对数与对数运算(讲解与基础训练)
对数与对数运算 一、知识点总结
1、定义：一般地，如果)1,0(≠>=a a N a x 且，那么数x 叫做以
N x N a a log =的对数，记作为底,叫做真数。叫做对数的底数，其中N a
注意：（1）（负数与零没有对数）；且01,0>≠>N a a
（2）b a a b a a a ===log ,01log ;1log （3）对数恒等式：N a N
a
=log
2、对数的运算性质
如果那么：且,0,0,1,0>>≠>N M a a
;log log )(log )1(N M N M a a a +=?
N M N
M a a a log log log )2(-=
(3))(log log R n M P M a P a ∈= 3、自然对数与常用对数
）为底的对数（自然对数：以无理数71828.2)1(≈e e ，写作：x ln
(2)常用对数：为底的对数以
10，写作：x lg 4、换底公式：)0;1,0;1,0(log log log >≠>≠>=b c c a a a
b
b c c a 且且
对数与对数运算练习题
一．选择题
1．2－
3＝18化为对数式为( )
A ．log 18
2＝－3
B ．log 18
(－3)＝2
C ．log 21
8＝－3
D ．log 2(－3)＝1
8
2．log 63＋log 62等于( )
A ．6
B ．5
C ．1
D ．log 65 3．如果lg x ＝lg a ＋2lg b －3lg c ，则x 等于( ) A ．a ＋2b －3c B ．a ＋b 2－c 3 C.ab 2
c
3
D.2ab 3c
4．已知a ＝log 32，那么log 38－2log 36用a 表示为( ) A ．a －2
B ．5a －2
C ．3a －(1＋a )2
D ．3a －a 2－1
5．
的值等于( ) A ．2＋ 5 B ．2 5 C ．2＋
52
D ．1＋
52
6．Log 22的值为( ) A ．－ 2 B. 2 C ．－12
D.12
7．在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值范围是( ) A ．a ＞5或a <2 B ．2＜a ＜3或3＜a ＜5 C ．2 D ．3＜a ＜4 8．方程2log3x ＝1 4的解是( ) A ．x ＝1 9 B ．x ＝ x 3 C ．x ＝ 3 D ．x ＝9 9．若log 2(log 3x )＝log 3(log 4y )＝log 4(log 2z )＝0，则x ＋y ＋z 的值为( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 10．若102x ＝25，则x 等于( ) A ．lg 15 B ．lg5 C ．2lg5 D ．2lg 15 11．计算log 89·log 932的结果为( ) A ．4 B.53 C.14 D.35 12．已知log a x ＝2，log b x ＝1，log c x ＝4(a ，b ，c ，x ＞0且≠1)，则log x (abc )＝( ) A.47 B.27 C.72 D.74 二．填空题 1． 2log 510＋log 50.25＝____. 2．方程log 3(2x －1)＝1的解为x ＝_______. 3．若lg(ln x )＝0，则x ＝_ ______. 4．方程9x －6·3x －7＝0的解是_______ 5．若log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m ＝________. 6．已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，则log a 18＝_______.(用m ，n 表示) 7．log 6[log 4(log 381)]＝_______. 8．使对数式log (x －1)(3－x )有意义的x 的取值范围是_______ 三.计算题 1．计算： (1)2log 210＋log 20.04 (2)lg3＋2lg2－1lg1.2 (3)log 6112－2log 63＋1 3log 627 (4)log 2(3＋2)＋log 2(2－3)； 2．已知log 34·log 48·log 8m ＝log 416，求m 的值． 对数与对数运算练习题答案 一．选择题 1． C 2. C 3. C 4. A 5. B 6. D 7. B 8 A 9. A 10. B11.B 12.D 二．填空题 1. 2 2. 2 3. e 4. x ＝log 37 5. 9 6. m ＋2n 7. 0 8. 1 1.解： (1)2log 210＋log 20.04＝log 2(100×0.04)＝log 24＝2 (2)lg3＋2lg2－1lg1.2＝lg(3×4÷10)lg1.2＝lg1.2lg1.2 ＝1 (3)log 6112－2log 63＋13log 627＝log 61 12－log 69＋log 63 ＝log 6(112×19×3)＝log 61 36＝－2. (4)log 2(3＋2)＋log 2(2－3) ＝log 2(2＋3)(2－3)＝log 21＝0. 