正弦信号的谱分析
绍兴文理学院
数理信息学院
数字信号处理
课程设计报告书题目正弦信号的频谱分析
姓名朱沛东
学号 10104144 专业班级电信101 指导教师刘兆庭
时间 2013年 7月12日
课程设计任务书
正弦信号的频谱分析
摘要
傅里叶变换和Z变换是数字信号处理中常用的重要数字变换。对于有限长序列，还有一种更为重要的数字变换，即离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）。DFT之所以更为重要，是因为其实质是有限长序列傅里叶变换的有限点离散采样，从而实现了频域离散化，使数字信号处理可以在频域采用数值运算的方法进行，这样就打打增加了数字信号处理的灵活性。更重要的是，DFT有多种快速算法，统称为快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）。从而使信号的实现处理和设备的简化得以实现。因此，时域离散系统的研究与应用在许多方面代替了传统的连续时间系统。所以说，DFT不仅在理论上有重要意义，而且在各种信号的处理中亦起着核心作用。
关键词数字信号处理、散傅里叶变换DFT、快速傅里叶变换FFT
目录
课程设计任务书............................................. 错误！未定义书签。摘要.................................................................... III
1. 设计概述................................................ 错误！未定义书签。
2. 设计方案及实现 (2)
3. 设计结果分析 (2)
4. 总结 (2)
参考文献 (3)
附录 (4)
1设计概述
1.1 设计相关背景
离散傅里叶变换有与傅里叶变换相类似的作用和性质，在离散信号分析和数字系统综合中占有极其重要的地位。它不仅建立了离散时域与离散频域之间的联系，而且由于它存在周期性，还兼有连续时域中傅里叶级数的作用，与离散傅里叶级数有着密切联系。在计算速度方面，已研究出各种快速计算的算法，使离散傅里叶变换的应用更为普遍，在实现各种数字信号处理系统中起着核心的作用。例如，通过计算信号序列的离散傅里叶变换可以直接分析它的数字频谱；在有限冲激响应数字滤波器的设计中，要从冲激响应h(n)求频率抽样值H(k)，以及进行它们之间的反运算等。
“补零”是指做DFT时，在序列的有效数据后面填补一些零值，认为地延长序列，以达到对频谱做某种改善的目的。补零的方法在离散傅里叶变换（DFT）技术中经常用到：当使用快速傅里叶变换（FFT）技术时，为了使序列长度为2的整数次幂，需要将原序列补零；当利用DFT技术做线性卷积时，为了改善DFT技术的栅栏效应，使谱的外观变得平滑，可在原序列的后面补零；补零有可能消除由于数据的截断所引起的泄漏现象。
DFT的频谱分辨率是指对信号中两个靠的较近的频谱分量的识别能力，它仅决定于截取连续信号的长度，在采样频率不变时，通过改变采样点数N可以改变DFT的分辨率。
高密度频谱是指当信号的时间长度不变时，在频域内对它的频谱进行提高采样频率，而得到高密度普，它只可以更细化当前分辨率下的频谱，克服栅栏效应，但不能改变DFT 的分辨率，另外采用尾部补零的方法不能提高DFT的高分辨率。
1.2 设计目的
了解离散傅里叶变换的有关性质，利用Matlab实现DFT变换。掌握DFT应用，加深理解信号频谱的概念及性质，了解高密度谱与高分辨率频谱的区别，了解DFT算法存在的问题及改进方法。学习并掌握FFT的应用。
1.3 设计任务与要求
学习用DFT和补零DFT的方法来计算信号的频谱。用MATLAB语言编程来实现，在做课程设计前，必须充分预习课本DTF、DFT及补零DFT的有关概念，熟悉MATLAB 语言，独立编写程序，并在计算机上调试，最后写出完整、规范的课程设计报告书。
2 设计方案及实现
2.1 设计原理
所谓信号的频谱分析就是计算信号的傅里叶变换。连续信号与系统的傅里叶分析显然不便于直接用计算机进行计算，使其应用受到限制，而DFT 是一种时域和频域均离散化的变换，适合数值运算，成为分析离散信号和系统的有力工具。
工程实际中，经常遇到的连续信号Xa(t),其频谱函数Xa(jW)也是连续函数。数字计算机难于处理，因而我们采用DFT 来对连续时间信号的傅里叶变换进行逼近，进而分析连续时间信号的频谱。
2.2 实现方法
离散傅里叶变换是有限长序列的傅里叶变换，它相当于把信号的傅里叶变换进行等频率间隔采样，并且有限长序列的离散傅里叶变换和周期序列的离散傅里叶级数本质是一样的。
快速傅里叶变换（FFT ）并不是一种新的变换，它是离散傅里叶变换的一种快速算法，并且主要是基于这样的思路而发展起来的：（1）把长度为N 的序列的DFT 逐次分解成长度较短的序列的DFT 来计算。（2）利用WN(nk)的周期性和对称性，在DFT 运算中适当的分类，以提高运算速度。（对称性nk N
nk N
W
W
N
-=+2
，12
-=N N W ;周期性
nk N nk N nrN N k rN n N W W W W ---==)(，r 为任意整数
,1=nrN
N W ） 2.2.1 离散傅里叶变换的推导
离散傅里叶级数定义为nk
j N k p
p e
k x
N n x N 21
)(1
)( ∑-==
（1-1） 将上式两端乘以
nm j e
π2
-并对n
在
0~N-1
求和可得
??
?
???==∑∑∑∑∑-=---=-=-=---=-10)(1101010)(1
222)()(1)(N n m k n j N N k p N n N k m k n j p N n nm
j p
e k X e k X N e
n x
因为
{
m
k 1m
k 0)(N
)(1
)(N 2
N
22-1-1N 11
=≠---=-==∑m k j m k j N n m k n j
e
e e
N
πππ
所以∑∑-=-=--=1
10
)()()(N
2N k p N n nm j p m k k X e
n x δπ 这样∑-=-=10
N
2
)()(N n nm j p p e
n x m X π用k 代替m 得
∑-=-=1
0N
2)()(N n nk j p P e
n x k X π（1-2）令N
2πj N
e
W -=
则（1-2）成为DFS []
∑-===1
)()()(N n nk
N p p p W n x k X n x （1-3）
（1-1）成为IDFS []
∑-=-==10
)(1)()(N n nk N p p p W k X N n x k X （1-4）
式（1-3）、（1-4）式构成周期序列傅里叶级数变换关系。其中)()(k X n x p p 、都是周期为N 的周期序列，DFS[·]表示离散傅里叶级数正变换，IDFS[·]表示离散傅里叶级数反变换。
习惯上，对于长为N 的周期序列，把0≤n ≤N-1区间称为主值区，把)1(~)0(-N x x p p 称为)(n x p 的主值序列，同样也称)1(~)0(-N X X p p 为)(k X p 的主值序列。
由于
)
()()(n R n x n x N p =，对于周期序列
)
(n x p 仅有N 个独立样值，对于任何一个周期
进行研究就可以得到它的全部信息。在主值区研究
)
(n x p 与)(n x 是等价的，因此在主值区
计算DFS 和DFT 是相等的，所以DFT 计算公式形式与DFS 基本相同。其关系为
)
()()(n R n x n x N p =
)
()()(k R k X k X N p =
所以离散傅里叶正变换
()()[]()W nk
N N n n x n x DFT k X ∑-===1
0≤k ≤N-1
离散傅里叶变换（DFT ）定义：设有限长序列x (n) 长为N （0≤n ≤N-1），其离散傅里叶变换是一个长为N 的频率有限长序列（0≤k ≤N-1），其正变换为 ()()[]()W nk
N N n n x n x DFT k X ∑-===1
0 0≤k ≤N-1 （
W
e
N
j
N π
2-=
）
离散傅里叶变换的实质是：把有限长序列当做周期序列的主值序列进行DFS 变换，x(n)、X(k)的长度均为N ，都是N 个独立值，因此二者具有的信息量是相等的。已知x(n)可以唯一确定X(k),已知X(k)可以唯一确定x(n)。
虽然离散傅里叶变换是两个有限长序列之间的变化，但它们是利用DFS 关系推导出来的，因而隐含着周期性。
2.2.2 构造离散傅里叶变换的Matlab 实现程序如下 function[Xk]=dft(xn,N) n=[0:1:N-1]; k=n;
WN=exp(-j*2*pi/N); nk=n'*k;
WNnk=WN.^nk; Xk=xn*WNnk
快速傅里叶变换（FFT ）并不是与DFT 不同的另外一种变换，而是为了减少DFT 计算次数的一种快速有效的算法 2.2.3 共轭对称性
设有限长序列)(n x 的长度为N ，以N 为周期的周期延拓列为N n x n x ))(()(~
= 周期序列)(~
n x 的共轭对称分量)(~n x e 和共轭反对称分量)(~
n x o 分别为
[]
N N e n N x n x n x n x n x ))(())((21)()(21)(**~~
~
-+=??????-+= (1-5)
[]
N N o n N x n x n x n x n x ))(())((21)()(21)(**~~
~
--=??????--= (1-6)
同样可以证明，它们满足)()(*
~~
n x n x e e -= （1-7） )()(*
~
~n x n x o o --= （1-8） 则有限长序列)(n x 的圆周共轭对称分量)(n x ep 和圆周共轭反对称分量)(n x op 分别定义为：
)(]))(())(([2
1
)()()(*~
n R n N x n x n R n x n x N N N N e ep -+== （1-9）
)(]))(())(([2
1
)()()(*~n R n N x n x n R n x n x N N N N o op --== （1-10）
由于满足)()()(~
~~n x n x n x o e += 故
)()()()]()([)()()(~
~~n x n x n R n x n x n R n x n x op ep N e N +=+== （1-11）
显然，长度为N 的有限长序列)(n x 可以分解为圆周共轭对称分量)(n x ep 和圆周共轭反对称分量)(n x op 之和，)(n x ep 和)(n x op 的长度皆为N 。利用有限长序列与周期序列的共轭对称分量和反对称分量的关系式（1-9）和式（1-10），以及式（1-11）可以推导出DFT 的一系列的对称性质
（1）DFT )()()]([***K n X k X n x -=-= 式中)(*n x 表示)(n x 的共轭复序列。 证
明
：
DFT
)()()()]([*1
10**
k X W n x W
n x n x N n N n nk N nk
N
-=??
