初中数学专题练习-一次方程及方程组
《方程与方程组》专题
第一讲：一次方程及方程组
1. 方程的有关概念及分类
(1)方程：含有____________的等式叫做方程．
(2)方程的解：使方程左右两边的值相等的_____________,叫做方程的解．
(3)解方程：求方程的解或确定方程无解的过程,叫做解方程．
2. 一元一次方程
(1)一元一次方程的概念
只含有___个未知数,并且未知数的指数是_____次的整式方程,叫做 一元一次方程．它的一般形式是____________________．
(2)一元一次方程的解法
解一元一次方程的基本思路是：把方程变形为ax ＝b(a ≠0)形式,再求解．
3．二元一次方程组
(1)二元一次方程
含有___个未知数,并且含有未知数的项的次数为_____次的整式方程, 叫做二元一次方程．它的一般形式是：________________________．
(2)二元一次方程的解及解集
能使二元一次方程两边的值相等的每一对未知数的值叫做二元一次方程 的一个解,用x a y b
=??=?形式表示．
(3)二元一次方程组及其解
由几个一次方程组成,并且含有____个未知数的方程组叫做二元一次方 程组．一般地,能使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两 个未知数的值,叫做二元一次方程组的解．
当二元一次方程组的解唯一时,这个解就是在直角坐标系下,两个二 元一次方程所对应的两条直线的____________．
(4)二元一次方程组的基本解法
解二元一次方程组的基本思想就是：_____,即将“二元”转化为“一元”来 达到求解目的,消元是“化未知为已知”的重要的数学思想方法．
解二元一次方程组的基本解法：_______消元法和________消元法． 例1.下列各个方程的变形能否分别使所得新方程的解与原方程的解相同? 相同的画“√”,不相同的画“×”,对于画“×”的,想一想错在何处? (1)5
243=x 变为;3452?=x ( ) (2)321=+-
x 变为－x ＋1＝6； ( ) (3)4
31323++=--x x x 变为6(x －3)－4x ＝1＋3(x ＋3)； ( )
(4)(x ＋1)(x ＋2)＝(x ＋1)变为x ＋2＝1；
( )
例2. 下列方程是二元一次方程的是( )．
(A)x 2＋x ＝1 (B)2x ＋3y －1＝0
(C)x ＋y －z ＝0
(D)x ＋y 1＋1＝0
例3. 解方程（组）： (1)
1)2
3(32)31(21=+--x x ；
（2）?
??=++=.36,5:4:3::c b a c b a
例4. (1)k 为何值时,多项式x 2－2kxy －3y 2＋3xy －x －y 中,不含x ,y 的 乘积项．
(2) 若a ,b 为定值,关于x 的一元一次方程
2632=--+bx x x ka 无论k 为 何值时,它的解总是1,求a ,b 的值．
例5．列方程(组)解决实际问题
(1) 某工厂一车间人数比二车间人数的5
4还少30人,若从二车间调10人 去一车间,则一车间人数为二车间人数的4
3．求两个车间原来的人数．
(2)学校组织数学知识竞赛,甲班、乙班共12人参加,其中甲班学生的平
均分是70分,乙班学生的平均分是60分,这两班学生的总分为740分．问：甲、乙两班各有多少学生参加竞赛?
(3) 甲、乙两班学生到集市上购买苹果,价格如下：
甲班分两次共购买苹果70千克(第二次多于第一次),共付出189元,而乙班则一次购买苹果70千克。
(1)乙班比甲班少付出多少元？
(2)甲班第一次、第二次分别购买苹果多少千克？
初中数学专题中考题精选方程和方程组
三、方程和方程组 1.某河上游的A地，为改善流域环境，把一部分牧场改为林场。改变后，林场与牧场共有162 公顷，牧场面积是林场面积的20％，问退牧还林后林场面积为多少公顷？ 2.某队伍长450m，以1.5m/s的速度行进，一个通讯兵从排尾赶到排头，并立即返回排尾，他 的速度是3m/s，那么往返需要多少时间？ 3.一个容器盛满酒精20L，倒出一部分后又用水加满；第二次又倒出与第一次相同体积的酒精 溶液，再用水加满，这时容器内的水是纯酒精的3倍，求每次倒出溶液的体积。 4.某厂以500万元资金投入生产，在一年中可以得到一定的利润，第二年又以这500万元资金 和上年的利润一并投入生产，结果得利润42.2万元。已知第二年的利润比第一年增加2.5％，求第一年的利润是投产资金的百分之几？ 5.一水池装有A、B两水管，单独打开A管比单独打开B管注满水池多用10小时，现在先打开 B管10小时后，再打开A管，共同注水6小时将水池注满。问同时打开两管注满水池需要几小时？ 6.一船由A港到B港顺流需行6小时，由B港逆流需行8小时。一天船从早晨6点由A港出发 顺流行到B港时，发现一救生圈在途中掉落在水中，立刻返回，1小时后找到救生圈。问：（1）若船按水流速度由A港漂流到B港需要多少小时? （2）救生圈是何时掉入水中的？ 7.甲、乙两人分别骑摩托车从A、B两地相向而行。甲行1小时后，乙才出发，又经过4小时两 人在途中的C地相遇。相遇后两人按原来的方向继续前进。乙在由C地到达A地的途中因故停了20分钟，结果乙由C地到达A地时比甲由C地到达B地还提前了40分钟。已知乙比甲每小时多行驶4km，求甲、乙两车的速度。 8.某初一学生在做作业时，不慎将墨水瓶打翻，使一道作业题只看到如下字样：“甲、乙两地相 距40km，摩托车的速度为45km/h，运货汽车的速度为35km/h， ？”请将这道作业题补充完整，并列方程解答。 9.某校参加数学竞赛的有120名男生，80名女生；参加英语竞赛的有120名女生，80名男生。 已知该校总共有260名学生参加了竞赛，其中有75名男生两科竞赛都参加了，那么参加数学竞赛而没有参加英语竞赛的女生人数是多少人？ 10.果品公司购进苹果5.2万千克，每千克的进价是0.98元，付运费的开支1840元，预计损耗 为1％。如果希望全部销售后能获利17％，问每千克苹果零售价应当定为多少元？ 11.某种商品因换季准备打折出售。如果按定价的七五折出售将赔25元；而按定价的九折出售
