高中数学选修2-3统计案例之线性回归方程习题课

1．相关关系的分类

从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关；点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关．

2．线性相关

从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线．3．回归方程

(1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归

直线的距离平方和最小的方法叫最小二乘法．

(2)回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，其回归方程为y^＝b^x＋a^，则b^，a^

其中，b是回归方程的斜率，a是在y轴上的截距．

4．样本相关系数

r＝∑

i＝1

x i－x y i－y

∑

i＝1

x i－x2∑

i＝1

y i－y2

，

用它来衡量两个变量间的线性相关关系．

(1)当r＞0时，表明两个变量正相关；

(2)当r＜0时，表明两个变量负相关；

(3)r的绝对值越接近1，表明两个变量的线性相关性越强；r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常当|r|＞0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系．

5．线性回归模型

(1)y＝bx＋a＋e中，a、b称为模型的未知参数；e称为随机误差．

(2)相关指数

用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是：R2＝，R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好．在线性回归模型中，R2表示解释变量对预报变量变化的贡献率，R2越接近于1，表示回归效果越好．

规律

(1)函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系．事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系．

注意

(1)回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义．(2)线性回归方程中的截距和斜率都是通过样本数据估计而来的，存在误差，这种误差会导致预报结果的偏差；而且回归方程只适用于我们所研究的样本总体．

考向一相关关系的判断

例1．下列选项中，两个变量具有相关关系的是( )

A．正方形的面积与周长

B．匀速行驶车辆的行驶路程与时间

C．人的身高与体重

D．人的身高与视力

答案：C

例2．对变量x、y有观测数据(x i，y i)(i ＝1,2，…，10)，得散点图1；对变量u，v有观测数据(u i，v i)(i＝1,2，…，10)，得散点图2.由这两个散点图可以判断( )

A．变量x与y正相关，u与v正相关

B．变量x与y正相关，u与v负相关

C.变量x与y负相关，u与v正相关

D．变量x与y负相关，u与v负相关

解析：选C.由题图1可知，各点整体呈递减趋势，x与y负相关，由题图2可知，

各点整体呈递增趋势，u与v正相关．

例3．下面哪些变量是相关关系( )．A．出租车车费与行驶的里程

B．房屋面积与房屋价格

C．身高与体重D．铁块的大小与质量

解析A，B，D都是函数关系，其中A一般是分段函数，只有C是相关关系．

答案 C

例4.如图所示，有5组(x，y)数据，去掉________组数据后，剩下的4组数据的线性相关性最大．

解析：因为A、B、C、E四点分布在一条直线附近且贴近某一直线，D点离得远．答案：D

例5．对变量x，y有观测数据(x i，y i)(i＝1,2，…，10)，得散点图(1)；对变量u，v 有观测数据(u i、v i)(i＝1,2，…，10)，得散点图(2)．由这两个散点图可以判断( )．

A．变量x与y正相关，u与v正相关

B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关

解析由题图(1)可知，各点整体呈递减趋势，x与y负相关；由题图(2)可知，各点整体呈递增趋势，u与v正相关．

答案 C

例6．下列关系属于线性负相关的是( )

A．父母的身高与子女身高的关系

B．球的体积与半径之间的关系

C．汽车的重量与汽车每消耗1 L汽油所行驶的平均路程

D．一个家庭的收入与支出

解析：选C.A、D中的两个变量属于线性正相关，B中两个变量是函数关系．

例7.鲁洁棉业公司的科研人员在7块并排、形状大小相同的试验田上对某棉花新品种进行施化肥量x对产量y影响的试验，得到如下表所示的一组数据(单位：kg)：

(1)画出散点图；

(2)判断是否具有相关关系．

[审题视点] (1)用x轴表示化肥施用量，y 轴表示棉花产量，逐一画点．

(2)根据散点图，分析两个变量是否存在相关关系．

解(1)散点图如图所示

(2)由散点图知，各组数据对应点大致都在一条直线附近，所以施化肥量x与产量y具有线性相关关系．

利用散点图判断两个变量是否有相关

关系是比较简便的方法．在散点图中如果所有的样本点都落在某一函数的曲线上，就用该函数来描述变量之间的关系．即变量之间具有函数关系．如果所有的样本点落在某一函数的曲线附近，变量之间就有相关关系；如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系．

例8. 根据两个变量x，y之间的观测数据画成散点图如图所示，这两个变量是否具有线性相关关系________(填“是”与“否”)．

解析从散点图看，散点图的分布成团状，无任何规律，所以两个变量不具有线性相关关系．

答案否

考向二线性回归方程

例9．对有线性相关关系的两个变量建

立的回归直线方程y^＝a＋bx中，回归系数b( )

A．不能小于0 B．不能大于0

C．不能等于0 D．只能小于0

解析：选C.∵b＝0时，r＝0，这时不具有线性相关关系，但b能大于0也能小于0.

例10．已知回归方程y^＝4.4x＋838.19，则可估计x与y的增长速度之比

约为________．

解析：x与y的增长速度之比即为回归

方程的斜率的倒数

4.4

＝

答案：5 22

例11．某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是( )．A.y^＝－10x＋200 B.y^＝10x＋200 C.y^＝－10x－200 D.y^＝10x－200

解析因为销量与价格负相关，由函数关系考虑为减函数，又因为x，y不能为负数，再排除C，故选A.