2. [解析] log 416＝2，log 34·log 48·log 8m ＝log 3m ＝2， ∴m ＝9. 对数函数的定义： 函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数，定义域为),0(+∞，值域为),(+∞-∞． 对数的四则运算法则： 若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log ()log log a a a MN M N =+; (2) log log log a a a M M N N =-; (3)log log ()n a a M n M n R =∈. (4)N n N a n a log 1 log = 对数函数的图像及性质 例1．已知x = 4 9 时，不等式 log a (x 2–x – 2)＞log a (–x 2 +2x + 3)成立， 求使此不等式成立的x 的取值范围. 解：∵x = 49使原不等式成立. ∴log a [249)49(2--]＞log a )349 2)49(1[2+?+? 即log a 1613＞log a 1639. 而1613＜16 39 . 所以y = log a x 为减函数，故0＜a ＜1. ∴原不等式可化为??? ? ???++-<-->++->--322032022222x x x x x x x x ，解得??? ???? <<-<<->-<2513121x x x x 或. 故使不等式成立的x 的取值范围是)2 5 ,2( 例2．求证：函数f (x ) =x x -1log 2 在(0, 1)上是增函数. 解：设0＜x 1＜x 2＜1， 则f (x 2)–f (x 1) = 212221log log 11x x x x ---2 1221(1)log (1)x x x x -=-=.11log 2 1 122x x x x --? ∵0＜x 1＜x 2＜1，∴ 12x x ＞1，2111x x --＞1. 则2 1 12211log x x x x --?＞0， ∴f (x 2)＞f (x 1). 故函数f (x )在(0, 1)上是增函数 例3．已知f (x ) = log a (a –a x ) (a ＞1). （1）求f (x )的定义域和值域；（2）判证并证明f (x )的单调性. 解：（1）由a ＞1，a –a x ＞0，而a ＞a x ，则x ＜1. 故f (x )的定义域为( -∞,1)， 而a x ＜a ，可知0＜a –a x ＜a ，又a ＞1. 则log a (a –a x )＜lg a a = 1. 取f (x )＜1，故函数f (x )的值域为(–∞, 1). （2）设x 1＞x 2＞1，又a ＞1，∴1x a ＞2x a ，∴1x a a -＜a-2x a ， ∴log a (a –1x a )＜log a (a –2x a )， 即f (x 1)＜f (x 2)，故f (x )在(1, +∞)上为减函数. 一、自学指导：结合下列问题，请你用5分钟的时间独立阅读课本P-P 页例3完。 1、探究：根据对数的定义推导换底公式log log log c a c b b a =（0a >，且1a ≠；0 c >，且1c ≠；0b >）． 2、运用换底公式推导下列结论：log log m n a a n b b m = ；1log log a b b a = 【小组讨论】请大家用4分钟的时间交流问题的答案。 二、自学检测：（分钟） 1、求值：（1）log 89log 2732 （2）lg 243 lg9 2、（1）设lg 2a =,lg3b =，试用a 、b 表示5log 12. （2）已知 2log 3 = a ， 3log 7 = b, 用 a, b 表示42log 56 3、 (1)若2510a b ==，则11a b += .(2)设),0(,,+∞∈z y x 且z y x 643== ，求证：z y x 1211=+ ． 三、当堂检测 1、计算： （1 ）4912 log 3log 2log ?- （2） 9 1 log 81log 251log 532 ?? （3） 4839(log 3log 3)(log 2log 2)++ （4）2log 5log 4log 3log 5432??? （5） 0.21log 35-； （6）(log 2125＋log 425＋log 85)(log 52＋log 254＋log 1258)． （7）log 43·log 92＋log 24 64； （8） log 932·log 6427＋log 92·log 427. 2、（1）化简：532111 log 7log 7log 7 ++ ；（2）设23420052006log 3log 4log 5log 2006log 4m ???