中考数学方程专题训练含答案解析(最新整理)
《方程》 一、选择题 1.若关于x 的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（）A．k＞﹣1 B．k＞﹣1 且k≠0 C．k＜1D．k＜1 且k≠0 2.已知x=﹣1 是一元二次方程x2+mx﹣5=0 的一个解，则方程的另一个解是（） A．1 B．﹣5 C．5 D．﹣4 3.小龙和小刚两人玩“打弹珠”游戏，小龙对小刚说：“把你珠子的一半给我，我就有10颗珠子”．小刚却说：“只要把你的给我，我就有10 颗”，如果设小刚的弹珠数为x 颗，小龙的弹珠数为y 颗，则列出的方程组正确的是（） A．B． C．D． 5.已知A．﹣1 B．1 是二元一次方程组 C．2 D．3 的解，则a﹣b 的值为（） 6.一元二次方程5x2﹣2x=0 的解是（） A．x1=0，x2=B．x1=0，x2=C．x1=0，x2=D．x1=0，x2= 7.一元一次方程的解是（） A．B．x=﹣1 C．x=1 D．x=﹣2 8.已知a，b 是关于x 的一元二次方程x2+nx﹣1=0 的两实数根，则式 子 A．n2+2B．﹣n2+2 C．n2﹣2 D．﹣n2﹣2 9．已知方程|x|=2，那么方程的解是（） A．x=2 B．x=﹣2 C．x1=2，x2=﹣2 D．x=4 的值是（） 10．设α，β是方程x2+9x+1=0 的两根，则（α2+2009α+1）（β2+2009β+1）的值是（）A．0 B．1 C．2000 D．4 000 000
11.用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是（） A．B． C．D． 12.阅读材料：设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2=﹣，x1?x2= ．根据该材料填空：已知x1，x2是方程x2+6x+3=0的两实数根，则+ 的值为（） A．4 B．6 C．8 D．10 13.右边给出的是2004 年3 月份的日历表，任意圈出一竖列上相邻的三个数，请你运用方程思想来研究，发现这三个数的和不可能是（） A．69 B．54 C．27 D．40 14．方程（x﹣1）（x+2）=2（x+2）的根是（） A．1，﹣2 B．3，﹣2 C．0，﹣2 D．1 15．方程x2﹣2x=0 的解是（）
最新初中数学方程与不等式之二元一次方程组知识点
最新初中数学方程与不等式之二元一次方程组知识点 一、选择题 1．学校八年级师生共466人准备参加社会实践活动，现已预备了49座和37座两种客车共10辆，刚好坐满．设49座客车x 辆，37座客车y 辆，根据题意可列出方程组（ ） A ．104937466x y x y +=??+=? B ．10 3749466 x y x y +=?? +=? C ．466493710x y x y +=??+=? D ．466374910x y x y +=??+=? 【答案】A 【解析】 【分析】 设49座客车x 辆，37座客车y 辆，根据49座和37座两种客车共10辆，及10辆车共坐466人，且刚好坐满，即可列出方程组. 【详解】 解：设49座客车x 辆，37座客车y 辆， 根据题意得 ：10 4937466 x y x y +=??+=? 故选：A ． 【点睛】 本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组． 2．已知甲、乙两数之和是42，甲数的3倍等于乙数的4倍，求甲、乙两数．若设甲数为x ，乙数为y ，由题意得方程组（ ） A ．4243y x x y +=??=? B ．42 43x y x y +=??=? C ．42113 4x y x y -=???=?? D ．42 34x y x y +=??=? 【答案】D 【解析】 【分析】 按照题干关系分别列出二元一次方程，再组合行成二元一次方程组即可. 【详解】 解：由甲、乙两数之和是42可得，42x y +=；由甲数的3倍等于乙数的4倍可得， 34x y =, 故由题意得方程组为： 42 34x y x y +=?? =? ，
初三数学总复习----方程与方程组(一)