????==∑∑-=-= 又因为
12)(N 2===--n
j nN
j nN
N e e
W ππ
所以DFT )()()]([*
*
10)(*k N X W n x n x N n n k N N -=?
?
????=∑-=- （2）复序列实部的DFT 等于DFT 的圆周共轭对称部分，即
DFT )]()([2
1
)()]}({Re[*k N X k X k X n x ep -+==
证明：
DFT =)]}({Re[n x DFT )]}
()([{*
21n x n x +=2
1
{DFT )]([n x +DFT )]([*n x }=
)()]()([*2
1k X k N X k X ep =-+
利用DFT 的对称性可求得n 0cos ω的DFT: 设n j e n j n n x 000sin cos )(ωωω=+= 则 DFT
k
N
o j oN
j k
N
o j Nk
N N o j W e e N n W e W e nk N
n
j W
e
k X n x ωωω---=--=
=
=
=∑111
110)()]([
因为 )](Re[cos 0n x n =ω 所以
DFT =][cos 0n ωDFT 2
)
()(*)()]}({Re[k N X k X ep k X n x -+=
==
k
N
k N k
N k N k N
W o j e N
o j e k N
W o j e N
o j e W W N W W N 200
001111cos 21)1cos(cos cos 12
][
+--+--+
=
------ωωωωωωωω
3 设计结果分析
3.1 用MATLAB 语言编写
3.1.1 计算序列x(n)的N 点DFT 的m 函数文件dft.m 。并与MATLAB 中的内部函数文件
fft.m 作比较。 对于N=M 2点序列进行时间抽选奇偶分解FFT 计算，需分M 级，每级计算N/2个蝶。每一级需N/2次复乘、N 次复加，因此总共需要进行：
复乘：N
M N
N 222log = 复加：N N NM 2log = 直接计算N 点的DFT ，需要2N 次复乘、N(N-1)次复加。N 值越大，时间抽选奇偶分解FFT 算法越优越。例如当N=2048点时，时间抽选奇偶分解FFT 算法比直接计算DFT 速度快300多倍。
3.2 离散信号谱分析
3.2.1 对离散确定信号 ()cos(0.48)cos(0.52)x n n n ππ=+ 作如下谱分析：
1.截取()x n 使()x n 成为有限长序列N(0≤≤n N -1)，(长度N 自己选)写程序计算出()x n 的N 点DFT
()X k ,画出时域序列图xn ～n 和相应的幅频图()~X k k 。
图 3-1时域序列图xn ～n 和相应的幅频图()~X k k
由图可见，由于截断函数的频谱混叠作用，X(k)不能正确分辨w1=0.48π、w2=0.52π这两个频率分量。
2.将 1中()x n 补零加长至M 点，长度M 自己选,（为了比较补零长短的影响，M 可以取两次值，一次取较小的整数，一次取较大的整数），编写程序计算()x n 的M 点DFT, 画出时域序列图和两次补零后
相应的DFT 幅频图。
图 3-2 时域序列图和两次补零后相应的DFT 幅频图
x(n)补零至15、60点对应的x(n)、X(ejw)、X(k)所示。由图可见，x(n)补零至60点，只是改变X(k)的密度，截断函数的频谱混叠作用没有改变，这时的物理分辨率使X(k)仍不能正确分辨w1=0.48π、w2=0.52π这两个频率分量。这说明，补零仅仅是提高了计算分辨率，得到的是高密度频谱，而得不到高分辨率谱。
3.利用补零DFT 计算 1中N 点有限长序列()x n 频谱()j X e ω并画出相应的幅频图()~j X e ωω。
图 3-3 补零DFT 相应的幅频图()~j X e ωω
由图可见，截断函数的加宽且为周期序列的整数倍，改变了频谱混叠作用，提高了物理分辨率，使X(k)能正确分辨w1=0.48π、w2=0.52π这两个频率分量。这说明通过增加
数据的记录长度Tp 来提高物理分辨率可以得到分辨率谱。
3.3 研究高密度谱与高分辨率频谱。
3.3.1 对连续确定信号333()cos(2 6.510)cos(2710)cos(2910)a x t t t t πππ=??+??+??以
采样频率fs=32kHz 对信号()a x t 采样得离散信号()x n ，分析下列三种情况的幅频特性。
1.采集数据()x n 长度取N=16点，编写程序计算出()x n 的16点DFT ()X k ,并画出相应的幅频图
()~X k k
图 3-4 x(n)序列及它的16点DFT X(k)
N=16点，所得到的频谱图用于下面2、3中的补零与增大截取信号长度的频谱图做比较。 2. 采集数据()x n 长度N=16点，补零加长至M 点(长度M 自己选)，利用补零DFT 计算 ()x n 的频谱
1()j X e ω并画出相应的幅频图1()~j X e ωω。
图 3-5 幅频图1()~j X e ωω
3.采集数据()x n 长度取为M 点（注意不是补零至M ），编写程序计算出M 点采集数据()x n 的的频谱
2()j X e ω并画出相应的幅频图2()~j X e ωω。
图 3-6 幅频图2()~j X e ωω
4总结
计算机是进行数字信号处理的主要工具，计算机只能处理有限长序列，这就决定了有限长序列处理在数字信号处理中的重要地位。离散傅里叶变换建立了有限长序列与其近似频谱之间的联系，在理论上具有重要意义。离散傅里叶变换DFT在数字通信、语音处理、图像处理、谱估计、仿真、系统分析等各个领域得到广泛应用，但是这都是以卷积和相关运算，对连续信号和序列进行谱分析为基础的。
通过该课程设计，我们受益匪浅，对DFT在进行频谱的分析上有了根深刻的理解和掌握。DFT实现了频域采样，同时DFT存在快速算法FFT，所以在实际应用中，可以利用计算机，用DFT来逼近连续时间信号的傅里叶变换，进而分析连续时间信号频谱。同时知道了补零点的作用，其仅仅是提高了计算分辨率，得到的是高密度频谱，并不能得到高分辨率谱，要提高频率分辨率，则要通过增加数据记录长度来提高物理分辨率。
在编程实现中，遇到了一些问题，为此我们翻阅一些了参考书，并通过讨论一一解决。期间我们不仅学到了许多课本上的知识，还有课本以外的内容，学到了许多课本上所没提到的东西，这些东西都让我们耳目一新，开阔了视野，拓宽了知识面。从以前仅仅掌握离散傅里叶变换的概念，到现在渐渐领悟到离散傅里叶变换的一些实际应用，更明白它在实际设计中的作用，从理论到实践的逐步过渡，增了动手能力。知道了到团队精神的重要性，大家互相讨论，分工合作，享受了合作的乐趣。
参考文献
[1]余成波，陶红艳.数字信号处理及MATLAB实现（第二版）.北京：清华大学出版社.2008.1.p98-123.