答案 A

例12.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据.

(1)请画出上表数据的散点图；

(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y^＝b^x＋a^；

(3)已知该厂技改前生产100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线

性回归方程．预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？

(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)

[审题视点] (2)问利用公式求a^、b^，即可求出线性回归方程．

(3)问将x＝100代入回归直线方程即可．解(1)由题设所给数据，可得散点图如图所示．

(2)由对照数据，计算得：∑i ＝1

x 2i ＝86， x ＝3＋4＋5＋64＝4.5(吨)，y ＝

2.5＋3＋4＋4.54

＝3.5(吨)．已知∑i ＝1

x i y i

＝66.5，所以，由最小二乘法确定的回归方程的系数为：

b^＝∑

i＝1

x i y i－4x·y

∑

i＝1

x2i－4x2

＝

66.5－4×4.5×3.5

86－4×4.52

＝0.7，

a^＝y－b^x＝3.5－0.7×4.5＝0.35.

因此，所求的线性回归方程为y^＝0.7x＋0.35.

(3)由(2)的回归方程及技改前生产100吨甲产品的生产能耗，得降低的生产能耗为：90－(0.7×100＋0.35)＝19.65(吨标准

煤)．

在解决具体问题时，要先进行相关性检验，通过检验确认两个变量是否具有线性相关关系，若它们之间有线性相关关系，再求回归直线方程．

例13.为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：

父亲身高x/cm 1

儿子身高1

则y对x的线性回归方程为( )．A．y＝x－1 B．y＝x＋1

C．y＝88＋1

x D．y＝176

解析由题意得x＝

174＋176＋176＋176＋178

＝176(cm)，

y＝175＋175＋176＋177＋177

＝

176(cm)，由于(x，y)一定满足线性回归

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ESS&i-k)A RSS[(k -1) ESS /(SI)I). TSS/(n-k) 多元线性回归模型练习一、单项选择题 1. 在由〃 =30的一组样本估计的、包含3个解释变量的线性回归模型中，计算得可决系数为0.8500,则调整后的可决系数为（D ） A. 0. 8603 B. 0. 8389 C. 0. 8655 D. 0. 8327 2. 用一组有30个观测值的样本估计模型乂 =如玷气+E +0后,在0. 05的显著性水平上对九的显著性作「检验，则气显著地不等于零的条件是其统计量，大于等于（C ） A. ，O .O 5（3°） B . ‘。025（28） c.，。。25（27） p ^*0.025 （^28） 3?线性回归模型乂 =4+"1也+勾％ +……+ b k x h +u i 中,检验 =0（，= 0,1,2,..人）时，所用的统计量服从（C ） A. t （n _k+l ） B. t （n -k -2） C. t （n -k _l ） D. t （n -k+2） 4. 调整的可决系数与多元样本判定系数R ，之间有如下关系（ D ）局=公—/?2 职=]_qj R2 A. n-k -1 B ? n-k-\ R 2=[—- （1 + R2）斤 2 =]— （I-/?2） C. n-k-\ D. n-k-\ 5. 对模型Y L B 。+ B 伏"B 2X 2i + u 「进行总体显著性F 检验,检验的零假设是（A ） A. P 1= 3 2=0 B. 3 i=0 C. B 2-O D. B 0二0 或 B i=0 6. 设k 为[q 归模型中的参数个数，n 为样本容量。则对多元线性同归方程进行显著性检验时，所用的F 统计量可表示为（B ） R2/ k B (1-R2)/(D b/d) c. (1-R2)/(S1) 7. 多元线性问归分析中（回归模型中的参数个数为k ）,调整后的可决系数与可决系数R2之间的关系（A ）

excel一元及多元线性回归实例

野外实习资料的数理统计分析一元线性回归分析一元回归处理的是两个变量之间的关系，即两个变量X和Y之间如果存在一定的关系，则通过观测所得数据，找出两者之间的关系式。如果两个变量的关系大致是线性的，那就是一元线性回归问题。对两个现象X和Y进行观察或实验，得到两组数值：X1，X2,…，Xn和Y1，Y2，…，Yn,假如要找出一个函数Y=f(X),使它在 X=X1,X2, …,Xn时的数值f(X1),f(X2), …,f(Xn)与观察值Y1，Y2，…，Yn趋于接近。在一个平面直角坐标XOY中找出（X1，Y1），（X2，Y2），…，（Xn，Yn）各点，将其各点分布状况进行察看，即可以清楚地看出其各点分布状况接近一条直线。对于这种线性关系，可以用数学公式表示： Y = a + bX 这条直线所表示的关系，叫做变量Y对X的回归直线，也叫Y对X 的回归方程。其中a为常数，b为Y对于X的回归系数。对于任何具有线性关系的两组变量Y与X，只要求解出a与b的值，即可以写出回归方程。计算a与b值的公式为：