=， 求实数m 的值. 3、已知：45log ,518,8log 3618求==b a （用含a ， b 的式子表示） 1 1 1 4 = -2 3 81 = -4 3 （2）log 8 = 6 1 lg (8) log 1 （9） 2 log 24 （10） log 27 lg9 = 对数与对数运算基础练习 一、对数的概念与性质 1、把下列指数式写成对数式： 1 (1)23 = 8 (2)2 -1 = (3)27- 3 = (4) ( )m = 5.73 2 3 3 2、把下列对数式写成指数式： (1)log 9 = 2 (2)log 125 = 3 3 5 3、求下列各式中 x 的值： (1)log x = - 2 64 x (3)log 1 2 （3）lg100 = x (4) log 1 （4）- ln e 2 = x 4、求下列各式的值： （）log 125 5 （2） log 1 2 16 （3）lg1000 （4） 0.001 (5)log 15 (6)log 1 15 0.4 二、对数的运算 1、基础练习 9 (7)log 81 9 （11） 10 lg105 27 3 （12） log 64 16 （1） lg 2 + lg5 = （2） log 18 - log 2 = 3 3 （3） lg 243 15 (2) 3+ lg7-lg18 3232 43+l(2 (4)log9?log32=(5)log16?log81=(6)log(2-3) 89932(2+3) = 2、加强巩固 (1)1og2+l og32+l og20-l og4 151515lg2+lg5-lg8 lg50-lg40 (3)1g14-2lg7(4)lg4+lg5-1 2lg0.5+lg8 (5)(log2)2+log2?log3+log18 6666 (6)lg22+lg2?lg5+lg5 (7)(log+l og3)(log+l og2) 4839(8)10log10-10?log1+πlogπ 5 (9)log2+log27+4log13 29(10)(l o g9o g)4+log8+log log) 28393 对数及其运算基础知识及例题 1、定义： 2、性质： ~ 3、对数的运算性质： 4、换底公式： 5、对数的其他运算性质 ! 6、常用对数和自然对数： 【典型例题】 类型一、对数的概念 例1.求下列各式中x 的取值范围： （1）2log (5)x -；（2）(1)log (2)x x -+；（3）2 (1)log (1)x x +-． ； 类型二、指数式与对数式互化及其应用 例2.将下列指数式与对数式互化： (1)2log 164=；(2)1 3 log 273=-；(3)3x =；(4)3 5125=；(5)1 122-=；(6)2 193-?? = ??? . 类型三、利用对数恒等式化简求值 \ 例3．求值： 71log 5 7+ 类型四、积、商、幂的对数 例4. z y x a a a log ,log ,log 用表示下列各式 \ 235 3 (1)log ; (2)log (); (3)log ; (4)log a a a a x y xy x x y z z 例5.已知18log 9,185b a ==，求36log 45． : 类型六、对数运算法则的应用 例6.求值 (1) 9 1log 81log 251log 32log 532 64??? . (2) 7 lg142lg lg 7lg183 -+- (3))36log 4 3 log 32(log log 42 1 22++ (4)()248125255log 125log 25log 5(log 8log 4log 2)++++ — 对数及其运算练习题 一、选择题 1、 2 5)(log 5 a -（a ≠0）化简得结果是（ ） ~ 1、将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： （1）54=625 (2)61264-= (3)1() 5.733m = (4) 3log 92= (5)5log 1253= (6) 12 log 164=- 例 把下列指数式写成对数式： 3(1)28= 5(2)232= 11(3)22-= 131 (4)273-= 把下列对数式写成指数式： 3(1)log 92= 5(2)log 1253= 21 (3)log 24=- 31 (4)log 481=- 求下列各式中x 的值： 642 (1)log x 3=- log 86x =（2） lg100x =（3） 2ln e x =（4）- 例（1）因为642log x 3=-，则2 2 32331 64(4)416x ---==== 求下列各式的值： 51log 25（） 21 2log 16（） 3lg1000（） lg 0.001（4） 15log 15(1) 0.4log 1(2) 9log 81(3) 2.5log 6.25(4) 7log 343(5) 3log 243(6) 对数运算练习题 一、计算下列对数： lg10000= lg0.01= 2log 42= 3log 273= 5 111255og = lg10510= 二、求下列各式的值： （1） ； （2） ； （3） ； （4）2 lg 2lg 2lg5lg5+?+ （5） ； （6）(23)log (23)+-= ； （7） ； （8） 。 （9） ； （10） 。 三、（1）、设lg 2a =,lg3b =，试用a 、b 表示5log 12. （2）、已知，试用表示 （3）．