[2]王艳芬，王刚.数字信号处理原理及实现.北京：清华大学出版社.2008.3.p96-105.
[3]从玉良，王宏志.数字信号处理原理及其MATLAB实现（第2版）.北京：电子工业出版社.2009.7.p63-100.
1．
n = 0:9;
xn=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n);
Xk = fft (xn, 10);
subplot(2,1,1); stem(n, xn,'.');
xlabel('\omega/\pi');ylabel('X(n)');
title('x(n)');grid;
subplot(2,1,2); stem(n, abs(Xk),'.');
xlabel('\omega/\pi');ylabel('X(k)');
title('x(n) 10点DFT');grid;
2.
n = 0:9; xn=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n);
n1 = 0:14; xn1 = [xn, zeros(1,5)];
n2= 0:59; xn2 = [xn, zeros(1,50)];
Xk1 = fft(xn1, 15);
Xk2 = fft(xn2, 60);
subplot(3,1,1); stem(n, xn,'.');
xlabel('n');ylabel('x(n)')
title('x(n)');
grid;
subplot(3,1,2); stem(n1, abs(Xk1),'.');
xlabel('\omega/\pi');ylabel('X(k1)')
title('x(n1) 15点DFT');
grid;
subplot(3,1,3); stem(n2, abs(Xk2),'.');
xlabel('\omega/\pi');ylabel('X(k2)')
title('x(n2) 60点DFT');grid;
3．
n = 0:9; xn=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n);
n3 = 0:99; xn3 = [xn, zeros(1,90)];
Xk3 = fft(xn3, 100);
wx=2*n8/N;
plot(wx,abs(X));
xlabel('\omega/\pi');ylabel('|X(e^j^\omega)|') title('x(n3)幅频特性曲线');
grid;
T=1/(32*10^3);
t=(0:15);
xn=cos(2*pi*6.5*10^3*t*T)+cos(2*pi*7*10^3*t*T)+cos(2*pi*9*10^3*t*T);
Xk=fft(xn,16);
subplot(3,1,1);stem(t,xn,'.');grid;
xlabel('n');ylabel('x(n)')
title('x(n)');
subplot(3,1,2);stem(t,abs(Xk),'.');grid;
xlabel('\omega/\pi');ylabel('X(k)_1_6')
title('x(n) 16点DFT');
subplot(3,1,3);plot(t,abs(Xk));grid;
xlabel('\omega/\pi');ylabel('|X_1(e^j^\omega)|')
title('x_1(n)幅频特性曲线');
5.
T=1/(32*10^3);
t=(0:15);
xn=cos(2*pi*6.5*10^3*t*T)+cos(2*pi*7*10^3*t*T)+cos(2*pi*9*10^3*t*T);
n1=0:30; xn1=[xn,zeros(1,15)];
Xk1=fft(xn1,31);
subplot(3,1,1);stem(n1,xn1,'.');grid;
xlabel('n');ylabel('x_1(n)')
title('x_1(n)');
subplot(3,1,2);stem(n1,abs(Xk1),'.');grid;
xlabel('\omega/\pi');ylabel('X(k)_1_6')
title('x(n) 补零30点DFT');
subplot(3,1,3);plot(n1,abs(Xk1));grid;
xlabel('\omega/\pi');ylabel('|X_1(e^j^\omega)|')
title('x_1(n)幅频特性曲线');
T=1/(32*10^3);
t=[0:30];
xn=cos(2*pi*6.5*10^3*t*T)+cos(2*pi*7*10^3*t*T)+cos(2*pi*9*10^3*t*T); Xk2=fft(xn,31);
subplot(3,1,1);stem(t,xn1,'.');grid;
xlabel('n');ylabel('x_2(n)')
title('x_1(n)');
subplot(3,1,2);stem(t,abs(Xk2),'.');grid;
xlabel('\omega/\pi');ylabel('X(k)_3_0')
title('x(n) 30点DFT');
subplot(3,1,3);plot(t,abs(Xk2));grid;
xlabel('\omega/\pi');ylabel('|X_1(e^j^\omega)|')
title('x_1(n)幅频特性曲线');
DFT-FFT的应用之确定性信号谱分析
实验报告 课程名称：数字信号处理指导老师：成绩：__________________ 实验名称：DFT/FFT的应用之一确定性信号谱分析实验类型：__验证_ 同组学生姓名：— 一、实验目的和要求 谱分析即求信号的频谱。本实验采用DFT/FFT技术对周期性信号进行谱分析。通过实验，了解用X(k)近似地表示频谱X(ejω)带来的栅栏效应、混叠现象和频谱泄漏，了解如何正确地选择参数（抽样间隔T、抽样点数N）。 二、实验内容和步骤 2-1 选用最简单的周期信号：单频正弦信号、频率f=50赫兹，进行谱分析。 2-2 谱分析参数可以从下表中任选一组（也可自定）。对各组参数时的序列，计算：一个正弦周期是否对应整数个抽样间隔？观察区间是否对应整数个正弦周期？ 信号频率f（赫兹）谱分析参数抽样间隔T （秒） 截断长度N （抽样个数） 50 第一组参数0.000625 32 50 第二组参数0.005 32 50 第三组参数0.0046875 32 50 第四组参数0.004 32 50 第五组参数0.0025 16 2-3 对以上几个正弦序列，依次进行以下过程。 2-3-1 观察并记录一个正弦序列的图形（时域）、频谱（幅度谱、频谱实部、频谱虚部）形状、幅度谱的第一个峰的坐标（U，V）。 2-3-2 分析抽样间隔T、截断长度N（抽样个数）对谱分析结果的影响； 2-3-3 思考X(k)与X(e jω)的关系； 2-3-4 讨论用X(k)近似表示X(ejω)时的栅栏效应、混叠现象、频谱泄漏。 三、主要仪器设备 MATLAB编程。
四、操作方法和实验步骤 （参见“二、实验内容和步骤”） 五、实验数据记录和处理 %program 2-2-1 clear;clf;clc;%清楚缓存 length=32; T=0.000625; t=0:0.001:31;%设置区间以及步长 n=0:length-1; xt=sin(2*pi*50*t); xn=sin(2*pi*50*T*n); figure(1); subplot(2,1,1);plot(t,xt); xlabel('t');ylabel('x(t)'); axis([0 0.1 -1 1]);title('原序列'); subplot(2,1,2); stem(n,xn);xlabel('n');ylabel('xn)'); title('抽样后序列');axis([0 length -1 1]); figure(2); %画出序列的实部、虚部、模、相角 subplot(2,2,1);stem(n,real(xn)); xlabel('n');ylabel('real(xn)');title('序列的实部');axis([0 length -1 1]); subplot(2,2,2);stem(n,imag(xn)); xlabel('n');ylabel('imag(xn)');title('序列的虚部');axis([0 length -1 1]); subplot(2,2,3);stem(n,abs(xn)); xlabel('n');ylabel('abs(xn)');title('序列的模');axis([0 length -1 1]); subplot(2,2,4);stem(n,angle(xn)); xlabel('n');ylabel('angle(xn)');title('序列的相角');axis([0 length -1 1]); F=fft(xn,length); %计算DFT figure(3); %画出DFT的的幅度，实部和虚部 subplot(3,1,1);stem(n,abs(F)); xlabel('k');ylabel('abs(F)');title('DFT幅度谱'); subplot(3,1,2);stem(n,real(F));