式中：为变量X的均值，Xi为第i个自变量的样本值，为因变量的均值，Yi为第i个因变量Y的样本值。n为样本数。当前一般计算机的Microsoft Excel中都有现成的回归程序，只要将所获得的数据录入就可自动得到回归方程。得到的回归方程是否有意义，其相关的程度有多大，可以根据相关系数的大小来决定。通常用r来表示两个变量X和Y之间的直线相关程度，r为X和Y的相关系数。r值的绝对值越大，两个变量之间的相关程度就越高。当r为正值时，叫做正相关，r为负值时叫做负相关。r 的计算公式如下：式中各符号的意义同上。在求得了回归方程与两个变量之间的相关系数后，可以利用F检验法、t检验法或r检验法来检验两个变量是否显著相关。具体的检验方法在后面介绍。

(完整版)多元线性回归模型习题及答案

多元线性回归模型一、单项选择题 1.在由30n =的一组样本估计的、包含3个解释变量的线性回归模型中，计算得多重决定系数为0.8500，则调整后的多重决定系数为（ D ） A. 0.8603 B. 0.8389 C. 0.8655 D.0.8327 2.下列样本模型中，哪一个模型通常是无效的（B ） A. i C （消费）=500+0.8 i I （收入） B. d i Q （商品需求）=10+0.8i I （收入）+0.9i P （价格） C. s i Q （商品供给）=20+0.75i P （价格） D. i Y （产出量）=0.650.6i L （劳动）0.4 i K （资本） 3.用一组有30个观测值的样本估计模型01122t t t t y b b x b x u =+++后，在0.05的显著性水平上对1 b 的显著性作t 检验，则1 b 显著地不等于零的条件是其统计量t 大于等于（ C ） A. )30(05.0t B. ) 28(025.0t C. ) 27(025.0t D. ) 28,1(025.0F 4.模型 t t t u x b b y ++=ln ln ln 10中，1b 的实际含义是（ B ） A.x 关于y 的弹性 B. y 关于x 的弹性 C. x 关于y 的边际倾向 D. y 关于x 的边际倾向 5、在多元线性回归模型中，若某个解释变量对其余解释变量的判定系数接近于１，则表明模型中存在（ C ） A.异方差性 B.序列相关 C.多重共线性 D.高拟合优度 6.线性回归模型01122......t t t k kt t y b b x b x b x u =+++++ 中，检验0:0(0,1,2,...) t H b i k ==时，所用的统计量服从( C ) A.t(n-k+1) B.t(n-k-2) C.t(n-k-1) D.t(n-k+2)

多元线性回归模型练习题及答案

多元线性回归模型练习一、单项选择题 1. 在由n =30的一组样本估计的、包含3个解释变量的线性回归模型中，计算得可决系数为0.8500，贝U 调整后的可决系数为（D ） A. 0.8603 B. 0.8389 C. 0.8655 D.0.8327 2. 用一组有30个观测值的样本估计模型 y t =b o ? b i x it b 2 X 2t U t 后，在0.05的显著性水平上对b l 的显著性作t 检验，则b l 显著地不等于零的条件是其统计量 t 大于等于（C ） A t o 』5（3O ） B t o.025 （28） C t o.o25（27） D F 0.025 （1,28） 3. 线性回归模型y t =b ° "旳+6x 21 + ............ +b k X kt +4中，检验 A H o ：b =0（i 二。，1,2 ，.*）时，所用的统计量 / ■■ ■X 服从（C ） A.t (n-k+1) B.t (n-k-2) C.t (n-k-1) D.t( n k+2) 4. 调整的可决系数 :与多元样本判定系数: ‘之间有如下关系（ D) R 2= n " R 2 R 2 =1 - n " R 2 A . n- k-1 B. n -k -1 R 2=1 - n " (1 R 2) R 2 =1 - n " (1-R 2 ) C n —k -1 D. n- k-1 5.对模型Y = B 0+ B 1X i + B 2X 2i + 卩 i 进行总体显著性F 检验，检验的零假设是 A ) A . B 1= B 2=0 B. B 1=0 C .B 2=0 D. B 0=0 或 B 1=0 6?设 k 为回归模型中的参数个数，n 为样本容量。则对多元线性回归方程进行显著性检验时，所用的F 统计量可表示为（ B ） ESS （n-k ）一k A. RSS （k-1） B . （1-R 2 ）/（n —k — 1 ） R 2 (n - k) C. (1 - R 2) '(k-1) 7.多元线性回归分析中（回归模型中的参数个数为 k ），调整后的可决系数 R 2与可决系数R 2之间的关系（ A ） n -1 R 2 =1 _（1 _R 2 ） ESS/(k-1) D. TSS (n-k)