比较下列各题中两个数值的大小： 22log 3log 3.5和； 0.30.2log 4log 0.7和；0.70.7log 1.6log 1.8和； 23log 3log 2和． 四、证明 设a 、b 、c 为正数，且346a b c ==，求证：1112c a b -= 对数计算练习题 一、选择题 1、以下四式中正确的是（ ） A 、log 22=4 B 、log 21=1 C 、log 216=4 D 、log 2 21=41 2、下列各式值为0的是（ ） A 、10 B 、log 33 C 、（2－3）° D 、log 2∣－1∣ 3、251log 2的值是（ ） A 、－5 B 、5 C 、51 D 、－5 1 4、若m ＝lg5－lg2，则10m 的值是（ ） A 、2 5 B 、3 C 、10 D 、1 5、设N ＝3log 12＋3log 15，则（ ） A 、N ＝2 B 、N ＝－2 C 、N ＜－2 D 、N ＞2 6、如果方程05lg 7lg lg )5lg 7(lg lg 2 =+++x x 的两个根是的值是则αββα,,（ ）、 A. 5lg 7lg B. 35lg C. 35 D.35 1 7．若234log [log (log )]0x =，则x 的四次方根是 （ ） （A ）1（B ）±2 （C ）22（D ）22± 8、已知732log [log (log )]0x =，那么12x -等于（ ） A 、13 B 23 C 22 D 33 二、填空题 1、用对数形式表示下列各式中的x 10x =25：＿＿＿＿； 2x ＝12：＿＿＿＿；4x = 6 1：＿＿＿＿ 2、lg1++=_____________ 3、Log 155=m,则log 153=________________ 4、14lg 2lg 2+-＋∣lg5－1∣＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 5有下列5个等式，其中a>0且a ≠1，x>0 , y>0 ①y log x log )y x (log a a a +=+，②y log x log )y x (log a a a ?=+， ③y log x log 2 1y x log a a a -=，④)y x (log y log x log a a a ?=?， ⑤)y log x (log 2)y x (log a a 22a -=-， 将其中正确等式的代号写在横线上_____________． 三、化简下列各式： (1)51lg 5lg 32lg 4-+； (2)536lg 27lg 321240lg 9lg 211+--+ ； (3)3lg 70lg 7 3lg -+； (4)120lg 5lg 2lg 2-+ 四 解答题 1、求下列各式的值 ⑴2log 28 ⑵3log 39 ⑶2 52log 1 ⑷373log 1 2、求下列各式的值 ⑴lg10－5 ⑵ ⑶log 2 81 ⑷log 27181 对数与对数运算基础练习 一、对数的概念与性质 1、把下列指数式写成对数式： 3 (1)28= 1 1(2)22-= 131(3)273-= (4)1 () 5.73 3m = 2、把下列对数式写成指数式： 3(1)log 92= 5(2)log 1253= 2 1(3)log 24=- 31 (4)log 481 =- 3、求下列各式中x 的值： 642(1)log 3 x =- log 86x =（2） lg100x =（3） 2ln e x =（4）- 4、求下列各式的值： 51log 125（） 2 1 2log 16 （） 3lg1000（） lg 0.001（4） 15log 15(5) 0.4log 1(6) 9log 81(7) (8) 13 27 log （9）2log 4 2 （10） 279log （11） lg105 10 （12）1 16 64 log 二、对数的运算 1、基础练习 （1） lg 2lg5+= （2） 182 33log log -= （3） lg 243 lg9 = 93289(4)log log ?= 1681 932(5)log log ?= (2(2(6)log = 2、加强巩固 32 2204 15 151515(1)1log log log og ++- lg 2lg 5lg8(2) lg 50lg 40+-- 7 (3)1142lg lg 7lg18 3 g -+- lg 4lg51(4)2lg 0.5lg8+-+ 222318 6666(5)(log )log log log +?+ 2(6)lg 2lg 2lg5lg5+?+ 33224839 (7)(log log )(log log )++ 3210 log log 15 (8)10 10log π π -?+ 13 4 log 279 log 4 + 39482 28393(10)(log log )(log log log )+++ 对数及其运算基础知识及例题 1、定义： 2、性质： 3、对数的运算性质： 4、换底公式： 5、对数的其他运算性质 6、常用对数和自然对数： 【典型例题】 类型一、对数的概念 例1.