正余弦信号的谱分析
设计一正余弦信号的谱分析代码： F=input('输入信号频率'); t=0:0.001:0.2; x1=cos(2*pi*F*t); subplot(3,1,1); plot(t,x1); title('x1连续余弦信号'); n=0:31; x2=cos(2*pi*F*n*1/64); subplot(3,1,2),stem(n,x2); xlabel('n'),ylabel('x1(n)'); title('x2采样后的余弦序列'); k=0:31; X=abs(fft(x2,32)); subplot(3,1,3); stem(k,X); xlabel('k'),ylabel('X(k)'); string=[num2str(32),'点FFT幅频曲线']; title(string); 输入信号频率：10 (1)
输入信号频率：11 (2)
代码： N=input('输入谱分析的长度'); n=1:N-1; figure(1) f1=0.22,f2=0.34; x=0.5*sin(2*pi*f1*n)+sin(2*pi*f2*n); subplot(2,1,1),stem(n,x); xlabel('n'),ylabel('x1(n)'); title('余弦序列'); X=abs(fft(x,N)); subplot(2,1,2); k=0:N-1; stem(k,X); xlabel('k'),ylabel('X(k)'); string=[num2str(N),'点FFT幅频曲线']; title(string); figure(2) f1=0.22,f2=0.25; x=0.5*sin(2*pi*f1*n)+sin(2*pi*f2*n); subplot(2,1,1),stem(n,x); xlabel('n'),ylabel('x1(n)'); title('余弦序列'); X=abs(fft(x,N)); subplot(2,1,2); k=0:N-1; stem(k,X); xlabel('k'),ylabel('X(k)'); string=[num2str(N),'点FFT幅频曲线']; title(string);
对正弦信号的采样频谱分析.doc
H a r b i n I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y 课程设计 课程名称：课程设计2 设计题目：对正弦信号的抽样频谱分析院系：电子与信息工程学院 班级：0805203 设计者：褚天琦 学号：1080520314 指导教师：郑薇 设计时间：2011-10-15 哈尔滨工业大学
一、题目要求： 给定采样频率fs，两个正弦信号相加，两信号幅度不同、频率不同。要求给定正弦信号频率的选择与采样频率成整数关系和非整数关系两种情况，信号持续时间选择多种情况分别进行频谱分析。 二、题目原理与分析： 本题目要对正弦信号进行抽样，并使用fft对采样信号进行频谱分析。因此首先对连续正弦信号进行离散处理。实际操作中通过对连续信号间隔相同的抽样周期取值来达到离散化的目的。根据抽样定理，如果信号带宽小于奈奎斯特频率（即采样频率的二分之一），那么此时这些离散的采样点能够完全表示原信号。高于或处于奈奎斯特频率的频率分量会导致混叠现象。设抽样周期为TS(抽样角频率为ωS)，则 可见抽样后的频谱是原信号频谱的周期性重复，当信号带宽小于奈奎斯特频率的二分之一时不会产生频谱混叠现象。 因此，我们对采样频率的选择采取fs>2fo,fs=2fo,fs<2fo三种情况进行分析。对信号采样后，使用fft函数对其进行频谱分析。为了使频谱图像更加清楚，更能准确反映实际情况并接近理想情况，我们采用512点fft。取512点fft不仅可以加快计算速度，而且可以使频谱图更加精确。若取的点数较少，则会造成频谱较大的失真。 三、实验程序： 本实验采用matlab编写程序，实验中取原信号为 ft=sin(2πfXt)+2sin(10πfXt)，取频率f=1kHz，实验程序如下： f=1000;fs=20000;Um=1; N=512;T=1/fs; t=0:1/fs:0.01; ft=Um*sin(2*pi*f*t)+2*Um*sin(10*pi*f*t); subplot(3,1,1); plot(t,ft);grid on; axis([0 0.01 1.1*min(ft) 1.1*max(ft)]); xlabel('t'),ylabel('ft'); title('抽样信号的连续形式'); subplot(3,1,2); stem(t,ft);grid on; axis([0 0.01 1.1*min(ft) 1.1*max(ft)]); xlabel('t'),ylabel('ft');
有关功率谱分析的相关总结
有关功率谱分析的相关总结 谱是个很不严格的东西，常常指信号的Fourier变换，是一个时间平均（time average）概念功率谱的概念是针对功率有限信号的(能量有限信号可用能量谱分析，能量有限的信号通常为能量信号，他们的傅里叶变换是收敛的)，所表现的是单位频带内信号功率随频率的变换情况。保留频谱的幅度信息，但是丢掉了相位信息，所以频谱不同的信号其功率谱是可能相同的。有两个重要区别：1。功率谱是随机过程的统计平均概念，平稳随机过程的功率谱是一个确定函数；而频谱是随机过程样本的Fourier变换，对于一个随机过程而言，频谱也是一个“随机过程”。（随机过程有频谱吗？）（随机的频域序列）2。功率概念和幅度概念的差别。此外，只能对宽平稳的各态历经的二阶矩过程谈功率谱，其存在性取决于二阶矩是否存在并且二阶矩的Fourier变换收敛；而频谱的存在性仅仅取决于该随机过程的该样本的Fourier变换是否收敛。 频谱和功率谱的区别在于： （1）信号通常分为两类：能量信号和功率信号； （2）一般来讲，能量信号其傅氏变换收敛（即存在），而功率信号傅氏变换通常不收敛，当然，若信号存在周期性，可引入特殊数学函数（Delta）表征傅氏变换的这种非收敛性；（3）信号是信息的搭载工具，而信息与随机性紧密相关，所以实际信号多为随机信号，这类信号的特点是状态随机性随时间无限延伸，能量无限。换句话说，随机信号大多属于功率信号而非能量信号，它并不存在傅氏变换，亦即不存在频谱； （4）若撇开搭载信息的有用与否，随机信号又称随机过程，很多噪声属于特殊的随机过程，它们的某些统计特性具有平稳性，其均值和自相关函数具有平稳性。对于这样的随机过程，自相关函数蜕化为一维确定函数，前人证明该确定相关函数存在傅氏变换； （5）能量信号频谱通常既含有幅度也含有相位信息；幅度谱的平方（二次量纲）又叫能量谱，它描述了信号能量的频域分布；功率信号的功率谱描述了信号功率随频率的分布特点，也已证明，信号功率谱恰好是其自相关函数的傅氏变换； （6）实际中我们获得的往往仅仅是信号的一段支撑，此时即使信号为功率信号，截断之后其傅氏变换收敛，但此变换结果严格来讲不属于任何“谱”； （7）对于（6）中所述变换若取其幅度平方，可作为信号功率谱的近似，是为经典的“周期图法”； （8）FFT是DFT的快速实现，DFT是DTFT的频域采样，DTFT是FT的频域延拓。人们不得已才利用DFT近似完成本属于FT的任务。若仅提FFT，是非常不专业的。 功率谱是个什么概念？它有单位吗? 随机信号是时域无限信号，不具备可积分条件，因此不能直接进行傅氏变换。一般用具有统计特性的功率谱来作为谱分析的依据。功率谱与自相关函数是一个傅氏变换对。功率谱具有单位频率的平均功率量纲。所以标准叫法是功率谱密度。通过功率谱密度函数，可以看出随机信号的能量随着频率的分布情况。像白噪声就是平行于w轴，在w轴上方的一条直线。功率谱密度，从名字分解来看就是说，观察对象是功率，观察域是谱域，通常指频域，密度，就是指观察对象在观察域上的分布情况。一般我们讲的功率谱密度都是针对平稳随机过程的，由于平稳随机过程的样本函数一般不是绝对可积的，因此不能直接对它进行傅立叶分析。可以有三种办法来重新定义谱密度，来克服上述困难。 一是用相关函数的傅立叶变换来定义谱密度；二是用随机过程的有限时间傅立叶变换来定义
