常用完全平方数
凑十法口诀
一九一九好朋友【1、9】，二八二八手拉手【2、8】，
三七三七真亲密【3、7】，四六四六一起走【4、6】，
五五五五一双手【5、5】。
拆分法与破十法
破十法：加九减一，加八减二，加七减三，加六减四，加五见五
数字拆分法
9+6=9+（1+5）=（9+1）+5=15
8+5=8+（2+3）=（8+2）+3=13
一五6，二四6，三三6，四二6，五一6；6的组成没遗漏。
一六7，二五7，三四7，四三7，五二7，六一7；7的组成记仔细。
一七8，二六8，三五8，四四8，五三8，六二8，七一8；8的组成记全它。
一八9，二七9，三六9，四五9，五四9，六三9，七二9，八一9； 9的组成全都有。一九10，二八10，三七10，四六10，五五10，六四10，七三10，八二10，九一10；10的组成共九句。
常用完全平方数：
12=122=4 32=9 42=16 52=25
62=36 72=49 82=64 92=81102=100
112=121122=144 132=169 142=196 152=225
162=256 172=289 182=324 192=361202=400
11 X2=22 11 X3=33
12 X2=24 12 X3=36
13 X2=26 13 X3=39
14 X2=28 14 X3=52
15 X2 =30 15 X3=45
16 X2=32 16 X3=48
17 X2=34 17 X3=51
18 X2=36 18 X3=54
19 X2=38 19 X3=57
20以内减法口诀表
20以内加法口诀表
大九九乘法口诀表（19X19）（有兴趣有余力的尝试一下）
1乘的乘法有:
1X1=1 1X2=2 1X3=3 1X4=4 1X5=5 1X6=6 1X7=7 1X8=8 1X9=9 1X10=10 1X11=11 1X12=12 1X13=13 1X14=14 1X15=15 1X16=16 1X17=17 1X18=18 1X19=19
2乘的乘法有:
2X2=4 2X3=6 2X4=8 2X5=10 2X6=12 2X7=14 2X8=16 2X9=18 2X10=20 2X11=22 2X12=24
2X13=26 2X14=28 2X15=30 2X16=32 2X17=34 2X18=36 2X19=38
3乘的乘法有:
3X3=9 3X4=12 3X5=15 3X6=18 3X7=21 3X8=24 3X9=27 3X10=30 3X11=33 3X12=36
3X13=39 3X14=42 3X15=45 3X16=48 3X17=51 3X18=54 3X19=57
4乘的乘法有:
4X4=16 4X5=20 4X6=24 4X7=28 4X8=32 4X9=36 4X10=40 4X11=44 4X12=48 4X13=52
4X14=56 4X15=60 4X16=64 4X17=68 4X18=72 4X19=76
5乘的乘法有:
5X5=25 5X6=30 5X7=35 5X8=40 5X9=45 5X10=50 5X11=55 5X12=60 5X13=65 5X14=70 5X15=75 5X16=80 5X17=85 5X18=90 5X19=95
6乘的乘法有:
6X6=36 6X7=42 6X8=48 6X9=54 6X10=60 6X11=66 6X12=72 6X13=78 6X14=84 6X15=90 6X16=96 6X17=102 6X18=108 6X19=114
7乘的乘法有:
7X7=49 7X8=56 7X9=63 7X10=70 7X11=77 7X12=84 7X13=91 7X14=98 7X15=105
7X16=112 7X17=119 7X18=126 7X19=133
8乘的乘法有:
8X8=64 8X9=72 8X10=80 8X11=88 8X12=96 8X13=104 8X14=112 8X15=120 8X16=128
8X17=136 8X18=144 8X19=152
9乘的乘法有:
9X9=81 9X10=90 9X11=99 9X12=108 9X13=117 9X14=126 9X15=135 9X16=144 9X17=153 9X18=162 9X19=171
10乘的乘法有:
10X10=100 10X11=110 10X12=120 10X13=130 10X14=140 10X15=150 10X16=160
10X17=170 10X18=180 10X19=190
11乘的乘法有:
11X11=121 11X12=132 11X13=143 11X14=154 11X15=165 11X16=176 11X17=187 11X18=198 11X19=209
12乘的乘法有:
12X12=144 12X13=156 12X14=168 12X15=180 12X16=192 12X17=204 12X18=216 12X19=228
13乘的乘法有:
13X13=169 13X14=182 13X15=195 13X16=208 13X17=221 13X18=234 13X19=247 14乘的乘法有:
14X14=196 14X15=210 14X16=224 14X17=238 14X18=252 14X19=266
15乘的乘法有:
15X15=225 15X16=240 15X17=255 15X18=270 15X19=285
16乘的乘法有:
16X16=256 16X17=272 16X18=288 16X19=304
17乘的乘法有:
17X17=289 17X18=306 17X19=323
18乘的乘法有:
18X18=324 18X19=342
19乘的乘法有:
19X19=361
完全平方数整理