初三数学总复习-------方程与方程组（一） 一、选择题： 1. 已知方程①3x －1=2x ＋1，②x ＋31=32(x －21)，③23x －1=x ，④27＋431x +=7－413+x 中，解为x=2的是方程 （ ） A 、①、②和③ B 、①、③和④ C 、②、③和④ D 、①、②和④ 2. 方程3 2x －2=3x 的解是 （ ） A 、x=2 B 、x=－11 6 C 、x=－6 D 、x=－76 3. 方程x(x ＋1)=0的根是 （ ） A 、0 B 、1 C 、0和1 D 、0和－1 4. 要使方程ax=a 的解为x=1，必须满足条件 （ ） A 、a 可取任何数 B 、a>0 C 、a<0 D 、a ≠0 5. 已知关于x 的方程 5 1432-=+x a x 的解是非负数，则（ ） A 、53->a B 、53-≥a C 、53>a D 、53-≤a 6. 关于x 的方程(m 2－4)x 2＋5x －3＝0是一元二次方程，则m 满足（ ） A 、m ≠2 B 、m ≠－2 C 、m ≠±2 D 、m 为任意实数 7. 根为2、－1的一元二次方程是（ ） A 、x 2－x ＋2＝0 B 、x 2－x －2＝0 C 、x 2＋x －2＝0 D 、x 2＋x ＋2＝0 8. 方程2x 2＋3x ＋2＝0的根的情况是（ ） A 、有两个相等的实数根 B 、有两个不相等的实数根 C 、有两个实数根 D 、沒有实数根 9. 已知关于x 的一元二次．．．．方程0112)21(2=-+--x k x k 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ） A 、2
初中数学中考复习专题：一元一次方程练习题1(含答案)
一元一次方程测试题 一、填一填！ 1、若3x+6=17，移项得＿＿＿＿＿， x=＿＿＿＿。 2、代数式5m ＋14与5(m －14 )的值互为相反数，则m 的值等于＿＿＿＿＿＿。 3、如果x=5是方程ax+5=10－4a 的解，那么a=＿＿＿＿＿＿ 4、在解方程123123x x -+-=时，去分母得 。 5、若(a －1)x |a|＋3＝－6是关于x 的一元一次方程，则a ＝＿＿；x ＝＿＿＿。 6、当x=＿＿＿时，单项式5a 2x+1b 2 与8a x+3b 2是同类项。 7、方程5x 4x 123 －＋－＝，去分母可变形为＿＿＿＿＿＿。 8、如果2a+4=a －3，那么代数式2a+1的值是________。 9、从1999年11月1日起，全国储蓄存款需征收利息税，利息税的税率是20％，张老师于2003年5月1日在银行存入人民币4万元，定期一年，年利率为1.98％，存款到期后，张老师净得本息和共计______元。 10、当x 的值为－3时，代数式－3x 2 + a x －7的值是－25，则当x =－1时，这个代数式的值为 。 11、若()022=-+-y y x ，则x+y=___________ 12、某学校为保护环境，绿化家园，每年组织学生参加植树活动，去年植树x 棵，今年比去年增加20%，则今年植树___________棵. 二、慧眼识真！ 1. 1、下列各题中正确的是（ ） A. 由347-=x x 移项得347=-x x B. 由2 31312-+=-x x 去分母得)3(31)12(2-+=-x x C. 由1)3(3)12(2=---x x 去括号得19324=---x x D. 由7)1(2+=+x x 移项、合并同类项得x =5 2、方程2－2x 4x 7312 －－＝－去分母得＿＿＿。 A 、2－2(2x －4)＝－(x －7) B 、12－2(2x －4)＝－x －7 C 、24－4(2x －4)＝－(x －7) D 、12－4x ＋4＝－x ＋7 3、一批宿舍，若每间住1人，则有10人无法安排；若每间住3人，则有10间无人住。这批宿舍的间数为＿＿
(完整word版)初中数学几种不定方程和方程组的解题技巧和方法
初中数学几种不定方程和方程组的解题技巧和方法 凯里市大风洞正钰中学曾祥文 摘要：教学作为一种有明确目的性的认知活动，其有效性是教育工作者所共同追求的。在初中数学教学中不定方程与方程（组）占很大的比例，是中学生经常出错和不懂的部分。本文主要探讨几种不定方程和方程组的解题技巧和方法。 关键词：初中数学不定方程方程 教学作为一种有明确目的性的认知活动，其有效性是教育工作者所共同追求的。有效教学是教师在达成教学目标和满足学生发展需要方面都很成功的教学行为，它是教学的社会价值和个体价值的双重体现。数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。数学教学是教师对学生进行数学思维培养的一种认知过程。 方程(组)中，未知数的个数多于方程的个数时，它的解往往有无数多个，不能唯一确定，因此这类方程常称为不定方程(组)，解不定方程没有固定的方法，需具体问题具体分析，经常用到整数的整除、奇数偶数的特性、因数分解、不等式估值、穷举、分离整数、配方等知识与方法，解不定方程的技巧是对方程适当变形，灵活运用相关知识。本文就几类常见的不定方程与方程做如下浅析。 1 非负数的巧用 在初中数学中，经常用的非负数有：①a2 ≥0 ；②｜a｜≥0；③a≥0若干个非负数的和为0，那么每个非负数均为0， 例1：已经x2 + y2-x+2y+5/4= 0 ，求x 、y的值。 评析：方程左边配方可变为非负数之和 解：由x2 + y2-x+ 2y+5/4= 0 得( x—1/2 ) 2+ ( y +1 ) 2= 0 所以( x—1/2 ) 2≥0，( y + 1 )2≥≥0 一般地，几个非负数之和为0，则每个非负数均为0。所以x=1/2, y=1 2 二元一次方程的整数解
初中数学专题——方程讲课稿
初中数学专题——方 程