多元线性回归实例分析

SPSS--回归-多元线性回归模型案例解析！(一）多元线性回归，主要是研究一个因变量与多个自变量之间的相关关系，跟一元回归原理差不多，区别在于影响因素（自变量）更多些而已，例如：一元线性回归方程为：毫无疑问，多元线性回归方程应该为：上图中的x1, x2, xp分别代表“自变量”Xp截止，代表有P个自变量，如果有“N组样本，那么这个多元线性回归，将会组成一个矩阵，如下图所示：那么，多元线性回归方程矩阵形式为：其中：代表随机误差，其中随机误差分为：可解释的误差和不可解释的误差，随机误差必须满足以下四个条件，多元线性方程才有意义（一元线性方程也一样） 1：服成正太分布，即指：随机误差必须是服成正太分别的随机变量。 2：无偏性假设，即指：期望值为0 3：同共方差性假设，即指，所有的随机误差变量方差都相等 4：独立性假设，即指：所有的随机误差变量都相互独立，可以用协方差解释。今天跟大家一起讨论一下，SPSS---多元线性回归的具体操作过程，下面以教程教程数据为例，分析汽车特征与汽车销售量之间的关系。通过分析汽车特征跟汽车销售量的关系，建立拟合多元线性回归模型。数据如下图所示：

点击“分析”——回归——线性——进入如下图所示的界面：

将“销售量”作为“因变量”拖入因变量框内，将“车长，车宽，耗油率，车净重等10个自变量拖入自变量框内，如上图所示，在“方法”旁边，选择“逐步”，当然，你也可以选择其它的方式，如果你选择“进入”默认的方式，在分析结果中，将会得到如下图所示的结果：（所有的自变量，都会强行进入）如果你选择“逐步”这个方法，将会得到如下图所示的结果：（将会根据预先设定的“F统计量的概率值进行筛选，最先进入回归方程的“自变量”应该是跟“因变量”关系最为密切，贡献最大的，如下图可以看出，车的价格和车轴跟因变量关系最为密切，符合判断条件的概率值必须小于0.05，当概率值大于等于0.1时将会被剔除）

多元线性回归例题与解析

作业：在农作物害虫发生趋势的预报研究中,所涉及的5个自变量及因变量的10组观测数据如下,试建立y对x1-x5的回归模型，指出那些变量对y有显著的线性贡献，贡献大小顺序。 x1 x2 x3 x4 x5 y 9.200 2.732 1.471 0.332 1.138 1.155 9.100 3.732 1.820 0.112 0.828 1.146 8.600 4.882 1.872 0.383 2.131 1.841 10.233 3.968 1.587 0.181 1.349 1.356 5.600 3.732 1.841 0.297 1.815 0.863 5.367 4.236 1.873 0.063 1.352 0.903 6.133 3.146 1.987 0.280 1.647 0.114 8.200 4.646 1.615 0.379 4.565 0.898 8.800 4.378 1.543 0.744 2.073 1.930 7.600 3.864 1.599 0.342 2.423 1.104 （！）回归性方程显著性检验：由Analysis of variance 表可知，其 r F P 的值0.0170小于0.05，则1 y x 与、2 x3x4x、5x之间具有显著性相关性；由R-square的值为0.9356可知该方程的拟合度高，（2）参数显著性检验：

a.由Parameter Estimates 表可知，对自变量x1。t 检验值为t=1.06,Pr t >的值等于 0.3479，大于0.05，故x1的系数为0，即x1未通过检验，去掉x1，再次运行程序。 b.结果表明所有变量的系数均通过检验，得到线性模型。（3）拟合区间。 2350.75463 1.999640.33313 2.24781y x x x =--+ 故对y 有显著的线性贡献大小顺序为 325 x x x >>。附件： data ex; input x1-x5 y@@; cards ; 9.200 2.732 1.471 0.332 1.138 1.155 9.100 3.732 1.820 0.112 0.828 1.146 8.600 4.882 1.872 0.383 2.131 1.841 10.233 3.968 1.587 0.181 1.349 1.356 5.600 3.732 1.841 0.297 1.815 0.863 5.367 4.236 1.873 0.063 1.352 0.903 6.133 3.146 1.987 0.280 1.647 0.114 8.200 4.646 1.615 0.379 4.565 0.898 8.800 4.378 1.543 0.744 2.073 1.930

SPSS多元线性回归分析实例操作步骤

SPSS 统计分析多元线性回归分析方法操作与分析实验目的：引入1998~2008年上海市城市人口密度、城市居民人均可支配收入、五年以上平均年贷款利率和房屋空置率作为变量，来研究上海房价的变动因素。实验变量：以年份、商品房平均售价（元/平方米）、上海市城市人口密度(人/平方公里)、城市居民人均可支配收入(元)、五年以上平均年贷款利率(%)和房屋空置率(%)作为变量。实验方法：多元线性回归分析法软件：操作过程：第一步：导入Excel数据文件 1.open data document——open data——open；

2. Opening excel data source——OK. 第二步： 1.在最上面菜单里面选中Analyze——Regression——Linear ，Dependent（因变量）选择商品房平均售价，Independents（自变量）选择城市人口密度、城市居民人均可支配收入、五年以上平均年贷款利率、房屋空置率；Method 选择Stepwise.

进入如下界面： 2.点击右侧Statistics，勾选Regression Coefficients（回归系数）选项组中的Estimates；勾选Residuals（残差）选项组中的Durbin-Watson、Casewise diagnostics默认；接着选择Model fit、Collinearity diagnotics；点击Continue.