完全平方数 一、完全平方数常用性质 1.主要性质 1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。 2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。 3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。 4.若质数p 整除完全平方数2a ，则p 能整除a 。 2.重点公式回顾：平方差公式：22()()a b a b a b -=+- 模块一、完全平方数基本性质和概念 基础练习、指出下列哪些是平方数？ 1156，5487，5329，8008。 1． 在3240,8972,2116，2475,2400这五个数中，哪几个是完全平方数？ 2.正整数的平方按大小排成1 4 9 16 25 36 49 …,那么第85 个位置上的数字是几 【例 1】 写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数． 1、在50～400中，有多少个平方数？ 2、在50～761中有多少个平方数？ 例题精讲 知识点拨
3、123×134的积是平方数吗？ 4、一个数的完全平方有39个约数，求该数的约数个数是多少？ 【例2】从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？ 【巩固】1016与正整数a的乘积是一个完全平方数，则a的最小值是________． 2、46035乘以一个自然数a，积是一个整数的平方，求最小的a及这个整数。 3、已知3528a恰是自然数b的平方数，a的最小值是。 【例3】已知自然数n满足：12!除以n得到一个完全平方数，则n的最小值是。 1、（04南京冬令营）一个数与2940的积是完全平方数，那么这个数最小是（）。 2、（03甘肃冬令营）祖孙三人，孙子和爷爷的年龄的乘积是1512，而爷爷、父亲、孙子三人的年龄之积是完全平方数，则父亲的年龄是（）岁。 3.求一个能被180整除的最小完全平方数. 【例4】一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？ 1、能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？ 2、三个自然数，它们都是完全平方数，最大的数减去第二大的数的差为80，第二大的数减去最小的数的 差为60，求这三个数． 3、一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。
完全平方数
一、 求任一整数约数的个数 一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。 如:1400严格分解质因数之后为 32257??，所以它的约数有(3+1)×(2+1) ×(1+1)=4×3×2=24个。(包括1和1400本身) 2、 求任一整数的所有约数的和 一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。 如：33210002357=???，所以21000所有约数的和为 2323(1222)(13)(1555)(17)74880++++++++= 二、完全平方数常用性质 1.主要性质 1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。 2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。 3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。 4.若质数p 整除完全平方数2a ，则p 能被a 整除。 5、平方差公式：22()()a b a b a b -=+- 例题精讲 知识点拨
例1、数360的约数有多少个?这些约数的和是多少? 百炼成钢1、 1、126共有几个约数？全部约数和是多少？ 2、240共有几个约数？全部约数和是多少？ 3、324共有几个约数？全部约数和是多少？ 例2、写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数． 百炼成钢2、 1、写出从1到200的自然数中有奇数个约数的数．
2、 1～500中有奇数个约数的数有哪些？ 例3：求只有8个约数且不大于40的自然数。 百炼成钢3： 1、共有8个不同约数，且小于120的自然数有哪些？ 2、有12个不同约数的最小自然数是多少？ 3、有10个不同约数的最小自然数是多少？ 例4：某自然数是4和5的倍数，包括1和它本身在内共有9个约数，这个自然数是多少？
20181213小学奥数练习卷(知识点：完全平方数性质)含答案解析
小学奥数练习卷（知识点：完全平方数性质） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一．选择题（共2小题） 1．老师把一个三位完全平方数的百位告诉了甲，十位告诉了乙，个位告诉了丙，并且告诉三人他们的数字互不相同．三人都不知道其他两人的数是多少，他们展开了如下对话：甲：我不知道这个完全平方数是多少．乙：不用你说，我也知道你一定不知道．丙：我已经知道这个数是多少了．甲：听了丙的话，我也知道这个数是多少了．乙：听了甲的话，我也知道这个数是多少了．请问这个数是（）的平方． A．14B．17C．28D．29 2．已知正整数A分解质因数可以写成A=2α×3β×5γ，其中α、β、γ是自然数．如果A的二分之一是完全平方数，A的三分之一是完全立方数，A的五分之一是某个自然数的五次方，那么α+β+γ的最小值是（） A．10B．17C．23D．31 第Ⅱ卷（非选择题） 二．填空题（共33小题）
3．a1 、a2、…、a10表示10个正整数，取其中的9个数相加，得到一些不同的和：86、87、88、89、90、91、93、94、95，那么a12+a22+…+a102=．4．（1）n为任意大于0的整数，那么2n+2n+1+2n+2+2n+3+2n+4+2n+5除以9的余数是． （2）设2+22+23+…+22015=A，A的各位数字之和为a1，a1的各位数字之和为a2，a2的各位数字之和为a3，…，直到各位数字之和为一位数k，则k=．5．已知四位数满足下面的性质：、、都是完全平方数（完全平方数是指能表示为某个整数平方的数，比如4=22，81=92，则我们就称4、81为完全平方数）．所有满足这个性质的四位数之和为． 6．有些三位数具有下面的性质： （1）去掉百位数字后，剩下的两位数是一个完全平方数； （2）去掉个位数字后，剩下的两位数也是一个完全平方数； 所有满足这些性质的三位数之和为． 7．有A、B、C三个两位数．A是一个完全平方数，而且它的每一位数字都是完全平方数；B是一个质数，而且它的每一位数字都是质数，数字和也是质数； C是一个合数，而且它的每一位数字都是合数，两个数字之差也是合数，并且C介于A、B之间．那么A，B、C这三个数的和是． 8．将2016的四个数字重新编排，组成一个四位完全平方数；那么这个四位完全平方数是． 9．设P是一个平方数．如果q﹣2和q+2都是质数，就称q为P型平方数．例如：9就是一个P型平方数．那么小于1000的最大P型平方数是．10．已知a、b均为小于100的正整数，a﹣2b为质数，且2ab为完全平方数．这样的数对（a、b）有对． 11．五位数是一个完全平方数，那么A+B=． 12．今年是2014年，2014不是完全平方数，但可以将它的各位数字改变顺序，使得到的新四位数是完全平方数，例如1024=322，已知用数字2、0、1、4各一个还能组成另一个四位完全平方数，那么这个新的四位完全平方数是． 13．有这样的正整数n，使得8n﹣7、18n﹣35均为完全平方数．则所有符合要
100以内的平方数与立方数
平方表 平方根平方数平方根平方数平方根平方数平方根平方数 1 1 26 676 51 2601 76 5776 2 4 27 729 52 2704 77 5929 3 9 28 78 4 53 2809 78 6084 4 16 29 841 54 2916 79 6241 5 25 30 900 55 3025 80 6400 6 36 31 961 56 3136 81 6561 7 49 32 1024 57 3249 82 6724 8 64 33 1089 58 3364 83 6889 9 81 34 1156 59 3481 84 7056 10 100 35 1225 60 3600 85 7225 11 121 36 1296 61 3721 86 7396 12 144 37 1369 62 3844 87 7569 13 169 38 1444 63 3969 88 7744 14 196 39 1521 64 4096 89 7921 15 225 40 1600 65 4225 90 8100 16 256 41 1681 66 4356 91 8281 17 289 42 1764 67 4489 92 8464 18 324 43 1849 68 4624 93 8649 19 361 44 1936 69 4761 94 8836 20 400 45 2025 70 4900 95 9025 21 441 46 2116 71 5041 96 9216 22 484 47 2209 72 5184 97 9409 23 529 48 2304 73 5329 98 9604 24 576 49 2401 74 5476 99 9801 25 625 50 2500 75 5625 100 10000
完全平方数的性质
完全平方数及其性质 能表示为某个整数的平方的数称为完全平方数，简称平方数。 例如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289, 324,361,400,441,484,… 观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。 一、平方数有以下性质： 【性质1】完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。 【性质2】奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。 【性质3】如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。 推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。 推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。
【性质4】（1）凡个位数字是5，但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数； （2）末尾只有奇数个“0”的自然数（不包括0本身）不是完全平方数； 100，10000，1000000是完全平方数， 10，1000，100000等则不是完全平方数。 （3）个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。 需要说明的是：个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数一定不是完全平方数，如：11，31，51，74，99，211，454，879等一定不是完全平方数一定不是完全平方数。 但个位数字为1，4，9而十位数字为偶数的自然数不都是完全平方数。如：21，44，89不是完全平方数，但49，64，81是完全平方数。 【性质5】偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。 这是因为 (2k+1)^2=4k(k+1)+1 (2k)^2=4k^2
平方数的性质