初中数学方程建模强化训练题 （一）一元一次方程 概念： 1.方程：含有未知数的等式就叫做方程. 2. 一元一次方程：只含有一个未知数(元)x ，未知数x 的指数都是1(次) 去括号法则： (1). 括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同． (2). 括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号改变． 用方程思想解决实际问题的一般步骤 (1). 审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系． (2). 设：设未知数(可分直接设法，间接设法) (3). 列：根据题意列方程． (4). 解：解出所列方程． (5). 检：检验所求的解是否符合题意． (6). 答：写出答案(有单位要注明答案) 【典型例题】 一、一元一次方程的有关概念 例1.一个一元一次方程的解为2，请写出这个一元一次方程 . (答案不唯一) 二、一元一次方程的解 例2.若关于x 的一元一次方程23132 x k x k ---=的解是1x =-,则k 的值是（ ） A ． 27 B ．1 C ．1311 - D ．0 例3. 23{32[12 (x-1)-3]-3}=3 三、一元一次方程的实际应用 例4.某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅．经过测试：同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐． （1）求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐； （2）若7个餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐？请说明理由．
例5.工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等.该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？ （二）一元二次方程 概念： 1、定义： 2、 一般表达式： 3、方程的解： 4、解法：直接开平方、因式分解法、公式法、配方法 5、解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次。 【典型例题】 1.下列方程是一元二次方程的是（ ） A B C D 2、关于x 的一元二次方程 的一个根是0， 则k 的值为 。 3、若x=1是方程 的根,则 2a+2b=_____ 4、写出一个两实数根之差为3的一元二次方程 。 5、方程 的根的情况是。 6.解方程 ①3x2-27=0， ②4x2-4x-1=0， ③12x2=25x ，④ 0 4k 3k x 3x )4k (22=-++++02=++c bx ax 2x 4=2 x 21x x 1 --=+22x 4(x 2)-=+02bx ax 2=-+x 622x 32=+）（）（1x 441x 432 -=-
人教版初中数学方程与不等式之二元一次方程组经典测试题含答案解析
人教版初中数学方程与不等式之二元一次方程组经典测试题含答案解析 一、选择题 1．如图，将长方形ABCD的一角折叠，折痕为AE，∠BAD比∠BAE大18°．设∠BAE和∠BAD的度数分别为x，y，那么x，y所适合的一个方程组是（） A． 18 90 y x y x -= ? ? += ? B． 18 290 y x y x -= ? ? += ? C． 18 2 y x y x -= ? ? = ? D． 18 290 x y y x -= ? ? += ? 【答案】B 【解析】 【分析】 首先根据题意可得等量关系：①∠BAD-∠BAE大18°；②∠BAD+2∠BAE=90°，根据等量关系列出方程组即可． 【详解】 解：设∠BAE和∠BAD的度数分别为x°和y°， 依题意可列方程组： 18 290 y x y x -= ? ? +=? 故选：B． 【点睛】 此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组． 2．为了迎接体育中考，体育委员到体育用品商店购买排球和实心球，若购买2个排球和3个实心球共需95元，若购买5个排球和7个实心球共需230元，若设每个排球x元，每个实心球y元，则根据题意列二元一次方程组得（） A． 3295 57230 x y x y += ? ? += ? B． 2395 57230 x y x y += ? ? += ? C． 3295 75230 x y x y += ? ? += ? D． 2395 75230 x y x y += ? ? += ? 【答案】B 【解析】 分析：根据题意，确定等量关系为：若购买2个排球和3个实心球共需95元，若购买5个排球和7个实心球共需230元，根据所设未知数列方程，构成方程组即可. 详解：设每个排球x元，每个实心球y元， 则根据题意列二元一次方程组得： 2395 57230 x y x y += ? ? += ? ， 故选B． 点睛：此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是确定问题中的等量关系，列方程组.
