超声变幅杆及其性能参数测试平台设计-本科毕业论文

本科毕业论文

(2015届)

题目超声变幅杆及其性能参数测试平台设计学院机械工程学院

专业机械设计制造及其自动化

班级

学号

学生姓名

指导教师

完成日期2015年5月

诚信承诺

我谨在此承诺：本人所写的毕业论文《超声变幅杆及其性能参数测试平台设计》均系本人独立完成，没有抄袭行为，凡涉及其他作者的观点和材料，均作了注释，若有不实，后果由本人承担。

承诺人(签名)：

年月日

摘要

本文从已知的变幅杆大小端直径、工作频率和材料出发，对超声加工系统中的变幅杆进行了研究。本文主要包括以下研究内容：

1.根据已有的变幅杆大小端直径，通过波动方程理论，完成对阶梯型、指数形、圆锥形三种变幅杆的外形设计计算。

2.利用有限元方法，借助有限元软件ANSYS对设计出的三种变幅杆进行动力学分析。先在SolidWorks中建立三种变幅杆的三维模型，再导入ANSYS中进行模态分析和谐响应分析。模态分析是指在规定超声波发生器所产生的振动的频率范围内，测定出变幅杆的各个固有频率。谐响应分析是指确定变幅杆的一个固有频率，并在变幅杆的一个固定断面施加一个正弦规律的振动，再测定变幅杆的自由端的振动变化。通过比较自由端和固定端的振幅大小变化，求出所设计的变幅杆的振幅放大比。

3.搭建实验测定平台。搭建了单独测定变幅杆放大系数的实验平台，还搭建了测定超声振动系统性能的实验平台，并对已有的变幅杆加以实验测定。通过阻抗分析仪、激光位移传感器等得到谐振频率、放大系数的实际测量数据，并判定了已有的超声振动系统的性能。

关键词：超声变幅杆；有限元；模态分析；谐响应分析；实验平台

ABSTRACT

Starting from the known diameters of both ends of ultrasonic horn, the working frequency and the material, the horn with the ultrasonic processing system were studied. This paper mainly includes the following contents:

1.According to the diameters of both ends of ultrasonic, and by the theory of wave equation, complete the size calculation of tapered, exponential and stepped ultrasonic horn.

https://www.360docs.net/doc/8b17145947.html,ing the finite element method, complete the dynamics analysis of three horn by the finite element software ANSYS. First, we should set up 3D models of three horn in SolidWorks, and then import 3D models to ANSYS for modal analysis and harmonic response analysis. Modal analysis is in accordance with the ultrasonic generator vibration frequency range and determine each natural frequency of the horn. Harmonic response analysis is in the determined natural frequency of a horn, and the horn of a fixed section applied a sinusoidal vibration, to determine the vibration change of the free end of the horn. By comparing the amplitude change of the free end and the fixed to get the amplification ratio of the designed horn.

3.Set up the experimental test platform.The experimental platform of measuring the amplification coefficient of variable amplitude rod is established, and then the experimental platform of measuring the ultrasonic vibration system performance is established, and the existing variable amplitude rod was measured experimentally. The actual measurement data of the resonant frequency and the amplification coefficient are obtained by the impedance analyzer and laser displacement sensor, and the performance of the ultrasonic vibration system is determined.

Keywords: ultrasonic horn；finite element；modal analysis；harmonic response analysis；experimental platform

目录

第一章绪论 (1)

1.1 引言 (1)

1.2 国内外研究发展历程 (1)

第二章超声波加工概述 (4)

2.1 超声波的特点 (4)

2.2 超声加工的基本原理 (5)

2.3超声加工的特点 (7)

第三章变幅杆的设计 (8)

3.1 变幅杆设计理论 (8)

3.1.1 变幅杆设计概述 (8)

3.1.2 变截面纵振动的波动方程 (8)

3.2 指数形变幅杆的理论计算 (10)

3.2.1 指数形变幅杆频率方程和谐振长度 (11)

3.2.2 指数形变幅杆的位移节点

x (11)

M (12)

3.2.3 指数形变幅杆的放大系数

p

3.2.4 指数形变幅杆的计算 (12)

3.3 圆锥形变幅杆的理论计算 (12)

3.3.1 圆锥形变幅杆的频率方程和谐振长度 (13)

3.3.2 圆锥形变幅杆的位移节点

x (14)

