北师大版数学必修一同步讲义：第四章11.1利用函数性质判定方程解的存在

§1函数与方程

1．1利用函数性质判定方程解的存在

1．函数的零点

(1)函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．

(2)函数y＝f(x)的零点，就是方程f(x)＝0的解．

2．函数零点的判定

如果函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)f(b)<0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．此法亦称“零点存在定理”．

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数y＝x－1的零点是(1，0)．()

(2)任何函数都有零点．()

(3)函数f(x)＝x2－2x的零点是0和2.()

(4)有些函数的零点不能用零点存在定理来判定．()

★答案☆：(1)×(2)×(3)√(4)√

2．已知定义在R上的函数f(x)的图像是连续不断的，且有如下对应值表：

x 123

f(x) 4.5－2.9－3

那么函数f(x)

A．(－∞，1)B．(1，2)

C．(2，3) D．(3，＋∞)

解析：选B.因为f(x)的图像连续不断，且f(1)f(2)＝4.5×(－2.9)<0，所以在(1，2)内必存在零点．

3．下列各图像表示的函数中没有零点的是()

★答案☆：D

4．函数f (x )的图像与x 轴有3个交点，则方程f (x )＝0的解的个数为________．

解析：因为函数f (x )的图像与x 轴有3个交点，所以函数f (x )有3个零点，即方程f (x )＝0有3个实数解．

★答案☆：3

对函数零点判断的四点说明 (1)存在性：“若f (a )·f (b )<0，则在区间(a ，b )内方程f (x )＝0至少有一个实数根”指出方程f (x )＝0的实数根的存在性．

(2)唯一性：若f (a )·f (b )<0，且y ＝f (x )在(a ，b )内是单调函数，则方程f (x )＝0在(a ，b )内有唯一实数解．

(3)两个条件：①在[a ，b ]上函数图像连续不断；②端点函数值异号即f (a )·f (b )<0，缺一不可．

(4)不可逆性：对函数零点的判断方法，反过来不成立，即f (x )在(a ，b )内存在零点，不一定有图像连续不断，也不一定有f (a )·f (b )<0.

求函数的零点[学生用书P73]

判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)f (x )＝x ＋3

x

；

(2)f (x )＝x 2＋2x ＋4； (3)f (x )＝2x －3； (4)f (x )＝1－log 3x .

【解】 (1)令x ＋3

x ＝0，解得x ＝－3，

所以函数f (x )＝x ＋3

x

的零点是－3.

(2)令x 2＋2x ＋4＝0，由于Δ＝22－4×4＝－12<0， 所以方程x 2＋2x ＋4＝0无解，

所以函数f (x )＝x 2＋2x ＋4不存在零点． (3)令2x －3＝0，解得x ＝log 23， 所以函数f (x )＝2x －3的零点是log 23. (4)令1－log 3x ＝0，解得x ＝3， 所以函数f (x )＝1－log 3x 的零点是3.

函数零点的求法

求函数y ＝f (x )的零点通常有两种方法：其一是令f (x )＝0，根据解方程f (x )＝0的根求得函数的零点；其二是画出函数y ＝f (x )的图像，图像与x 轴的交点的横坐标即为函数的零点．

1.若函数f (x )＝x 2＋x －a 的一个零点是－3，求实数a 的值，并求函数f (x )

其余的零点．

解：由题意知f (－3)＝0， 即(－3)2－3－a ＝0， a ＝6.所以f (x )＝x 2＋x －6. 解方程x 2＋x －6＝0， 得x ＝－3或2.

所以函数f (x )其余的零点是2.

函数零点个数的判定[学生用书P73]

(1)函数f (x )＝?

??x 2＋2x －3，x ≤0，

－2＋ln x ，x ＞0的零点个数为( )

A ．3

B ．2

C ．1

D ．0

(2)函数f (x )＝ln x ＋x 2－3的零点的个数是________．

【解析】 (1)当x ≤0时，由f (x )＝x 2＋2x －3＝0得x 1＝－3，x 2＝1(舍去)； 当x ＞0时，由f (x )＝－2＋ln x ＝0得x ＝e 2. 所以函数的零点个数为2.

