机械动力学第二章作业(答案)

第二章习题

2- 1如图2-1所示，长度为L 、质量为m 的均质刚性杆由两根刚度为k 的弹簧系住，求杆绕O 点微幅振动的微分方程。

22

2...2..011T J 2231V 2(sin )(1cos )

222

()0

m 0

322ml L L

k mg d

T V dt

mg k L θθθ

θθθθ==?=?+-+=??

++= ???

解：设系统处于静平衡位置时势能为，当杆顺时针偏转角时动能：势能：由能量守恒原理，得化简得：

2- 2如图2-2所示，质量为m 、半径为r 的圆柱体，可沿水平面作纯滚动，它的圆心O 用刚度为k 弹簧相连,求系统的振动微分方程。

2

2 (2)

2

..

0111

T J ,2221

V ()2

()0

3m 0

2

m r J mr k r d

T V dt

k θθθθθθ??=+= ???=+=+=解：设系统处于静平衡位置时势能为，当杆顺时针偏转角时动能：势能：由能量守恒原理，得化简得：

2- 3如图2-3所示，质量为m 、半径为R 的圆柱体,可沿水平面作纯滚动，与圆心O 距离为

a 处用两根刚度为k 的弹簧相连，求系统作微振动的微分方程。

图2- 1 图2- 2

2

.2

2

2..2

20111T J ,2221V (2

)[()]2

()0

32()0

2

m R J mR k R a d

T V dt mR k R a θθθθθ??=+= ???=?++=++=&解：设系统处于静平衡位置时势能为动能：势能：由能量守恒原理，得化简得： 2- 4求图2-4所示弹簧-质量-滑轮系统的振动微分方程(假设滑轮与绳索间无滑动)。

2

.2

2

2

.

.

..

0111T J ,2221

V ()2

()0

()0

2

m r J Mr k r d

T V dt x r x r M m x kx θθθθθ

??=+= ???=?+===++=&解：设系统处于静平衡位置时势能为动能：势能：由能量守恒原理，得其中，，化简得： 2- 5质量可忽略的刚性杆-质量-弹簧-阻尼器系统参数如图2-5所示，2

L 杆处于铅垂位置时

系统静平衡，求系统作微振动的微分方程。

图2- 3

图2- 4

(22)

2

112233423422t 230

..

.

22

2

2211

2233433422111T m (L )m (L )m [(L L

)]2221

V [()](1cos )

2.

W ()()0[()][()k L L m gl c L dt

d

T V W dt

m L m L m L L cL k L L m gl θθθθθθθθ+=++=+--=?++=++++++-?动能：势能：耗散能：由能量守恒原理，得

化简得：]0

θ=

2- 6系统参数如图2-6所示，刚性杆质量可忽略，求系统的振动微分方程。

2222...2211222122..2

2211122220

.111

T J (),

22211V ()2()22

()0

()()0

M r m r r a k k r b d

T V dt a J Mr m r k r k r b

θθθθθθθ??=++ ???=++=++++=解：设系统处于静平衡位置时势能为动能：势能：由能量守恒原理，得化简得： 2- 7试用能量法确定图2-7所示系统的振动微分方程。（假定图示位置是21

m m >，图示位

置是系统的静平衡位置）

图2- 5 图2- 6

2.22

1221..

12211T (m a m a )2

V ()cos (1cos )

()

0sin []()cos 0

m m g a d

T V dt

m a m a m m g θ

αθθθθ

θαθ=+=-??-+=≈++-??=Q 动能：势能：由能量守恒原理，得很小，化简得：

2- 8试确定图2-8所示串并联弹簧系统的等效刚度。

123123

123312123

123111(),()e e k k k k k k k k k k k k k k k k k +++=+==++++解：弹簧、并联，和弹簧串联，则等效刚度为：

2- 9求跨度为L 的均匀简支梁在离支承点3L 处的等效刚度系数。

223

23

L

3

22433[]633243F 243k y 4e L L

F L L FL y L LEI EI EI

FL ?

?????=--=

? ?????