3.3.3 圆锥形变幅杆的放大系数

M (14)

p

3.3.4 圆锥形变幅杆的计算 (14)

3.4 阶梯形变幅杆的理论计算 (14)

3.4.1 阶梯形变幅杆的位移节点

x (15)

M (16)

3.4.2 阶梯形变幅杆的放大系数

p

3.4.3 阶梯形变幅杆的计算 (16)

第四章运用ANSYS对变幅杆的动力学分析 (17)

4.1 有限元方法简介 (17)

4.2 有限元方法动力学分析的理论基础 (18)

4.2.1 模态分析的力学基础 (18)

4.2.2 谐响应分析的力学基础 (19)

4.3 变幅杆的动力学分析 (20)

4.3.1 变幅杆模型的建立 (21)

4.3.2 变幅杆网格的划分 (22)

4.3.3 变幅杆的模态分析 (23)

4.3.4 变幅杆的谐响应分析 (25)

第五章变幅杆性能参数测试实验平台的搭建 (29)

5.1 实验目的 (29)

5.2 实验设备 (29)

5.2.1 压电式加速度传感器 (29)

5.2.2 电荷放大器 (31)

5.2.3 示波器 (32)

5.3 实验测试系统的搭建 (32)

第六章超声振动系统实验平台的搭建 (34)

6.1 实验简介 (34)

6.2 主要实验设备 (34)

6.2.1 激光位移传感器 (34)

6.2.2 阻抗分析仪 (35)

6.3 实验测试系统的建立 (35)

6.4 实验测试过程与结果分析 (36)

第七章总结与展望 (39)

7.1 总结 (39)

7.2 展望 (39)

致谢 (41)

参考文献 (42)

第一章绪论

1.1 引言

超声波加工是一种近十几年来新兴的加工技术，目前已经在很多工业中得到了应用。超声波振动的使用在生产和生活中越来越多，例如在在生活中的超声波清洗，还有生产中的超声波焊接等方面。且已经证明了超声波振动在其他很多行业中有诸多优点。这些行业包括汽车、食品加工、医疗、纺织等。通过超声加工，以达到产品性能的显著提升和质量的改进。

超声振动的能量在加工中是通过两种不同的方法实现的。①超声波加工，这种方法是基于材料去除的磨料原理。是用被连接在超声变幅杆末端的被制成精确外形的刀具对工件进行研磨。②基于超声波辅助加工的传统加工技术。本文主要探讨的是关于第一种方法，即超声波加工方法。超声波加工所应用的加工的材料和范围十分广阔，特别适合于加工一些难加工或是需要高精度的材料，例如含碳量高的合金钢等。反复的高频振动冲击模式带来了一些独特的性能并被改进成金属切削工艺[1]，其中工件和刀具之间的相互作用被看成是一个微振动的过程。

在超声波加工系统中，换能器是产生振动的，但是它产生的振动的振幅一般非常小，大约只有mm

.0，这种程度的振幅对于加工工件的磨料驱动是远

001

01

~

.0

远不够的[2]。在这种情况下，就需要一个部件能够放大换能器产生的振幅，这个零件就是变幅杆，它能有效地放大振幅。在目前的生产和研究中中，设计比较简单和常见的有：指数形，阶梯形还有圆锥形形状的变幅杆。除此之外，为了得到各种不同形状变幅杆的优点，回避其缺点，以提高形状因数，增大放大系数，在实际的生产应用中会使用各种各样的复合型变幅杆，所谓的复合型变幅杆，实际上就是由两种或以上的普通变幅杆连接组合形成的。由于此次课题暂不涉及到复合型变幅杆，便不多赘述。下文对三种单一的变幅杆做详细的计算分析和研究。

在研究过程中，还有对上述三种变幅杆的动力学分析部分，主要是模态分析还有谐响应分析。动力学的分析运用了有限元分析法，运用的软件是ANSYS。此外还设计搭建了测试变幅杆放大系数的实验测试平台，对现有的变幅杆进行了实验测试，以论证实验平台的可行性。本文的主要目的是对超声变幅杆动力学特性所需的外形及几何尺寸的选择提出普遍适用的结论。

1.2 国内外研究发展历程

超声学有很多不同的研究方向，超声波加工技术就是这许多研究方向的其中之一，其发展迅速，发挥着重大作用。伴随着超声学的发展，超声加工的应用范围越来越广，而也正是超声加工的发展，反过来也推动了超声学的进步。