(2)法一：函数对应的方程为ln x ＋x 2－3＝0，

所以原函数零点的个数即为函数y ＝ln x 与y ＝3－x 2的图像交点个数． 在同一平面直角坐标系下，作出两函数的图像(如图)．

由图像知，函数y ＝3－x 2与

y ＝ln x 的图像只有一个交点．从而ln x ＋x 2－3＝0有一个

根，

即函数f (x )＝ln x ＋x 2－3有一个零点． 法二：因为f (1)＝－2，f (2)＝ln 2＋1＞0. 所以f (1)·f (2)＜0，

又f (x )＝ln x ＋x 2－3的图像在(1，2)上是不间断的， 所以f (x )在(1，2)上必有零点， 又f (x )在(0，＋∞)上是递增的， 所以零点只有一个．

【★答案☆】 (1)B (2)1

判断函数零点个数的三种方法

(1)方程法：若方程f (x )＝0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数．

(2)图像法：由f (x )＝g (x )－h (x )＝0，得g (x )＝h (x )，在同一平面直角坐标系内作出y 1＝g (x )和y 2＝h (x )的图像，根据两个图像交点的个数来判定函数零点的个数．

(3)定理法：函数y ＝f (x )的图像在区间[a ，b ]上是一条连续不断的曲线，由f (a )·f (b )＜0即可判断函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点．若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上是单调函数，则函数f (x )在区间(a ，b )内只有一个零点．

2.(1)函数f (x )＝x 3

－????

12x

的零点个数是( )

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．无数个

(2)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为________．

解析：(1)因为f (0)＝－1＜0，f (1)＝1－12＝1

2

＞0，

所以f (x )在(0，1)上必定存在零点，

又因为f (x )＝x 3－????12x 在R 上是递增的，

所以f (x )有且只有一个零点．

(2)当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝(－x )2－3(－x )＝x 2＋3x ，因为f (x )是R 上的奇函数， 所以当x ＜0时f (x )＝－x 2－3x ，

所以g (x )＝?

??x 2－4x ＋3，x ≥0，

－x 2－4x ＋3，x ＜0.

当x ≥0时，令x 2－4x ＋3＝0，得x ＝1或x ＝3，均符合题意；

当x ＜0时，令－x 2－4x ＋3＝0，得x ＝－2＋7(舍)或x ＝－2－7， 故g (x )的零点的集合为{1，3，－2－7}． ★答案☆：(1)B (2){1，3，－2－7}

判定函数的零点所在的大致区间[学生用书P74]

(1)函数f (x )＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1，0) C ．(0，1) D ．(1，2)

(2)函数f (x )＝ln(x ＋1)－2

x

(x ＞0)的零点所在的大致区间是( )

A ．(3，4)

B ．(2，e)

C ．(1，2)

D ．(0，1)

【解析】 (1)因为f (0)＝e 0

＋0－2＝－1＜0，f (1)＝e 1＋1－2＝e －1＞0， 所以f (0)·f (1)＜0.

由零点存在定理，f (x )的零点所在的一个区间为(0，1)． (2)由题意可得f (x )的定义域为(0，＋∞)， 可知f (x )在(0，＋∞)上是递增的．

f (1)＝ln(1＋1)－2＝ln 2－2＜0，f (2)＝ln(2＋1)－1＝ln 3－1＞0， 可得f (1)·f (2)＜0，由零点存在定理， 可知f (x )零点所在大致区间是(1，2)． 【★答案☆】 (1)C (2)C

判断函数零点所在区间的三个步骤

(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值． (2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．

(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．

3.(1)根据表格中的数据，可以判定方程e x －2x －5＝0的一个根所在的区

间是( )

x 0 1 2 3 4

e x 1

2.72 7.39 20.09 54.60 2x ＋5

5

7 9 11 13

A ．(0，1)

B ．(1，2)

C ．(2，3)

D ．(3，4)

(2)设函数y ＝x 3与y ＝???

?

