4线性规划的基本理论(参考模板)

第四章 线性规划

本章主要内容：线性规划的基本理论 线性规划的单纯形法 线性规划的对偶理

论 线性规划的对偶单纯形法

教学目的及要求：理解线性规划的基本理论；掌握线性规划的单纯形法；理解线

性规划的对偶理论；掌握线性规划的对偶单纯形法。

教学重点：线性规划的单纯形法． 教学难点：线性规划的对偶单纯形法． 教学方法：启发式．

教学手段：多媒体演示、演讲与板书相结合． 教学时间：6学时． 教学内容：

§4.1 线性规划的基本理论

考虑线性规划问题

1

1min ;

,1,2,,,0,1,2,,.n

j j j n ij j i j j c x a x b i m x j n ==?

??

?

==???≥=??

∑∑s.t. (LP)

或

min ;,0.T c x Ax b x ??

=??≥?

s.t. 其中 121212(,,

,),(,,,),(,,,),(),T T T n n m ij m n x x x x c c c c b b b b A a ?====

A 称为约束矩阵，Ax b =称为约束方程组，0x ≥称为非负约束．假定：

rank()A m =．

定义 在（LP ）中，满足约束方程组及非负约束的向量x 称为可行解或可行点；所有可行解的全体称为可行解集或可行域，记作K ，即

{,0}K Ax b x ==≥．

使目标函数在K 上取到最小值的可行解称为最优解；最优解对应的目标函数值称为

最优值．

定义 在（LP ）中，约束矩阵A 的任意一个m 阶满秩子方阵B 称为基，B 中

m 个线性无关的列向量称为基向量，

x 中与B 的列对应的分量称为关于B 的基变量，其余的变量称为关于B 的非基变量．

任取（LP ）的一个基12(,,

,)m j j j B p p p =，记12(,,

,)m T B j j j x x x x =，若令关

于B 的非基变量都取0，则约束方程Ax b =变为B Bx b =．由于B 是满秩方阵，因此B Bx b =有唯一解1B x B b -=．

记121(,,

,)m T j j j B b x x x -=，则由

12,1,2,,,0,{1,2,

,}{,,

,}

k k j j j m x x k m x j n j j j ===?∈-

所构成的n 维向量x 是Ax b =的一个解，称之为（LP ）的关于B 的基本解．

基本解满足约束方程组，但不一定满足非负约束，所以不一定是可行解．若

10B b -≥，即基本解x 也是可行解，则称x 为（LP ）的关于基B 的基本可行解，

相应的基B 称为（LP ）的可行基；当10B b ->时，称此基本可行解x 是非退化的，否则，称之为退化的．若一个（LP ）的所有基本可行解都是非退化的，则称该（LP ）是非退化的，否则，称它是退化的．

例1 求下列线性规划问题的所有基本可行解．

12123

124min 44;

4,2,0,1,2,3,4.j x x x x x x x x x j -??-+=??

-++=??≥=?

s.t. 解 约束矩阵的4个列向量依次为

12341110,,,1101p p p p -????????==== ? ? ? ?-????????．

全部基为

113214323424534(,),(,),(,),(,),(,),B p p B p p B p p B p p B p p =====

对于1B ，1x 和3x 为基变量，2x 和4x 为非基变量．令2x =4x =0，有

131

4,

2,x x x +=??

-=? 得到关于1B 的基本解(1)(2,0,6,0)T x =-，它不是可行解．

对于2B ，1x 和4x 为基变量，2x 和3x 为非基变量．令2x =3x =0，有

1

144,2,

x x x =??

-+=? 得到关于2B 的基本解(2)(4,0,0,6)T x =，它是一个非退化的基本可行解．

同理，可求得关于345,,B B B 的基本解分别为

(3)(4)(5)(0,2,6,0),(0,4,0,6),(0,0,4,2)T T T x x x ==-=，

显然，(3)x 和(5)x 均是非退化的基本可行解，而(4)x 不是可行解．因此，该问题的所有基本可行解为(2)(3)(5),,x x x ．此外，因为这些基本可行解都是非退化的，所以该问题是非退化的．