初中数学专题复习方程测试题
中学复习方程测试题 班级 姓名 学号 成绩______ 一、选择题：（每小题5分，共20分） 1、下列是一元二次方程的是（ ） A 、x 2+2xy=3 B 、212=+x x C 、x 3+x 2=6 D 、x 2=3 2、方程02 3122=+--x x x 的根是（ ） A 、 -1，1，2 B 、-1，1 C 、-1 D 、1 3、如果方程组? ??+==m x y x y 242只有一个实数解，则m 的值是（ ） A 、全体实数 B 、±21 C 、21 D 、2 1- 4、完成某项工程，甲单独做需a 天，乙单独做需b 天，甲、乙两人共同完成这工程所而天数为（ ） A 、ab b a + B 、b a ab + C 、2b a + D 、b a +1 二、填空题：（每小题5分，共30分） 5、方程x 2=2x 的根是 。 6、方程2x 2－x+a=0没有实数根，则a 的取值范围是 。 7、在实数范围内因式分解：x 2－5x+3= ________________ 。 8、解方程2 52112=+-+-+x x x x 时，可设 ，则原方程可化为整式方程 。 9、设x 1，x 2是方程2x 2+4x －3=0的两根，那么=+2 112x x x x 。 10、当m = 时，方程3 31-=--x m x x 产生增根。 三、解答题：（11、12题每题10分；13、14题每题15分；共50分） 11、解方程： x x x x 21422-=-;
12、解方程组：? ??=-++=-+032012y x x y x 13、在宽为20m ，长为32m 的矩形耕地上，修筑同样宽的三条直路（如图）把耕地分成大 小相等的六块作为实验田，要使实验田面积为504m 2，问道路的宽为多少米？ 14、已知关于x 的方程04)2(2 2 =---m x m x . （1）求证：不论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根。 （2）方程的两根为x 1，x 2时，若|x 2|=|x 1|+2，求m 的值。
初中数学方程与不等式之二元一次方程组难题汇编含答案
初中数学方程与不等式之二元一次方程组难题汇编含答案 一、选择题 1．若215(3)()x mx x x n +-=++，则m 的值为（） A ．－2 B ．2 C ．－5 D ．5 【答案】A 【解析】 【分析】 将等式右边的整式展开，然后和等式左边对号入座进行对比：一次项系数相等、常数项相等，从而得到关于m 、n 的二元一次方程组，解方程组即可得解． 【详解】 解：∵()()()2 2 15333x mx x x n x n x n +-=++=+++ ∴3315m n n =+??=-? ①② 由②得，5n =- 把5n =-代入①得，2m =- ∴m 的值为2-． 故选：A 【点睛】 本题考查了多项式乘以多项式法则、两个多项式相等即各项对应相等、解二元一次方程组等知识点，能够得到关于m 、n 的二元一次方程组是解决问题的关键． 2．用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身10个或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套，现有120张白铁皮，设用x 张制盒身，y 张制盒底，得方程组（ ） A ．1204016x y y x +=??=? B ．1204332x y y x +=??=? C ．12040210x y y x +=??=?? D ．以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意可知，本题中的等量关系是（1）盒身的个数×2＝盒底的个数；（2）制作盒身的白铁皮张数＋制作盒底的白铁皮张数＝120，从而列方程组． 【详解】 解：根据题意，盒身的个数×2＝盒底的个数，可得；2×10x ＝40y ； 制作盒身的白铁皮张数＋制作盒底的白铁皮张数＝120，可得x ＋y ＝120， 故可得方程组120 40210x y y x +=?? =?? ．
初中数学竞赛专题：方程组
初中数学竞赛专题:方程组 §4．1方程组的解法 4．1．1★已知关x 、y 的方程组 ()21,221 3.ax y a x a y +=+??? +-=?? ① ② 分别求出当a 为何值时,方程组有唯一一组解；无解；有无穷多组解, 解析与一元一次方程一样,含有字母系数的一次方程组求解时也要进行讨论,一般是通过消元,归结 为一元一次方程ax b =的形式进行讨论,但必须特别注意,消元时,若用含有字母的式子去乘或者去除方程的两边时,这个式子的值不能等于零． 由①式得 ()21y a ax =+-,③ 将③代入②得 ()()()()122a a x a a -2+=-+．④ 当()210a a -+≠（）,即2a ≠且1a ≠-时, 方程④有唯一解2 1 a x a += +,将此x 值代入③有 () 1 21y a = +, 因而原方程组有唯一一组解． 当()()210a a -+=,且()()220a a -+≠时,即1a =-时,方程④无解,因此原方程组无解． 当()()210a a -+=且()()210a a -+=时,即2a =时,方程④有无穷多个解,因此原方程组有 无穷多组解． 评注对于二元一次方程组111 222 a x b y c a x b y c +=??+=?,（1a 、2a 、1b 、2b 为已知数,且1a 与1b ,2a 与2b 中都至少 有一个不为零）． （1）当 11 22 a b a b ≠时,方程组有唯一的解 2112122112 211221b c b c x a b a b a c a c y a b a b -? =?-? ? -?=?-?
初中数学中考方程专题
初中数学中考方程专题 Prepared on 24 November 2020