12x －2

的图像的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )

A ．(0，1)

B ．(1，2)

C ．(2，3)

D ．(3，4)

解析：(1)选C.设f (x )＝e x －2x －5，此函数的图像是连续不断的， 由表可知f (0)＝1－5＝－4<0， f (1)＝2.72－7＝－4.28<0， f (2)＝7.39－9＝－1.61<0， f (3)＝20.09－11＝9.09＞0， f (4)＝54.60－13＝41.60>0， 所以f (2)·f (3)<0，

所以函数f (x )的一个零点，

即方程e x －2x －5＝0的一个根所在的区间为(2，3)．

(2)选B.y ＝x 3与y ＝????12x －2的图像的交点的横坐标即为x 3＝????12x －2的根， 即f (x )＝x 3－????12x －2的零点，

可知f (x )只有一个零点，f (1)＝1－????12－1＝－1＜0，f (2)＝23

－????120＝7＞0， 所以f (x )的零点在(1，2)内．

思想方法 函数思想、数形结合思想在求解有关函数零点(方程根)中的应用

(1)已知函数f (x )＝?

????log 1

2x ，x ＞0，2x ，x ≤0，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不等的实根，则

实数k 的取值范围是( )

A ．(0，＋∞)

B ．(－∞，1)

C ．(1，＋∞)

D ．(0，1]

(2)若函数f (x )＝x 2－2ax ＋2在区间[0，4]上至少有一个零点，则实数a 的取值范围是

________．

【解析】 (1) f (x )＝k 有两个不等的实根等价于y ＝f (x )和y ＝k 的图像有2个交点，由f (x )的图像可知，y ＝f (x )和y ＝k 有两个交点，可知k ∈(0，1]．

(2)因为函数f (x )＝x 2－2ax ＋2在区间[0，4]上至少有一个零点， ①当函数在该区间内只有一个零点时，f (0)·f (4)<0或Δ＝4a 2－8＝0，即2(18－8a )<0或

a 2＝2，解得a >9

4

或a

＝ 2.

②当函数在该区间内有两个不同零点时，

有?????Δ＝4a 2－8>0，

0<－－2a 2<4，f （0）≥0，f （4）≥0，

解得2

.

综上所述，实数a 的取值范围是{a |a ≥2}． 【★答案☆】 (1)D (2)[2，＋∞)

对于利用方程法很难求解的函数的零点问题，可利用函数的图像求解．我们知道，函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程F (x )＝0即方程f (x )＝g (x )的实数根，也就是函数y ＝f (x )的图像与y ＝g (x )的图像的交点的横坐标．这样，我们就将函数F (x )的零点问题转化为函数f (x )与g (x )图像的交点问题，作出两个函数的图像，就可以判断其零点个数．

1．已知函数f (x )的图像是连续不断的，有如下的x 、f (x )对应值表：

x 1 2 3 4 5 6 f (x ) 123.56 21.45 －7.82 11.57 －53.76 －126.49

则函数f (x )在区间[1，6]上的零点有( ) A ．2个 B ．3个 C ．至多2个 D ．至少3个

解析：选D.由x ，f (x )对应值表可知f (2)f (3)＜0，f (3)f (4)＜0，f (4)f (5)＜0. 由零点存在定理，可知f (x )在(2，3)、(3，4)、(4，5)区间内均存在零点， 故f (x )在区间[1，6]上零点至少有3个．

2．函数f (x )＝πx ＋log 2x 的零点所在区间为( )

A.????0，18

B.????18，14

C.????14，12

D.???

?12，1 解析：选C.可知f (x )＝πx ＋log 2x 在(0，＋∞)内是递增的，因为f ????14＝π4＋log 214＝π

4－2＜0，f ????12＝π2＋log 212＝π2

－1＞0，所以由零点存在定理得，f (x )零点所在区间为????14，12. 3．如果函数f (x )＝3ax －2a ＋1在区间(－1，1)上存在一个零点，则a 的取值范围是________．

解析：当a ＝0时，易知f (x )＝1不存在零点，当a ≠0时，可知f (－1)f (1)＝(－5a ＋1)(a

＋1)＜0，解得a ∈(－∞，－1)∪???

?1

5，＋∞. ★答案☆：(－∞，－1)∪????15，＋∞

4．若函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是

________．

解析：由?

??22－2a －b ＝0，

32－3a －b ＝0，

得???a ＝5，b ＝－6，

所以g (x )＝－6x 2－5x －1的零点是－12，－1

3

.

