第9讲矢量场的环量及旋度1

§1.3 矢量场的通量及散度

§1.3 矢量场的通量及散度 1、矢量场定义及图示对于空间区域V 内的任意一点r ，若有一个矢量F (r )与之对应，我们就称这个矢量函数F (r )是定义于V 的矢量场。恒稳矢量场F (r ) ，时变矢量场F (r ,t )。矢量场图--矢量线0 l F =?d 其方程为矢量线的示意图 F 线 F d l

矢量线 F (x,y,z )=F x (x,y,z ) e x +F y (x,y,z )e y +F z (x,y,z )e z (F y d z -F z d y )e x +(F z d x -F x d z )e y +(F x d y -F y d x )e z =0F y d z -F z d y =0F z d x -F x d z =0 F x d y -F y d x =0 或得直角坐标式的矢量线方程 z y x F z F y F x d d d ==矢量场的直角坐标式为 l F =?d

矢量F 沿有向曲面S 的面积分 S F d ??=S Ψ2、通量矢量F 在面元d S 的面积分为d ψ= F n d s =F cos θd S =F ?d S 矢量场的通量

若S为闭合曲面，可以根据净通量的大小判断闭合面中源的性质: ?? = s Ψs F d ψ> 0(有正源) ψ< 0(有负源)ψ= 0(无源) 矢量场的闭合面通量

在直角坐标系中，设 F (x,y,z ) =F x (x,y,z )e x + F y (x,y,z )e y + F z (x,y,z )e z d s =d y d z e x + d x d z e y + d x d y e z 则通量可写成 ? ?++=?=s z y x s y x F z x F z y F Ψd d d d d d d s F

§1.4 矢量场的环量及旋

§1.4 矢量场的环量及旋度 1、环量先从变力作功问题引入矢量场环量的概念。 i i i i i i l F A l F ??=?≈?θcos ? ∑ ?=??==→?∞ →l N i i i l N A l F l F d )( lim 1 0一段积分路径及其细分 θi Δl i F i b a ‘‘‘‘ ‘ ‘‘l

若将F (r )看成是任意的矢量场，上述积分则代表矢量场F (r )沿路径l 的标量线积分。矢量场的环量是上述矢量场线积分概念推广应用于闭合路径的结果，因此，F (r )的环量为 ? ?=l C l F d 环量不为零的矢量场叫做旋涡场，其场源称为旋涡源，矢量场的环量有检源作用。 F n F t F 环量的计算

水流沿平行于水管轴线方向流动C=0，无涡旋运动流体做涡旋运动C ≠0，有产生涡旋的源例：流速场在直角坐标系中，设 F (x,y,z )=F x (x,y,z )e x +F y (x,y,z )e y +F z (x,y,z )e z d l =d x e x +d y e y +d z e z 则环量可写成 ? ?++=?=l z y x l z F y F x F C ) d d d (d l F

过P 点作一微小有向曲面?S ,它的边界曲线记为l ,曲面的法线方向与曲线绕向成右手螺旋关系。当?S →点P 时,存在极限 S S C l S ??=? →?l F d lim d d 0 上式称为环量密度过点P 的有向曲面?S 取不同的方向，其环量密度将会不同。 2、旋度（1）环量密度面元法向矢量与周界循行方向的右手关系。 P l ?S n ' e

大学物理振动波动例题习题

精品振动波动一、例题（一）振动 1.证明单摆是简谐振动，给出振动周期及圆频率。 2. 一质点沿x 轴作简谐运动，振幅为12cm ，周期为2s 。当t = 0时, 位移为6cm ，且向x 轴正方向运动。求: (1) 振动表达式； (2) t = 0.5s 时，质点的位置、速度和加速度； (3)如果在某时刻质点位于x =-0.6cm ，且向x 轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。 3. 已知两同方向，同频率的简谐振动的方程分别为： x 1= 0.05cos (10 t + 0.75π) 20.06cos(100.25)(SI)x t π=+ 求：(1)合振动的初相及振幅. (2)若有另一同方向、同频率的简谐振动x 3 = 0.07cos (10 t +? 3 ), 则当? 3为多少时 x 1 + x 3 的振幅最大?又? 3为多少时 x 2 + x 3的振幅最小? （二）波动 1. 平面简谐波沿x 轴正方向传播，振幅为2 cm ，频率为 50 Hz ，波速为 200 m/s 。在t = 0时，x = 0处的质点正在平衡位置向y 轴正方向运动，求：(1)波动方程 (2)x = 4 m 处媒质质点振动的表达式及该点在t = 2 s 时的振动速度。 2. 一平面简谐波以速度m/s 8.0=u 沿x 轴负方向传播。已知原点的振动曲线如图所示。求：（1）原点的振动表达式；（2）波动表达式；（3）同一时刻相距m 1的两点之间的位相差。 3. 两相干波源S 1和S 2的振动方程分别是1cos y A t ω=和2cos(/2)y A t ωπ=+。 S 1距P 点3个波长，S 2距P 点21/4个波长。求：两波在P 点引起的合振动振幅。