3.点击右侧Plots，选择*ZPRED（标准化预测值）作为纵轴变量，选择DEPENDNT（因变量）作为横轴变量；勾选选项组中的Standardized Residual Plots（标准化残差图）中的Histogram、Normal probability plot；点击Continue.

多元线性回归模型习题及答案

、单项选择题 1. 在由n 30的一组样本估计的、包含 3个解释变量的线性回归模型中，计算得多重决定系数为0.8500，则调整后的多重决定系数为（ D ） A. 0.8603 B. 0.8389 C. 0.8655 D.0.8327 2. 下列样本模型中，哪一个模型通常是无效的（ B ） C I A. C i （消费）=500+0.8 打（收入） B. Qd （商品需求）=10+0.8 I i （收入）+0.9 P （价格） 3.用一组有30个观测值的样本估计模型 y t b o b i^t dX 2t U t 后，在0.05的显著性水平上对b1的显著性作 t 检验，则 b 1 显著地不等于零的条件是其统计量 t 大于等于（ C ) A 10.05 (30) B t 0.025(28) C t 0.025 (27 ) D F 0.025 (1,28) 4.模型 ln y t lnb 0 b 1 In x t U t 中，bl 的实际含义是（B ） A. x 关于y 的弹性 B. y 关于x 的弹性 C. x 关于y 的边际倾向 D. y 关于X 的边际倾向 5、在多元线性回归模型中，若某个解释变量对其余解释变量的判定系数接近于1,则表明模型中存在（C ） A.异方差性 B.序列相关 C.多重共线性 D . 高拟合优度 6. 线性回归模型 y t b ） b 1x 1t b 2x 2t ........ b k x kt u t 中，检验 H °:b t 0（i 0,1,2,...k ）时，所用的统计量 A. t (n-k+1) B.t (n-k-2) 多元线性回归模型 C. D. Q i （商品供给）=20+0.75 P （价格）（产出量） =0.65 L i (劳动) K i 0.4 （资本）服从（C ）

多元线性回归模型练习题及标准答案

多元线性回归模型练习题及答案

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多元线性回归模型练习一、单项选择题 1.在由30n =的一组样本估计的、包含3个解释变量的线性回归模型中，计算得可决系数为0.8500，则调整后的可决系数为（ D ） A. 0.8603 B. 0.8389 C. 0.8655 D.0.8327 2.用一组有30个观测值的样本估计模型 01122t t t t y b b x b x u =+++后，在0.05的显著性水平上对1b 的显著性作t 检验，则1b 显著地不等于零的条件是其统计量t 大于等于（ C ） A. ) 30(05.0t B. ) 28(025.0t C. ) 27(025.0t D. ) 28,1(025.0F 3.线性回归模型 01122......t t t k kt t y b b x b x b x u =+++++ 中，检验 0:0(0,1,2,...) t H b i k ==时，所用的统计量服从( C ) A.t(n-k+1) B.t(n-k-2) C.t(n-k-1) D.t(n-k+2)

4. 调整的可决系数与多元样本判定系数之间有如下关系( D ) A. 2211n R R n k -= -- B. 22 1 11n R R n k -=--- C. 2211(1)1n R R n k -=- +-- D. 221 1(1) 1n R R n k -=---- 5.对模型Y i =β0+β1X 1i +β2X 2i +μi 进行总体显著性F 检验，检验的零假设是( A ) A. β1=β2=0 B. β1=0 C. β2=0 D. β0=0或β1=0 6．设k 为回归模型中的参数个数，n 为样本容量。则对多元线性回归方程进行显著性检验时，所用的F 统计量可表示为（ B ） A. )1() (--k RSS k n ESS B ． ) 1 ( ) 1 ( 2 2 - - k R k R - n

(完整版)多元线性回归模型习题及答案

、单项选择题 1.在由n 30的一组样本估计的、包含3 个解释变量的线性回归模型中，计算得多重决定系数为 0.8500 ，则调整后的多重决定系数为（D ） A. 0.8603 B. 0.8389 C. 0.8655 D.0.8327 2.下列样本模型中，哪一个模型通常是无效的（B） A. Ci（消费）=500+0.8 Ii（收入） B. Q i （商品需求）=10+0.8 Ii（收入）+0.9 Pi（价格） 3.用一组有30个观测值的样本估计模型y t b o blXlt dX2t U t后，在0.05的显著性水平上对bl的显著性作t检验，则bl显著地不等于零的条件是其统计量t大于等于（C） A.t0.05 （30） B. t0.025 （28） C. t0.025 （27） D. F 0.025 （1,28） 4.模型ln yt lnbo bl 1 nXt Ut中，b i的实际含义是（B） A. x关于y的弹性 B. y关于x的弹性 C.x关于y的边际倾向 D.y关于x的边际倾向 5.在多元线性回归模型中，若某个解释变量对其余解释变量的判定系数接近于1,则表明模型中存在（ C ） A. 异方差性 B.序列相关 C.多重共线性 D.高拟合优度 6.线性回归模型 y t b0 b i x it b2x2t ................... b k x kt U t 中,检验H0 :b t 0（i 0,i,2,...k）时,所用的统计量 A. t(n-k+i) B.t(n-k-2) C. t(n-k-i) D.t(n-k+2)多元线性回归模型 C. D. Q i（商品供给）=20+0.75 Pi（价格） Yi（产出量） =0.65 L i（劳动）K i0.4 资本）服从( C )