★答案☆：－12，－1

3

, [学生用书P147(单独成册)])

[A 基础达标]

1．下列函数不存在零点的是( )

A ．y ＝x －1

x

B ．y ＝2x 2－x －1

C ．y ＝???x ＋1，x ≤0，x －1，x ＞0

D ．y ＝???x ＋1，x ≥0，

x －1，x ＜0

解析：选D.令y ＝0，得选项A 和C 中的函数的零点均为1和－1；B 中函数的零点为－1

2

和1；只有D 中函数无零点． 2．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 中，a ·c <0，则该函数的零点个数是( ) A ．1 B ．2 C ．0 D ．无法确定

解析：选B.因为ac <0，所以Δ＝b 2－4ac >0，所以该函数有两个零点，故选B. 3．函数f (x )＝ln x －x 2＋4x ＋5的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

解析：选C.由数形结合可知函数y ＝ln x 的图像与函数y ＝x 2－4x －5的图像有2个交点．所以函数f (x )有2个零点．故C 正确．

4．若x 0是方程e x

＋x ＝2的解，则x 0属于区间( ) A ．(－2，－1) B ．(－1，0) C ．(0，1) D ．(1，2)

解析：选C.构造函数f (x )＝e x ＋x －2，由f (0)＝－1，f (1)＝e －1>0，显然函数f (x )是单调函数，有且只有一个零点，则函数f (x )的零点在区间(0，1)上，所以e x ＋x ＝2的解在区间(0，1)上．

5．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若f (1)＞0，f (2)＜0，则f (x )在(1，2)上零点的个数为( )

A ．至多有一个

B ．有一个或两个

C ．有且仅有一个

D ．一个也没有 解析：选C.若a ＝0，则f (x )＝bx ＋c 是一次函数，由f (1)·f (2)＜0得零点只有一个；若a ≠0，

则f (x )＝ax 2

＋bx ＋c 为二次函数，若f (x )在(1，2)上有两个零点，则必有f (1)·f (2)＞0，与已知矛盾．故f (x )在(1，2)上有且仅有一个零点．

6．已知函数f (x )＝lg x ＋x －10的零点在区间(k ，k ＋1)上，k ∈Z ，则k ＝________． 解析：由题意知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数． 且f (9)＝lg 9＋9－10＝lg 9－1<0， f (10)＝lg 10＋10－10＝1>0， 即f (9)f (10)<0，

所以函数f (x )在(9，10)内存在唯一的零点，

因为函数f (x )＝lg x ＋x －10的零点在区间(k ，k ＋1)上，k ∈Z ，所以k ＝9. ★答案☆：9

7．已知函数f (x )＝3mx －4，若在区间[－2，0]上存在x 0，使f (x 0)＝0，则实数m 的取值范围是________．

解析：因为函数f (x )在[－2，0]上存在零点x 0使f (x 0)＝0，且f (x )单调， 所以f (－2)·f (0)≤0，所以(－6m －4)×(－4)≤0，

解得m ≤－2

3

.所以，实数m 的取值范围是????－∞，－23. ★答案☆：?

???－∞，－2

3 8．已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有________个零点，这几个零点的和等于________．

解析：因为f (x )是R 上的奇函数，

所以f (0)＝0，又因为f (x )在(0，＋∞)上是增函数，由奇函数的对称性可知，f (x )在(－∞，0)上也是递增的，由f (2)＝－f (－2)＝0.因此在(0，＋∞)，(－∞，0)上都只有一个零点，综上，函数f (x )在R 上共有3个零点，其和为－2＋0＋2＝0.

★答案☆：3 0

9．已知函数f (x )＝log 2(x ＋3)－2x 3＋4x 的图像在[－2，5]内是连续不断的，对应值表如下：

(1)计算上述表格中的对应值a 和b ；

(2)从上述对应值表中，可以发现函数f (x )在哪几个区间内有零点？说明理由．

解：(1)由题意可知a ＝f (－2)＝log 2(－2＋3)－2×(－2)3＋4×(－2)＝0＋16－8＝8， b ＝f (1)＝log 24－2＋4＝4. (2)因为f (－2)·f (－1)＜0，f (－1)·f (0)＜0，f (1)·f (2)＜0，

所以函数f (x )分别在区间(－2，－1)，(－1，0)，(1，2)内有零点． 10．(1)求函数y ＝4x ＋3·2x －4的零点．

(2)已知函数f (x )＝x 2－|x |＋3＋a 有4个零点，求实数a 的取值范围． 解：(1)令y ＝0，得4x ＋3·2x －4＝0， 即(2x )2＋3·2x －4＝0，

所以(2x －1)(2x ＋4)＝0?2x ＝1或2x ＝－4， 因为2x ＞0，所以2x ＝1?x ＝0， 即函数y ＝4x ＋3·2x －4的零点是0.

(2)设g (x )＝x 2－|x |＋3，则g (x )＝???

x 2－x ＋3，x ≥0，x 2＋x ＋3，x <0.

画出其图像如图：

f (x )有4个零点，即方程

g (x )＋a ＝0有4个实根，即y ＝g (x )与y ＝－a 有4个交点，由图知114<－a <3，解得－3

.

[B 能力提升]

11．已知a 是函数f (x )＝3x －log 13

x 的零点，若0＜x 0＜a ，则f (x 0)的值满足( )

A ．f (x 0)＜0

B ．f (x 0)＞0

C ．f (x 0)＝0

D ．f (x 0)的符号不确定

解析：选A.因为f (x )＝3x －log 13

x ＝3x ＋log 3x ，所以f (x )在(0，＋∞)上是递增的．

又因为0＜x 0＜a ，所以f (x 0)＜f (a )＝0.故选A.

12．已知函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有且仅有两个零点，则实数a 的取值范围是________．

解析：分a >1与0

由图知，当a >1时，两个函数的图像有两个交点，所以实数a 的取值范围是(1，＋∞)． ★答案☆：(1，＋∞)

13．已知函数f (x )＝log 4(4x ＋1)＋kx (k ∈R )为偶函数． (1)求k 的值；

(2)若方程f (x )＝log 4(a ·2x －a )有且仅有一个根，求实数a 的取值范围． 解：(1)因为f (x )为偶函数， 所以f (－x )＝f (x )．

即log 4(4－

x ＋1)－kx ＝log 4(4x ＋1)＋kx ，

所以log 44x ＋1

4

x －log 4(4x ＋1)＝2kx ，

所以(2k ＋1)x ＝0，所以k ＝－1

2.

(2)依题意知：log 4(4x ＋1)－1

2

x ＝log 4(a ·2x －a )．

整理得log 4(4x

＋1)＝log 4[(a ·2x －a )2x ]， 所以4x ＋1＝(a ·2x －a )·2x ，(*)

令t ＝2x ，则(*)变为(1－a )t 2＋at ＋1＝0(**)只需其仅有一正根． ①当a ＝1时，t ＝－1不合题意； ②当(**)式有一正一负根时，

所以?

????Δ＝a 2－4（1－a ）＞0，

t 1t 2＝1

1－a ＜0，得a ＞1.

③当(**)式有两相等的正根时，Δ＝0，

所以a ＝±22－2，且a

2（a －1）

＞0，

所以a ＝－2－22，

综上所述可知a 的取值范围为{a |a ＞1或a ＝－2－22}．

14．(选做题)已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2

x

(x >0)．

(1)若g (x )＝m 有零点，求m 的取值范围；

(2)试确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．

解：(1)作出g (x )＝x ＋e 2

x

(x >0)的图像如图：

可知若g (x )＝m 有零点，则有m ≥2e. 故m 的取值范围为{m |m ≥2e}． (2)g (x )－f (x )＝0有两个相异实根，

即g (x )与f (x )的图像有两个不同的交点．在同一平面直角坐标系中，作出g (x )＝x ＋e 2

x

(x >0)

和f (x )的图像，如图．

因为

f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1

＝－(x －e)2＋m －1＋e 2，

其图像的对称轴为直线x ＝e ，开口向下， 最大值为m －1＋e 2， 故当m －1＋e 2>2e ， 即m >－e 2＋2e ＋1时，

g (x )与f (x )有两个不同的交点， 即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根，

所以m 的取值范围是{m |m >－e 2＋2e ＋1}．