆柱，一般都指直圆柱。圆柱的侧面展开成的图形是一个长方形。圆柱具有以下几个性质：（1）圆柱的轴过两个底面的圆心，并且垂直于两个底面；（2）用垂直于圆柱的轴的平面去截圆柱，所得的截面是和底面相等的圆；（3）用一个过圆柱的轴的平面去截圆柱，所得的截面是一个矩形，它的两条对边是圆柱的两条母线，另外两条对边，分别是两个底面圆的直径；（4）用一个平行于圆柱的轴的平面去截圆柱，所得的平面是个矩形，它的两条对边是圆柱的两条母线，另外两条对边，分别是两个底面圆的弦。

圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴，其余两边绕轴旋转而形成的曲面所围成的几何体，叫做圆锥。旋转的轴叫做圆锥的轴，由另一条直角边旋转而成的圆面，叫做圆锥的底面。由斜边旋转而成的曲面，叫做圆锥的侧面。斜边无论旋转到任何位置，都叫圆锥侧面的母线。母线的交点叫做圆锥的顶点。从圆锥顶点到圆锥底面的距离，叫做圆锥的高。上图所示圆锥，是以直角三角形ABO的一条直角边AO为旋转轴旋转而成的，因此，它是一个直圆锥，简称圆锥。圆锥具有以下几个性质：（1）圆锥的底面是一个圆，它所在的平面垂直于圆锥的轴；（2）圆锥的轴经过顶点和底面的圆心，底面圆心和顶点的连线（如图中的AO）就是圆锥的高；（3）圆锥的一切母线都交于圆锥的顶点，并且都相等，各条母线与轴的夹角都相等。（4）用一个过圆锥的顶点，并且和底面相交的平面去截圆锥，所得的截面是一个等腰三角形。（5）垂直于轴的圆锥截面是个圆。

柱体与椎体习题

柱体与锥体哈啰，我是猪宝宝，告诉小朋友 “柱体”－有上下两个底面，侧面是 1 至多面的长方形！ “椎体”－只有一个底面，侧面都是三角形！姓名：能分辨柱体与椎体、选一选，柱体在〈ˇ〉，椎体在﹙○﹚ 二、连一连 ? 三角锥〉〉〈 ? ? ? ? 圆柱圆锥 ? 六角柱

) 条边顶点 ) 条边顶点 ) 条边顶点 ) 条边顶点 5) 6) ) ) ) ) ) ) ) □不错填一填学习表现：□超赞自我评量：□难不倒我 □大致了解 □再教一次 □ 加油 4)右边的形体是一个 ( ( ) 个侧面 ( ) 个侧面 ( ) 个侧面 ( ) 个侧面它有 ( ) 个底面它有 ( ) 个底面它有 ( ) 个底面它有 ( ) 个底面 1)右边的形体是一个 ( 2)右边的形体是一个 ( 3)右边的形体是一个 ( ※学习目标二：认识柱体与椎体的组成。

※学习目标二：认识柱体与椎体的组成。〉〉自我评量：□难不倒我□大致了解□再教一次学习表现：□超赞、填一填，写出正确的名称。 □不错□ 加油

※学习目标三：认识角柱、椎体的组成。、填一瑱。形体名称底面形状底面个数侧面个数边的个数顶点个数四角椎三角锥形体名称底面个数侧面个数边的个数顶点个数角柱角锥

认识角柱、椎体的组成 1)右边是一个( 2)() 个底面 3)() 个侧面 4)() 个顶点 5)() 条边。 ) 的形体。 1)右边是一个() 的形体。 2)() 个底面。 3)() 个侧面。 4)() 个顶点。 5)() 条边。 1)右边是一个() 的形体。 2)() 个底面。 3)() 个侧面。 4)() 个顶点。 5)() 条边。自我评量：□难不倒我□大致了解□再教一次学习表现：□超赞□不错□ 加油

空间几何体_柱体锥体台体和球的概念

10.1 空间几何体——柱体、锥体、台体和球的概念【知识网络】 1、棱柱、棱锥、棱台的几何特征，它们的形成特点及平移的概念，简单作图方法。 2、圆柱、圆锥、圆台、球及简单几何体的几何特征，它们的形成特点和画法。 3、简单几何体的形状，善于将复杂的几何体转化为简单的几何体。解决棱台的有关问题时，注意联系棱锥的性质；在画棱柱、棱锥、棱台时，注意做到实虚分明。 4、识别一些复杂几何体的组成情况，注意球与球面，多面体与旋转体的区别。了解处理旋转体的有关问题一般作出轴截面，然后在轴截面中去寻找各元素的关系。【典型例题】例1：（1）在棱柱中（） A ．只有两个面平行 B ．所有的棱都平行 C ．所有的面都是平行四边形 D ．两底面平行，且各侧棱也互相平行答案：D 。解析：由棱柱的概念知。（2）一个棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为4∶9，则此棱锥的侧棱被分成上下两部分之比为（） A ．4∶9 B ．2∶1 C ．2∶3 D ．2∶5 答案：B 。解析：截得小棱锥与原棱锥的侧棱之比为2：3，故此棱锥的侧棱被分成上、下两部分之比为2：1。（3）在Rt △ABC 中，∠C=90°，4,3==b a ，则以斜边c 所在直线为轴可得旋转体，当用一个平面垂直于斜边去截这个几何体时，所得截面圆的直径的最大值是（） A 、 512 B 、5 24 C 、5 D 、10 答案：B 。解析：最大截面圆的直径为Rt △ABC 斜边上高的2倍。（4）填表

（5角为120°，若要光源恰好照亮整个广场，则光源的高度应为____________．答案： m 310。解析：作出圆锥的轴截面：光源高度30/tan 60h == 。例2：在三棱锥P —ABC 中，PA=PB=PC=2，∠APB=∠BPC=∠APC=30°，一只蚂蚁从A 点出发沿四面体表面绕一周，再回到A 点，问蚂蚁经过的最短路程是多少？答案：解：如图⑴三棱锥P —ABC ，沿棱PA 展开得图⑵，蚂蚁经过的最短路程应是A A '，又∵∠APB=∠BPC=∠APC=30°，∴A A '=22。 ⑴ ⑵ 例3：试画出图形并加以说明，正方体的截面可能是什么图形？若正方体的棱长为1，当截面边数最少时截面的最大面积是多少？答案：正方体的截面可能是三角形及其内部、四边形及其内部、五边形及其内部、六边形及其内部. 当截面边数最少时截面的最大面积是 2 3 . 例4：如图（1）是一个半径为3，圆心角为120°的扇形，现将它卷成一个圆锥，沿虚线粘好如图（2），求圆锥的底面圆半径。（1）（2）答案：由于扇形恰好卷成一个圆锥，扇形的弧长AB 即为圆锥底面的圆周长，设圆锥的底面圆半径为 r ，则=r π2圆弧AB ，在扇形中，由于∠AOB=120°，故圆弧AB 即是半径为3的圆周长的3 1 ，∴圆弧AB=ππ2323 1=??r 。∴=r π22π，故r =1 A C B A A ' B C A A O 3 120

柱体、锥体、台体的体积教案

柱体、锥体、台体的体积教案二课时柱体、锥体、台体的体积教学目标．知识与技能了解几何体体积的含义，以及柱体、锥体与台体的体积公式. 熟悉台体与柱体和锥体之间体积的转换关系. 培养学生空间想象能力和思维能力. ．过程与方法让学生通过对照比较，理顺柱体、锥体、台体之间的体积关系. 通过相关几何体的联系，寻找已知条件的相互转化，解决一些特殊几何体体积的计算. ．情感、态度与价值观通过柱体、锥体、台体体积公式之间的关系培养学生探索意识. 教学重点、难点重点：柱体、锥体、台体的体积计算. 难点：简单组合体的体积计算. 教学方法讲练结合

教学环节教学内容师生互动设计意图新课导入1．复习柱体、锥体、台体表面积求法及相互关系.教师设问，学生回忆师：今天我们共同学习柱体、锥体、台体的另一个重要的量：体积.复习巩固点出主题探索新知柱体、锥体、台体的体积．柱体、锥体、台体的体积公式： V柱体=Sh V锥体= V台体=2．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系师：我们已经学习了正方体，长方体以及圆柱的体积公式，它们的体积公式是什么？生：V=Sh 师：这个公式推广到一般柱体也成立，即一般柱体体积.公式：V=Sh 师：锥体包括圆锥和棱锥，锥体的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离.锥体的体积公式都是V= 师：现在请对照柱体、锥体体积公式你发现有什么结论. 生：锥体体积同底等高的柱体体积的. 师：台体的结构特征是什么？生：台体是用平行于锥体底面的平面去截锥体，截得两

平行平面间的部分. 师：台体的体积大家可以怎样求？生：台体的体积应该等于两个锥体体积的差. 师：利用这个原理我们可以得到台体的体积公式 V= 其中S′、S分别为上、下底面面积，Q为台体的高师：现在大家计论思考一下台体体积公式与柱体、锥体的体积公式有什么关系？生：令S′=0，得到锥体体积公式. 令S′=S，得到柱体体积公式.柱体、锥体、台体的体积公式只要求了解，故采用讲授式效率会更高. 因台体的体积公式的推导需要用到后面知识，故此处不予证明，只要学生了解公式及公式的推导思路.培养探索意识，加深对空间几何体的了解和掌握. 典例分析例1有一堆规格相同的铁制六角螺帽共重5.8g，已知底面是正六边形，边长为12c，内孔直径为10，高为10，问这堆螺帽大约有多少个？解：六角螺帽的体积是六棱柱体积与圆柱体积的差，即≈2956=2.956 所以螺帽的个数为 8×1000÷≈252 答：这堆螺帽大约有252个.师：六角螺帽表示的几何

椎体体积与柱体体积

補充教材為什麼是三分之ㄧ？范志軒編輯常常聽到在幾何學上，有所謂「錐體的體積恰好是柱體體積的三分之一」。正確地說，這句話是指：「不論是角錐或圓錐，它們的體積皆等於相對角柱與圓柱體積的三分之ㄧ」。真是奇怪極了，為什麼剛好是三分之一？現在讓我們從幾何學的角度，來聊聊這個問題。不過為了避免混淆，先讓我們對錐體與柱體下定義： A.角柱：多面體中有兩平面全等且平行，其餘都是平行四邊形，則由這些面所成的封閉多面體稱為角柱，兩個平行的面稱為角柱的底面，其餘各面稱為角柱的側面，兩個側面的公共邊稱為角柱的側稜，側面與底面的公共點稱為角柱的頂點，而兩個底面的垂直距離稱為角柱的高。 B.圓柱：以矩形的一邊所在的直線為旋轉軸，其餘各邊旋轉而形成的曲面所圍成的幾何體稱為直圓柱。 C.角錐：在多面體中，有一面是多邊形，其餘各面是共用一個頂點的三角形，這樣的多面體稱為角錐，亦稱稜錐。其中的多邊形面稱為角錐的底面，其餘各面稱為角錐的側面，而各側面的公共頂點稱為角錐的頂點，頂點到底面的距離稱為角錐的高。 D.圓錐：以直角三角形的一股所在的直線為旋轉軸，其餘各邊旋轉形成的曲面所圍成的幾何體稱為直圓錐。

接下來，引進公設與引理：(所謂公設，是指不證自明的原理) 公設1. 卡瓦萊利原理(Cavalieri's principle) (又稱劉祖原理、體積公設)：具有相同高度且每一個橫截面的截面積均相等之幾何體有相同的體積。 ( 所有等高處橫截面積相等的兩個同高立體，其體積也必然相等 ) 這就像是兩個身高一樣，體型不同的人，如果做斷層掃描時所得到的每一個截面面積都相同(形狀可以不同)，那麼，這兩個人一定具有相同體積。引理1. 錐體底面積和任何平行底面之截面積比等於對應高的平方比。證明：(1) 若錐體是角錐體時，以三角錐說明，其餘以此類推：在右圖中，OH 是三角錐ABC O -的高，因為ABC ?與'''A B C ?平行，所以AB 平行''A B ，HB 平行''H B ，故 1 2 ''''''h A B OB H B OH h AB OB HB OH ====，又因為相似三角形面積比等於對應邊長的平方比，

柱体与椎体习题

柱体与锥体姓名： ※学习目标一：能分辨柱体与椎体。〈〉〈〉〈〉〈〉〈〉〈〉 ●●●● ●●●● 三角锥圆柱圆锥六角柱一、选一选，柱体在〈ˇ〉，椎体在﹙○﹚。哈啰，我是猪宝宝，告诉小朋友 “柱体”－有上下两个底面，侧面是1至多面的长方形！ “椎体”－只有一个底面，侧面都是三角形！二、连一连。

（1）右边的形体是一个( )，它有( )个底面，( )个侧面，（）条边，（）顶点（2）右边的形体是一个( )，它有( )个底面，( )个侧面，（）条边，（）顶点（3）右边的形体是一个( )，它有( )个底面，( )个侧面，（）条边，（）顶点（4）右边的形体是一个( )，它有( )个底面，( )个侧面，（）条边，（）顶点（5）（6）一、填一填。（）（）（）（）（）（）（）（）（）

〈〉〈〉〈〉〈〉〈〉〈〉〈〉〈〉〈〉自我评量：□难不倒我□大致了解□再教一次一、选一选，是柱体展开图在〈ˇ〉，椎体在﹙○﹚。二、填一填，写出正确的名称。

形体名称底面形状底面个数侧面个数边的个数顶点个数四角柱三角柱形体名称底面形状底面个数侧面个数边的个数顶点个数四角椎三角锥形体名称底面个数侧面个数边的个数顶点个数角柱一、填一瑱。