振动作业答案

《大学物理（下）》作业机械振动班级学号姓名成绩一选择题 1. 把单摆摆球从平衡位置向位移正方向拉开，使摆线与竖直方向成一微小角度，然后由静止放手任其振动，从放手时开始计时．若用余弦函数表示其运动方程，则该单摆振动的初相为 (A) ． (B) /2． (C) 0 ． (D) ．［ C ］ [参考解答] 开始计时时，位移达到最大值。 2. 已知某简谐振动的振动曲线如图所示，位移的单位为厘米，时间单位为秒．则此简谐振动的振动方程为： (A) )3 232cos(2π+π=t x ． (B) )3 232cos(2π-π=t x ． (C) )3 234cos(2π+π=t x ． (D) )3 234cos(2π-π=t x ． (E) )4 134cos(2π-π=t x ．［ C ］ [参考解答] A=2 cm ，由旋转矢量法（如下图）可得：3/20π?==t ，π?21==t ， 4/34/13 rad s t φππω?===?，旋转矢量图： 3．一弹簧振子作简谐振动，当其偏离平衡位置的位移的大小为振幅的1/4时，其动能为振动总能量的（A ）7/16 （B ）9/16 （C ）11/16 （D ）13/16 （E ）15/16 [ E ] [参考解答] 4/)cos( A t A x =+=?ω， 2 2211111 22416216 p A E kx k kA E ????==== ???????， 1516k P E E E E =-= 4．图中所画的是两个简谐振动的振动曲线，若这两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相位为：

第七节斯托克斯公式环流量与旋度

第七节斯托克斯公式环流量与旋度斯托克斯公式是格林公式的推广，格林公式建立了平面区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的联系，而斯托克斯公式则建立了沿空间曲面∑的曲面积分与沿∑的边界曲线Γ的曲线积分之间的联系. 一、斯托克斯公式★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 二、空间曲线积分与路径无关的条件三、三元函数的全微分求积四、环流量与旋度★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 五、斯托克斯公式的向量形式，向量微分算子内容要点一、斯托克斯公式定理1 设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线，∑是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面，Γ的正向与∑的侧符合右手规则，函数),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 在包含曲面∑在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数, 则有公式 dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R ???? ????-??+??? ????-??+???? ? ???-????∑.?++=L Rdz Qdy Pdx (7.1) 公式(7.1)称为斯托克斯公式. 为了便于记忆，斯托克斯公式常写成如下形式： ??? Γ∑ ++=?? ????Rdz Qdy Pdx R Q P z y x dxdy dzdx dydz 利用两类曲面积分之间的关系，斯托克斯公式也可写成 .c o s c o s c o s ??? Γ∑ ++=?? ????Rdz Qdy Pdx dS R Q P z y x γβα 二、环流量与旋度设向量场,),,(),,(),,(),,(k z y x R j z y x Q i z y x P z y x A ++= 则沿场A 中某一封闭的有向曲线C 上的曲线积分?++=ΓC Rdz Qdy Pdx 称为向量场A 沿曲线C 按所取方向的环流量. 而向量函数 ? ?? ?????-????-????-??y P x Q x R z P z Q y R ,,称为向量场A 的旋度，记为A rot ，即

矢量场标量场散度梯度旋度的理解

矢量场标量场散度梯度旋度的理解公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]