多元线性回归实例分析

多元线性回归，主要是研究一个因变量与多个自变量之间的相关关系，跟一元回归原理差不多，区别在于影响因素（自变量）更多些而已，例如：一元线性回归方程为：毫无疑问，多元线性回归方程应该为：上图中的 x1, x2, xp分别代表“自变量”Xp截止，代表有P个自变量，如果有“N组样本，那么这个多元线性回归，将会组成一个矩阵，如下图所示：那么，多元线性回归方程矩阵形式为：其中：代表随机误差，其中随机误差分为：可解释的误差和不可解释的误差，随机误差必须满足以下四个条件，多元线性方程才有意义（一元线性方程也一样）1：服成正太分布，即指：随机误差必须是服成正太分别的随机变量。 2：无偏性假设，即指：期望值为0 3：同共方差性假设，即指，所有的随机误差变量方差都相等 4：独立性假设，即指：所有的随机误差变量都相互独立，可以用协方差解释。今天跟大家一起讨论一下，SPSS---多元线性回归的具体操作过程，下面以教程教程数据为例，分析汽车特征与汽车销售量之间的关系。通过分析汽车特征跟汽车销售量的关系，建立拟合多元线性回归模型。数据如下图所示：点击“分析”——回归——线性——进入如下图所示的界面：将“销售量”作为“因变量”拖入因变量框内，将“车长，车宽，耗油率，车净重等10个自变量拖入自变量框内，如上图所示，在“方法”旁边，选择“逐步”，当然，你也可以选择其它的方式，如果你选择“进入”默认的方式，在分析结果中，将会得到如下图所示的结果：（所有的自变量，都会强行进入）

如果你选择“逐步”这个方法，将会得到如下图所示的结果：（将会根据预先设定的“F统计量的概率值进行筛选，最先进入回归方程的“自变量”应该是跟“因变量”关系最为密切，贡献最大的，如下图可以看出，车的价格和车轴跟因变量关系最为密切，符合判断条件的概率值必须小于，当概率值大于等于时将会被剔除） “选择变量(E)" 框内，我并没有输入数据，如果你需要对某个“自变量”进行条件筛选，可以将那个自变量，移入“选择变量框”内，有一个前提就是：该变量从未在另一个目标列表中出现！，再点击“规则”设定相应的“筛选条件”即可，如下图所示：点击“统计量”弹出如下所示的框，如下所示：在“回归系数”下面勾选“估计，在右侧勾选”模型拟合度“ 和”共线性诊断“ 两个选项，再勾选“个案诊断”再点击“离群值”一般默认值为“3”，（设定异常值的依据，只有当残差超过3倍标准差的观测才会被当做异常值）点击继续。提示：共线性检验，如果有两个或两个以上的自变量之间存在线性相关关系，就会产生多重共线性现象。这时候，用最小二乘法估计的模型参数就会不稳定，回归系数的估计值很容易引起误导或者导致错误的结论。所以，需要勾选“共线性诊断”来做判断通过容许度可以计算共线性的存在与否？容许度TOL=1-RI平方或方差膨胀因子（VIF): VIF=1/1-RI平方，其中RI平方是用其他自变量预测第I个变量的复相关系数，显然，VIF为TOL的倒数，TOL的值越小，VIF的值越大，自变量XI与其他自变量之间存在共线性的可能性越大。提供三种处理方法： 1：从有共线性问题的变量里删除不重要的变量 2：增加样本量或重新抽取样本。 3：采用其他方法拟合模型，如领回归法，逐步回归法，主成分分析法。再点击“绘制”选项，如下所示：

多元线性回归练习题

多元线性回归 1. 某研究者测得29例儿童的血液中血红蛋白（Y，μg）与钙（X1）、镁（X2）、铁（X3）、锰（X4）及铜（X5）的含量值，见以下数据： X1 X2 X3 X4 X5 Y 54.89 30.86 448.70 .012 1.010 13.50 72.49 42.61 467.30 .008 1.640 13.00 53.81 52.86 425.61 .004 1.220 13.75 64.74 39.18 469.80 .005 1.220 14.00 58.80 37.67 456.55 .012 1.010 14.25 43.67 26.18 395.78 .001 .594 12.75 54.89 30.86 448.70 .012 1.010 12.50 86.12 43.79 440.13 .017 1.770 12.25 60.35 38.20 394.40 .001 1.440 12.00 54.04 34.23 405.60 .008 1.300 11.75 61.23 37.35 446.00 .022 1.380 11.50 60.17 33.67 383.20 .001 .914 11.25 69.69 40.01 416.70 .012 1.350 11.00 72.28 40.12 430.80 .000 1.200 10.75 55.13 33.02 445.80 .012 .918 10.50 70.08 36.80 409.80 .012 1.990 10.25 63.05 35.07 384.10 .000 .853 10.00 48.75 30.53 342.90 .018 .924 9.75 52.28 27.14 326.29 .004 .817 9.50 52.21 36.18 388.54 .024 1.020 9.25 49.70 25.43 331.10 .012 .897 9.00 61.02 29.27 258.94 .016 1.190 8.75 53.68 28.79 292.60 .048 1.320 8.50 50.22 29.17 292.60 .006 1.040 8.25 65.34 29.99 312.80 .006 1.030 8.00 56.39 29.29 283.00 .016 1.350 7.80 66.12 31.93 344.20 .000 .689 7.50 73.89 32.94 312.50 .064 1.150 7.25 47.31 28.55 294.70 .005 .838 7.00 问题：（采用强迫引入法——Enter）（1）建立多元线性回归方程；（2）方程中微量元素与血红蛋白之间有无线性关系？（3）对血红蛋白的影响有统计学意义的微量元素是哪些？（4）在微量元素中，哪个对血红蛋白的作用最大？并请排出个作用大小顺序；（5）评价回归模型的拟合优度。