求下列各式中x 的取值范围： （1）2log (5)x -；（2）(1)log (2)x x -+；（3）2(1)log (1)x x +-． 类型二、指数式与对数式互化及其应用 例2.将下列指数式与对数式互化： (1)2log 164=；(2)1 3log 273=-；(3)3x =；(4)35125=；(5)1122-=；(6)2 193-??= ???. 类型三、利用对数恒等式化简求值 例3．求值： 71log 57+ 类型四、积、商、幂的对数 例4. z y x a a a log ,log ,log 用表示下列各式 35(1)log ;(2)log ();(3)log (4)log a a a a xy x y z 例5.已知18log 9,185b a ==，求36log 45． 类型六、对数运算法则的应用 例6.求值 (1) 91log 81log 251log 32log 532 64??? (2) 7lg142lg lg 7lg183-+- (3))36log 4 3log 32(log log 421 22++ (4)()248125255log 125log 25log 5(log 8log 4log 2)++++ 对数及其运算练习题 一、选择题 1、 2 5)(log 5a -（a ≠0）化简得结果是（ ） A 、－a B 、a 2 C 、｜a ｜ D 、a 2、 log 7［log 3（log 2x ）］＝0，则21 -x 等于（ ） A 、31 B 、321 C 、221 D 、331 3、 n n ++1log （n n －＋1）等于（ ） A 、1 B 、－1 C 、2 D 、－2 4、 已知32a =，那么33log 82log 6-用表示是（ ） 精选 姓名_______ §2.2.1 对数与对数运算 一、课前准备 1,。对数： 定义：如果a N a a b =>≠()01且，那么数b 就叫做以a 为底的对数，记作b N a =l o g （a 是底数，N 是真数，lo g a N 是对数式。） 由于N a b =>0故lo g a N 中N 必须大于0。 2.对数的运算性质及换底公式. 如果 a > 0，a ≠ 1，b>0,M > 0， N > 0 ，则:（1）log ()a MN = ； （2）n m m n b a = log （3）log a M N = ；（4） log n a M = . （5） b a b a =log 换底公式log a b = . （6） b a b a =log （7）b a b a n n log 1log = 考点一： 对数定义的应用 例1：求下列各式中的x 的值； （1）23log 27=x ； （2）32log 2-=x ； （3）91 27log =x （4）162 1log =x 例2：求下列各式中x 的取值范围； （1）)10(2 log -x （2）22) x ) 1(log +-（x （3）2 1)-x ) 1(log （+x 例3：将下列对数式化为指数式（或把指数式化为对数式） （1）3log 3 =x （2）6log 64 -=x （3）9 132-= （4）1641=x ）（ 考点二 对数的运算性质 1.定义在R 上的函数f(x ）满足f(x)=???>---≤-) 0(),2()1(log ) 0(),4(2x x f x f x x ，则f(3)的值为__________ 2.计算下列各式的值： （1）245lg 8lg 3 4 4932lg 21+- （2） 8.1lg 10lg 3lg 2lg -+ 3.已知)lg(y x ++)32lg(y x +-lg3=lg4+lgx+lgy,求x:y 的值 4.计算： （1）)log log log 5 825 41252++（)log log log 8 1254 252 5++（ （2） 3 4 7 3 1 59725log log log log ??+) 5353( 2log --+ 对数及对数运算 【学习目标】 1．理解对数的概念，能够进行指数式与对数式的互化； 2．了解常用对数与自然对数的意义； 3．能够熟练地运用对数的运算性质进行计算； 4．了解换底公式及其推论，能够运用换底公式及其推论进行对数的计算、化简与证明．5．能将一般对数转化成自然对数或常用对数、体会换底公式在解题中的作用． 【要点梳理】 要点一、对数概念 1．对数的概念 如果??01b aNaa???，且，那么数b叫做以a为底N的对数，记作:log a N=b．其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 要点诠释： 对数式log a N=b中各字母的取值范围是：a>0 且a?1， N>0， b?R． 2．对数??log0a Na??，且a1具有下列性质： （1）0和负数没有对数，即0N?； （2）1的对数为0，即log10a?； （3）底的对数等于1，即log1a a?． 3．两种特殊的对数 通常将以10为底的对数叫做常用对数，NNlglog10简记作．以e（e是一个无理数，2.7182e????）为底的对数叫做自然对数，logln e NN简记作． 4．