第四讲方程、方程组及其应用 第一节方程、方程的解 【中考要求】 1.能根据具体问题中的数量关系列出方程； 2.掌握等式的基本性质； 3.了解方程及方程解的概念； 4.会由方程的解求出方程中带点系数的值； 5.能根据具体问题的实际意义检验方程的解是否合理。 【考点一】等式及其性质 1. 用连接的表示关系的式子叫等式； 2. 等式的性质： 1）等式两边同时或同一个数（或式子），结果仍相等； 2）等式两边同一个数，或同除一个 的数，结果仍相等。 【考点二】方程的有关概念。 1. 方程：含有的式叫做方程； 2. 方程的解：使方程左右两边的值的未知数的值叫做方程的解，只含 有一个未知数的方程的解也叫做方程的 3. 解方程：求方程的解或确定方程无解的过程叫做解方程 【练习】
1． 一元一次方程的解是（ ） A. B. C. D. 2． 已知关于x 的方程062 =--kx x 的一个根为x =3，则实数k 的值为（ ） A ．1 B ．-1 C ．2 D ．-2 3． 已知2=x 是一元二次方程022=++mx x 的一个解，则m 的值是 ( ) A ．-3 B ．3 C ． 0 D ．0或 3 4． 已知是二元一次方程组的解，则m+3n 的立方根为 ． 5． 对于实数a 、b ，定义运算“*”：a *b ＝例如：4*2，因为4＞2，所以4*2＝ 42－4×2＝8．若x 1，x 2是一元二次方程x 2－5x ＋6＝0的两个根，则x 1*x 2＝
第二节一元一次方程及二元一次方程组 【中考要求】 1.了解一元一次方程及二元一次方程组的有关概念； 2.熟练掌握一元一次方程的解法； 3.知道代入、加减消元法的意义，数量掌握代入加减消元的方法，并能选择适 当的方法解方程组； 4.会运用一元一次方程或二元一次方程组解简单的应用题。 【考点一】基本概念： 1. 一元一次方程：只含有未知数，且未知数的次数是 的整式方程； 一般形式： 2. 二元一次方程：含有个未知数，并且含有未知数项的次数为的整式方程； 一般形式： 3. 二元一次方程组：由个一次方程组成，并且含有 个未知数的方程组； 同时使方程组中每个方程等号两边数值都相等的两个未知数的值叫做方程组的解。 【考点二】解法： 1. 一元一次方程的解法：把方程转变成 的形式再求解。
初中数学方程组的解法及应用
第7讲方程组的解法及应用 ◆考点链接 1．理解二元一次方程（组）的定义；二元一次方程（组）的解的定义．2．能灵活地运用代入消元法、加减消元法解二元一次方程组． 3．会解简单的三元一次方程组． ＊4．会解简单的二元二次方程组． 5．能利用方程组解应用题． 注：标有“＊”号的是选讲内容． ◆典例精析 【例题1】已知 21 11 x ax by y x ay b =-= ?? ?? =--=- ?? 是方程组的解，求a，b的值． 解题思路：根据解的定义可得到关于a，b的方程组．答案：a=2，b=－3 【例题2】解方程组： （1） 22 6210 *(2) 23 20 4()5()2; x y x y x y x x y x y x y +- ?? +=--+=? ?? -= ? ?+--= ? 解题思路：（1）题可先将方程组中的各方程化简，再用代入法或加减法解二元一次方程组．也可设x+y=a，x－y=b用换元法解．（2）题应首先由一次方程得x=2y再代入二次方程消去x． 答案：（1） 2 72 3 (2) 111 3 x x x y y y ? = ? ==?? ? ??? ==?? ?= ?? 【例题3】求使方程组的解x、y都是正数m的取值范围．
解：由原方程组得7 070250,250x m x m y m y m =-+>-+>???∴? ?? =->->??? ，解得5 2 初中数学方程建模强化训练题 （一）一元一次方程 概念： 1.方程：含有未知数的等式就叫做方程. 2. 一元一次方程：只含有一个未知数(元)x ，未知数x 的指数都是1(次) 去括号法则： (1). 括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同． (2). 括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号改变． 用方程思想解决实际问题的一般步骤 (1). 审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系． (2). 设：设未知数(可分直接设法，间接设法) (3). 列：根据题意列方程． (4). 解：解出所列方程． (5). 检：检验所求的解是否符合题意． (6). 答：写出答案(有单位要注明答案) 【典型例题】 一、一元一次方程的有关概念 例1.一个一元一次方程的解为2，请写出这个一元一次方程 . (答案不唯一) 二、一元一次方程的解 例2.若关于x 的一元一次方程23132 x k x k ---=的解是1x =-,则k 的值是（ ） A ． 27 B ．1 C ．1311 - D ．0 例3. 23{32[12 (x-1)-3]-3}=3 三、一元一次方程的实际应用 例4.某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅．经过测试：同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐． （1）求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐； （2）若7个餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐？请说明理由． 例5.工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等.该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？ （二）一元二次方程 概念： 1、 定义： 2、 一般表达式： 3、 方程的解： 4、 解法：直接开平方、因式分解法、公式法、配方法 5、 解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次。 【典型例题】 初三数学方程和方程组的解法 一. 本周教学内容： 方程和方程组的解法 方程和方程组的解法是方程知识的核心内容。同学们要灵活掌握方程解法的多样性。 【典型例题】 例1. 