==

解：根据材料力学公式，均匀简支梁

处扰度：等效刚度为：

2- 10系统参数如图2-9所示,刚性杆质量可忽略，求系统对于广义坐标x 的等效刚度。

图2- 7 图2- 8

图2- 9

2- 11一质量为m、长度为L的均匀刚性杆,在距左端O为nL处设一支承点，如图2-10 所示。求杆对O点的等效质量。

2- 12如图2-11所示，悬臂梁长度为L,弯曲刚度为EI，质量不计。求系统的等效刚度和等效质量。

2- 13如图2-12所示，固定滑车力学模型中，起吊物品质量为济，滑轮绕中心0的转动惯 量为

J ，假定绳索与滑轮间无滑动,求系统的振动微分方程。

2- 14用视察法建立图2-13所示链式系统的振动微分方程。简要说明必须注意的问题。

图2- 10 图2- 11 图2- 12

2- 15绳索-质量系统的参数如图2-14所示，设质量12

2m m 各段绳索中的张力均为T ,试

用刚度法建立系统作微振动的微分方程。

图2- 13 图2- 14 图2- 15

2- 16如图2-15所示系统中,123k k k k ===,12m m m ==,12r r r ==,12J J J

==。求

系统的振动微分方程。

2- 17行车载重小车运动的力学模型如图2-16所示，小车质量为1

m ，

所受到两根刚度为k 弹簧的约束，悬挂物品质量为2

m ，悬挂长度为L

摆角θ很小,求系统 的振动微分方程。

图2- 16

2- 18离散化振动系统力学模型由哪些元件组成？

质量元件、弹性元件、阻尼元件

2- 19实际系统离散化的依据是什么？用课外的实例举例说明。

简化的程度取决于系统本身的复杂程度、外界对它的作用形式和分析结果的精度要求等

（以下20-26题请用拉格朗日方程建立系统运动微分方程）

2- 20 图2-17所示系统中，轮A 沿水平面纯滚动，轮心以水平弹簧联于墙上，质量为1

m 的

物块C 以细绳跨过定滑轮B 联于点A 。A 、B 两轮皆为均质圆盘，半径为R ，质量为2

m 。弹

簧刚度为k ，质量不计。当弹簧较软，在细绳能始终保持张紧的条件下，求此系统的运动微

分方程。

2- 21在图2-18所示的运动系统中，重物1

M 的质量为

1

m ，可沿光滑水平面移动；摆锤

2

M 的质量为

2

m ，两个物体用无重杆链接，杆长为l 。试用第二类拉格朗日方程建立此系统的

运动微分方程。

图2- 17

图2- 18

2- 22运用拉格朗日方程推导单摆的运动微分方程(如图2-19)。分别以下列参数为广义坐标：(1)转角

?；(2)水平坐标x ；(3)铅直坐标y 。

（1） 以?为广义坐标，则系统

22

1T 2

(1

cos )ml V mgl L T V

??==-=-&g

代入拉格朗日方程d 0L L

dt ??????-

= ?????& 得运动微分方程 sin 0l g ?

?+=&&

（2） 以

x 为广义坐标，约束方程

222x y l +=

()2

22

222

22

22

0,1122()()

x

x x y y

y x y

x m x y ml l x V mg l y mg l l x +==+=-=-=--&&&&g g g &&&g 即则T=对上式时间求导

将L

T V =-代入拉格朗日方程得

()()

322222

22

0l l x x xx gx l x ??-++-=??

&&&

（3） 以

y 为广义坐标，同样有约束方程222x y l +=

()()()

2222

2

2222

221,20

y

T ml V mg l y l y

L T V l l y y y y g l y ==--=-??-+--=??

&g &&&g g 有将代入拉格朗日方程得

2- 23斜块A 的质量为

A

m ，在常力F 作用下水平向右并推动活塞杆BC 向上运动；活塞与

杆BC 的质量为m ，上端由弹簧压住，弹簧的刚度系数为k 。运动开始时，系统静止，弹簧未变形。见图2-20，不计摩擦，求顶杆BC 的运动微分方程。

2- 24质量为

1

m 的均质杆OA 长为l ，可绕水平轴O 在铅垂面内转动，其下端有一个与基座

相连的螺线弹簧，刚度系数为k ，当=0θ时，弹簧无变形。OA 杆的A 端装有可自由转动

图2- 20 图2- 19

的均质圆盘，盘的质量为2

m ，半径为r ，在盘面上作用有矩为M 的常力偶，设广义坐标

为

?和θ，如图2-21所示。求该系统的运动微分方程。

系统的动能()222222

12211111123222T m l m l m r θθ?????=

++ ? ?????

&&&L L L L 广义坐标?θ，对应的广义力

()

()

1221sin 32Q M Q k m m gl ?θθθ=??

=-++ ???L L L L L L L L L L L L L L L L L L L 代入拉格朗日方程

(),,4i i i d T T

Q i dt q q ?θ???-

== ?????

L L L L & 将（1）（2）（3）代入（4）式，得

22211221

2

1sin 0

32m r M m m m l k m gl ?θθθ=????++-+= ? ?????

&&&&g

2- 25设有一个与弹簧相连的滑块A ，其质量为

1

m ，它可以沿光滑水平面无摩擦的来回滑动，

弹簧的刚度系数为k 。在滑块A 上又连接一个单摆，如图2-22所示。摆长为l ，B 的质量为

2

m 。列出该系统的运动微分方程。

系统动能

()2222

12112cos 22

T m x m x l l x ???=+++&&&&&

系统势能

221

cos 2

V kx m gl ?=-

拉格朗日函数

()2222

21221112cos cos 222

L T V m x m x l l x kx m gl ????=-=+++-+&&&&&

将上式代入拉格朗日方程

0i i d L L

dt q q ????-

= ?????