多元线性回归(习题答案)

第3章练习题参考解答 3.1为研究中国各地区入境旅游状况，建立了各省市旅游外汇收入（Y ，百万美元）、旅行社职工人数（X1，人）、国际旅游人数（X2，万人次）的模型，用某年31个省市的截面数据估计结果如下： i i i X X Y 215452.11179.00263.151?++-= （1）从经济意义上考察估计模型的合理性。（2）在5%显著性水平上，分别检验参数21,ββ的显著性。（3）在5%显著性水平上，检验模型的整体显著性。 3.1参考解答：由模型估计结果可看出：旅行社职工人数和国际旅游人数均与旅游外汇收入正相关。平均说来，旅行社职工人数增加1人，旅游外汇收入将增加0.1179百万美元；国际旅游人数增加1万人次，旅游外汇收入增加1.5452百万美元。取0.05α=，查表得0.025t (313) 2.048-= 因为3个参数t 统计量的绝对值均大于048.2)331(025.0=-t ，说明经t 检验3个参数均显著不为0，即旅行社职工人数和国际旅游人数分别对旅游外汇收入都有显著影响。取0.05α=，查表得0.05(1,)(2,28) 3.34F k n k F α--== 由于34.3)28,2(1894.19905.0=>=F F ，说明旅行社职工人数和国际旅游人数联合起来对旅游外汇收入有显著影响，线性回归方程显著成立。 000 3.2参考解答：由已知，偏回归系数

2122122 222 1212?() i i i i i i i i i i i y x x y x x x x x x x β -= -∑∑∑∑∑∑∑ 2 74778.346280.0004250.9004796.000 84855.096280.0004796.000?-?= ?- 0.726594= 2211123 222 1212?() i i i i i i i i i i i y x x y x x x x x x x β -= -∑∑∑∑∑∑∑ 2 4250.90084855.09674778.3464796.000 84855.096280.0004796.000 ?-?= ?- 2.73628= 12132 ???Y X X βββ=-+ 367.6930.726594402.760 2.7 =-?-? 53.1598= 可决系数 21322 2??i i i i i y x y x R y ββ+=∑∑∑ 0.72659474778.346 2.736284250.9 66042.269 ?+?= 0.998832= 修正的可决系数 2 2 1 1(1) n R R n k -=--- 151 1(10.998832) 153 -=--- 0.998637= 标准误差由于 2∑i e =21RSS R TSS =- 即 22(1)i e R TSS =-∑ (10.998832)66042.269=-? 77.1374= F 统计量 2211n k R F k R -=--=1530.9988323110.998832 ---=5130.986 标准误差 22 ?i e n k σ = -∑

多元线性回归模型(习题与解答)

第三章多元线性回归模型一、习题（一）基本知识类题型 3-1．解释下列概念： 1) 多元线性回归 2) 虚变量 3) 正规方程组 4) 无偏性 5) 一致性 6) 参数估计量的置信区间 7) 被解释变量预测值的置信区间 8) 受约束回归 9) 无约束回归 10) 参数稳定性检验 3-2．观察下列方程并判断其变量是否呈线性？系数是否呈线性？或都是？或都不是？ 1) i i i X Y εββ++=310 2) i i i X Y εββ++=log 10 3) i i i X Y εββ++=log log 10 4) i i i X Y εβββ++=)(210 5) i i i X Y εββ+= 10 6) i i i X Y εββ +?+=)1(110 7) i i i i X X Y εβββ+++= 1022110 3-3．多元线性回归模型与一元线性回归模型有哪些区别？ 3-4．为什么说最小二乘估计量是最优的线性无偏估计量？多元线性回归最小二乘估计的正规方程组，能解出唯一的参数估计的条件是什么？ 3-5．多元线性回归模型的基本假设是什么？试说明在证明最小二乘估计量的无偏性和有效性的过程中，哪些基本假设起了作用？ 3-6．请说明区间估计的含义。（二）基本证明与问答类题型