写出一个以x ＝3为根的一元一次方程。 分析：这是一道考查学生发散思维能力的试题。答案不唯一，题目是已知方程的解，来构造方程，可求出x －3＝0或2x －6＝0等。 例2. () ()求关于的一元一次方程的解。x k x k x k 211180-+--=- 分析：由已知可知原方程为一元一次方程，分两种情况： （1）当指数k －1＝1时，即k ＝2时，原方程化为3x ＋x －8＝0，解之得：x ＝2； （2）当k 2－1＝0且k －1≠0时，也就是当k ＝－1时，原方程化为－2x －8＝0，解之得：x ＝－4，所以原方程的解为x ＝2或x ＝－4。 答：x ＝2或x ＝－4 例3. 填空： 当，时，方程有唯一解。当，时，方程无解。当，时，方程有无穷多解。a b ax x b a b ax x b a b ax x b +=-+=-+=-111 分析：本题实质就是解方程ax x b +=-1 ()()根据解方程的步骤，原方程可化为a x b -=-+11 此方程分三种情况解： （）当，即时，原方程有唯一解。 （）当，，即，时，原方程无解。（）当，，即，时，原方程有无穷多解。110121010113101011a a a b a b a b a b -≠≠-=-+≠=≠--=-+===-()() 通过此题，总结出一般规律： 方程ax ＝b 的解 （）当时，方程的解为；（）当，时，方程无解；（）当，时，方程的解为全体实数。 10200300a x b a a b a b ≠= =≠== 例4. ()已知，求的值。x y x y x y --+++=+233202 分析：两个非负数之和为0，则这两个数须同时为0。 浅谈初中数学中的方程教学与方程思想 方程是数学发展史上的一个重要里程碑.它可以包容和展示丰富的数量关系，使数学语言有了质的飞跃；用等式作为数学思维的工具，对不同结构形式的方程，人们逐步探索出一套分类处理解方程的方法.正是源于解决数学问题的需求意识发展，人类才创造出方程这一璀璨的数学明珠.今天，课改教材遵循知识的历史发展观：阐明形成方程知识的背景，强调数学思维发展依赖数学工具、语言的功能创新；重视等式变形意义：解方程所采用的数学法则、方法和程序，不仅是学生对方程类型辨识和结构分析，而且又是对数学本质和意义理解的感悟，更是数学化归思想、优化意识在解题对策中的思辨.教材编写意图，旨在让学生体验：方程建模是解决实际问题的有效手段，它是小学后数学新思维、新语言、新方法、新功能的发展. 一、重视方程解法的教学 （一）引导学生探究并理解方程的解法原理 要让学生把方程解法掌握得更好、更牢固，而不是空中楼阁，就必须让学生理解方程的解法原理。一元一次方程解法原理是等式基本性质；一元二次方程按其解法不同其解法原理有两个，直接开平方法、配方法，公式法的解法原理是平方根的定义即若则叫做的平方根，即；因式分解法的解法原理是若则；二元一次方程组解法原理是通过等量代换进行消元转化成一元一次方程来解 （二）进行适量的解方程（组）的训练，让学生形成较稳定的解方程（组）的能力 解一元一次方程，一元二次方程，二元一次方程组的能力是新课程标准规定的初中阶段的学生必须掌握的一项基本技能，要形成熟练的解方程（组）的能力，适当的训练是必须的，而且在训练时，选题应该典型有代表性，全面有覆盖性。 （三）适时归纳解方程（组）基本步骤和基本思路。在训练的基础上，适时对解方程（组）的基本步骤和基本思路进行归纳，可以使学生站在更高的层次上理解方程解法和思路，掌握得会更好、更牢固。例如解一元一次方程的基本步骤是①有分母去分母；②有括号去括号； ③移项；④合并同类项；⑤系数化为1；处理方程或方程组的基本思路是：无理方程有理化，分式方程整式化，高次方程低次化，多元方程一元化，总而言之一句话，消元降次简单化。 二、重视方程应用题的教学 （一）用方程来解决问题是初中数学学习的重点、难点。《新课程标准》对方程提出了这样的要求“能够根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型”，因此对于方程的应用，也应当成为教学的一大重点，对绝大多数学生来说学习方程的一个重要原因就是能够应用它解决问题，包括数学的问题和非数学的问题。列方程（组）解应用题，是初中数学的一个难点，许多学生怕应用题，主要是他们理不清纷繁复杂的数量及其关系，或者难以将实际问题数学化，因而列不出正确的方程，教学中要把握这个重点，设法破解这个难点。 （二）重视教会学生审题和寻找相等关系的方法 方程专题复习 一、知识点： 1、列方程组解应用题的一般步骤：审题、设未知元、列解方程组、检验、作结论等. 2、列方程组解应用题要领： （1）善于将生活语言代数化； （2）掌握一定的设元技巧（直接设元，间接设元，辅助设元）； （3）善于寻找数量间的等量关系。 二、举例： 例 不足50人，如果以班为单位买门票，一共要付920元；如果两个班一起买票，一共要付515元。甲、乙两班分别有多少人？ 例2：某校初一年级200名学生参加期中考试，数学成绩情况如下表，问这次考试中及格和不及格的人数各是多少人？ 例3：一艘载重460吨的船，容积是1000立方米，现有甲种货物450立方米，乙种货物350吨，而甲种货物每吨体积为2.5立方米，乙种货物每立方米0.5吨，问是否都能装上船，如果不能，请你说明理由。并求出为了最大限度的利用船的载重和体积，两种货物应各装多少？ 例4：进入讯期，七年级1班的同学们到水库去调查了解汛情，水库一共10个泻洪闸，现在水库水位超过安全线，上游的河水仍以一个不变的速度流入水库。同学们经过一天的观察和测量，做如下的记录：上午打开1个泻洪闸，在2小时内，水位继续上涨了0.66m。下午再打开2个泻洪闸后，4小时水位下降了0.1m，目前水位仍超过安全线1.2m。（1）如果打开了5个泻洪闸，还需几小时水位可以降到安全线？ （2）如果防讯指挥部要求在6小时内水位降到安全线，应该打开几个泻洪闸？ 例5：某山区有23名中小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生的学习费用需要a元，一名小学生的学习费用需要b元，某校学生积极捐助，初中各年级学生捐款数额与用其恰好捐助贫困中学生和小学生人数的部分情况，如下表所示： （1）求a ，b 的值. （2）九年级学生的捐款解决其贫困中小学生的学习费用，请将九年级学生可捐助的贫困中、小学生的人数填入表中. 