&

化简得()2

1222cos sin 0cos sin 0

m m x m l m l kx x l g ???????++-+=++=&&&&&&&&&

当?为小量时，cos 1,sin ???≈≈，略去高阶小量2

?

&项，有 ()12200

m m x m l kx x l g ???+++=++=&&&

&&&&& 2- 26图示直角三角块A 可以沿着光滑水平面滑动。三角块的光滑斜面上放置一个均质圆柱体B ，其上面绕有不可伸长的绳索，绳索通过滑轮C 悬挂一质量为

m

的物块D ，可沿三角

块的铅直光滑槽运动。已知圆柱B 的质量为2m ，三角块A 的质量为

3m

，o

=30θ。设

开始时系统处于静止状态，滑轮C 的大小和质量略去不计。试确定系统中各物体的运动方程。

解：系统动能

()()()()()()

2222222

2222

11111322cos 2222235323324

T m x m x y mr m x y r x y r my mx mr mry mxy mrx ???θ???

??=

+++++--- ?

??=++--+&&&&&&&&&&&&&&&&&&&系统势能

()2sin V mgy mg y r mgr ?θ?=-+-=- 把拉格朗日函数 L T V =-

代入拉格朗日方程

0,,,i i d L L

i x y dt q q ?????-

== ?????& 化简得

图2- 231 图2- 23 图2- 233

633033205322

x

y r x y r x y r g ???-+=-+=-+=&&&&&&&&&&&&&&&&&& 解得：

23

336111011x g y g g r ?=-==

&&&&&& 积分得：

2

2

2

333

311511x gt y gt

g t r ?=-=

=&&&&&& 考试复习题：

一、 图1所示系统中，四个弹簧均未受力，已知m ＝50kg, k1＝9800N/m, k2＝k3＝4900N/m,

k4＝19600N/m 。试问：

（1）若将支承缓慢撤去，质量块将下落多少距离？ （2）若将支承突然撤去，质量块又将下落多少距离？

解：

245001

1

1

1

3

2

1

1

4

=

+

+

=

+

=

e

e

e

e

k

k

k

k

k

k

k

k

cm

x

x

k

mgx

cm

x

mg

x

k

e

e

4

;

2

1

2

;

2

=

=

=

=

答：(1) x =2 cm；(2) x=4 cm

二、图中12

1000/,1/

k N m k N m

==

(1). 试推导这两个系统的等效刚度。

(2). 简述计算结果所反映出的物理意义。

图串联弹簧系统和并联弹簧系统

解：

（1）串联弹簧系统：在质量块上施加力P

弹簧1变形：

1

1

P

k

λ=；

弹簧2变形：

2

2

P

k

λ=；

总变形：

12

12

11

()P

k k

λλλ

=+=+

根据定义：

2

1

2

1

k

k

k

k

P

K

e+

=

=

λ

或

2

1

1

1

1

k

k

K

e

+

=

12

12

1000*11000

1 (/)

100011001

e

k k

K N m

k k

===≈

++

当两弹簧串联，系统刚度取决于刚度小的弹簧。

（2）并联弹簧系统：在质量块上施加力 P ，两弹簧变形量相等。 受力不等：11P k λ=，22P k λ= 由力平衡：λ)(2121k k P P P +=+= 根据定义：21k k P

K e +==

λ

12100011001 (/)e K k k N m =+=+=

当两弹簧并联，系统刚度取决于刚度大的弹簧。

三、 如图所示为一个杠杆系统，该杠杆是不计质量的刚体。在距离支座l1处有一质量为

m1的小球，在距离支座l2处有一质量为m2的小球，在距离支座l1处有一刚度为K1的弹簧，在距离支座l3处有一刚度为K2的弹簧。

求：系统对于坐标 x 的等效质量和等效刚度。

解：设使系统在x 方向产生单位加速度需要施加力P ，则在21,m m 上产生惯性力，对支座取矩：

21

2

2111)()1(l l l m l m Pl ?+?=

221

22

1m l l m P M e +==

设使系统在x 坐标上产生单位位移需要施加力P ，则在k1、k2处将产生弹 性恢复力，对支点取矩:

31

3

2111)()1(l l l k l k Pl ?

+?= 221

23

1k l l k P K e +==

四、 两自由度振动系统如图所示，摆长 l ，无质量，微摆动，求出运动的微分方程。

图 两自由度振动系统

解：先求解刚度矩阵

令：10x θ==，，2121111)(k k k k k +=?+=，021=k

令：01x θ==，，00)(2112=?+=k k k ，gl m l g m k 2222sin ≈?=θ

??

?

?

??+=gl m k k 22100K 求解质量矩阵

令：10x θ==&&&

&，，212111)(m m x m m m +=?+=&&，l m l x m m 2221)(=?=&& 令：01x θ==&&&

&，，1222m m l m l θ==&&，222222m I m l m l θθ==?=&&&&

??

?

???+=22222

1

l m l m l m m m M ??

?

???=???????????

?++????????????+000022

1222221θθx gl m k k x l m l

m l m m m &&&&