对数式与指数式的关系 由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转 化．它们的关系可由下图表示． 由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化． 要点二、对数的运算法则 已知??loglog010aa MNaaMN???，且，、 （1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和； ??logloglog aaa MNMN?? 推广：????121212loglogloglog0akaaakk NNNNNNNNN???? ?、、、 （2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数； logloglog aaa MMNN?? （3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数； loglog aa MM??? 要点诠释： （1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立．如：log2（-3）（-5）=log2（-3）+log2（-5）是不成立的，因为虽然log2（-3）（-5）是存在的，但log2． （-3）与log2（-5）是不存在的． （2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的： log a（M?N）=log a M?log a N， log a（M·N）=log a M·log a N， log a NMNM aa loglog?． 要点三、对数公式 1．对数恒等式： log log a bNa aNaNNb??????? 2．换底公式 同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有: （1）)(loglogRnMM naa n?? 令 log a M=b，则有a b=M，（a b）n=M n，即nbn Ma?)(，即na Mb n log?， 即:naa MM n loglog?． （2）)1,0(logloglog???ccaMM cca，令log a M=b，则有a b=M，则有)1,0(loglog???ccMa cbc 即Mab cc loglog??，即aMb cc loglog?， 即)1,0(logloglog???ccaMM cca 2.1 对数与对数的运算 练习一 一、选择题 1、 2 5)(log 5a -（a ≠0）化简得结果是（ ） A 、－a B 、a 2 C 、｜a ｜ D 、a 2、 log 7［log 3（log 2x ）］＝0，则21-x 等于（ ） A 、 31 B 、321 C 、221 D 、331 3、 n n ++1log （n n －＋1）等于（ ） A 、1 B 、－1 C 、2 D 、－2 4、 已知32a =，那么33log 82log 6-用表示是（ ） A 、2a - B 、52a - C 、23(1)a a -+ D 、 23a a - 5、 2log (2)log log a a a M N M N -=+，则 N M 的值为（ ） A 、 41 B 、4 C 、1 D 、4或1 6、 若log m 9 11、 若2log 2,log 3,m n a a m n a +===___________________ 12、 lg25+lg2lg50+(lg2)2= 三、解答题 13、 222522122(lg )lg lg (lg )lg +?+-+ 14、 若lga 、lgb 是方程01422=+-x x 的两个实根，求2)(lg )lg(b a a b ?的值。 15、 若f(x)=1+log x 3, g(x)=2log x 2, 试比较f(x)与g(x)的大小. 答案： 一、选择题 1、C ； 2、C ； 3、B ； 4、A ； 5、B ； 6、C ； 7、D 二、填空题 8、 2 1 9、a b a －＋1 2 10、a －2 11、12 12、2 二、解答题 13、解：原式2 )12(lg )5lg 2lg 2(2lg -++= 对数与对数运算 一、知识点总结 1、定义：一般地，如果)1,0(≠>=a a N a x 且，那么数x 叫做以 N x N a a log =的对数，记作为底,叫做真数。叫做对数的底数，其中N a 注意：（1）（负数与零没有对数）；且01,0>≠>N a a （2）b a a b a a a ===log ,01log ;1log （3）对数恒等式：N a N a =log 2、对数的运算性质 如果那么：且,0,0,1,0>>≠>N M a a ;log log )(log )1(N M N M a a a +=? N M N M a a a log log log )2(-= (3))(log log R n M P M a P a ∈= 3、自然对数与常用对数 ）为底的对数（自然对数：以无理数71828.2)1(≈e e ，写作：x ln (2)常用对数：为底的对数以 10，写作：x lg 4、换底公式：)0;1,0;1,0(log log log >≠>≠>=b c c a a a b b c c a 且且 对数与对数运算练习题 一．选择题 1．2－ 3＝18化为对数式为( ) A ．log 18 2＝－3 B ．log 18 (－3)＝2 C ．log 21 8＝－3 D ．log 2(－3)＝1 8 2．log 63＋log 62等于( ) A ．6 B ．5 C ．1 D ．log 65 3．如果lg x ＝lg a ＋2lg b －3lg c ，则x 等于( ) A ．a ＋2b －3c B ．a ＋b 2－c 3 C.ab 2 c 3 D.2ab 3c 4．已知a ＝log 32，那么log 38－2log 36用a 表示为( ) A ．a －2 B ．5a －2 C ．3a －(1＋a )2 D ．3a －a 2－1 5． 的值等于( ) A ．2＋ 5 B ．2 5 C ．2＋ 52 D ．1＋ 52 6．Log 22的值为( ) A ．－ 2 B. 2 C ．－12 D.12 7．在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值范围是( ) A ．a ＞5或a <2 B ．2＜a ＜3或3＜a ＜5 C ．2 对数的运算性质(二) 1. ( 2014秋？龙泉驿区校级期中)若ab>0,则下列四个等式： ①lg (ab) =lga+lgb ②lg (f) =lga - Igb ③弓g V)2="g V) ④lg (ab)= ?中正确等式的符号是( ) |1 叫10 A .①②③④B.①② C .③④ D .③ 【考点】对数的运算性质. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】对于①②当a, b v 0时，lg (ab) =lga+lgb , lg (j) =lga - lgb，不成立. ③弓g (f) 2=lg (f)，正确； ④ab=1时不正确. 【解答】解：①②?/ ab> 0, ??? a, b v 0时，下列等式：lg (ab) =lga+lgb , lg (j) =lga - lgb，不成立. ???①②不正确； ③吉ig (半)2=lg ({),正确； ④lg (ab) =--------------- ,ab=1时不正确. 综上可得：只有③正确. 故选：D. 【点评】本题考查了对数的运算法则，属于基础题. 【考点】对数的运算性质；函数的值. 【专题】函数的性质及应用. 2. ( 2015?吉林校级四模)已知函数f (x) ( ) A . 2 B. - 2 C. 0 D. 1 _z =-x+log 2 . I+x +1，则f (2)+f (-亍)的值为 + +1) =2. 故选：A . 【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要注意对数性质的合理运用. log 3（K- 1） J 贅>1 3. （ 2015?四川模拟）已知函数 f （ X ）= 则f （ f （ log 32））的值是 3H +2, I <1 （ ） A . 1 B . 2 C . 5 D . 1+log 32 【考点】对数的运算性质；函数的值. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】根据函数的表达式代入进行求解即可. 【解答】解：T log 32 v 1, 1辱2 ??? f （log 32） = - +2=2+2=4 , /? f （4） =log 3 （4 - 1） =log 33=1 , 故选：A 【点评】本题主要考查函数值的计算，根据表达式直接代入是解决本题的关键. 4. （ 2015秋？台州校级月考）设 a >0, b >0,则（ ） A .若 2a +log 2a=2b +log 3b ，贝U av b a b B .若 2 +log 2a=2 +log 3b ,贝U a > b a b C. 若 2 +log 2a=3 +log 2b ,贝U av b D. 若 2a +log 2a=3b +log 2b ,则 a >b 【考点】对数的运算性质. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】 f ( 2)+f (- 丄） =(-丄 3 2 2 +胆^4+1），由此 能求出结果. 【解答】 解：T 函数f (X ) = - X+lOg 2— ■' H-K +1, +f (- =(4+ 由已知得 L 4 I - .: -------- +1) 对数练习题一 1、将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： （1）54=625 (2)61264-= (3)1() 5.733m = (4) 3log 92= (5)5log 1253= (6) 12log 164=- 2、把下列指数式写成对数式： 3(1)28= 5(2)232= 1 1(3)22-= 131(4)273-= 3、把下列对数式写成指数式： 3(1)log 92= 5(2)log 1253= 2 1(3)log 24=- 