定理1 设x 为（LP ）的可行解，则x 为（LP ）的基本可行解的充要条件是它的非零分量所对应的列向量线性无关．

证明 不妨设x 的前r 个分量为正分量，即

12(,,,,0,

,0),0(1,2,

,).T r j x x x x x j r =>=

若x 是基本可行解，则取正值的变量12,,,r x x x 必定是基变量，而这些基变量对

应的列向量12,,,r p p p 是基向量．故必定线性相关．

反之，若12,,

,r p p p 线性无关，则必有0r m ≤≤．当r m =时，12(,,,)

r B p p p =就是一个基；当r m <时，一定可以从约束矩阵A 的后n r -个列向量中选出m r -个，不妨设为12,,

,r r m p p p ++，使121(,,,,,,)r r m B p p p p p +=成为一个基．由

于x 是可行解，因此1

r

j j j x p b ==∑，从而必有

1

m

j

j j x

p b ==∑．由此可知x 是关于B 的基本可行解．

定理2 x 是（LP ）的基本可行解的充要条件是x 为（LP ）的可行域的极点． 证明 由定理4.1.1和定理2.2.2知结论成立． 例2 求下列线性规划问题的可行域的极点．

12123

14min ;22,2,0,1,2,3,4.j x x x x x x x x j -??++=??

+=??≥=?

s.t. 解 因为约束矩阵的4个列向量依次为

12341210,,,1001p p p p ????????==== ? ? ? ?????????．

全部基为

112213314424534(,),(,),(,),(,),(,),B p p B p p B p p B p p B p p =====

求得关于基12345,,,,B B B B B 的基本解分别为

(1)(2)(3)(4)(5)(2,0,0,0),(2,0,0,0),(2,0,0,0),(0,1,0,2),(0,0,2,2)T T T T T

x x x x x =====显然，(1)(2)(3),,x x x 均为退化的基本可行解，(4)(5),x x 是非退化的基本可行解．可行域有三个极点：(2,0,0,0)T ，(0,1,0,2)T ，(0,0,2,2)T ．

定理3 若（LP ）有可行解，则它必有基本可行解． 证明 由定理2.2.1及定理4.1.2知结论成立．

定理4 若（LP ）的可行域K 非空有界，则（LP ）必存在最优解，且其中至少有一个基本可行解为最优解．

证明 根据推论 2.2.6，（LP ）的任一可行解x 都可表示为（LP ）的全部基本可行解12,,

,k x x x 的凸组合，即 1

,k

i i i x x x K λ==?∈∑，其中

1

0(1,2,

,),1k

i i i i k λλ=≥==∑．

设s x 是使（LP ）中目标函数值达到最小的基本可行解，即 1min T T s i i k

c x c x ≤≤=，

则

1

1

,k

k

T

T

T T i i i s s i i c x c x c x c x x K λλ===≥=?∈∑∑．

这表明，基本可行解s x 为（LP ）的最优解．

定理5 设（LP ）的可行域K 无界，则（LP ）存在最优解的充要条件是对K 的任一极方向d ，均有0T c d ≥．

证明 根据定理2.2.10，（LP ）的任一可行解x 都可写成1

1

k

l

i i j j i j x x d λμ===+∑∑，

其中12,,,k x x x 为（LP ）的全部基本可行解，12,,,l d d d 为K 的全部极方向，且

1

0(1,2,

,),1,0(1,2,

,)k

i i j i i k j l λλμ=≥==≥=∑．

于是，（LP ）等价于下面以0(1,2,,)0(1,2,

,)i j i k j l λμ≥=≥=和为决策变量

的线性规划问题

11

1min ()();1,

0,1,2,,,0,1,2,,.k l

T T i i j j i j k i i i j c x c d i k j l λμλλμ===?+?

?

??

=???≥=?

≥=??

∑∑∑s.t. 由于j μ可以任意大，因此若存在某个j d ，使0T j c d <，则上述问题的目标函数无下界，从而不存在最优解，从而（LP ）不存在最优解．

若1,2,

,j l ?=，均有0T j c d ≥，设1min T T s i i k

c x c x ≤≤=，则

1

1

()(),k l

T

T

T T i i j j s i j c x c x c d c x x K λμ===+≥?∈∑∑．

所以基本可行解s x 是（LP ）的最优解．

推论6 若（LP ）的可行域K 无界，且（LP ）存在最优解，则至少存在一个

基本可行解为最优解．