散度指流体运动时单位体积的改变率。简单地说，流体在运动中集中的区域为辐合，运动中发散的区域为辐散。用以表示的量称为散度，值为负时为辐合，此时有利于天气系统的的发展和增强，为正时表示辐散，有利于天气系统的消散。表示辐合、辐散的物理量为散度。微积分学→多元微积分→多元函数积分中：设某量场由 A(x,y,z) = P(x,y,z)i + Q,z)j + R(x,y,z)k 给出，其中 P、Q、R 具有一阶连续偏导数，∑是场内一有向曲面，n 是∑在点 (x,y,z) 处的单位法向量，则∫∫A·ndS 叫做向量场 A 通过曲面∑向着指定侧的通量，而δP/δx + δQ/δy + δR/δz 叫做向量场A 的散度，记作 div A，即 div A = δP/δx + δQ/δy + δR/δz。上述式子中的δ为偏微分（partial derivative）符号。 3旋度表示曲线、流体等旋转程度的量 4.矢量和标量场假设有一个三维空间，显然空间的每一个点都能用坐标（x, y, z）唯一地标识出来。假如给空间的每一个点都赋予一个数字，那么整个空间就充满了数字。此时，这个充满数字的三维空间在数学上就叫做“场”。上述的场叫做标量场，因为单纯的一个数字叫做“标量(scalar)”。如果我们给空间的每一个点都赋予一个矢量(vector)，即一个既有大小，又有方向的东西，那么整个空间就变成充满了矢量，这个空间就叫做矢量场。

矢量场散度和旋度的物理意义

矢量场散度和旋度的物理意义 1993年第1期击安矿业学院学孩 JOURNALOFXl，ANMININGINSTITUTE 矢量场散度和旋度的物理意义黄国良王瑞平 (基础部) 舒秦摘要本文首先从流速场矿(二，，，:)出发，详细地说明了任一矢量场育(二，，，:) 散度和旋度的物理意义。以电学和力学中的简单例子，说明了散度和旋度的计算方法。关键词矢量场，散度，旋度在一定的条件下，利用磁力仪能够发现埋藏在地下几百米深的磁性盲矿体。这是因为在矿体周围存在着磁场。物探工作者经常要测定、分析各种场(如电场、磁场等)的分布、变化规律，从而找到场源(如带电体、磁性体等)。矢量场的散度和旋度是研究各种场时必须的数学工具。本文着重说明它们的物理意义。矢量场的散度矢量函数 A=A(x，百，之) 所确定的场称为矢量场。如电场E(x，，，幼和流速场V(x，万，幻都是矢量场。通t 以不可压缩流体的稳定流速场V(x，百，幻为例，来说明任一矢量场通量的物理意义”’。如图1所示。S为流速场V(x，刀，幻中的任意曲面，在面积元dS内的流速场可以看成均匀流速场。因此，在1秒钟内通过ds的流体的流量，即体积流量 dQ二V韶eo:8=V·ds 通过曲面S哟体积流量。=J:节.d亨二J:vdscoso 可见，通过任意曲面s\的体积流量口在数值上等于通过曲面s的流线的数量。本文1991年3月23日收到西安矿业学院学报1993年由特殊到一般，任一矢量场A(x，y，z)通过任意曲面S 的场线的数量，称为该矢量场通过曲面S的通量，用价A表示，即，

仁牙·。犷·{。，ascos“J舀沙。如图2所示。若S为封闭曲面，则矢量场A通过封闭曲面的通量图1体积流量的计算卜少:分·d亨=J:: 因为在S:面上，0总是大于90“，在污万·d犷+JsZ万·d言面上，8总是小于90 所以通过S:的通量为负，通过S:的通量为正。。2通.是矢t场在空间△丫内玻散性的皿度由上可知，流逮场节(二，，，:)通过封闭曲面s钓体积流量价、有下列三种情况: 1)，一弧六一 d八b 从S内有流量价、发散出来，的发散源，如泉源。图2通过封闭曲面S的通量如图3(a)所示。既然有流量流出，说明s内一定有涌出流体 (a)价、>0(b)功<O 图3通过封闭曲面S的体积流量 (e)动、 2)，、=币。护.礴<。 J0 有流量功、汇聚到S内，如图3(b)所示。既然有流量叻，流进s内，说明s内一定有吸进流体的汇聚源，如渗洞。源， 3)币、二币。矿.d亨二。JS 流进S内的流量等于流出S钓流量，也没有吸进流体的汇聚源。如图3(c)所示。亦说明S内既没有涌出流体的发散由特殊到一般，如果矢量场A通过封闭曲面S的通量娇手:升‘外O第1期黄国良等矢圣场嵌度和旋度的物理意义宁台到矢量场A在空间△v(△v是s包围的空间)内是发散的，如果人·乡:了·d六。则矢量场A在空间△V内是汇聚的;如果，、=币。了.d亨=。

1.3 矢量场的通量及散度

1.3 矢量场的通量及散度 1.3.1 矢量场的概念定义：空间区域V 内的某一物理系统的状态，可以用一个矢量函数F (r ，t )来描述。对于V 中任意一点r ，若F (r ，t )有确定的值与之对应，则称F (r ，t )是定义于V 区域上的矢量场。矢量场也有两个特点：①F (r ，t )为空间坐标的函数（点函数），显示单值性； ②F (r ，t )要占有一个空间。矢量场也分恒稳矢量场F (r )和时变矢量场F (r , t )。矢量场F (r ，t )可用矢量线（简称F 线）来形象地描述。F 线是带有箭头的空间曲线，其上任一点的切线方向即为该处矢量场的方向，F 线的疏密反映矢量场分布的弱或强，矢量线互不相交。直角坐标系下矢量场可表为： ()()()()z z y y x x z y x F z y x F z y x F z y x e ,,e ,,e ,,,,F ++= (1.3.1) F 线上的任一线元矢量d l 总是与该处的F 共线，有 0d =?l F 即 ()()()0d d d d d d =-+-+-z y x y x z x z y x F y F z F x F y F z F e e e 则F 线的微分方程 z y x F z F y F x d d d == (1.3.2) 1.3.2. 矢量场的通量（1）恒稳液流场v (r ) 液体流动形成液流场，其中每一点的流动特点用流速v （r ）表示，反映单位时间内流过与该处液流方向垂直的单位面积的液体体积的多少。恒稳之意是指与时间无关

恒稳液流场 ?恒稳流速矢量场v （r ）。 2）流量概念面元矢量：对于S 面上的任意面元d S ，指定其正法向方向，设置正法向单位矢量e n ，确定了正法向方向的面元称为面元矢量，表示为d S =d S e n 。流量：设面元矢量d S 与该处v 间的夹角为θ，则穿过该面元d S 的元流量为 ψd = v n d S = v cos θ d S = v ?d S (1.3.3) 累加S 面上所有面元的元流量，得穿过S 面的流量 ???==s S v d d ψψ （1.3.4）推广流量的概念，对于任意闭合面，有v （r ）在闭面S 上的闭合面积分 ??=s d s v ψ （1.3.5）规定闭面上各d S 的方向为外法线方向，上式就表示流出闭面S 的净流量。净流量实际上是流出闭面S 与流入闭面S 的流量之差，若 0>ψ ：表示流出多于流入，说明S 内有产生液体的“正源”； 0<ψ ：说明S 内有“吞食”液体的转换器或“负源”； 0=ψ ：表示流出与流入S 的液体相等，S 内无“源”。即v 的闭合面积分起到检源作用。（3）矢量场的通量与闭合面通量将流量和闭合面流量概念推广到一般矢量场F (r )，有通量??s s F d 和闭合面通量 ??s d s F 概念。分析??s d s F 内有负源闭面内有正源闭面内无源闭面S S S ? ??=????0 d 0d 0d s s s s F s F s F 显示了它的检源作用。

大学物理振动习题含答案

一、选择题： 1．3001：把单摆摆球从平衡位置向位移正方向拉开，使摆线与竖直方向成一微小角度，然后由静止放手任其振动，从放手时开始计时。若用余弦函数表示其运动方程，则该单摆振动的初相为 (A) (B) /2 (C) 0 (D) ［］ 2．3002：两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同。第一个质点的振动方程为x 1 = A cos(t + )。当第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二个质点正在最大正位移处。则第二个质点的振动方程为： (A) )π21cos(2++=αωt A x (B) ) π21 cos(2-+=αωt A x (C) ) π23 cos(2-+=αωt A x (D) )cos(2π++=αωt A x ［］ 3．3007：一质量为m 的物体挂在劲度系数为k 的轻弹簧下面，振动角频率为。若把此弹簧分割成二等份，将物体m 挂在分割后的一根弹簧上，则振动角频率是 (A) 2 (B) ω2 (C) 2/ω (D) /2 ［］ 4．3396：一质点作简谐振动。其运动速度与时间的曲线如图所示。若质点的振动规律用余弦函数描述，则其初相应为 (A) /6 (B) 5/6 (C) -5/6 (D) -/6 (E) -2/3 ［］ 5．3552：一个弹簧振子和一个单摆（只考虑小幅度摆动），在地面上的固有振动周期分别为T 1和T 2。将它们拿到月球上去，相应的周期分别为1T '和2T '。则有 (A) 11T T >'且22T T >' (B) 11T T <'且22T T <' (C) 11T T ='且22T T =' (D) 11T T ='且22T T >' ［］ v (m/s) t (s) O m m v 2 1

07 第七节斯托克斯公式环流量与旋度

第七节斯托克斯公式环流量与旋度斯托克斯公式是格林公式的推广，格林公式建立了平面区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的联系，而斯托克斯公式则建立了沿空间曲面∑的曲面积分与沿∑的边界曲线Γ的曲线积分之间的联系. 分布图示 ★ 斯托克斯公式 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 空间曲线积分与路径无关的条件 ★ 三元函数的全微分求积 ★ 环流量与旋度 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 斯托克斯公式的向量形式 ★ 向量微分算子 ★ 内容小结 ★课堂练习 ★ 习题11-7 ★返回内容要点一、斯托克斯公式定理1 设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线，∑是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面，Γ的正向与∑的侧符合右手规则，函数),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 在包含曲面∑在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数, 则有公式 dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R ???? ????-??+??? ????-??+???? ? ???-????∑.?++=L Rdz Qdy Pdx (7.1) 公式(7.1)称为斯托克斯公式. 为了便于记忆，斯托克斯公式常写成如下形式： ??? Γ∑ ++=?? ????Rdz Qdy Pdx R Q P z y x dxdy dzdx dydz 利用两类曲面积分之间的关系，斯托克斯公式也可写成 .c o s c o s c o s ???Γ∑ ++=?? ???? Rdz Qdy Pdx dS R Q P z y x γβα 二、空间曲线积分与路径无关的条件三、环流量与旋度设向量场 ,),,(),,(),,(),,(k z y x R j z y x Q i z y x P z y x A ++=

矢量场,标量场,散度,梯度,旋度的理解

1.梯度gradient 设体系中某处的物理参数(如温度、速度、浓度等)为w，在与其垂直距离的dy处该参数为w+dw，则称为该物理参数的梯度，也即该物理参数的变化率。如果参数为速度、浓度或温度，则分别称为速度梯度、浓度梯度或温度梯度。在向量微积分中，标量场的梯度是一个向量场。标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。更严格的说，从欧氏空间Rn到R的函数的梯度是在Rn某一点最佳的线性近似。在这个意义上，梯度是雅戈比矩阵的一个特殊情况。在单变量的实值函数的情况，梯度只是导数，或者，对于一个线性函数，也就是线的斜率。梯度一词有时用于斜度，也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度。可以通过取向量梯度和所研究的方向的点积来得到斜度。梯度的数值有时也被成为梯度。在二元函数的情形，设函数z=f(x,y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点P(x,y)∈D，都可以定出一个向量 (δf/x)*i+(δf/y)*j 这向量称为函数z=f(x,y)在点P(x,y)的梯度，记作gradf(x,y) 类似的对三元函数也可以定义一个：(δf/x)*i+(δf/y)*j+(δf/z)*k 记为grad[f(x,y,z)] 2.散度气象学中指：散度指流体运动时单位体积的改变率。简单地说，流体在运动中集中的区域为辐合，运动中发散的区域为辐散。用以表示的量称为散度，值为负时为辐合，此时有利于天气系统的的发展和增强，为正时表示辐散，有利于天气系统的消散。表示辐合、辐散的物理量为散度。微积分学→多元微积分→多元函数积分中：设某量场由A(x,y,z) = P(x,y,z)i + Q(x.y,z)j + R(x,y,z)k 给出，其中P、Q、R 具有一阶连续偏导数，∑是场内一有向曲面，n 是∑在点(x,y,z) 处的单位法向量，则∫∫A·ndS 叫做向量场A 通过曲面∑向着指定侧的通量，而δP/δx + δQ/δy + δR/δz 叫做向量场A 的散度，记作div A，即div A = δP/δx + δQ/δy + δR/δz。上述式子中的δ为偏微分（partial derivative）符号。 3旋度表示曲线、流体等旋转程度的量 4.矢量和标量场假设有一个三维空间，显然空间的每一个点都能用坐标（x, y, z）唯一地标识出来。假如给空间的每一个点都赋予一个数字，那么整个空间就充满了数字。此时，这个充满数字的三维空间在数学上就叫做“场”。上述的场叫做标量场，因为单纯的一个数字叫做“标量(scalar)”。如果我们给空间的每一个点都赋予一个矢量(vector)，即一个既有大小，又有方向的东西，那么整个空间就变成充满了矢量，这个空间就叫做矢量场。矢量场中的每一点都对应于一个矢量，而矢量能够根据规则进行各种运算，例如加、减和乘等（数学上没有矢量的除法）。

斯托克斯公式环流量与旋度

斯托克斯公式环流量与旋度一、斯托克斯公式斯托克斯公式是格林公式的推广。格林公式表达了平面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系，而斯托克斯公式则把曲面∑上的曲面积与沿着∑的边界曲线Γ的曲线积分联系起来。我们首先介绍有向曲面∑的边界曲线Γ的正向的规定，然后陈述并证明斯托克斯公式。【定理】设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线，∑是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面，Γ的正向与∑的侧符合右手规则，函数),,(z y x P 、),,(z y x Q 、),,(z y x R 在包含曲面∑在内的一个空间区域具有一阶连续偏导数，则有 ???Γ∑++=??-??+??-??+??-??Rdz Qdy Pdx dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R )()()( (1) 公式(1)叫做斯托克斯公式。证：先假定∑与平行于z 轴的直线相不多于一点，并设∑为曲面),(y x f z =的上侧，∑的正向边界曲线Γ在xoy 面上的投影为平面有向曲线C ，C 所围成的闭区域为xy D 。我们设法把曲面积分 ??∑??-??dxdy y P dzdx z P

化为闭区域xy D 上的二重积分，然后通过格林公式使它与曲线积分联系。根据对面积的和对坐标的曲面积分间的关系，有 ????∑∑γ??-β??=??-??dS y P z P dxdy y P dzdx z P )cos cos ( (2) 由第8.6节知道，有向曲面∑的法向量的方向余弦为 221cos y x x f f f ++-= α，221cos y x y f f f ++-=β，2 211 cos y x f f ++=γ 因此γβcos cos y f -=，把它代入(2)式得 ????∑∑γ???? ????-???-=??-??dS y P f z P dxdy y P dzdx z P y cos 即 ????∑∑γ???? ????+??-=??-??dS y P f z P dxdy y P dzdx z P y cos (3) 上式右端的曲面积分化为二重积分时，应把),,(z y x P 中的z 用),(y x f 来代替，因为由复合函数的微分法，有 y f z P y P y x f y x P y ???+??=??)],(,,[ 所以，(3)式可写成 ????∑??-=??-??xy D dxdy y x f y x P y dxdy y P dzdx z P )],(,,[ 根据格林公式，上式右端的二重积分可化为沿闭区域xy D 的边界C 的曲线积分 ???=?? -xy D c dx y x f y x P dxdy y x f y x P y )],(,,[)],(,,[ 于是 ???∑=??-??c dx y x f y x P dxdy y P dzdx z P )],(,,[ 因为函数)],(,,[y x f y x P 在曲线C 上点),(y x 处的值与函数),,(z y x P 在曲线Γ上对应点),,(z y x 处的值是一样的，并且两曲线上的对应小弧段在x 轴上的投影也是一样，根据曲线积分的定义，上式右端的曲线积分等于曲线Γ上的曲线积分 ? Γ dx z y x P ),,(,因此，我们证得 ???∑Γ=??-??dx z y x p dxdy y P dzdx z P ),,( (4) 如果∑取下侧，Γ也相应地改成相反的方向，那末(4)式两端同时改变符号，因此(4)式仍成立。其次，如果曲面与平行于z 轴的直线的交点多于一个，则可作辅助曲线把曲面分成几部分，然后应用公式(4)并相加。因为沿辅助曲线而方向相反的两个曲