31(4)log 481 =- 4、求下列各式中x 的值： 642(1)log x 3 =- log 86x =（2） lg100x =（3） 2ln e x =（4）- 例：因为642log x 3 =-，则223233164(4)416x ---==== 5、求下列各式的值： 51log 25（） 212log 16（） 3lg1000（） lg 0.001（4） 15log 15(1) 0.4log 1(2) 9log 81(3) 2.5log 6.25(4) 7log 343(5) 3log 243(6) 对数运算练习题二 一、计算下列对数： lg10000= lg0.01= 2log 42= 3log 273= 5 111255og = lg10510= 二、求下列各式的值： （1） ； （2） ； （3） ； （4）2 lg 2lg 2lg5lg5+?+ （5） ； （6）(23)log (23)+-= ； （7） ； （8） 。 （9） ； （10） 。 三、（1）、设lg 2a =,lg3b =，试用a 、b 表示5log 12. （2）、已知，试用表示 对数及对数运算 编稿：丁会敏 审稿：王静伟 【学习目标】 1.理解对数的概念，能够进行指数式与对数式的互化； 2.了解常用对数与自然对数的意义； 3．能够熟练地运用对数的运算性质进行计算； 4．了解换底公式及其推论，能够运用换底公式及其推论进行对数的计算、化简与证明． 5．能将一般对数转化成自然对数或常用对数、体会换底公式在解题中的作用． 【要点梳理】 要点一、对数概念 1.对数的概念 如果()01b a N a a =>≠，且，那么数 b 叫做以a 为底N 的对数，记作:log a N=b.其中a 叫做对数的底 数，N 叫做真数. 要点诠释： 对数式log a N=b 中各字母的取值范围是：a>0 且a ≠1， N>0， b ∈R. 2.对数()log 0a N a >≠，且a 1具有下列性质： (1)0和负数没有对数，即0N >； (2)1的对数为0，即log 10a =； (3)底的对数等于1，即log 1a a =. 3．两种特殊的对数 通常将以10为底的对数叫做常用对数，N N lg log 10简记作.以e （e 是一个无理数， 2.7182e =???）为底的对数叫做自然对数， log ln e N N 简记作. 4．对数式与指数式的关系 由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化.它们的关系可由下图表示. 由此可见a ，b ，N 三个字母在不同的式子中名称可能发生变化. 要点二、对数的运算法则 已知()log log 010a a M N a a M N >≠>，且，、 (1) 正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和； ()log log log a a a MN M N =+ 推广：()()121212log log log log 0a k a a a k k N N N N N N N N N =+++>L L L 、、、 (2) 两个正数的商的对数等于被乘数的对数减去除数的对数； log log log a a a M M N N =- (3) 正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数； log log a a M M αα= 要点诠释： （1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能 指数与对数运算练习题 Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT 指数运算与对数运算练习题 基础题 1、用根式的形式表示下列各式)0(>a （1）51a = （2）34 a = （3）35 a - = （4）32 a - = 2、用分数指数幂的形式表示下列各式： （1）3 4y x = （2） )0(2>=m m m （3= （4= ； （5）a a a = ； 3、求下列各式的值 （1）2 38= ；（2）12 100- = ； （3）3 1()4 -= ；（4）3 416()81-= （5）1 22 [(]- = （6）(12 2 1?????? = （7）=3 264 一、选择题 1、以下四式中正确的是（ ） A 、log 22=4 B 、log 21=1 C 、log 216=4 D 、log 221=4 1 2、下列各式值为0的是（ ） A 、10 B 、log 33 C 、（2－3）° D 、log 2∣－1∣ 3、2 5 1log 2 的值是（ ） A 、－5 B 、5 C 、51 D 、－5 1 4、若m ＝lg5－lg2，则10m 的值是（ ） A 、2 5 B 、3 C 、10 D 、1 5、设N ＝ 3log 12＋3 log 1 5，则（ ） A 、N ＝2 B 、N ＝2 C 、N ＜－2 D 、N ＞2对数函数基础运算法则及例题_答案
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