平方数的性质 平方数的性质 一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。 例如： 0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441, 484,…观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。 性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。 性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。 证明奇数必为下列五种形式之一： 10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9 分别平方后，得 (10a+1)2=100a2+20a+1=20a(5a+1)+1 (10a+3)2=100a2+60a+9=20a(5a+3)+9 (10a+5)2=100a2+100a+25=20(5a+5a+1)+5 (10a+7) =100a+140a+49=20(5a+7a+2)+9 (10a+9)2=100a2+180a+81=20(5a+9a+4)+1 综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。 性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。 证明已知m 2=10k+6，证明k 为奇数。因为的个位数为6，所以m 的个位数为4或6，于是可设m=10n+4或10n+6。则 10k+6=(10n+4)2=100n2+(8n+1)x10+6 或 10k+6=(10n+6)2=100n2+(12n+3)x10+6 即 k=10+8n+1=2(5+4n)+1 或 k=10+12n+3=2(5+6n)+3 ∴ k 为奇数。 推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。
2018最新五年级奥数.数论.完全平方数(C级).学生版
完全平方数 知识框架 一、完全平方数常用性质 1.主要性质 1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。 2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。 3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。 4.若质数p整除完全平方数2a，则p能被a整除。 2.性质 性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9． 性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数． 性质3：自然数N为完全平方数?自然数N约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质 -，因数出现的次数都是偶数次，所以，如果p是质数，n是自然数，N是完全平方数，且21|n p N 则2|n p N． 性质4：完全平方数的个位是6?它的十位是奇数． 性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个． 性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数． 二、一些重要的推论 1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一 定不是完全平方数。 2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。 3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49， 69，89，16，36，56，76，96。 4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。 5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。 6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。
关于完全平方数和完全平方式
关于完全平方数和完全平方式 试卷：马志刚 姓名：________ 一、知识辅导： （一）、定义 1. 如果一个数恰好是某个有理数的平方，那么这个数叫做完全平方数. 例如0，1，0.36，25 4，121都是完全平方数. 在整数集合里，完全平方数，都是整数的平方. 2. 如果一个整式是另一个整式的平方，那么这个整式叫做完全平方式. 如果没有特别说明，完全平方式是在实数范围内研究的. 例如： 在有理数范围 m 2, (a+b －2)2, 4x 2－12x+9, 144都是完全平方式. 在实数范围 （a+3）2, x 2+22x+2, 3也都是完全平方式. （二）. 整数集合里，完全平方数的性质和判定 1. 整数的平方的末位数字只能是0，1，4，5，6，9.所以凡是末位数字为2，3，7，8的整数必不是平方数. 2. 若n 是完全平方数，且能被质数p 整除, 则它也能被p 2整除.. 若整数m 能被q 整除，但不能被q 2整除, 则m 不是完全平方数. 例如：3402能被2整除，但不能被4整除，所以3402不是完全平方数. 又如：444能被3整除，但不能被9整除，所以444不是完全平方数. （三）. 完全平方式的性质和判定 在实数范围内 如果 ax 2+bx+c (a ≠0)是完全平方式，则b 2－4ac=0且a>0； 如果 b 2－4ac=0且a>0；则ax 2+bx+c (a ≠0)是完全平方式. 在有理数范围内 当b 2－4ac=0且a 是有理数的平方时，ax 2+bx+c 是完全平方式. （四）. 完全平方式和完全平方数的关系 1. 完全平方式（ax+b ）2 中 当a, b 都是有理数时, x 取任何有理数，其值都是完全平方数； 当a, b 中有一个无理数时，则x 只有一些特殊值能使其值为完全平方数. 2. 某些代数式虽不是完全平方式，但当字母取特殊值时，其值可能是完全平方数. 例如： n 2+9, 当n=4时，其值是完全平方数. 所以，完全平方式和完全平方数，既有联系又有区别. （五）. 完全平方数与一元二次方程的有理数根的关系 1. 在整系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中 ① 若b 2－4ac 是完全平方数，则方程有有理数根； ② 若方程有有理数根，则b 2－4ac 是完全平方数. 2. 在整系数方程x 2+px+q=0中 ① 若p 2－4q 是整数的平方，则方程有两个整数根； ② 若方程有两个整数根，则p 2－4q 是整数的平方.
小学奥数：完全平方数及应用(一).专项练习及答案解析
5-4-4.完全平方数及应用（一）.题库 教师版 1. 学习完全平方数的性质； 2. 整理完全平方数的一些推论及推论过程 3. 掌握完全平方数的综合运用。 一、完全平方数常用性质 1.主要性质 1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。 2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。 3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。 4.若质数p 整除完全平方数2a ，则p 能被a 整除。 2.性质 性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9． 性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数． 性质3：自然数N 为完全平方数?自然数N 约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解 中每个质因数出现的次数都是偶数次，所以，如果p 是质数，n 是自然数，N 是完全平方数，且21|n p N -，则2|n p N ． 性质4：完全平方数的个位是6?它的十位是奇数． 性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完 全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个． 性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数． 3.一些重要的推论 1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。 2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。 3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。 4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。 5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。 6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。 7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。 3.重点公式回顾：平方差公式：22()()a b a b a b -=+- 模块一、完全平方数计算及判断 【例 1】 已知：1234567654321×49是一个完全平方数，求它是谁的平方? 【考点】完全平方数计算及判断 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 我们不易直接求解，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推(找规律)的方法例题精讲 知识点拨 教学目标 5-4-4.完全平方数及应用（一）
加减,平方,立方1-9次幂常用数据
判定个位数字规律： （1）2的1－9次方个位数字为：2－4－8－6依次循环； （2）3的1－9次方个位数字为：3－9－7－1依次循环； （3）4的1－9次方个位数字为：4－6依次循环； （4）5的任何（非0）次方个位数字均为5； （5）6的任何（非0）次方个位数字均为6； （7）7的1－9次方个位数字为：7－9－3－1依次循环； （8）8的1－9次方个位数字为：8－4－2－6依次循环； （9）9的1－9次方个位数字为：9－1依次循环。 （10）要判定一个数的个位数字是几，只需按照这个数的个位数字的n 次方除以4得出的余数即是这个数的个位数字在次方中的排序位置数字。（11）4的n次方，9的n次方只需除以2即可得出个位数字。 （12）1、5、6的n次方个位数字均为本身。
20以内加法. 5+ 6=11 6+ 6=12 4+ 7=11 5+ 7=12 6+ 7=13 7+ 7=14 3+ 8=11 4+ 8=12 5+ 8=13 6+ 8=14 7+ 8=15 8+ 8=16 2+ 9=11 3+ 9=12 4+ 9=13 5+ 9=14 6+ 9=15 7+ 9=16 8+ 9=17 9+ 9=18 . 20以内减法 11-2=911-3=811-4=711-5=611-6=511-7=411-8=311-9=2 12-3=912-4=812-5=712-6=612-7=512-8=412-9=3 13-4=913-5=813-6=713-7=613-8=513-9=4 14-5=914-6=814-7=714-8=614-9=5 15-6=915-7=815-8=715-9=6. 16-7=916-8=816-9=7. 17-8=917-9=8. 18-9=9. 19-10=9
完全平方数性质
完全平方数的性质 定义：能表示为某个整数的平方的数称为完全平方数，简称平方数。 例如： 0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289, 324,361,400,441,484,… 观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。 一、平方数有以下性质： 【性质1】完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。 【性质2】奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。 【性质3】如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。 推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。 推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。 【性质4】（1）凡个位数字是5，但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数； （2）末尾只有奇数个“0”的自然数（不包括0本身）不是完全平方数； 100，10000，1000000是完全平方数， 10，1000，100000等则不是完全平方数。 （3）个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。 需要说明的是：个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数一定不是完全平方数，如：11，31，51，74，99，211，454，879等一定不是完全平方数一定不是完全平方数。 但个位数字为1，4，9而十位数字为偶数的自然数不都是完全平方数。如：21，44，89不是完全平方数，但49，64，81是完全平方数。 【性质5】偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。 这是因为 (2k+1)^2=4k(k+1)+1 (2k)^2=4k^2 【性质6】奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。
完全平方数和完全平方式
初中数学竞赛专题选讲（初三.2） 完全平方数和完全平方式 一、内容提要 一定义 1. 如果一个数恰好是某个有理数的平方，那么这个数叫做完全平方数. 例如0，1，0.36，25 4，121都是完全平方数. 在整数集合里，完全平方数，都是整数的平方. 2. 如果一个整式是另一个整式的平方，那么这个整式叫做完全平方式. 如果没有特别说明，完全平方式是在实数范围内研究的. 例如： 在有理数范围 m 2, (a+b －2)2, 4x 2－12x+9, 144都是完全平方式. 在实数范围 （a+3）2, x 2+22x+2, 3也都是完全平方式. 二. 整数集合里，完全平方数的性质和判定 1. 整数的平方的末位数字只能是0，1，4，5，6，9.所以凡是末位数字为2，3，7，8的整数必不是平方数. 2. 若n 是完全平方数，且能被质数p 整除, 则它也能被p 2整除.. 若整数m 能被q 整除，但不能被q 2整除, 则m 不是完全平方数. 例如：3402能被2整除，但不能被4整除，所以3402不是完全平方数. 又如：444能被3整除，但不能被9整除，所以444不是完全平方数. 三. 完全平方式的性质和判定 在实数范围内 如果 ax 2+bx+c (a ≠0)是完全平方式，则b 2－4ac=0且a>0； 如果 b 2－4ac=0且a>0；则ax 2+bx+c (a ≠0)是完全平方式. 在有理数范围内 当b 2－4ac=0且a 是有理数的平方时，ax 2+bx+c 是完全平方式. 四. 完全平方式和完全平方数的关系 1. 完全平方式（ax+b ）2 中 当a, b 都是有理数时, x 取任何有理数，其值都是完全平方数； 当a, b 中有一个无理数时，则x 只有一些特殊值能使其值为完全平方数. 2. 某些代数式虽不是完全平方式，但当字母取特殊值时，其值可能是完全平方数. 例如： n 2+9, 当n=4时，其值是完全平方数. 所以，完全平方式和完全平方数，既有联系又有区别. 五. 完全平方数与一元二次方程的有理数根的关系 1. 在整系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中 ① 若b 2－4ac 是完全平方数，则方程有有理数根； ② 若方程有有理数根，则b 2－4ac 是完全平方数. 2. 在整系数方程x 2+px+q=0中 ① 若p 2－4q 是整数的平方，则方程有两个整数根； ② 若方程有两个整数根，则p 2－4q 是整数的平方.
如何判断一个数是不是完全平方数
如何判断一个数是不是完全平方数 下面是一些关于完全平方数的数学性质，对排除完全平方数有一定的加速作用。 性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。 性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。 证明奇数必为下列五种形式之一： 10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9 分别平方后，得 (10a+1)^2=100+20a+1=20a(5a+1)+1 (10a+3)^2=100+60a+9=20a(5a+3)+9 (10a+5)^2=100+100a+25=20 (5a+5a+1)+5 (10a+7)^2=100+140a+49=20 (5a+7a+2)+9 (10a+9)^2=100+180a+81=20 (5a+9a+4)+1 综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。 性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。 证明已知=10k+6，证明k为奇数。因为的个位数为6，所以m的个位数为4或6，于是可设m=10n+4或10n+6。则 10k+6=(10n+4)=100+(8n+1)x10+6 或10k+6=(10n+6)=100+(12n+3)x10+6 即k=10+8n+1=2(5+4n)+1 或k=10+12n+3=2(5+6n)+3 ∴ k为奇数。 推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。 推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。 性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。 证明这是因为 (2k+1)=4k(k+1)+1 (2k)=4 性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。
完全平方数教案
课题：完全平方数 授课时间：10月29日 一、本课知识点和能力目标 1．知识点： 个位数的计算或判断，需要掌握由一般到特殊的归纳思想、方法，通过知识的传授培养学生的数学能力。 完全平方数是一种特殊的整数，有其独特的性质，通过学习，学生要学会判断一个数是否完全平方数，并能利用完全平方数的性质解决一些数学问题。 2．能力目标： 本讲采用举例的办法，介绍以帮助同学们轻松地进行计算，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性。 二、数学思想：一般到特殊，分类讨论思想。 三、本次授课节次及内容安排 第1课时：个位数的判定。 第2课时：完全平方数 第3课时：典型例题剖析 第4课时：课堂反馈. 四．课外延伸、思维拓展
第一课时 [知识要点] 个位数知识：1.整数之和（差）的个位数等于其个位数之和（差）。 2.整数之积的个位数等于其各个因数的各位数之积。 3.正整数的幂的个位数有一定的规律。 (a)n 次幂后，0，1，5，6的个位数保持不变。 (b)个位数为4，9的数，n 次幂后的个位数以2为周期变化。 (c) 个位数为2，3，7，8的数，n 次幂后的个位数以4为周 期变化。 【经典例题】 19991.1997例求的个位数。 答案：3。 5333199819982.153********-+例试证：（）是的倍数；（）是的倍数。 答案：（1）0；（2）3。 1000110002100033.3713 例数的个位数字是什么？ 答案：9 199919964.1997 ,a a =例求的个位数字。 答案：1
尝试练习： 338778199819992000200120022003321381.3.(2000~2001) 2.7887_______?() 3..237_______?(1999) 4.200120022003_______?(2001) 5.6(7317)+??++?-求的個位數字香港青少年數學精英選拔賽的個位數字是第一屆華羅庚杯香港小學精英賽的個位數字是年香港數學奧林匹克的個位數字是年香港數學奧林匹克的個2111_______? 6.310? ÷位數字是的餘數是多少 答案：（1）3； （2）1； （3）8； （4）2； （5）2； （6）7 第二课时 [知识要点] 如果n 是一个整数，则n 2就叫完全平方数。 性质： （1） 平方数的个位数只能是0，1，4，5，6，9. （2） 平方数被3除的余数只能是0和1。 （3） 奇数的平方数为4m+1,偶数的平方数是4m. （4） 平方数的个位数是奇数1，5，9时，十位数字一定是偶数。 （5） 平方数之积是平方数。 （6） 平方数的正约数个数为奇数。 根据平方数的定义和性质，有如下非平方数的判定方法： （1） 两相邻平方数再没有平方数。 （2） 个位数是2，3，7，8的正整数不是平方数。 （3） 正约数个数是偶数个的正整数不是完全平方数。 （4） 个位数字与十位数字都是奇数的数不是平方数。 （5） 若存在质数p|a,而 p 2?a,则a 不是平方数。 【经典例题】 例1. 试证：形如3n+2的数不是完全平方数。 证明：整数被3除，余数分别为0，1，2。 易得：被3整除的数的平方数仍被3整除， 被3除余1的数的平方(3k+1)2=9k 2+6k+1余数仍为1. 被3除余2的数的平方(3k+2)2=9k 2+12k+4余数仍为1 故任何形如3n+2的数都不是完全平方数。
专题二十完全平方数
专题二十 完全平方数（式）与配方法 例题导航 1. 已知实数x 、y 、z 满足=++-+==+z y x y xy z y x 32,9,52那么 2. 当整数a 、b 、c 取何值时，不等式cd b ab c b a 234222++≤+++成立？ 3. 无论x 取任何实数，代数式m x x +-62 都有意义，则m 的取值范围为 4. 已知a 是正整数，且a a 20042+是一个正整数的平方，求a 的值。 5. 若3 2211-=+=-z y x ，则222z y x ++可取得的最小值为
能力达标 1. 设,21,212222-=-+=-c b b a ，则222222444a c c b b a c b a ---++的值为 2. 若实数y x 、满足052422=+--+y x y x ，则 x y y x 23--的值是 3. 已知,20021999,20011999,20001999+=+=+=x c x b x a 则多项式ca bc ab c b a -=-++222的值为 4. 的值有则满足不等式、整数y x y x y x y x ++≤++,22122（ ）个。 5. 化简的结果为312-21-3242+（ ）
6. 己知正整数c b a 、、满足不等式c b ab c b a 8943222++≤+++，求c b a 、、的值。 7. 已知???=+-=-+, 32,62z y x z y x z y x 为实数，且满足、、求22z y x ++的最小值。 拓展提升： 1. 若52 1332412---=----+c c b a b a ，则的值为c b a ++ 2.已知y x 、为实数，且=+≤++x y xy y x 则,2422 2 ，=y ，=z 3. 已知M=941012422+++-y y xy x ，那么当x= ，=y 时，M 的值最小，为
初中常用数的平方立方及开平方开立方表
精品文档 1—30 的平方 2 的1—10 次方 12 = 1 2 222= 484 21= 2 22 = 4 232= 529 22=4 32 = 9 242= 576 23=8 42 = 16 2 252= 625 24= 16 52 = 25 262= 676 25=32 62 = 36 272= 729 26= 64 72 = 49 282= 784 27= 128 82 = 64 2 292= 841 28= 256 92 = 81 2 302= 900 29= 512 102= 100 210 1024 11 2= 121 1—10 的立方 12 2= 144 13= 1 2 132= 169 23= 8 14 2= 196 33= 27 2 152= 225 43= 64 16 2= 256 53= 125 172= 289 63= 216 182= 324 73= 343 2 192= 361 383= 512 20 2= 400 393= 729 21 2= 441 103= 1000 精品文档 1欢迎。下载
1-20 平方根，1-10 立方根表 平方根VI= 1 V2 = 1.4142135623731 V3 = 1.73205080756888 V4 = 2 V5 = 2.23606797749979 V6 = 2.44948974278318 V7 = 2.64575131106459 V8 = 2.82842712474619 V9 = 3 V10 = 3.16227766016838 VII= 3.3166247903554 V12 = 3.46410161513775 V13 = 3.60555127546399 V14 = 3.74165738677394 V15 = 3.87298334620742 V16 = 4 V17 = 4.12310562561766 V18 = 4.24264068711928 V19 = 4.35889894354067 V20 = 4.47213595499958 立方根 3V1 = 1 3V2 = 1.25992104989487 3V3 = 1.44224957030741 3V4 = 1.5874010519682 3V5 = 1.7099759466767 3V6 = 1.81712059283214 3V7 = 1.91293118277239 3V8 = 2 3V9 = 2.0800838230519 3V10 = 2.15443469003188 2欢迎。下载
完全平方数
★20 完全平方数 ◎概念：一个自然数自乘所得的积称为完全平方数。 ◎性质：1、分解质因数，每个质因数都有偶数个。（即指数都是偶数） 2、个位数字只能为0、1、4、5、6、9。 3、完全平方数是奇数被4或8除余1，是偶数能被4整除。 4、完全平方数如能被3整除，一定能被9整除，不能被3整除，一定余1。 5、两个完全平方数的积还是完全平方数。一个完全平方数与一个非完全平方数的积不是完全平方数。 ◎背诵： 112=121 122=144 132=169 142=196 152=225 162=256 172=289 182=324 192=361 202=400 212=441 222=484 232=529 242=576 252=625 262 =676 272=729 282=784 292=841 302=900 例1在1~2016的自然数中，完全平方数共有多少个？ 自主测试：在324、897、211、247、546中，哪些数是完全平方数？ 例2 46035乘以一个自然数a，是一个平方数，a最小是多少？ 自主测试：203500乘一个自然数a，是一个平方数，a最小是多少?