3-7．什么是正规方程组？分别用非矩阵形式和矩阵形式写出模型： i ki k i i i u x x x y +++++=ββββL 22110，n i ,,2,1L =的正规方程组，及其推导过程。 3-8．对于多元线性回归模型，证明：（1）∑=0i e （2） 0)???(?110 =+++=∑∑i ki k i i i e x x e y βββL 3-9．为什么从计量经济学模型得到的预测值不是一个确定的值？预测值的置信区间和置信度的含义是什么？在相同的置信度下如何才能缩小置信区间？为什么？ 3-10．在多元线性回归分析中，t 检验与F 检验有何不同？在一元线性回归分析中二者是否有等价的作用？ 3-11．设有模型：u x x y +++=22110βββ，试在下列条件下：（1）121=+ββ （2）21ββ= 分别求出1β和2β的最小二乘估计量。 3-12．多元线性计量经济学模型 y x x x i i i k ki i = +++???++ββββμ01122 =i 1,2,…,n (2.11.1) 的矩阵形式是什么？其中每个矩阵的含义是什么？熟练地写出用矩阵表示的该模型的普通最小二乘参数估计量，并证明在满足基本假设的情况下该普通最小二乘参数估计量是无偏和有效的估计量。 3-13．有如下生产函数：L K X ln 452.0ln 632.037.1ln ++= （0.257） (0.219) 98.02=R 055.0),Cov(=L K b b 其中括号内数值为参数标准差。请检验以下零假设：（1）产出量的资本弹性和劳动弹性是等同的；（2）存在不变规模收益，即1=+βα 。 3-14．对模型i ki k i i i u x x x y +++++= ββββL 22110应用OLS 法，得到回归方程如下： ki k i i i x x x y ββββ?????22110++++=L

多元线性回归实例分析

SPSS--回归-多元线性回归模型案例解析！（一）多元线性回归，主要是研究一个因变量与多个自变量之间的相关关系，跟一元回归原理差不多，区别在于影响因素（自变量）更多些而已，例如：一元线性回归方程为: 丫 = 十卩?十￡毫无疑问，多元线性回归方程应该为: Y = 0十艮&十角兀2 +…十￡上图中的x1, x2, xp分别代表自变量” xp截止，代表有P个自变量，如果有“N组样本, 那么这个多元线性回归，将会组成一个矩阵，如下图所示：记n组样本分别是心…，备= 12…?丹）■令 r = yi ■ ■ * <1 1 ■ w 工|1 X2I 兀12 X22 * ?t v ] 厂A? A ■ ■ ■■ ￡二 &2 1儿J J…兀即丿其中：代表随机误差，其中随机误差分为：可解释的误差差，随机误差必须满足以下四个条件，多元线性方程才有意义（一元线性方程也一样） 2 :无偏性假设，即指：期望值为0 3 :同共方差性假设，即指，所有的随机误差变量方差都相等 4 :独立性假设，即指：所有的随机误差变量都相互独立，可以用协方差解释。今天跟大家一起讨论一下，SPSS---多元线性回归的具体操作过程，下面以教程教程数据为例，分析汽车特征与汽车销售量之间的关系。通过分析汽车特征跟汽车销售量的关系，建立拟合多元线性回归模型。数据如下图所示：那么，多元线性回归方程矩阵形式为: 和不可解释的误1：服成正太分布，即指：随机误差必须是服成正太分别的随机变量。

sales nestle type price eng：ine_s horsepow wheelbas width length curt 16 91? 16.360 0 21.5D0 1.8 140 101.2 673 172.4 39 384 19675 0 28.400 3.2225108 1 70 3 192.9 14.1 U 18.225 0 + 3.2 225106.9 70.5 192.0 8 58& 29 725 0 42 000 35 210 114 6 71.4 196 6 20.397 22255 0 23.990 1.8 150 102.S 69.2 178.0 13.780 23.555 0 33 950 2 8 200 1087 76.1 192.0 1 380 39 000 0 62.000 4.2310 113 0 74 0 1982 19 747 -0 26.990 2.5170 107.3 68.4 1760 9 231 2S675 0 33 400 28 193 107 J 63 5 176 0 17 637 36.125 0 38.900 2.8 193 111.4 70.9 188.0 91 561 12 475 0 21 975 3.1 175 109 0 72 7194 6 39.360 13 740 0 25.300 3 8 240 109.0 72 71962 27.851 20 190 0 31.965 3.8 205 113 8 74.7 2068 33257 13 360 0 27.8 S5 3 6 205 1122 73 5 200.0 6372& 22 525 0 39.B95 4.6 275 115.3 74.5 2072 16 943 27.100 0 44 475 46 275 112.2 75 0 201 0 6.536 25 725 0 39.665 4.6 275 108.D75.5 2006 11 185 18 225 0 31.010 3 0 200 1074 70.3 194.a 14 78S - 1 46.226 5.7 255 117.5 77.0 201.2 U5.51& 9 250 0 13.260 2.2 115 104.1 67 9 ieo9 135 126 11 225 0 16 535 3.1 170 107 0 694 190.4 24.62& 10310 0 18.890 3.1 175 107.5 72.S 2009 42.S93 11 525 Q 19 390 34 130 110 5 72 1197.9 点击分析回归——线性——进入如下图所示的界面: