《27.2.2 相似三角形的性质》教案、导学案

27.2.2 相似三角形的性质

【教学目标】

1．理解相似三角形的性质；(重点)

2．会利用相似三角形的性质解决简单的问题．(难点)

【教学过程】

一、情境导入

两个三角形相似，除了对应边成比例、对应角相等之外，还可以得到许多有用的结论．例如，在图中，△ABC和△A′B′C′是两个相似三角形，相似比为k，其中AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的高，那么AD、A′D′之间有什么关系？

二、合作探究

探究点一：相似三角形的性质

【类型一】利用相似比求三角形的周长和面积

如图所示，平行四边形ABCD中，E是BC边上一点，且BE＝EC，BD、AE 相交于F点．

(1)求△BEF与△AFD的周长之比；

(2)若S△BEF＝6cm2，求S△AFD.

解析：利用相似三角形的对应边的比可以得到周长和面积之比，然后再进一步求解．

解：(1)∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC，∴△BEF∽△AFD.又

∵BE＝1

2

BC，∴

BE

AD

＝

BF

DF

＝

EF

AF

＝

1

2

，∴△BEF与△AFD的周长之比为

BE＋BF＋EF

AD＋DF＋AF

＝

1

2

；

(2)由(1)可知△BEF∽△DAF，且相似比为1

2

，∴

S

△BEF

S

△AFD

＝(

1

2

)2，∴S△AFD＝4S△BEF

＝4×6＝24cm2.

方法总结：理解相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解决问题的关键．

【类型二】利用相似三角形的周长或面积比求相似比

若△ABC∽△A′B′C′，其面积比为1∶2，则△ABC与△A′B′C′的相似比为( )

A．1∶2 B.2∶2

C．1∶4 D.2∶1

解析：∵△ABC∽△A′B′C′，其面积比为1∶2，∴△ABC与△A′B′C′的相似比为1∶2＝2∶2.故选B.

方法总结：解决问题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方．【类型三】利用相似三角形的性质和判定进行计算

如图所示，在锐角三角形ABC中，AD，CE分别为BC，AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别为18和8，DE＝3，求AC边上的高．

解析：求AC边上的高，先将高线作出，由△ABC的面积为18，求出AC的长，即可求出AC边上的高．解：过点B作BF⊥AC，垂足为点F.∵AD⊥BC, CE

⊥AB，∴Rt△ADB∽Rt△CEB，∴BD

BE

＝

AB

CB

，即

BD

AB

＝

BE

CB

，且∠ABC＝∠DBE，∴△EBD

∽△CBA, ∴S

△BED

S

△BCA

＝(

DE

AC

)2＝

8

18

.又∵DE＝3，∴AC＝4.5.∵S△ABC＝

1

2

AC·BF＝18, ∴

BF＝8.

方法总结：解决此类问题，可利用相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方来解答．

【类型四】利用相似三角形线段的比等于相似比解决问题

如图所示，PN∥BC，AD⊥BC交PN于E，交BC于D.

(1)若AP∶PB＝1∶2，S△ABC＝18，求S△APN；

(2)若S △APN ∶S 四边形PBCN ＝1∶2，求

AE

AD

的值．

解析：(1)由相似三角形面积比等于对应边的平方比即可求解；(2)由△APN 与四边形PBCN 的面积比可得△APN 与△ABC 的面积比，进而可得其对应边的比．

解：(1)因为PN ∥BC ，所以∠APN ＝∠B ，∠ANP ＝∠C ，△APN ∽△ABC ，所以

S △APN S △ABC ＝(AP AB )2.因为AP ∶PB ＝1∶2，所以AP ∶AB ＝1∶3.又因为S △ABC ＝18，所以S △APN

S △ABC ＝(13)2＝1

9

，所以S △APN ＝2； (2)因为PN ∥BC ，所以∠APE ＝∠B ，∠AEP ＝∠ADB ，所以△APE ∽△ABD ，所以AP AB ＝

AE AD ，S △APN S △ABC ＝(AP AB )2＝(AE AD )2.因为S △APN ∶S 四边形PBCN ＝1∶2，所以S △APN S △ABC ＝13＝(AE AD

)2

，

所以AE AD ＝13＝33

.

方法总结：利用相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．

【类型五】 利用相似三角形的性质解决动点问题

如图，已知△ABC 中，AB ＝5，BC ＝3，AC ＝4，PQ ∥AB ，P 点在AC 上(与

A 、C 不重合)，Q 点在BC 上．

(1)当△PQC 的面积是四边形PABQ 面积的1

3时，求CP 的长；

(2)当△PQC 的周长与四边形PABQ 的周长相等时，求CP 的长． 解析：(1)由于PQ ∥AB ，故△PQC ∽△ABC ，当△PQC 的面积是四边形PABQ

面积的1

3时，△CPQ 与△CAB 的面积比为1∶4，根据相似三角形的面积比等于相

似比的平方，可求出CP 的长；(2)由于△PQC ∽△ABC ，根据相似三角形的性质，可用CP 表示出PQ 和CQ 的长，进而可表示出AP 、BQ 的长．根据△CPQ 和四边形

PABQ 的周长相等，可将相关的各边相加，即可求出CP 的长．

解：(1)∵PQ ∥AB ，∴△PQC ∽△ABC ，∵S △PQC ＝1

3S 四边形PABQ ，∴S △PQC ∶S △ABC ＝1∶4，

∵

14＝12，∴CP ＝1

2CA ＝2； (2)∵△PQC ∽△ABC ，∴

CP CA ＝CQ CB ＝PQ AB ，∴CP 4＝CQ 3，∴CQ ＝3

4

CP .同理可知PQ ＝54CP ，∴C △PCQ ＝CP ＋PQ ＋CQ ＝CP ＋54CP ＋3

4CP ＝3CP ，C 四边形PABQ ＝PA ＋AB ＋BQ ＋PQ ＝(4－CP )＋AB ＋(3－CQ )＋PQ ＝4－CP ＋5＋3－34CP ＋54CP ＝12－12CP ，∴12－12CP ＝

3CP ，∴72CP ＝12，∴CP ＝24

7

.

方法总结：由相似三角形得出线段的比例关系，再根据线段的比例关系解决面积、线段的问题是解题的关键．

三、板书设计

1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；

2．相似三角形(多边形)的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段(对应中线、对应角平分线、对应边上的高)的比也等于相似比；

3．相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 【教学反思】

本节教学过程中，学生们都主动地参与了课堂活动，积极地交流探讨，发现的问题较多：相似三角形的周长比，面积比，相似比在书写时要注意对应关系，不对应时，计算结果正好相反；这两个性质使用的前提条件是相似三角形等等．同学们讨论非常激烈，本节课堂教学取得了明显的效果.

27.2.2 相似三角形的性质

教学目标：

知识与技能

1、理解掌握相似三角形周长比、面积比与相似比之间的关系；掌握定理的证明方法。

2、灵活运用相似三角形的判定和性质，提高分析，推理能力。

过程与方法：

1、对性质定理的探究经历观察——猜想——论证——归纳的过程，培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度。

2、通过实际情境的创设和解决，使学生逐步掌握把实际问题转化为数学问题，复杂问题转化为简单问题的思想方法。

3、通过例题的拓展延伸，体会类比的数学思想，培养学生大胆猜想、勇于探索、勤于思考的数学品质，提高分析问题和解决问题的能力。

情感与态度：

在学习和探讨的过程中，体验特殊到一般的认知规律；通过学生之间的交流合作，在合作中体验成功的喜悦，树立学习的自信心；通过对生活问题的解决，体会数学知识在实际中的广泛应用。

教学重点：相似三角形性质定理的探索及应用

教学难点：综合应用相似三角形的性质与判定探索三角形中面积之间的关系教学方法与手段：探究式教学、小组合作学习、多媒体教学

教学过程：

一、创设情境，引入新课

1、我们已经学了相似三角形的哪些性质？

2、问题情境：

某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路旁原有一个面积为100平方米、周长为80米的三角形绿化地，由于马路拓宽绿地被削去了一个角，变成了一个梯形，原绿化地一边AB的长由原来的30米缩短成18米。现在的问题

是：被削去的部分面积有多少？周长是多少？你能解决这个问题吗？

二、实践交流，探索新知 1、看一看：

△ABC 与△ADE 有什么关系？为什么？ 2、算一算：

△ABC 与△ADE 的相似比是多少？

△ABC 与△ADE 的周长比是多少？面积比是多少？ 3、想一想：

你发现上面两个相似三角形的周长比和相似比有什么关系？面积比与相似比又有什么关系？

4、验一验：是不是任何两个相似三角形都有此关系呢？你能加以验证吗？

5、在学生思考、讨论的基础上给出证题过程（多媒体）

6、归纳小结；相似三角形性质定理:

相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 三、基础训练，加深理解

练一练：已知两个三角形相似，请完成下列表格：

归纳：周长比等于相似比；已知相似比、周长比，求面积比要平方，已知面积比求相似比或周长比则要平方。

四、综合应用，解决问题

已知：如图，DE ∥BC ，AB=30m ，BD=18m ，△ABC 的周长为80m ，面积为100m 2，求△ADE 的周长和面积？

B

A C

E

D

五、拓展延伸，共同提高 1、

过E 作EF ∥AB 交BC 于F ，其他条件不变，则△EFC 的面积等于多少？

平行四边形BDEF 的面积为多少？

2、 若设S △ABC=S ，S △ADE=S 1，S △EFC=S 2，试猜想：S 与S 1、S 2之间存在

怎样的关系？

六、类似猜想，深入探究

探究：如图，DE ∥BC ，FG ∥AB ，MN ∥AC ，且DE 、FG 、MN 交于点P ，若设S △

DMP=S 1，S △PEF=S 2，S △GNP=S 3，S △ABC=S ，S 与S 1、S 2、S 3之间是否也有类似结论？猜想并加以论证。

七、回顾反思，畅谈心得 本节课你有何收获？

1、这节课我们学到了哪些知识？

B

A C

E D

B

A E D

B

A C

E

D

P

N

M F

2、我们是用哪些方法获得这些知识的？

3、通过本节课的学习，你有没有新的想法或发现？你觉得还有什么问题需要继续讨论吗？

八、布置作业

1、作业本

2、3（2）（3）、4、5

2、探究推理过程课外整理完成，各组自行组织讨论交流。

教学设计说明：

1、本节课从一个较为实际的生活情境引入，设置问题悬念，激发学生的求知欲望，使学生掌握将实际问题转化为数学问题的思想方法，感受数学知识在生活中的广泛应用。

2、性质定理2的学习和探索，注重于知识的形成过程，使学生体验特殊到一般的认知规律，以及由观察——猜想——论证——归纳的数学思维过程。

3、由问题的解决变式到例题，再经例题加以拓展延伸，使本节内容衔接更趋自然，同时使学生充分体会类比的数学思想以及图形之间的互相联系。

4、教学中注重小组之间的合作交流，在合作中加强学生的团体意识，体验成功的喜悦，树立学习的自信心。