1 2 3 ※学习目标二：认识角柱、椎体的组成。自我评量：□难不倒我 □大致了解 □再教一次一、填一填。（1）右边是一个( ) 的形体。（2）( )个底面。（3）( )个侧面。（4）( )个顶点。（5）( )条边。（1）右边是一个( ) 的形体。（2）( )个底面。（3）( )个侧面。（4）( )个顶点。（5）( )条边。（1）右边是一个( ) 的形体。（2）( )个底面。（3）( )个侧面。（4）( )个顶点。（5）( )条边。

柱体、锥体的性质

柱体、锥体的习题棱柱的性质：（1）棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等，直棱柱的各个侧面都是矩形，正棱柱的侧面都是全等的矩形。（2）与底面平行的截面是与底面对应边互相平行的全等多边形。（3）过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形。平行六面体的性质：（1）平行六面体的任何一个面都可以作为底面；（2）平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平行；（3）平行六面体的四条对角线的平方和等于各棱的平方和；（4）长方体的一条对角线的平方等于各棱的平方和。例1、（1）求证：若长方体一条对角线与同一顶点的三条棱所成的角为αβγ、、，则222cos cos cos 1αβγ++= （2）求证：若长方体一条对角线与同一顶点的三个侧面所成的角为αβγ、、，则222cos cos cos 2αβγ++= 棱锥的性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高和已知棱锥的高的平方比。正棱锥的性质：（1）各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，斜高都相等。（2）正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形；正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形。例2：已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 上的射影为BC 的中心，求异面直线AB 与CC 1所成的角的余弦值。练习：具有下列哪些性质的三棱锥必定是正三棱锥。

（1）顶点在底面上的射影到底面各顶点的距离相等；（2）侧面是等腰三角形；（3）底面三角形的各边分别与相对的侧棱垂直；（4）底面是正三角形，并且与侧面所成的二面角都相等。正六棱锥的底面边长为24，侧面与底面所成角为60°，求：（1）棱锥的高；（2）斜高；（3）侧棱长，（4）侧棱与底面所成的角。圆柱圆柱是以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体。圆柱的特征：（1）两底面互相平行；（2）侧面的母线平行于圆柱的轴；（3）沿母线剪开平展成一个矩形，其中矩形的一边长为底面圆的周长。圆锥：圆锥是以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体。特征：底面是圆；顶点到底面的垂线必过圆心；沿母线剪开平展成一个扇形，扇形的半径长为母线长，弧长为底面圆的周长。球：球是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体。球心到球面上各点的距离相等；球的截面性质：用一个平面去截球，截面是圆；球心到截面的圆心的连线垂直于截面；球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面的半径r ，有下面的关系：222d R r =-

柱体、锥体、台体的表面积和体积教学设计

范例：以新课标教材人民教育出版社A版(2004年)必修2《1．3．1 柱体、锥体、台体的表面积与体积》一、教学目标 1．知识与技能 (1)通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法。 (2)能运用公式求解柱体、锥体和台体的体积，并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系。 (3)培养学生空间想象能力和思维能力。 2．过程与方法 (1)让学生经历几何体的侧面展开过程，感知几何体的形状。 (2)让学生通过对照比较，理顺柱体、锥体、台体三者间的面积和体积的关系。 (3)在解决问题的过程中渗透化归的数学思想，培养学生通过化归解决问题的能力和意识，体验合情推理的方法和作用。(在解决后面的问题时能主动用化归思想。) 3．情感、态度与价值观 (1)通过学习，使学生感受到几何体面积和体积的求解过程对自己空间思维能力的影响，从而增强学习的积极性。 (2)培养学生质疑的意识，以促进学生思维严谨性的形成。(学生并不习惯于质疑，可以通过教师的质疑逐步引导，培养理性的精神。) 二、学情分析学生已具备一些直观的对简单几何体的认识，理性思维还不很成熟，所以在实际教学时，要使学生对已有知识经验的认识上升到新的高度，从而激发学生进一步学习的欲望。三、教材分析 1．本节的作用和地位本节内容是高中的一个重要内容，它能使学生的认识在理性方面有所提高，通过本节内容的学习可使学生掌握一种重要的数学思想方法——化归，因此本节内容十分重要。 2．本节主要内容该部分内容中有一些是学生熟悉的，比如正方体、长方体、圆柱、圆锥的表面积和体积。其他空间几何体——一般棱柱、棱锥、棱台和圆台的表面积、体积问题是本课时要解决的。在解决这些问题的过程中，首先要对学生已有的知识进行再认识，提炼出解决问题的一般思想——化归的思想，总结出一般的求解方法，在此基础上通过类比获得解决新问题的思路，通过化归解决问题，深化对化归、类比等思想方法的应用，这也是学习下一章内容时要用的基本方法。 3．重点、难点分析在解决具体问题时，要用相似三角形求得线段的长，这是本课时的难点。特别是对于基础比较好的学生，如果要完成教材旁白中所说的证明棱台的体积公式，其难度也是比较大的。