数字信号处理实验报告-DFTFFT的应用之一确定性信号谱分析
实验报告 课程名称： 数字信号处理 指导老师： 成绩：__________________ 实验名称：DFT/FFT 的应用之一 ? 确定性信号谱分析 实验类型：__验证_ 同组学生姓名： — 一、实验目的和要求 谱分析即求信号的频谱。本实验采用DFT/FFT 技术对周期性信号进行谱分析。通过实验，了解用X(k)近似地表示频谱X(ej ω)带来的栅栏效应、混叠现象和频谱泄漏，了解如何正确地选择参数（抽样间隔T 、抽样点数N ）。 二、实验内容和步骤 2-1 选用最简单的周期信号：单频正弦信号、频率f=50赫兹，进行谱分析。 2-2 谱分析参数可以从下表中任选一组（也可自定）。对各组参数时的序列，计算：一个正弦周期是 否对应整数个抽样间隔？观察区间是否对应整数个正弦周期？ 2-3 对以上几个正弦序列，依次进行以下过程。 2-3-1 观察并记录一个正弦序列的图形（时域）、频谱（幅度谱、频谱实部、频谱虚部）形状、幅度谱的第一个峰的坐标（U ，V ）。 2-3-2 分析抽样间隔T 、截断长度N （抽样个数）对谱分析结果的影响； 2-3-3 思考X(k)与X(e j ω)的关系； 2-3-4 讨论用X(k)近似表示X(ej ω)时的栅栏效应、混叠现象、频谱泄漏。 三、主要仪器设备 MATLAB 编程。 专业：________________ 姓名：________________ 学号：________________ 日期：________________ 地点：________________
实验名称：_______________________________姓名：______________学号：__________________ P. 四、操作方法和实验步骤 （参见“二、实验内容和步骤”） 五、实验数据记录和处理 列出MATLAB程序清单，加注释。 六、实验结果与分析 6-1 实验前预习有关概念，并根据上列参数来推测相应频谱的形状、谱峰所在频率（U）和谱峰的数值（V）、混叠现象和频谱泄漏的有无。 6-2 观察实验结果（数据及图形）的特征，做必要的记录。 5-2 用基本理论、基本概念来解释各种现象。 （注： A、黑色部分不要改动。 B、蓝色部分，学生根据本人情况填写。 C、“五、实验数据记录和处理”和“六、实验结果与分析”根据要求（见红色部分），逐条撰写。 D、从第二页起，在每页头部填写实验名称、姓名、学号，标上页码。不够时自行加页。 E、上交纸质报告）
信号的频谱分析及MATLAB实现
第23卷第3期湖南理工学院学报(自然科学版)Vol.23 No.3 2010年9月 Journal of Hunan Institute of Science and Technology (Natural Sciences) Sep. 2010信号的频谱分析及MATLAB实现 张登奇, 杨慧银 (湖南理工学院信息与通信工程学院, 湖南岳阳 414006) 摘 要: DFT是在时域和频域上都已离散的傅里叶变换, 适于数值计算且有快速算法, 是利用计算机实现信号频谱分析的常用数学工具. 文章介绍了利用DFT分析信号频谱的基本流程, 重点阐述了频谱分析过程中误差形成的原因及减小分析误差的主要措施, 实例列举了MATLAB环境下频谱分析的实现程序. 通过与理论分析的对比, 解释了利用DFT分析信号频谱时存在的频谱混叠、频谱泄漏及栅栏效应, 并提出了相应的改进方法. 关键词: MA TLAB; 频谱分析; 离散傅里叶变换; 频谱混叠; 频谱泄漏; 栅栏效应 中图分类号: TN911.6 文献标识码: A 文章编号: 1672-5298(2010)03-0029-05 Analysis of Signal Spectrum and Realization Based on MATLAB ZHANG Deng-qi, YANG Hui-yin (College of Information and Communication Engineering, Hunan Institute of Science and Technology, Yueyang 414006, China) Abstract:DFT is a Fourier Transform which is discrete both in time-domain and frequency-domain, it fits numerical calculation and has fast algorithm, so it is a common mathematical tool which can realize signal spectrum analysis with computer. This paper introduces the basic process of signal spectrum analysis with DFT, emphasizes the causes of error producing in spectrum analysis process and the main ways to decrease the analysis error, and lists the programs of spectrum analysis based on MATLAB. Through the comparison with the theory analysis, the problems of spectrum aliasing, spectrum leakage and picket fence effect are explained when using DFT to analyze signal spectrum, and the corresponding solution is presented. Key words:MATLAB; spectrum analysis; DFT; spectrum aliasing; spectrum leakage; picket fence effect 引言 信号的频谱分析就是利用傅里叶分析的方法, 求出与时域描述相对应的频域描述, 从中找出信号频谱的变化规律, 以达到特征提取的目的[1]. 不同信号的傅里叶分析理论与方法, 在有关专业书中都有介绍, 但实际的待分析信号一般没有解析式, 直接利用公式进行傅里叶分析非常困难. DFT是一种时域和频域均离散化的傅里叶变换, 适合数值计算且有快速算法, 是分析信号的有力工具. 本文以连续时间信号为例, 介绍利用DFT分析信号频谱的基本流程, 重点阐述频谱分析过程中可能存在的误差, 实例列出MATLAB 环境下频谱分析的实现程序. 1 分析流程 实际信号一般没有解析表达式, 不能直接利用傅里叶分析公式计算频谱, 虽然可以采用数值积分方法进行频谱分析, 但因数据量大、速度慢而无应用价值. DFT在时域和频域均实现了离散化, 适合数值计算且有快速算法, 是利用计算机分析信号频谱的首选工具. 由于DFT要求信号时域离散且数量有限, 如果是时域连续信号则必须先进行时域采样, 即使是离散信号, 如果序列很长或采样点数太多, 计算机存储和DFT计算都很困难, 通常采用加窗方法截取部分数据进行DFT运算. 对于有限长序列, 因其频谱是连续的, DFT只能描述其有限个频点数据, 故存在所谓栅栏效应. 总之, 用DFT分析实际信号的频谱, 其结果必然是近似的. 即使是对所有离散信号进行DFT变换, 也只能用有限个频谱数据近似表示连续频 收稿日期: 2010-06-09 作者简介: 张登奇(1968? ), 男, 湖南临湘人, 硕士, 湖南理工学院信息与通信工程学院副教授. 主要研究方向: 信号与信息处理
用FFT对信号作频谱分析 实验报告
