7 第7讲 定积分与微积分基本定理

第7讲 定积分与微积分基本定理

1．定积分的概念

在??a

b f (x )dx 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积

函数，x 叫做积分变量，f (x )dx 叫做被积式． 2．定积分的几何意义

设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续且恒有f (x )≥0，则定积分??a

b f (x )dx 表示由直线x ＝a ，x ＝

b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积． 3．定积分的性质

(1)??a b kf (x )dx ＝k ??a

b f (x )dx (k 为常数)；

(2)??a b [f 1(x )±f 2(x )]dx ＝??a b f 1(x )dx ±??a

b f 2(x )dx ；

(3)??a

b f (x )dx ＝??a

c f (x )dx ＋??c

b f (x )dx (其中a <

c

4．微积分基本定理

一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么??a

b f (x )dx ＝F (b )－F (a )，这

个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼茨公式． 其中F (x )叫做f (x )的一个原函数．

为了方便，常把F (b )－F (a )记作F (x )???b a ，即??a

b f (x )dx ＝F (x )???b

a ＝F (

b )－F (a )．

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续，则??a b f (x )dx ＝??a

b f (t )dt .( )

(2)若f (x )是偶函数，则??－a a f (x )dx ＝2??0

a f (x )dx .( )

(3)若f (x )是奇函数，则??－a

a f (x )dx ＝0.( )

(4)曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的区域面积是??0

1(x 2－x )dx .( )

答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)× ??0

1e x dx 的值等于( )

A ．e

B ．1－e

C ．e －1 D.1

2

(e －1)

解析：选C.??0

1e x dx ＝e x |10＝e 1－e 0＝e －1.

如图，函数y ＝－x 2＋2x ＋1与y ＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是( )

A ．1 B.4

3

C. 3

D ．2

解析：选B .由?

????y ＝－x 2＋2x ＋1，

y ＝1，得x 1＝0，x 2＝2.

所以S ＝??

2(－x 2＋2x ＋1－1)dx ＝

??0

2(－x 2＋2x )dx ＝

????－x 3

3＋x 2|20＝－83＋4＝43

.

若∫π

2

0(sin x －a cos x )dx ＝2，则实数a 等于________． 解析：由题意知(－cos x －a sin x )|π

2

0＝1－a ＝2，a ＝－1. 答案：－1

设f (x )＝????

?x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈（1，e ](e 为自然对数的底数)，

则??0

e f (x )dx 的值为________．

解析：因为f (x )＝????

?x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈（1，e ]，

所以??0

e f (x )dx ＝??0

1x 2dx ＋??1

e 1

x

dx

＝13x 3???10＋ln x ???e 1＝1

3＋ln e ＝43. 答案：43

定积分的计算

[典例引领]

利用微积分基本定理求下列定积分： (1)??1

2(x 2＋2x ＋1)dx ；

(2)??0π(sin x －cos x )dx ；

(3)??02|1－x |dx ； (4)??1

2?

???e 2x ＋1x dx . 【解】 (1)??1

2(x 2＋2x ＋1)dx

＝??12x 2dx ＋??1

22xdx ＋??1

21dx

＝x 33???21＋x 2???2

1＋x ???2

1＝193. (2)??0

π(sin x －cos x )dx

＝??0π

sin xdx －??0

π

cos xdx ＝(－cos x )???π0－sin x ???

π

0＝2.

(3)??02|1－x |dx ＝??01(1－x )dx ＋??1

2(x －1)dx

＝????x －12x 2|10＋???

?12x 2－x |2

1 ＝????1－12－0＋????12×22－2－????1

2×12－1＝1. (4)??1

2????e 2x ＋1x dx ＝??1

2e 2x dx ＋??1

21x

dx ＝12e 2x ???21＋ln x ???21＝1

2e 4－12e 2＋ln 2－ln 1 ＝12e 4－1

2

e 2＋ln 2.

若本例(3)变为“??0

3|x 2－1|dx ”，试求之．

解：??0

3|x 2－1|dx

＝??01(1－x 2)dx ＋??1

3(x 2－1)dx

＝????x －13x 3???10＋????13x 3－x ???3

1 ＝????1－13＋????6＋23＝223

.

计算定积分的解题步骤

(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差． (2)把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分． (3)分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数．

(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值，然后求其代数和．

[通关练习]

1.??－1

1e |x |dx 的值为( )

A ．2

B ．2e

C ．2e －2

D ．2e ＋2

解析：选C.??－1

1e |x |dx ＝?

?－1

0e －

x dx ＋??0

1e x dx

＝－e －

x |0－1＋e x |1

＝[－e 0－(－e)]＋(e －e 0) ＝－1＋e ＋e －1＝2e －2，故选C .

2．若??0

1(x 2＋mx )dx ＝0，则实数m 的值为( )

A ．－13

B ．－23

C ．－1

D ．－2

解析：选B.由题意知??

1(x 2＋mx )dx ＝

????x 3

3＋m x 2

2|1

0＝13＋m 2＝0，得m ＝－23

. 3．(2018·泉州模拟)??0

1?

???1－x 2＋1

2x dx ＝________． 解析：??0

1????1－x 2＋12x dx ＝??0

11－x 2dx ＋??0

112xdx ，??0

112

xdx ＝1

4，??0

11－x 2dx 表示四分之一单位圆的面积，为π

4，所以结果是π＋14.

答案：π＋1

4

利用定积分计算平面图形的面积(高频考点)

利用定积分计算平面图形的面积是近几年高考考查定积分的一个重要考向；主要以选择题、填空题的形式出现，一般难度较小．高考对定积分求平面图形的面积的考查有以下两个命题角度：

(1)根据条件求平面图形的面积； (2)利用平面图形的面积求参数．

[典例引领]

角度一 根据条件求平面图形的面积

(2018·新疆第二次适应性检测)由曲线y ＝x 2＋1，直线y ＝－x ＋3，x 轴正半轴与y 轴

正半轴所围成图形的面积为( ) A ．3 B.103 C.7

3

D.83

【解析】 由题可知题中所围成的图形如图中阴影部分所示，

由?????y ＝x 2＋1y ＝－x ＋3，解得?????x ＝－2y ＝5(舍去)或?

????x ＝1，

y ＝2，即A (1，2)，结合图形可知，所求的面积为??01

(x 2＋1)dx ＋12×22＝????13x 3＋x |10＋2＝10

3

，选B .

【答案】 B

角度二 利用平面图形的面积求参数

已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，

且x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为1

12

，则a 的值为________．

【解析】 f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，因为f ′(0)＝0，所以b ＝0，所以f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a ＜0)．S 阴影＝－??a

0(－x 3＋ax 2)dx ＝

112a 4＝1

12

，所以a ＝－1. 【答案】 －1

用定积分求平面图形面积的四个步骤