2017年上海市普通高等学校春季高考数学试卷

2017年全国普通高等学校春季招生统一考试

上海卷数学

考生注意:

1. 答卷前, 考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚, 并在规定的区域内贴上条形码.

2. 本试卷共有23道试题, 满分150分. 考试时间20分钟.

一. 真空题（本大题满分54分）本大题有12题, 考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果, 第1~6题每题4分, 第7~12题每题5分, 每个空格填对得分, 否则一律得零分. 1. 设集合{1,2,3}A =, 集合{3,4}B =, 则A B =U ________. ; 2. 不等式|1|3x -<的解集为________. ;

3. 若复数z 满足2136z i -=+（i 是虚数单位）, 则z =________. ;

4. 若1cos 3a =

, 则sin()2

p

a -=________. ; 5. 若关于x 、y 的方程组24

36x y x ay ì?+=?í

?+=??

无解, 则实数a =________. ; 6. 若等差数列{}n a 的前5项的和为25, 则15a a +=________. ;

7. 若P 、Q 是圆222440x y x y +-++=上的动点, 则||PQ 的最大值为________. ; 8. 已知数列{}n a 的通项公式为3n n a =, 则123lim

n

n n

a a a a a

+++鬃?=________. ;

9. 若2

()n x x

+的二项展开式的各项系数之和为729, 则该展开式中常数项的值为________. ;

10. 设椭圆2

212

x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F , 点P 在该椭圆上, 则使得△12F F P 是等腰三角形的点

P 的个数是________. ;

11. 设1a 、2a 、…、6a 为1.2. 3.4. 5.6的一个排列, 则满足1234||||a a a a -+-+56||3a a -=的不同排列的个数为________. ;

12. 设a 、b R ?, 若函数()a

f x x b x

=++在区间(1,2)上有两个不同的零点, 则(1)f 的取 值范围为________. ;

二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题, 每题有且只有一个正确答案, 考生应在答题纸的相应编号上, 将代表答案的小方格涂黑, 选对得5分, 否则一律得零分. 13. 函数2()(1)f x x =-的单调递增区间是（）

A. [0,)+?

B. [1,)+?

C. (,0]-?

D. (,1]-?

14. 设a R ?,“0a >”是“1

0a

>”的（）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要

15. 过正方体中心的平面截正方体所得的截面中, 不可能的图形是（）

A. 三角形

B. 长方形

C. 对角线不相等的菱形

D. 六边形

16. 如图所示, 正八边形12345678A A A A A A A A 的边长为2, 若P 为该正八边形边上的动点, 则131A A A P ×uuu u r uuu r

的取值范围为（）

A. [0,8+

B. [8-+________.

C. [8-- D . [88--+

三. 解答题（本大题满分76分）本大题共5题, 解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤

17. 如图, 长方体1111A BCD A B C D -中, 2AB BC ==, 13A A =; （1）求四棱锥1A ABCD -的体积; （2）求异面直线1A C 与1DD 所成角的大小;

18. 设a R ?, 函数2()21

x x a

f x +=

+; （1）求a 的值, 使得()f x 为奇函数; （2）若2

()2

a f x +<对任意x R ?成立, 求a 的取值范围;

19. 某景区欲建造两条圆形观景步道1M 、2M （宽度忽略不计）, 如图所示, 已知A B A C ^,

60AB AC AD ===（单位: 米）, 要求圆1M 与AB 、AD 分别相切于点B 、D , 圆2M 与AC 、AD 分

别相切于点C 、D ; （1）若60BA D

°?, 求圆1M 、2M 的半径（结果精确到0.1米）

（2）若观景步道1M 与2M 的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元, 如何设计圆1M 、2M 的大小, 使总造价最低?最低总造价是多少?（结果精确到0.1千元）

20. 已知双曲线2

2

2:1y x b

G -=(0)b >, 直线:l y kx m =+(0)km 1, l 与G 交于P 、

Q 两点, P ￠为P 关于y 轴的对称点, 直线P Q ￠

与y 轴交于点(0,)N n ; （1）若点(2,0)是G 的一个焦点, 求G 的渐近线方程;

（2）若1b =, 点P 的坐标为(1,0)-, 且32

NP P Q =ⅱuuu u r uuur

, 求k 的值;

（3）若2m =, 求n 关于b 的表达式;

21. 已知函数21()log 1x

f x x

+=-;

（1）解方程()1f x =;

（2）设(1,1)x ?, (1,)a ??, 证明:

1(1,1)ax a x -?-, 且11

()()()ax f f x f a x a

--=--; （3）设数列{}n x 中, 1(1

,1)x ?, 1131

(1)3n n n n

x x x ++-=--, *n N ?, 求1x 的取值范围, 使 得3n x x 3对任意*n N ?成立;

2017年上海春考数学参考答案

第一部分、填选

第二部分、简答题（本大题共5题, 共14+14+14+16+18=76分）

17. （1）4. （2

）18. （1）a=﹣1. （2）[0, 2].