实验报告 实验三：用FFT 对信号作频谱分析 一、 实验目的与要求 学习用FFT 对连续信号和时域离散信号进行谱分析的方法，了解可能出现的分析误差及其原因，以便正确应用FFT 。 二、 实验原理 用FFT 对信号作频分析是学习数字信号处理的重要内容，经常需要进行分析的信号是模拟信号的时域离散信号。对信号进行谱分析的重要问题是频谱分辨率D 和分析误差。频谱分辨率直接和FFT 的变换区间N 有关，因为FFT 能够实现的频率分辨率是2π/N ，因此要求2π/N 小于等于D 。可以根据此式选择FFT 的变换区间N 。误差主要来自于用FFT 作频谱分析时，得到的是离散谱，而信号（周期信号除外）是连续谱，只有当N 较大时，离散谱的包络才能逼近连续谱，因此N 要适当选择大一些。 三、 实验步骤及内容（含结果分析） （1）对以下序列进行FFT 分析： x 1(n)=R 4(n) x 2(n)= x 3(n)= 选择FFT 的变换区间N 为8和16两种情况进行频谱分析，分别打印出幅频特性曲线，并进行讨论、分析与比较。 【实验结果如下】： n+1 0≤n ≤3 8-n 4≤n ≤7 0 其它n 4-n 0≤n ≤3 n-3 4≤n ≤7 0 其它 n
实验结果图形与理论分析相符。（2）对以下周期序列进行谱分析： x4(n)=cos[(π/4)*n]
x5(n)= cos[(π/4)*n]+ cos[(π/8)*n] 选择FFT的变换区间N为8和16两种情况进行频谱分析，分别打印出幅频特性曲线，并进行讨论、分析与比较。 【实验结果如下】： （3）对模拟周期信号进行频谱分析： x6(n)= cos(8πt)+ cos(16πt)+ cos(20πt) 选择采样频率Fs=64Hz，FFT的变换区间N为16、32、64三种情况进行频谱分析，分别打印出幅频特性曲线，并进行讨论、分析与比较。 【实验结果如下】：
功率谱,幅度谱,频谱关系
频谱、幅度谱、功率谱和能量谱 在信号处理的学习中，有一些与谱有关的概念，如频谱、幅度谱、功率谱和能量谱等，常常让人很糊涂，搞不清其中的关系。这里主要从概念上厘清其间的区别。 对一个时域信号进行傅里叶变换，就可以得到的信号的频谱，信号的频谱由两部分构成：幅度谱和相位谱。这个关系倒还是简单。那么，什么是功率谱呢？什么又是能量谱呢？功率谱或能量谱与信号的频谱有什么关系呢？ 要区分功率谱和能量谱，首先要清楚两种不同类型的信号：功率信号和能量信号。我们从一个具体的物理系统来引出能量信号和功率信号的概念。已知阻值为R的电阻上的电压和电流分别为v(t) 和 i(t)，则此电信号的瞬时功率为： p(t) = v2(t)/R = i2(t)R。在作定性分析时，为了方便起见，通常假设电阻R为1欧姆而得到归一化(Normolized) 的功率值。作定量计算时可以通过去归一化，即将实际的电阻值代入即可得到实际的功率值。将上面的概念做一个抽象，对信号 x(t) 定义其瞬时功率为 |f (t)|2，在时间间隔 (-T/2 T/2) 内的能量为: E=int(|f (t)|2 ,-T/2,T/2) (1) 上式表示对|f (t)|2积分，积分限为(-T/2 T/2)。 该间隔内的平均功率为： p = E/T (2) 当且仅当f(t)在所有时间上的能量不为0且有限时，该信号为能量信号，即(1)式中的 T 趋于无穷大的时候E为有限。典型的能量信号如方波信号、三角波信号等。但是有些信号不满足能量信号的条件，如周期信号和能量无限的随机信号，此时就需要用功率来描述这类信号。当且仅当x(t)在所有时间上的功率不为0且有限时，该信号为功率信号，即 (2) 式中 的 T 趋于无穷大的时候 p 为有限。系统中的波形要么具有能量值，要么具有功率值，因为能量有限的信号功率为0，而功率有限的信号能量为无穷大。一般来说，周期信号和随机信号是功率信号，而非周期的确定信号是能量信号。将信号区分为能量信号和功率信号可以简化对各种信号和噪声的数学分析。还有一类信号其功率和能量都是无限的，如 f(t) = t，这类信号很少会用到。 了解信号可能是能量信号，也可能是功率信号后，就可以很好地理解功率谱和能量谱的概念。对于能量信号，常用能量谱来描述。所谓的能量谱，也称为能量谱密度，是指用密度的概念表示信号能量在各频率点的分布情况。也即是说，对能量谱在频域上积分就可以得到信号的能量。能量谱是信号幅度谱的模的平方，其量纲是焦/赫。对于功率信号，常用功率谱来描述。所谓的功率谱，也称为功率谱密度，是指用密度的概念表示信号功率在各频率点的分布情况。也就是说，对功率谱在频域上积分就可以得到信号的功率。从理论上来说，功率谱是信号自相关函数的傅里叶变换。因为功率信号不满足傅里叶变换的条件，其频谱通常不存在，维纳-辛钦定理证明了自相关函数和傅里叶变换之间对应关系。在工程实际中，即便是功率信号，由于持续的时间有限，可以直接对信号进行傅里叶变换，然后对得到的幅度谱的模求平方，再除以持续时间来估计信号的功率谱。 对确定性的信号，特别是非周期的确定性信号，常用能量谱来描述。而对于随机信号，由于持续期时间无限长，不满足绝对可积与能量可积的条件，因此不存在傅立叶变换，所以通常用功率谱来描述。周期性的信号，也同样是不满足傅里叶变换的条件，常用功率谱来描
信号的频谱分析
实验三信号的频谱分析 方波信号的分解与合成实验 一、任务与目的 1. 了解方波的傅立叶级数展开和频谱特性。 2. 掌握方波信号在时域上进行分解与合成的方法。 3. 掌握方波谐波分量的幅值和相位对信号合成的影响。 二、原理（条件） PC机一台，TD－SAS系列教学实验系统一套。 1. 信号的傅立叶级数展开与频谱分析 信号的时域特性和频域特性是对信号的两种不同的描述方式。对于一个时域的周期信号f(t)，只要满足狄利克莱条件，就可以将其展开成傅立叶级数： 如果将式中同频率项合并，可以写成如下形式： 从式中可以看出，信号f(t)是由直流分量和许多余弦（或正弦）分量组成。其中第一项A0/2是常数项，它是周期信号中所包含的直流分量；式中第二项A1cos(Ωt+φ1)称为基波，它的角频率与原周期信号相同，A1是基波振幅，φ1是基波初相角；式中第三项A2cos(Ωt+φ2)称为二次谐波，它的频率是基波的二倍，A2是基波振幅，φ2是基波初相角。依此类推，还有三次、四次等高次谐波分量。 2. 方波信号的频谱 将方波信号展开成傅立叶级数为： n=1，3，5… 此公式说明，方波信号中只含有一、三、五等奇次谐波分量，并且其各奇次谐波分量的幅值逐渐减小，初相角为零。图3-1-1为一个周期方波信号的组成情况，由图可见，当它包含的分量越多时，波形越接近于原来的方波信号，还可以看出频率较低的谐波分量振幅较大，它们组成方波的主体，而频率较高的谐波分量振幅较小，它们主要影响波形的细节。
（a）基波（b）基波＋三次谐波 （c）基波＋三次谐波＋五次谐波 （d）基波＋三次谐波＋五次谐波＋七次谐波 （e）基波＋三次谐波＋五次谐波＋七次谐波＋九次谐波 图3-1-1方波的合成 3. 方波信号的分解 方波信号的分解的基本工作原理是采用多个带通滤波器，把它们的中心频率分别调到被测信号的各个频率分量上，当被测信号同时加到多路滤波器上，中心频率与信号所包含的某次谐波分量频率一致的滤波器便有输出。在被测信号发生的实际时间内可以同时测得信号所包含的各频率分量。本实验便是采用此方法，实验中共有5路滤波器，分别对应方波的一、三、五、七、九次分量。 4. 信号的合成 本实验将分解出的1路基波分量和4路谐波分量通过一个加法器，合成为原输入的方波信号，信号合成电路图如图3-1-2所示。 图3-1-2 三、内容与步骤 本实验在方波信号的分解与合成单元完成。 1. 使信号发生器输出频率为100Hz、幅值为4V的方波信号，接入IN端。 2. 用示波器同时测量IN和OUT1端，调节该通路所对应的幅值调节电位器，使该通路输出方波的基波分量，基波分量的幅值为方波信号幅值的4/π倍，频率于方波相同并且没有相位差.（注意：出厂时波形调节电位器已调到最佳位置，其波形基本不失真，基本没有相位差。若实验中发现存在波形失真或有相位差的现象，请适当调节波形调节电位器，使波形恢复正常。） 3. 用同样的方法分别在OUT3、OUT5、OUT7、OUT9端得到方波的三、五、七、九此谐波分量（注意其他谐波分量各参数应当满足式3-1-1所示）。 4. 完成信号的分解后，先后将OUT1与IN1、OUT3与IN2、OUT5与IN3、OUT7与IN4、OUT9与IN5连接起来，即进行谐波叠加（信号合成），分别测量（1）基波与三次谐波；（2）基波、三次谐波与五次谐波；（3）基波、三次谐波、五次谐波与七次谐波；（4）基波、三次谐波、五次谐波、七次谐波与九次谐波合成后的波形。并分别保