例6：小明用8个一样大的矩形(长acm，宽bcm)拼图，拼出了如图甲、乙的两种图案：图案甲是一个正方形，图案乙是一个大的矩形；图案甲的中间留下了边长是2cm的正方形小洞．求(a+2b)2－8ab的值． 甲 乙 七年级数学一次方程与方程组同步测试及答案 一、选择题(每题2分，共20分) 1.方程2(x+1)=4x-8的解是() A.B.-3C.5D.-5 2.方程2-x3-x-14=5的解是() A.5 B.-5 C.7 D.-7 3.把方程去分母后，正确的结果是() A.B. C.D. 4.用加减法解方程组中，消x用法，消y用法() A.加，加 B.加，减 C.减，加 D.减，减 5.若方程组的解与的和为0，则的值为() A.-2 B.0 C.2 D.4 6.若关于x的方程2x-4=3m和x+2=m有相同的根，则m的值是() A.10 B.-8 C.-10 D.8 7.代数式2k-13与代数式14k+3的值相等时，k的值为() A.7 B.8 C.9 D.10 8.由方程组可得出与的关系是() A.B.C.D. 9.如果中的解x、y相同，则m的值是() A.1 B.-1 C.2 D.-2 10.足球比赛的记分为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一队打了14场比赛，负5场，共得19分，那么这个队胜了() A.3场 B.4场 C.5场 D.6场 二、填空题(每题2分，共10分) 11.已知方程4x+5y=8，用含x的代数式表示y为__________________。 12.关于的方程的解是3，则的值为__________________。 13.如果=3，=2是方程的.解，则=__________________。 14.若5x-5的值与2x-9的值互为相反数,则x=__________________。 15.方程组的解是，则a+b=__________________。 三、解答题(每题10分，共70分) 16.已知与是同类项，求、的值。 19.车间里有名工人，每人每天能生产螺母个或螺栓个，若一个螺栓配两个螺母，那么应分 配多少人生产螺栓，多少人生产螺母才能使螺栓和螺母正好配套? 20.若方程组与方程组的解相同，求、的值。 21.如图，8块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是多少? 现在请你设未知数列方程组来解决这个问题。 22.某校七(2)班40名同学为“希望工程”捐款,共捐款100元。捐款情况如下表： 捐款(元)1 234 人数67 表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，不过应用方程组可以解决这个问题。现在设捐款2元的有名同学,捐款3元的有名同学,请你列方程组并解出方程组。 测试卷答案 一、选择题 1、C 2、D 3、D 4、C 5、C 6、B 7、B 8、C 9、B10、C 二、填空题 11.;12.4;13.7;14.2;15.3。 三、解答题 16.，。 17.⑴;⑵。 18.⑴;⑵。 19.设应分配人生产螺栓，人生产螺母，则解得 方程和它的解 学习目标 1．了解方程、方程的解、解方程等概念； 2．能够根据求某数的简单条件列出以某数为未知数的简单方程，并会判别给定的数是不是方程的解； 3．通过上述知识的教学，培养学生的观察、分析、归纳的思维能力． 知识讲解 一、重点、难点分析 本节教学的重点是方程的有关概念和检验方程的解．难点是根据求某数的条件列出以某数为未知数的一元方程．学好本单元一方面有利于巩固方程的有关概念，另一方面为学习后面的一元一次方程的解法和应用打好基础． 1．方程中的已知数应该包括它的符号在内，未知数是针对还未求解的方程而言的．2．方程首先必须是一个等式，另外一定要含有未知数． 3．方程的解和解方程是两个完全不同的概念，方程的解指的是解方程这个过程的结果，即求得的能使方程左右两边的值相等的未知数的值，而解方程指的是求得方程的解的整个变形过程． 4．根据求某数的条件列出以某数为未知数的方程，关键是分析清楚已知数与未知数的相等关系，然后列出方程． 5．检验一个数是否为某个一元方程的解，应将给出的数代入方程，观察计算后的左边和右边的值是不是相等． 二、知识结构 三、教法建议 1．方程、方程的解、解方程等概念在上一节和第一章的学习过程中学生均接触过，本节应重在通过实例加深对上述概念的理解．例如方程的概念应在学生明确已知数和未知数的基础上，认识到方程一定是等式（不论是条件等式或矛盾等式），另外，方程一定含有未知数，而未知数不一定都用x来表示． 2．可以将已知数、未知数、方程的概念结合例1进行讲解．其它概念也可采用与例题相结合的方式讲解，可以在讲解方程的概念，及检验一个给定的数是否为方程的解时举一些反例，以加深对概念的理解． 3．根据求某数的简单条件列出以某数为未知数的简单方程，这里一要注意让学生养成观察、分析、思考的好习惯，能够透过给出的表面上的数字间的大小关系而找出已知数与未知数间的相等关系．二要针对具体问题让学生独立尝试列出方程的不同几种形式，观察它们之间的共性和个性． 4．注意在复习及给出方程的根等概念以及分析解决例题的整个教学过程中，培养学生观察、分析、比较、归纳的良好思维习惯，使解决问题有根据，有序． 四、等式与方程的关系 方程是含有未知数的等式．这就很明确的说明了等式与方程的关系． 首先，方程一定是等式．第二，方程中必须含有未知数，这两个条件缺一不可．也就是说，等式不一定是方程．如1+2=3是等式，但它不是方程． 由于方程是等式，所以方程的解也就会有三种可能： 如果方程恰是恒等式，则方程的解可以是任意的有理数．如2x+3-x=x+3，它的解是x，为任意有理数． 如果方程恰是矛盾等式，则方程无解．如2x2+1=0，我们说这个方程无解．初中数学专题——方程
初三数学方程和方程组的解法
浅谈初中数学中的方程教学与方程思想_1
初中数学：方程专题复习
七年级数学一次方程与方程组同步测试及答案
初中数学专题复习方程和它的解(含答案)