19世纪二三十年代，超声波加工实验首次开始进行，当时是由美国的一些物理学家参与研究。在那时，玻璃制品的加工还是非常苦难，所以超声波加工实验的对象就是玻璃。那时还没有涉及到超声变幅杆这个概念，这个概念是1945年左右提出的。最开始，变幅杆的类型是纵指数形的，其目的是为了放大超声波的功率。后来，发现单一指数形形状的变幅杆不适合用于所有的生产情况中，在这个前提下，悬链形和复合型被提了出来，并运用到了实践中。对于变幅杆的外形形状在此之前一直没有一个参数加以描述，直到形状因数这个概念被提出，有了这个参数概念，变幅杆的设计理论更加趋于成熟，沿杆方向分布更均匀的高斯形变幅杆被发明了出来，以此获得了高位移的振幅。还有一个超声加工中非常重要的零件在这时被提了出来：振动方向变换器。基于此零件，大功率超声获得的途径有了更多的选择。在此基础上，另一种结构也被提了出来：夹心弯曲换能器。此后，变幅杆的发展突飞猛进，特别是在日本，在这一领域有了很多新的先进的发明，这些发明进一步推动了变幅杆的发展。随着变幅杆领域的快速发展，弯曲振动形的还有扭转振动形的都在工业应用中得到了很好的利用。除了以上所提到的常规形状的变幅杆，在一些特殊领域工业中也出现了一些特殊形状的变幅杆，例如变厚度的盘形变幅杆等，虽然外形看上去不是变幅杆的外形，但是从功能上来说也属于变幅杆的范畴。

纵观变幅杆的发展历史，Y.S.Wong,W.K.H.Seah在其中做出了巨大的贡献。对变幅杆采用CNC加工就是他们提出的，事实证明，这种方法对变幅杆的加工起到了很好的促进作用。

孙玉林教授对指数形超声变幅杆展开了深入的研究，对纵振扭转的能量还有指数衰减系数，及其具体选择方案做了研究[3]。

ANSYS对于变幅杆的设计优化运用的十分灵活是在埃及科学家S.G.Amin等提出了ANSYS软件包对变幅杆的具体仿真过程后实现的，他们自己还对双锥形变幅杆进行了仿真测试，过程中不是现在最常用的体单元，而是面单元，所做的这个仿真得出了变幅杆在不同截面处的振幅大小，这种仿真研究为工业实践中选择合适外形尺寸的变幅杆提供了非常好的参考方案[4]。

目前，有限元分析法等软件技术已经普遍被用来设计轴对称形状的变幅杆。随着有限元软件技术的发展，又有L.C.Lee等人运用这一类软件测定了变幅杆的固有频率，这在变幅杆的发展中是及其重要的一步，因为运用仿真得到了固有频率，这样子在设计时就能使变幅杆更好地达到固有频率，就能达到更好的效果[5]。

有限元技术的运用并不仅仅局限于变幅杆，它有非常广的运用范围，只在超

声加工领域，还能用于研究压电式换能器。B.Dubus等人就运用有限元软件对其进行了研究，并得出了一些普适结论。

当变幅杆承受负载时，其一些特性又有了不一样的结论，所以对于负载下变幅杆的特性研究还是很有必要的，因为变幅杆总是在有负载下工作的，廖华丽等人就在这一方面展开了详细的研究，且得到了很好的效果[6]。

纵观变幅杆的发展历程，之前前辈们对于变幅杆的研究已经非常的透彻，本文只是在众多前辈的研究成果的基础上，做一些在这个领域有关的研究。

第二章超声波加工概述

2.1 超声波的特点

超声波，顾名思义，也是声波的一种，声波是一种纵波。正常声波的频率范围是Hz

16。高出了这个范围，人耳便不能感受到了，这就是超声波，不被16000

~

人耳所感知的一种声波，当然还有低于这个范围的声波叫做次声波，也不能被人耳所感知，但本次课题研究中所涉及的是前者。超声波的运用，一般有以下两种：一是在特种加工领域，利用超声波所携带的巨大能量，在材料加工领域发挥其巨大的作用。二是在信息采集领域，利用超声波强大的穿透能力来采集信息，且对人体几乎无伤害。超声波具有以下一些特性：

1)超声波是声波的一种，所以它和声波的特性一样，能在固体、液体、气体等各种介质中传播，其传播的速度和波长、介质密度、频率等有关。可以用下面这个公式表示

=(2.1)

cλ

f

其中，式中：

c——超声波的传播速度()s

m；

λ——超声波的波长()m；

Hz。

f——超声波的频率()

2)超声波在传播的过程中，其运动的轨迹可用余弦函数来表述，即以下公式：

()?

ω+

x cos(2.2)

A

?

=t

其中，式中：

x——质点运动的位移()m；

A——质点振动的振幅()m；

ω——圆频率()s

rad；

t——时间()s；

?——振动的相位角()

rad。

3)正如前面所提到的一样，超声加工利用的就是超声波所携带的巨大的能量，

所以超声波特性之下就是能够传递巨大的能量。要用能量强度来表示的话，垂直于传播方向，每平方厘米，可以高达上百瓦。这其中，九成以上能够利用在加工之中。

4)当超声波在液体中传播时，又会具有在其他介质中传播所不具有的特性，因为在液体中，超声波的高频率振动会带动着液体振动，液体质点在超声波的带动下，产生了有些区域稀疏，有些区域压缩的现象。但是液体基本上是不可压缩的，所以在稀疏区域和压缩区域的压力就会有正负交替变化的现象，这种现象称为空化现象。空化现象指的就是瞬时的液体压力增大，能够达到几十个大气压，并伴随着液压冲击。就是利用超声波在液体中的这种特性，超声加工中刀具带动着磨料悬浮液，使得交变的脉冲压力作用于所要加工的工件表面，破坏分散表面固体物质，以达到加工效果。

5)反射和折射是波所具有的通性，超声波也不例外。当超声波从一种介质传向另一种介质中，就会产生折射，同时也伴随着反射。但反射的量的多少，即所反射的能量的多少要取决于一个常数：波阻抗(密度与波速的乘积c )。超声波所进过的两种介质的波阻抗的值差距越大，超声波所不不能通过的，即被反射的能量就越多。在变换了介质材料状态的情况下，这种现象最为明显，即例如从固体传向液体等类似的情况，超声波几乎会反射所有能量。在相邻的固体介质中传播时，由于两固体之间肯定会有缝隙，这会对超声波的反射造成巨大的有利条件，为了减少能量的损失，改善超声波的传递，往往会在两个固体之间塞上填充物，例如凡士林等，这样既能起到固定连接的作用，也能起到减少超声波反射而造成的能量损失。

2.2 超声加工的基本原理

在超声加工的过程中，换能器是直接连接着电源的。换能器能转换电能为机械能，将电震荡转换为同一频率、垂直于被加工零件表面的超声机械振动，但是换能器所产生的振动的振幅仅为mm

~

.0。所以需变幅杆对其进行放大，变

005

01

.0

幅杆放大后为mm

05

.0，放大后的振动可驱动端面刀具做超声振动。在刀具振~

1.0

动的过程中，磨料悬浮液(其中包括磨料、水或煤油)在刀具的带动下，做出高速的振动，磨粒直接快速作用到材料上，使加工区域的材料变形、开裂，一直到被加工工件表面需要去除的部分散碎成微粒，如图2.1所示。

图2.1超声波加工示意图

刀具的不断振动带动了磨料悬浮液的不断搅动，促使了悬浮液中的磨料对工件表面进行快速打磨。在这过程中，又因为超声波是在液体中传播，所以伴随着空化现象，这样工件的表面就会形成液体空腔，悬浮液就会渗入到工件的缝隙中。空化作用还有另外一个作用，那就是均匀了磨料悬浮液和加快了加工产物的排除。就是在这个反复的过程下，各个环节的不断重复循环，实现了超声加工。总结为一句话，就是超声加工是磨粒在磨料悬浮液中，在超声振动的作用下冲击、抛磨材料表面的过程，与此同时，也有空化现象和侵蚀的作用，但是这两样是辅助，主要还是悬浮液中磨料的振动。所以可以得出一个结论：脆性材料更适合超声加工，因为其材料受到冲击作用时较易被破坏。

超声加工设备是对机床、超声波发生器、超声振动系统还有磨料悬浮液循环系统的总称。上述中的超声振动系统是以换能器为先的加上变幅杆和刀具的总称。超声变幅杆所起到的作用就是放大换能器所产生的超声波振动的振幅，以适用于刀具对超声加工的需要。且不同超声振动系统中使用的变幅杆形状一般是不同的，即沿变幅杆长度方向上截面面积变化情况不同。振动在通过变幅杆时，一路传播下来，对每个截面来说，所携带的能量是不变的，即如果在横截面积非常小的截面，所携带的能量也是一样的，那么对于这个截面来说，能量密度就会非常大，振动幅度也会随之提高。另外为了使得变幅杆起到放大振幅的作用，最终能够输出足够大的振幅，换能器所产生的振动的频率应该近似等于变幅杆的固有频率，使两者能够达到共振的状态。这就给变幅杆在设计之初就提出了一个要求，变幅杆的谐振长度应该是等于超声波波长的一半，或者应该是整数倍的。

2.3超声加工的特点

超声加工非常适用于加工脆性硬性材料，例如石英等等。加工范围也十分的广阔，不仅仅是切割打磨而已，还有打孔等等各方各面都可以运用超声加工。当然超声加工也适用于加工耐热导电性金属材料，包括高碳钢等等。目前超声加工应用非常广泛，在各行各业都有其身影。目前应用的由超声焊接、超声切削、超声波清洗、超声钻孔等等，还包括医学界的超声波CT。从而可见，超声波的应用和前景都非常广阔。

由于超声加工工件时，去除工件材料的原理主要是依靠磨粒瞬间局部的冲击作用，所以工件表面所受的宏观切削力非常小，切屑应力和切削热也很小，故不会使被加工工件产生变形和烧伤，极大程度地降低了被加工工件的表面粗糙度，一般可达到m

63

~

.0，尺寸精度可达mm

Raμ

08

.0

±，这样的加工精度同样适用于

.0

03

加工窄缝、薄壁、低刚度的零件。

超声加工中的刀具可以使用较软的材料，做成较复杂的形状，且刀具和被加工工件之间不需要复杂的相对运动，就能够加工不同的复杂的型腔和型面。所以，一般来说，超声加工系统的机床结构比较简单，操作和维修也较数控加工中心等其他加工设备简单。

另外，超声加工系统不受被加工材料是否具有导电性的限制。对超声加工来说，被加工工件的材料脆性越大越容易加工，材料硬度越大，或强度韧性越大越难加工。因为超声加工加工工件时，直接接触工件的是磨料悬浮液，而不是刀具，所以说，刀具起到的作用和普通车床上是不一样的，因此刀具的硬度没必要那么高，可以低于工件材料，但是和工件材料直接接触的悬浮液中的磨粒，其硬度是必须大于工件材料的。此外，超声加工还可以与其他多种加工方法相结合，形成各种复合加工工艺，例如生产中经常应用的超声电火花加工，当然还有超声电解加工、超声振动钻削等。

第三章 变幅杆的设计

3.1 变幅杆设计理论

3.1.1 变幅杆设计概述

超声变幅杆的主要功能是把超声波的振幅放大至刀具有效加工所需的大小。超声变幅杆也可以看做是把振动能从换能器传递到刀具的工具。它是通过与换能器达到共振来是实现工作。超声变幅杆的设计制造过程需要非常小心，要校核再校核。设计不合理的超声变幅杆会有损设备的机械加工性能，会对振动系统产生破坏并对超声发生器造成巨大的损坏。

超声波传播原理和简单机械振动系统的振动还有质点理论是超声变幅杆的理论设计基础[2]。

通常，超声变幅杆是由具有高疲劳强度和耐磨的金属制成的。超声变幅杆设计中最重要的环节就是对其共振频率的确定和正确的谐振波长的确定。变幅杆的谐振长度如上文所提到的，应该是超声波半波长的倍数。简单几何形状(圆柱形)的超声变幅杆的谐振频率是能够确定的。对于复杂几何形状的变幅杆的谐振频率通常通过有限元的方法来确定[7]。

超声变幅杆的主要性能需有由放大系数来评估

01A A =

? (3.1)

式中 A0——超声变幅杆输入端的振幅，

A1——超声变幅杆输出端的振幅，

对放大系数的基本要求 1>? (3.2)

3.1.2 变截面纵振动的波动方程

在设计和应用变幅杆的过程中，为了简便起见，可以从理论上把变幅杆考虑成是由均匀、各向同性材料所构成的变截面杆。并且当变幅杆的尺寸远远小于波长时，在不计损耗的前提下，并且纵波一定是沿着变幅杆的中心轴方向进行传播，那么在杆的各个横截面上应力的分布应该是均匀的[8]。

图3.1变截面杆纵振示意图

图3.1所示的是变截面杆纵振的示意图，图中的x 轴是变幅杆的中心对称轴，作用在微小体元(x ，dx x +所限定的区间)上的张应力为

dx x ??σ，利用牛顿定律，

加以推导，可以得处变幅杆理论的关键动力学方程[9]：

dx t S dx x S 22)

(???=???ξρσ (3.3) 其中：)(x S S =——杆的横截面积函数；

)(x ξξ=——质点位移；

x

E x ??==ξσσ)( ——应力函数； ρ——杆材料的密度；

E ——杨氏模量。

当处于简谐振动的情况下，式(3.3)又可以改写成

(3.4)

上面这个式子就是变截面杆纵振动的波动方程，其中222c k ω=，k 为园波数，ω为园频率，ρE c =为纵波在细棒中的传播速度。可以根据边界条件

]()()(,0)[(00初始振幅）和===??=??x x t x u x x ξξ来求解此方程[10]，利用此方程，可以求得引起和振动波产生共振的变幅杆的长度以及在这个长度下的振幅的变化情况。但上述公式是有适用前提的，只是在变幅杆的截面函数按照一定规律变化的情况下，例如：阶梯形，指数形，圆锥形等变幅杆。对于截面函数更为复杂的或者是复合型的变幅杆，式(3.4)中的S 对x 的一阶导数就不是常数，即所说的式(3.4)的一次项先系数不是常数，那么这个方程的求解就会变得困难。

本文所研究的课题的变幅杆的工作频率为KHz f 20=，变幅杆的截面都为圆截面，变幅杆所用的材料45钢，纵波在变幅杆中的传播速度为s mm c 196.5=[1]。此02122=+??????+??ξξξk x x S S x

次研究的课题，将对指数形、圆锥形和阶梯形变幅杆进行理论设计及计算。下文将展开具体公式推导和计算。

3.2 指数形变幅杆的理论计算

图3.2指数形变幅杆

图3.2所示的为指数形变幅杆。变幅杆在坐标原点(0=x 处)的横截面积为1S ，(l x =处)的横截面积为2S 。而作用在变幅杆输入端(0=x 处)以及输出端(l x =处)的力和纵波振动速度分别为?

?2211,ξξF F 和，。取指数形变幅杆的横截面为圆截面时，圆截面半径的函数为x e R R β-=1。

其中，式中N l R R l S S l ln 121ln 121ln 1===β； 2

121R R S S N N ==—面积函数，— 那么这样就可求得方程(3.4)的解为： t j e x K a x K a x e ωβξ)'sin 2'cos 1(+= (3.5)

其中式中，22'β-=K K 。

在下文中，为了方便计算，可以省略去时间因子t j e ω。那么，应变分布的表达式可以写成：

)'cos '2'sin '1()'sin 2'cos 1(x K K a x K K a x e x K a x K a x e x +-++=??βββξ

(3.6)

且变幅杆的边界条件为两端自由：

?????=??=??-=?-====??=??=?

==l x x l x t l x x x x t x ξξξξξξξξξξ22000110 (3.7) 3.2.1 指数形变幅杆频率方程和谐振长度

从上文式(3.6)和边界条件(3.7)中的00==??==??t x x

x x ξξ可以得到以下关系式 0'sin '12=???

????????? ??+l K K ββ 且由于02'1≠+???

?

??????? ??ββK ，所以可以得到频率方程 0'sin =l K (3.8)

或 πn l K =' ?=3,2,1n (3.9)

2

''

2'λλπππ

N N K n l === (3.10) 因为22'β-=K K ，可以得到指数形变幅杆中纵波的传播速度

21'??? ??-=ωβc c

c (3.11)

通过上述式子可以得出结论，在指数形变幅杆中，纵波的传播速度是和圆频率有关系的，当满足关系

12

? ??ωβc 或 πβ2c f > 时，必须按照以上公式来设计指数形超声变幅杆，声波在变幅杆中的传播才能实现，振动能才能从变幅杆的输入端传到输出端。

把式(3.11)代入到式(3.10)中，结合式l N ln =β，就可以计算出谐振长度l ：

2

ln 122ln 12??? ????? ??+=+=πλπn N n n N f c n l (3.12) 这里需要注意的是，前文公式中所出现的'λ和λ分别指的是纵波在指数形变幅杆和均匀细杆中的波长。

3.2.2 指数形变幅杆的位移节点0x

根据边界条件(3.7)以及式(3.5)、式(3.6)，可以确定出常数11ξ=a ，12'ξβ

K a -=，

将其代入式(3.5)中，可得到质点沿轴向的位移分布方程为

??

?

??-=x K K x K x e 'sin ''cos 1ββξξ (3.13) 当0=ξ时，可以求出位移节点

')'cot(0K x K β

= 或 ??? ??=ππN arc l

x ln cot 0 (3.14) 3.2.3 指数形变幅杆的放大系数p M

根据式(3.13)可以得出 10ξξ==x

??

? ??-==l K K l K l e l x 'sin ''cos 1ββξξ ??

? ??-====l K K l K l e x l

x p M 'sin ''cos 0ββξξ 把频率方程πn l K ='代入到上述式子中就可以得到放大系数P M 为

N l e P M ==β (3.15)

3.2.4 指数形变幅杆的计算

根据课题所给数据，mm 871=φ，mm 172=φ，按照面积系数计算公式，求得面积系数1176.5=N 。为了减小变幅杆尺寸，本方案采用半波长变幅杆，在公式(3.12)中，取1=n ，计算求得谐振长度mm l 66.145=，进而求得3102.11-?=β。接着判定πβ2c f >是否成立，31022.92?=π

βc ，满足要求，说明设计出的此尺寸变幅杆能够传递声波。再根据式(3.14)计算出位移节点mm x 61.500=，根据式(3.15)计算出放大系数1176.5=p M 。

3.3 圆锥形变幅杆的理论计算

图3.3圆锥形变幅杆

图3.3所示的为圆锥形变幅杆。假设作用在此圆锥形变幅杆两端的力和振动速度分别为1F ,?1ξ和2F ，?

2ξ，且变幅杆在坐标原点(0=x )处的直径为1D ，在另一端部(l x =)处的直径为2D ，可得到函数的关系式为

2)1(1x S S α-=

)1(1x D D α-= 其中，式中 Nl

N l D D D 1121-=-=α 2

1D D N = 此时，波动方程(3.4)的解为

()Kx a Kx a x sin 2cos 111

+-

=αξ (3.16) ()()Kx a Kx a x Kx K a Kx K a x x sin 2cos 1211cos 2sin 111+--+--=????? ????? ??ααξ

(3.17)

3.3.1 圆锥形变幅杆的频率方程和谐振长度

通过式(3.17)和边界条件

00==??==??l x x

x x ξξ 可以得到频率方程 ()11)tan(2-??? ??-=l K Kl

Kl αα (3.18)

或 2

2)()

1(1)tan(Kl N N Kl Kl -+= (3.19) 通过式(3.18)可以求出根0)(Kl ，将其代入下式便可求出圆锥形变幅杆的谐振长度

0)(2Kl l π

λ=

(3.20) 3.3.2 圆锥形变幅杆的位移节点0x 根据式(3.16)和式(3.17)，运用边界条件

00,10==??==x x

x ξξξ 可以确定出常数 K

a a 1211,ξαξ=-= 把21,a a 代入到式(3.16)中可以得到质点的位移表达式为

??

? ??--=Kx K kx x sin cos 111ααξξ (3.21) 在式(3.21)中，令0=ξ，可计算出位移节点0x ：

??

? ??=αK K x arctan 10 (3.22) 3.3.3 圆锥形变幅杆的放大系数p M

放大系数p M 的计算公式为

??

? ??--=Kl NKl N Kl N M p sin 1cos (3.23) 3.3.4 圆锥形变幅杆的计算

根据式(3.19)，先求出()0Kl 。求得()456.30=Kl ，再根据式(3.20)求得谐振长度mm l 0.142=。然后求位移节点0x ，求出310666.5-?=α，21043.2-?=K ，根据式(3.22)，求出位移节点mm x 32.610=。最后根据式(3.23)求出放大系数49.4=p M 。

3.4 阶梯形变幅杆的理论计算