功率谱和功率谱密度的区别
谱让人联想到的Fourier变换，是一个时间平均（time average）概念，对能量就是能量谱，对功率就是功率谱。 功率谱的概念是针对功率有限信号的，所表现的是单位频带内信号功率随频率的变化情况。保留了频谱的幅度信息，但是丢掉了相位信息，所以频谱不同的信号其功率谱是可能相同的。 有两点需要注意： 1. 功率谱是随机过程的统计平均概念，平稳随机过程的功率谱是一个确定函数；而频谱是随机过程样本的Fourier变换，对于一个随机过程而言，频谱也是一个“随机过程”。（随机的频域序列） 2. 功率概念和幅度概念的差别。此外，只能对宽平稳的各态历经的二阶矩过程谈功率谱，其存在性取决于二阶矩是否存在并且二阶矩的Fourier变换收敛；而频谱的存在性仅仅取决于该随机过程的该样本的Fourier变换是否收敛。 频谱分析： 对动态信号在频率域内进行分析，分析的结果是以频率为坐标的各种物理量的谱线和曲线，可得到各种幅值以频率为变量的频谱函数F(ω)。频谱分析中可求得幅值谱、相位谱、功率谱和各种谱密度等等。频谱分析过程较为复杂，它是以傅里叶级数和傅里叶积分为基础的。 功率谱密度： 功率谱密度（PSD），它定义了信号或者时间序列的功率如何随频率分布。这里功率可能是实际物理上的功率，或者更经常便于表示抽象的信号被定义为信号数值的平方，也就是当信号的负载为1欧姆(ohm)时的实际功率。
由于平均值不为零的信号不是平方可积的，所以在这种情况下就没有傅里叶变换。维纳-辛钦定理（Wiener-Khinchin theorem）提供了一个简单的替换方法，如果信号可以看作是平稳随机过程，那么功率谱密度就是信号自相关函数的傅里叶变换。 信号的功率谱密度当且仅当信号是广义的平稳过程的时候才存在。如果信号不是平稳过程，那么自相关函数一定是两个变量的函数，这样就不存在功率谱密度，但是可以使用类似的技术估计时变谱密度。 随机信号是时域无限信号，不具备可积分条件，因此不能直接进行傅氏变换。一般用具有统计特性的功率谱来作为谱分析的依据。 功率谱与自相关函数是一个傅氏变换对。 功率谱具有单位频率的平均功率量纲。所以标准叫法是功率谱密度。从名字分解来看就是说，观察对象是功率，观察域是谱域。 通过功率谱密度函数，可以看出随机信号的能量随着频率的分布情况。像白噪声就是平行于一条直线。 一般我们讲的功率谱密度都是针对平稳随机过程的，由于平稳随机过程的样本函数一般不是绝对可积的，因此不能直接对它进行傅立叶分析。可以有三种办法来重新定义谱密度，来克服上述困难。 1. 用相关函数的傅立叶变换来定义谱密度； 2. 用随机过程的有限时间傅立叶变换来定义谱密度； 3. 用平稳随机过程的谱分解来定义谱密度。 三种定义方式对应于不同的用处，首先第一种方式前提是平稳随机过程不包含周
信号频谱分析和测试
信号频谱分析和测 试 返回 一、实验室名称：虚拟仪器实验室 二、实验项目名称：信号频谱分析和测试 三、实验目的 1．了解周期函数的傅立叶变换理论及虚拟频谱分析仪的工作原理； 2．熟悉典型信号的波形和频谱特征，并能够从信号频谱中读取所需的信息。 四、实验内容 1．测量典型信号（正弦波、三角波、方波）的频谱并记录； 2．用实验平台的任意波形信号源产生一个任意信号，观察其频谱。 五、实验器材（设备、元器件）： 1、计算机一台 2、SJ-8002B 电子测量实验箱一台 3、FG1617函数发生器一台 4、虚拟频谱分析仪程序 5、Q9线一条 六、实验原理 6.1 常见周期信号傅立叶展开公式与波形 1）方波 ，其中的 2）三角波 ，其中的 )7sin 715sin 513sin 31(sin 4)( +ω+ω+ ω+ωπ=t t t t A t f T π=ω2)7cos 4915sin 2513sin 91(sin 8)(2 +ω-ω+ω-ωπ=t t t t A t f T π=ω2
3）锯齿波 ，其中 6.2 信号的离散傅立叶变换（DFT ） x(t)经采样后变为x(nT ’)，T ’为采样周期，采样频率fs=1/T ’。离散信号x(nT ’)的傅里 叶变换可以表示为： ，n=0，1，…N-1 X(k)是复数，信号的频谱是它的模，为了方便显示，做归一化处理，用 来表示频谱。 频率分辨率为： FFT 是DFT 的快速算法。 6.3 虚拟频谱分析仪 数字式虚拟频谱分析仪是通过A/D 采样器件，将模拟信号转换为数字信号，传给微处 理器系统或计算机来处理.在对交流信号的测量中，根据奈奎斯特采样定理，采样速率必须 是信号频率的两倍以上，采样频率越高，时间轴上的信号分辨力就越高，所获得的信号就越 接近原始信号，在频谱上展现的频带就越宽。 本频谱分析仪采用快速傅立叶变换的方法，分析信号中所含各个频率份量的幅值。其构 成框图如图4所示： 图4频谱分析仪框图 七、实验步骤 7．1 测量典型信号（正弦波、三角波、方波）的频谱 （1） 准备工作：用Q9线连接信号发生器与实验平台的Ain1端，并用EPP 排线连接实 验平台和计算机之间的EPP 接口，最后打开电源.。信号发生器产生一个频率为10K ，峰峰 值为3V 左右的正弦波，启动实验平台配套的频谱分析软件，观察波形显示并作图。 （2）由信号源产生一个频率为10KHz ，峰值为3V 的正弦波，用数字频谱分析仪对该信 号进行频谱测量，幅度刻度方式设为线性刻度，不加窗函数，起始频率为0Hz ，结束频率为 100KHz ，Y 线性参考电压为2V ，将测量结果填入表1，并计算出频谱的理论值填入表1。 )4sin 413sin 312sin 21(sin 2)( +ω+ω+ω+ωπ+= t t t t A A t f T π=ω2()()N nk j N n e n x k X /210π--=∑=N k X )(f ?N f f s =?N kf k f f s k =??=
matlab 正弦波 高斯白噪声 均匀白噪声 功率谱密度 自相关函数
现代通信原理作业一 姓名：张英伟学号：8036 班级：13级理工部3班 利用matlab完成： ●产生正弦波信号、均匀白噪声以及高斯白噪声并分别将两种噪声叠加到正弦 波信号上，绘出波形。 ●分别求取均匀白噪声序列和高斯白噪声序列的自相关及功率谱密度，绘出波 形。 一、白噪声区别及产生方法 1、定义： 均匀白噪声：噪声的幅度分布服从均匀分布，功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声。 高斯白噪声：噪声的幅度分布服从正态分布，功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声。 2、matlab仿真函数： rand函数默认产生是区间在[0,1]的随机数，这里需要利用公式： z2=a+(b-(a))*rand(m,n)............（公式1） randn函数默认产生均值是0、方差是1的随机序列，所以可以用其来产生均值为0、方差为1的正态分布白噪声，即N(0，12)。利用公式： z1=a+b*randn(1,n).................（公式2） 可以产生均值为a，方差为b2 高斯白噪声，即N(a，b2)。 二、自相关函数与功率谱密度之间的关系 1、功率谱密度：每单位频率波携带的功率，这被称为信号的功率谱密度。 2、自相关函数：描述随机信号X(t)在任意两个不同时刻t1，t2的取值之间的相关程度。 3、维纳-辛钦定理： 由于平均值不为零的信号不是平方可积的，所以在这种情况下就没有傅里叶变换。幸运的是维纳-辛钦定理提供了一个简单的替换方法，如果信号可以看作是平稳随机过程，那么功率谱密度就是信号自相关函数的傅里叶变换。 4、平稳随机过程：是在固定时间和位置的概率分布与所有时间和位置的概率分布相同的随机过程。（就是指得仅一个随机过程，中途没有变成另外一个统计特性的随机过程）
脑电信号功率谱
