空间直线及其方程

空间直线及其方程

§8.4 空间直线及其方程

ü直线的一般方程

ü直线的参数方程和对称方程

ü两直线的夹角

ü直线与平面的夹角

一、空间直线的一般方程

定义空间直线可看成两平面的交线．

Π1:A1x+B1y+C1z+D1Π2:A2x+B2y+C2z+D2A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0空间直线的一般方程y

注：表示同一直线的一般方程不唯一。

确定空间直线的条件

?由两个平面确定一条直线；

?由空间的两点确定一条直线；

?由空间的一点和一个方向来确定一条直线。

二、空间直线的参数方程与对称式方程

r如果一非零向量sr一条已知直线L，向量s线L的方向向量．

设定点M0(x0,y0,z0)∈L,方向向量的定义：y

r?M(x,y,z)∈L,0//srs={m,n,p},M0={x?x0,y?y0,z?z0}则{x?x0,y?y0,z?z0}=t{m,n,p} x=x0+mt y=y0+nt

z=z+pt0

消去参数t，有直线的参数方程

x?xy?yz?z==直线的对称式方程mnp

直线的一组方向数

方向向量的余弦称为直线的方向余弦.

注：

1. 表示同一直线的对称方程不唯一；

2. 对称式方程可转化为一般方程;

x=x0,x?x0y?y0z?z0 3.==理解为:y?y=z?z.0np p n

4. 任一条直线均可表示为对称式方程.

设直线过两点M(x1,y1,z1),N(x2,y2,z2)

r则s={x2?x1,y2?y1,z2?z1}

x?x1y?y1z?z1直线的对称方程为：==x2?x1y2?y1z2?z1例1用对称式方程及参数方程表示直线

x+y+z+1=0.2x?y+3z+4=0

解在直线上任取一点(x0,y0,z0)

y0+z0+2=0取x0=1?,y0?3z0?6=0

解得y0=0,z0=?2

点坐标(1,0,?2),

因所求直线与两平面的法向量都垂直取rrrs=n1×n2={4,?1,?3}, x?1y?0z+2对称式方程==,4?1?3

x=1+4t.参数方程y=?t

z=?2?3t

例2 一直线过点A(2,?3,4)，且和y轴垂直相交，求其方程.

解因为直线和y轴垂直相交,

所以交点为B(0,?3,0),

r取s=={2,0,4},

x?2y+3z?4==.所求直线方程204

三、两直线的夹角

定义两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）

x?x1y?y1z?z1直线L1:==,p1m1n1x?x2y?y2z?z2直线L2:==,m2n2p2 ^cos(L,L)=12|mm+nn+pp|m1+n1+p1?m2+n2+p2

两直线的夹角公式222222

两直线的位置关系：

(1)L1⊥L2??m1m2+n1n2+p1p2=0,m1n1p1

==,(2)L1//L2??

m2n2p2

r

例如，直线L1:s1={1,?4,0},

r直线L2:s2={0,0,1},

rrrrQs1?s2=0,∴s1⊥s2,即L1⊥L2.

x?4z=3

例3 一直线L过点(-3,2,5)，且和直线2x?y?5z=1平行，求其方程.

vi

解rrr

Qs=n1×n2=1

vj0

vk

?4=?{4,3,1}

2?1?5

∴所求直线方程

v

方法2:设s={m,n,p}

x+3y?2z?5

==.431

m?4p=0mnpvvvv

Qs⊥n1,s⊥n2∴?==

4312m?n?5p=0

v

取s={4,3,1}………

x+1y?1z

==例4 一直线过点M0(2,1,3)，且与直线L: 32?1垂直相交，求其方程.

解

设所求直线为l , 先求两直线的交点。

L

过点M0做平面垂直于直线L：3x+2y-z=5

x=?1+3t

QL的参数方程：y=1+2t代入平面方程

z=?t所以交点为M1(2/7, 13/7, -3/7)

r

取s=kM01={2,?1,4}

x?2y?1z?3所求直线方程==.2?14

四、直线与平面的夹角

定义直线和它在平面上的投影直线的夹

角?π

0≤?≤.

2

x?x0y?y0z?z0

L:==,

mnpΠ:Ax+By+Cz+D=0,

r^rπ(s,n)=??

2

s={m,n,p},r

n={A,B,C},

r^rπ(s,n)=+?

2

ππsin?=cos(??)=cos(+?).22

sin?=

|Am+Bn+Cp|222222A+B+C?m+n+p 直线与平面的夹角公式

直线与平面的位置关系：

(1)L⊥Π??(2)L//Π??

ABC==.mnp

Am+Bn+Cp=0.

x?1yz+1

例5 设直线L:==，平面

2?12

Π:x?y+2z=3，求直线与平面的夹角. rr解n={1,?1,2},s={2,?1,2},

sin?=

|Am+Bn+Cp|

222222A+B+C?m+n+p

7|1×2+(?1)×(?1)+2×2|=.=

3?∴?=arcsin

73为所求夹角．

五、平面束

定义：通过一条直线的全部平面组成的平面族称为平面束。

A1x+B1y+C1z+D1=0L：

A2x+B2y+C2z+D2=0则过直线L的全部平面组成的平面束为λ1(A1x+B1y+C1z+D1)+λ2(A2x+B2y+C2z+D2)=0

λ1，λ2不同时为零。

λ1=1,则过直线L的面束为

(A1x+B1y+C1z+D1)+λ(A2x+B2y+C2z+D2)=0

x+5y+z=0

且与平面x?4y例6求过直线:

x?z+4=0,

π

?8z+12=0组成角的平面方程.

4

解过已知直线的平面束方程为

x+5y+z+λ(x?z+4)=0,

即(1+λ)x+5y+(1?λ)z+4λ=0,

r

其法向量n={1+λ,5,1?λ}.

r

又已知平面的法向量n={1,?4,?8}.