19. （12分）某景区欲建造两条圆形观景步道M1. M2（宽度忽略不计）, 如图所示, 已知AB ⊥AC, AB=AC=AD=60（单位: 米）, 要求圆M1与AB, AD 分别相切于点B, D, 圆M2与AC, AD 分别相切于点C, D;

（1）若∠BAD=60°, 求圆M1. M2的半径（结果精确到0.1米）

（2）若观景步道M1与M2的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元, 如何设计圆M1. M2的大小, 使总造价最低?最低总造价是多少?（结果精确到0.1千元）

解: （1）M1半径=60tan30°≈34.6, M2半径=60tan15°≈16.1;

（2）设∠BAD=2α, 则总造价y=0.8?2π?60tan α+0.9?2π?60tan （45°﹣α）, 设1+tan α=x, 则y=12π?（8x+

﹣17）≥84π,

当且仅当x=, tan α=时, 取等号, ∴M1半径30, M2半径20, 造价42.0千元. 20. （12分）已知双曲线

（b 》0）, 直线l: y=kx+m （km ≠0）, l 与Γ交于P, Q 两点, P

‘为P 关于y 轴的对称点, 直线P ’Q 与y 轴交于点N （0, n ）; （1）若点（2, 0）是Γ的一个焦点, 求Γ的渐近线方程;

（2）若b=1, 点P 的坐标为（﹣1, 0）, 且, 求k 的值;

（3）若m=2, 求n 关于b 的表达式. 解: （1）∵双曲线

（b 》0）, 点（2, 0）是Γ的一个焦点,

∴c=2, a=1, ∴b2=c2﹣a2=4﹣1=3,

1

2

3

4

5 6

{1,2,3,4} (2,4)- 23i -

1

3-

6

10

7 8 9 10

11 12

2

32 160 6 48 (0,1)

13 14 15 16 B

C

A

B

∴Γ的标准方程为: =1, Γ的渐近线方程为. （2）∵b=1, ∴双曲线Γ为: x2﹣y2=1, P（﹣1, 0）, P′（1, 0）, ∵=, 设Q（x2, y2）, 则有定比分点坐标公式, 得:

, 解得, ∵, ∴,

∴=.

（3）设P（x1, y1）, Q（x2, y2）, kPQ=k0,

则,

由, 得（b2﹣k2）x2﹣4kx﹣4﹣b2=0,

, ,

由, 得（）x2﹣2k0nx﹣n2﹣b2=0,

﹣x1+x2=, ﹣x1x2=,

∴x1x2==, 即, 即=, ====,

化简, 得2n2+n（4+b2）+2b2=0, ∴n=﹣2或n=,

当n=﹣2, 由=, 得2b2=k2+k02,

由, 得,

即Q （, ）, 代入x2﹣=1, 化简, 得:

, 解得b2=4或b2=kk0,

当b2=4时, 满足n=

,

当b2=kk0时, 由2b2=k2+k02, 得k=k0（舍去）, 综上, 得n=.

21. （12分）已知函数f （x ）=log2;

（1）解方程f （x ）=1;

（2）设x ∈（﹣1, 1）, a ∈（1, +∞）, 证明:

∈（﹣1, 1）, 且f （）﹣f （x ）=﹣f （）;

（3）设数列{xn}中, x1∈（﹣1, 1）, xn+1=（﹣1）n+1, n ∈N*, 求x1的取值范围, 使得x3≥xn

对任意n ∈N*成立. 解: （1）∵f （x ）=log2=1, ∴

=2, 解得

;

令g （x ）=

,

21()a g x a x a

-=-+

-

∵a ∈（1, +∞）, ∴g （x ）在（﹣1, 1）上是增函数,

又g （﹣1）=, g （1）=

=1,

∴﹣1《g （x ）《1, 即

∈（﹣1, 1）.

∵f （x ）﹣f （）=log2﹣log2=log2﹣log2

=log2（）=log2,

f （）=log2=log2.

∴f （）=f （x ）﹣f （）, ∴f （）﹣f （x ）=﹣f （）.

（3）∵f （x ）的定义域为（﹣1, 1）,