数字信号处理作业 1.两个导联C3,C4位置的脑电信号（已预处理），实验采样频率为 250Hz，每次实验采集8秒数据，总共做了36次实验。依次求出C3,C4位置第1秒~第8秒数据的功率谱。 clc clear load('C:\Users\刘冰\Desktop\数字信号处理\matlab\C3C4.mat') a(1:8,1:512)=zeros(); for j=1:8 for k=0:35; z=fft(Left_C3(((j-1)*250+1+2000*k):(2000*k+j*250)),512); %截取特定的一段数据进行傅里叶变换 a(j,:)=p(j,:)+z.*conj(z)/512; %求其功率谱end a(j,:)=p(j,:)./36;%求平均值 end p(1:8,1:512)=zeros(); for j=1:8 for k=0:35; z=fft(Left_C4((j-1)*250+1+2000*k:2000*k+j*250),512); 、%截取特定的一段数据进行傅里叶变换 p(j,:)=q(j,:)+z.*conj(z)/512; end p(j,:)=q(j,:)./36; end for i=1:8 w=0:2*pi/255:2*pi; figure plot(w/pi,p(i,1:256),'b',w/pi,q(i,1:256),'r')%在一幅图里面显示C3C4功率谱，因为其结果是对称的，所以只取前一半结果 legend('C3','C4');%线段标题
title(['第',num2str(i), '秒 C3、C4脑电功率谱对照']) end 0.20.40.60.81 1.2 1.4 1.6 1.82 0100 200 300 400 500 600 700 第1秒 C3、C4脑电功率谱对照
功率谱密度
功率谱密度 不同形式的数字基带信号具有不同的频谱结构，分析数字基带信号的频谱特性，以便合理地设计数字基带信号，使得消息代码变换为适合于给定信道传输特性的结构，是数字基带传输必须考虑的问题。 在通信中，除特殊情况（如测试信号）外，数字基带信号通常都是随机脉冲序列。因为，如果在数字通信系统中所传输的数字序列是确知的，则消息就不携带任何信息，通信也就失去了意义。故我们面临的是一个随机序列的谱分析问题。 考察一个二进制随机脉冲序列。设脉冲、分别表示二进制码“0”和“1”, 为 码元的间隔，在任一码元时间内，和出现的概率分别为p和1-p。 则随机脉冲序列x(t)可表示成: 其中 研究由上面二式所确定的随机脉冲序列的功率谱密度，要用到概率论与随机过程的有关知识。可以证明，随机脉冲序列x(t)的双边功率谱公式（1）： 其中、分别为、的傅氏变换，。 可以得出如下结论： （1）随机脉冲序列功率谱包括两部分：连续谱（第一项）和离散谱（第二项）。对于连续谱而言，由于代表数字信息的及不能完全相同，故，因此，连 续谱总是存在；而对于离散谱而言，则在一些情况下不存在，如及是双极性的脉冲，且出现概率相同时。 （2）当、、p及给定后，随机脉冲序列功率谱就确定了。 上式的结果是非常有意义的，它一方面能使我们了解随机脉冲序列频谱的特点，以及如何去具体地计算它的功率谱密度；另一方面根据它的离散谱是否存在这一特点，将使我们明确能否从脉冲序列中直接提取离散分量，以及采取怎样的方法可以从基带脉冲序列中获得所需的离散分量。这一点，在研究位同步、载波同步等问题时，将是十分重要的；再一方面，根据它的连续谱可以确定序列的带宽（通常以谱的第一个零点作为序列的带宽）。 下面，以矩形脉冲构成的基带信号为例，通过几个有代表性的特例对功率谱密度公式的应用及意义做进一步的说明，其结果对后续问题的研究具有实用意义。
声发射信号的谱分析和相关分析
声发射信号的谱分析和相关分析 陈玉华，刘时风 耿荣生* 沈功田** (清华大学机械系，北京100084) *（北京航空工程技术研究中心， 北京100076） **（国家质量技术监督局锅检中心，北京100027） 摘要：本文主要阐述了谱分析方法和相关分析方法在声发射信号分析中的应用，给出了谱分析和相关分析的基本原理，并分别举例子做了分析讨论。 关键词：声发射；谱分析；FFT；相关分析 SPECTRAL ANALYSIS AND CORRELATION ANALYSIS FOR ACOUSTIC EMISSION SIGNAL CHEN Yuhua,LIU Shifeng (Tsinghua University,Beijing 100084,China) Abstract:A review is given to both spectral analysis and correlation analysis of acoustic emission signal. The principles of spectral analysis and correlation analysis are presented and discussed with some examples. Keywords: acoustic emission;spectral analysis;FFT;correlation analysis 材料或结构受外力或内力作用产生变形或断裂,以弹性波形式释放出应变能的现象称为声发射。声发射是一种常见的物理现象，例如岩石开裂，骨头断裂和各种固体材料断裂过程中发出的声音都是声发射信号，图1为典型的声发射信号。实际应用中，由于外界的干扰以及声发射接收系统的原因（比如传感器的频率特性等），接受得到的声发射信号中除了含有声发射信号特征信息外，还存在着大量的干扰和噪声信号。因此，要想复杂的信号中提取出需要的特征声发射信号，就需要应用一些分析手段来对信号进行处理。 图1. 典型声发射信号
信号的频谱分析及MATLAB实现
信号的频谱分析及MATLAB 实现（实例） 摘自：张登奇,杨慧银.信号的频谱分析及MATLAB 实现[J].湖南理工学院学报(自然科学版),2010,(03) 摘 要：DFT 是在时域和频域上都已离散的傅里叶变换，适于数值计算且有快速算法，是利用计算机实现信号频谱分析的常用数学工具。文章介绍了利用DFT 分析信号频谱的基本流程，重点阐述了频谱分析过程中误差形成的原因及减小分析误差的主要措施，实例列举了MATLAB 环境下频谱分析的实现程序。通过与理论分析的对比，解释了利用DFT 分析信号频谱时存在的频谱混叠、频谱泄漏及栅栏效应，并提出了相应的改进方法。 关键词：MATLAB ；频谱分析；离散傅里叶变换；频谱混叠；频谱泄漏；栅栏效应 3 分析实例 对信号进行频谱分析时，由于信号不同，傅里叶分析的频率单位也可能不同，频率轴有不同的定标方式。为了便于对不同信号的傅里叶分析进行对比，这里统一采用无纲量的归一化频率单位，即模拟频率对采样频率归一化；模拟角频率对采样角频率归一化；数字频率对2π归一化；DFT 的k 值对总点数归一化。同时，为了便于与理论值进行对比，理解误差的形成和大小，这里以确定信号的幅度谱分析为例进行分析说明。假设信号为：)()(t u e t x t -=，分析过程：首先利用CTFT 公式计算其模拟频谱的理论值；然后对其进行等间隔理想采样，得到)(n x 序列，利用DTFT 公式计算采样序列的数字连续频谱理论值，通过与模拟频谱的理论值对比，理解混叠误差形成的原因及减小误差的措施；接下来是对)(n x 序列进行加窗处理，得到有限长加窗序列)(n xw ，再次利用DTFT 公式计算加窗后序列)(n xw 的数字连续频谱，并与加窗前)(n x 的数字连续频谱进行对比，理解截断误差形成的原因及减小误差的措施；最后是对加窗序列进行DFT 运算，得到加窗后序列)(n xw 的DFT 值，它是对)(n xw 数字连续频谱进行等间隔采样的采样值，通过对比，理解栅栏效应及DFT 点数对栅栏效应的影响。利用MATLAB 实现上述分析过程的程序如下： clc;close all;clear; %CTFT 程序，以x(t)=exp(-t) t>=0 为例 %利用数值运算计算并绘制连续信号波形 L=4, %定义信号波形显示时间长度 fs=4,T=1/fs; %定义采样频率和采样周期 t_num=linspace(0,L,100);%取若干时点,点数决定作图精度 xt_num=exp(-1*t_num);%计算信号在各时点的数值 subplot(3,2,1);plot(t_num,xt_num),%绘信号波形 xlabel('时间(秒)'),ylabel('x(t)'),%加标签 grid,title('(a) 信号时域波形'),%加网格和标题 %利用符号运算和数值运算计算连续信号幅度谱的理论值 syms t W %定义时间和角频率符号对象 xt=exp(-1*t)*heaviside(t),%连续信号解析式 XW=fourier(xt,t,W),%用完整调用格式计算其傅氏变换 %在0两边取若干归一化频点，点数决定作图精度 w1=[linspace(-0.5,0,50),linspace(0,1.5,150)];