由题设知

rrπn?n1cos=4nn1

(1+λ)?1+5?(?4)+(1?λ)?(?8)=2

22222

+(?4)+(?8)(1+λ)+5+(1?λ)

λ?3即=,2

22λ+27

3

由此解得λ=?.

4

代回平面束方程为x+20y+7z?12=0.

y=2x

例7求过点M0(1,1,1)且与两直线L1:,

z=x?1

y=3x?4L2:都相交的直线L.

z=2x?1解

将两已知直线方程化为参数方程为x=t x=t

L1:y=2t,L2:y=3t?4

z=t?1z=2t?1

设所求直线L与L1,L2的交点分别为A(t1,2t1,t1?1)和B(t2,3t2?4,2t2?1).

QM0(1,1,1)与A,B三点共线,故M0=λM0(λ为实数).

于是M0,M0对应坐标成比例,即有

t?12t?1(t?1)?1

==,t2?1(3t2?4)?1(2t2?1)?1

解之得t1=0,t2=0,∴A(0,0,?1),B(2,2,3)Q点M0(1,1,1)和B(2,2,3)同在直线L上,故L的方程为x?1=y?1=z?1.

1

1

2

六、点到直线的距离及异面直线间的距离

r

直线过P1，直线的方向向量s,直线外一点P0计算点p0到直线的距离d。

rrs×P1P0=sd

?d=s

P1

P

rrrr

v=21?(s1×s2)=s1×s2d

rrPP?(s×s)

?d=s1×s2

另法: 做一法向量

异面直线间的距离

P2

L2

vvvn=s1×s2

过直线L1 做平面π, 则法向量为

vvvn=s1×s2

故平面π∥直线L2，点P2 到平面π的距离就是d .

x+y?z?1=0

例8证明直线L1：,L2

2x+y?z?2=0异面，并求其间最短距离。

x+2y?z?2=0:

x+2y+2z+4=0

r证：Qs1=11?1={0,?1,?1},P1(1,1,1)

21?1

rrijkr

0，?2）s2=12?1={6,?3,0},P（20，

122

rirjrk

vv

{1,1,3}?{1,2,?2}P?(s×s)

∴d===1.3s1×s2

x?1yz?1

==例9 求直线在平面π:11?1

上的投影直线L1的方程。

x?y+2z?1=0

解L的方向向量为，π经过L且垂直于π的平面π1的法线向量为vvvijk vvv

n1=s×n=11?1={1,?3,?2}

1?1

2

又因为π1经过L，故经过L上的点（1，0，1），所以

π1 :(x?1)?3(y?0)?2(z?1)=0,

即x?3y?2z+1=0

x?y+2z?1=0,∴L1的方程:

x?3y?2z+1=0.

r

解：L的方向向量s={2,1,0}×{1,0,1}={1,?2,?1} x?3z?1例10求直线L1:=y=与直线

20

x+1y?2L2==z的公垂线方程。

10

L与L1确定一平面∏1，r

n1={1,?2,?1}×{2,1,0}={1,?2,5}

L与L2确定一平面∏2，r

n2={1,?2,?1}×{1,0,1}={?2,?2,2}

L1

L

L2

∴∏1:(x?3)?2y+5(z?1)=0∏2:(x+1)+(y?2)?z=0 x?2y+5z?8=0?公垂线：

x+y?z?1=0

思考题

x?4yz?2

在直线方程==中，m、

2mn6+p

n、p各怎样取值时，直线与坐标面xoy、

yoz都平行.

思考题解答

rrr

s={2m,n,6+p},且有s≠0.

rrrr

s?i=0,Qs?k=0,

6+p=0∴p=?6,m=0,?

2m=0rr

Qs≠0,∴n≠0,

故当m=0,n≠0,p=?6时结论成立．

练习一、填空题

x=1x+1y+2z?1

==1. 与两直线y=?1+t及121z=2+t

都平行，且过原点的平面

[注] 所求平面的法线向量n和两直线的方向中向量都垂直，故n={1,－1,1}

x?y+z=0

x=?t+2

2. 过点M（1，2，－1）且与直线

y=3t?4z=t?1

垂直的平面方程是————。

x?3y?z+4=0

[注] 已知直线的方向向量s={-1, 3, 1}，所求平面的法线向量n//s，故取n=s建立点法式方程即可。

3. 已知两条直线的方程是

x?1y?2z?3x+2y?1zL1:==,L2:==10?1211

则过L1且平行于L2的平面方程是——————

[注] 所求平面的法线向量n={1,0, －1}×{2,1,1}={1, －3,1}

x?3y+z+2=0

过L1的平面束为：y?2+λ(x+z?4)=0

?1∴{λ，1，λ}?{2，1，1}=0?λ=3

4. 设一平面经过原点及点（6，－3，2），且与平面4x－y+2z=8 垂直，则此平面方程为——————

[注] 所求平面的法线向量n⊥{4,?1,2},n⊥{6,?3,2},取n={2,2, －3}2x+2y?3z=0

二、选择题

1. 设有直线x?1y?5z+8L1:==1?21与x?y=6L2:2y+z=3则L1与L2的夹角为

π(D)2

[注] L1和L2的方向向量分别为s1={1,?2,1}和s2={?1,?1,2},

1πcosθ=s1?s2/|s1||s2|=,θ=23π(A)6ππ(B)(C)43

x+3y+2z+1=02. 设有直线L:2x?y?10z+3

及平面π:4x?2y+z?2=0,则直线L（C）

（A）平行于π（B）在π上（C）垂直于π（D）与π相交

[注] L的方向向量和π的法线向量平行。