例3 ：1+1×2+1×2×3+1×2×3×4+1×2×3×4×5+1×2×3×4×5×6.这个算式的得数能否是某个数的平方？例4: 试问21世纪中那一年的年份数是一个完全平方数？ 自主测试：哥哥对弟弟说：“到21世纪的 x2年，我恰好是x岁，哥哥生于哪年？ 例5 把一个两位数的个位数字与其十位数字交换后得到一个新数，它与原来的数加起来的和恰好是某个自然数的平方，这个和是多少？ 自主测试：一个两位数等于它个位数字的平方与十位数字之和，这个两位数是多少？ 例6 在前300个自然数中，去掉所有的完全平方数剩下的自然数的和是多少？ 公式1: 1+2+3+4┄+n= 2 1n(n+1) 公式2: 12+ 22+ 32+ 42+┄+ n2= 6 1 n(n+1)(2n+1)
小学奥数教程：完全平方数及应用(一)全国通用(含答案)
1. 学习完全平方数的性质； 2. 整理完全平方数的一些推论及推论过程 3. 掌握完全平方数的综合运用。 一、完全平方数常用性质 1.主要性质 1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。 2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。 3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。 4.若质数p 整除完全平方数2a ，则p 能被a 整除。 2.性质 性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9． 性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数． 性质3：自然数N 为完全平方数?自然数N 约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质因 数出现的次数都是偶数次，所以，如果p 是质数，n 是自然数，N 是完全平方数，且21|n p N -，则 2|n p N ． 性质4：完全平方数的个位是6?它的十位是奇数． 性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的个 位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个． 性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数． 3.一些重要的推论 1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。 2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。 3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。 4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。 5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。 6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。 7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。 3.重点公式回顾：平方差公式：22()()a b a b a b -=+- 模块一、完全平方数计算及判断 【例 1】 已知：1234567654321×49是一个完全平方数，求它是谁的平方? 例题精讲 知识点拨 教学目标 5-4-4.完全平方数及应用（一）
初中常用数的平方立方及开平方开立方表
1—30的平方 1 2= 1 22= 4 32= 9 42= 16 52= 25 62= 36 72= 49 82= 64 92= 81 102= 100 112= 121 122= 144 132= 169 142= 196 152= 225 162= 256 172= 289 182= 324 192= 361 202= 400 212= 441 222= 484 232= 529 242= 576 252= 625 262= 676 272= 729 282= 784 292= 841 302= 900 1—10的立方 13= 1 23= 8 33= 27 43= 64 53= 125 63= 216 73= 343 83= 512 93= 729 103＝1000 2的1—10次方 21= 2 22= 4 23= 8 24= 16 25= 32 26= 64 27= 128 28= 256 29= 512 210= 1024
1-20平方根，1-10立方根表 平方根 立方根 √1 = 1 √2 = 1.4142135623731 3√1 = 1 √3 = 1.73205080756888 3√2 = 1.25992104989487√4 = 2 3√3 = 1.44224957030741√5 = 2.23606797749979 3√4 = 1.5874010519682√6 = 2.44948974278318 3√5 = 1.7099759466767√7 = 2.64575131106459 3√6 = 1.81712059283214√8 = 2.82842712474619 3√7 = 1.91293118277239√9 = 3 3√8 = 2 √10 = 3.16227766016838 3√9 = 2.0800838230519√11 = 3.3166247903554 3√10 = 2.15443469003188√12 = 3.46410161513775 √13 = 3.60555127546399 √14 = 3.74165738677394 √15 = 3.87298334620742 √16 = 4 √17 = 4.12310562561766 √18 = 4.24264068711928 √19 = 4.35889894354067 √20 = 4.47213595499958