全国高中数学竞赛考试及解答

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·3·

1979年全国高中数学竞赛题

第一试

1．求证：sin3θ=4sin θsin(π3+θ)sin(2π

+θ)

2．已知：双曲线的两条渐近线的方程为x +y=0和x －y=0，两顶点间的距离为2，试求此双曲线

方程．

3．在△ABC 中，∠A 为钝角，求作一个面积最小的圆，把△ABC 完全盖住． 4．圆的两条非直径的圆相交，求证：它们不能互相平分．

5．解方程组?????x －y +z=1， ⑴y －z +u=2， ⑵

z －u +v=3， ⑶u －v +x=4， ⑷v －x +y=5． ⑸

6．解方程：5x 2+x －x 5x 2－1－2=0．

7．写出并证明立体几何中的“三垂线定理”．

8．设△ABC 三内角成等差数列，三条对应边a 、b 、c 的倒数成等差数列，试求A 、B 、C ． 9．已知一点P (3，1)及两直线l 1：x +2y +3=0，l 2：x +2y=7=0，试求通过P 点且与l 1、l 2相切的圆的方程．

10．已知锐角三角形的三边a 、b 、c 满足不等式a >b >c ，问四个顶点都在三角形边上的三个正方形哪个最大？证明你的结论．

第二试

1．已知f (x )=x 2－6x +5，问满足f (x )+f (y )≤0和f (x )－f (y )≥0的点(x ，y )在平面上的什么范围内？并画图．

2．命题“一对对边相等及一对对角相等的四边形必为平行四边形”对吗？如果对，请证明，如果不对，请作一四边形，满足已知条件，但它不是平行四边形．并证明你的作法．

3．设0<α<π2，0<β<π

2，证明

1cos 2α+1

sin 2

αsin 2βcos 2β

≥9 ． 4．在单位正方形周界上任意两点间连了一条曲线，如果它把正方形分成两个面积相等的两部分，试证这条曲线的长度不小于1．

5．在正整数上定义一个函数f (n )如下：当n 为偶数时，f (n )= n

2，当n 为奇数时，f (n )=n +3，

1° 证明：对任何一个正整数m ，数列a 0=m ，a 1=f (a 0)，…，a n =f (a n －1)，…中总有一项为1或3．

2° 在全部正整数中，哪些m 使上述数列必然出现“3”？哪些m 使上述数列必然出现“1”？

6．如图，假设两圆O 1和O 2交于A 、B ，⊙O 1的弦BC 交⊙O 2于E ，⊙O 2的弦BD 交⊙O 1于F ，证明

O 1

O 2

A D

B F

⑴若∠DBA=∠CBA，则DF=CE；

⑵若DF=CE，则∠DBA=∠CBA．

7．某区学生若干名参加数学竞赛，每个学生得分都是整数，总分为8250分，前三名的分数是88、85、80，最低分是30分，得同一分数的学生不超过3人，问至少有多少学生得分不低于60分(包括前三名)？

·4·

·5·

1979年全国高中数学竞赛试题解答

第一试

1．求证：sin3θ=4sin θsin(π3+θ)sin(2π

+θ)

证明：4 sin θsin(π3+θ)sin(2π3+θ)=2sin θ[－cos(π＋2θ)＋cos π

]=2sin θcos2θ＋sin θ

=2sin θ(1－2sin 2θ)＋sin θ=3sin θ－4sin 3θ=sin3θ．

2．已知：双曲线的两条渐近线的方程为x +y=0和x －y=0，两顶点间的距离为2，试求此双曲线方程．

解：设双曲线方程为x 2－y 2=λ，以(1，0)及(0，1)分别代入，得双曲线方程为x 2－y 2=±1． 3．在△ABC 中，∠A 为钝角，求作一个面积最小的圆，把△ABC 完全盖住．解：以BC 为直径作⊙O ，则⊙O 即为所求的最小圆．

首先，BC 是△ABC 的最长边，对于任意直径小于BC 的圆，不可能盖住BC ．(若能盖住，则得到圆的弦长大于同圆的直径，这是不可能的)

其次，由于∠A >90?，故点A 在圆内．即此圆盖住了△ABC ．故证． 4．圆的两条非直径的弦相交，求证：它们不能互相平分．

证明：设⊙O 的弦AB 、CD 互相平分于点M ，连OM ，则由M 是弦AB 中点．

∴ OM ⊥AB ，同理OM ⊥CD ．于是过点M 可能作OM 的两条垂线，这是不可能的．故证．

5．解方程组?????x －y +z=1， ⑴y －z +u=2， ⑵

z －u +v=3， ⑶u －v +x=4， ⑷v －x +y=5． ⑸

解：五式相加：x ＋y ＋z ＋u ＋v=15．

⑴＋⑵：x ＋u=3，⑵＋⑶：y ＋v=5，?z=7；⑶＋⑷：z ＋x=7，⑷＋⑸：u ＋y=9，?v=－1； x=0，y=6，u=3．

即x=0，y=6，z=7，u=3，v=－1． 6．解方程：5x 2+x －x 5x 2－1－2=0．解：5x 2－1≥0，?x ≥

55或x ≤－55

． (5x 2－1)2－1－x 5x 2－1＋x=0，?(5x 2－1－1)(5x 2－1＋1－x )=0， ?5x 2－1=1．?x=±105及x ≥1时，5x 2－1=1－2x ＋x 2，?2x 2＋x －1=0，?x=－1，x=1

． ∴ x=±

． 7．写出并证明立体几何中的“三垂线定理”．证明：略(见课本)

8．设△ABC 三内角成等差数列，三条对应边a 、b 、c 的倒数成等差数列，试求A 、B 、C ．解：B=60?，

1sin A +1sin C =2sin B

，?sin60?(sin A ＋sin C )=2sin A sin C ， ?2cos(A －C )－3cos A －C 2＋1=0，令x=cos A －C 2，得4x 2－3x －1=0，x=1，x=－1

(舍)

·6·

∴ A=B=C=60?.

9．已知一点P (3，1)及两直线l 1：x +2y +3=0，l 2：x +2y=7=0，试求通过P 点且与l 1、l 2相切的圆的方程．

解：两直线距离=10

1+22

=25，圆心在直线x ＋2y －2=0上．

设圆方程为(x －2＋2b )2＋(y －b )2=5，?(3－2＋2b )2＋(1－b )2=5，?1＋4b ＋4b 2＋1－2b ＋b 2=5， ?5b 2＋2b －3=0，b=－1，b=3

．

∴ 所求圆方程为(x －4)2＋(y ＋1)2=5；(x －45)2＋(y －3

)2=5．

10．已知锐角三角形的三边a 、b 、c 满足不等式a >b >c ，问四个顶点都在三角形边上的三个正方

形哪个最大？证明你的结论．

解：此正方形有4个顶点，故必有一边在三角形的边上．

设a 、b 、c 边上的高分别为h a 、h b 、h c ，且立于a 边上正方形边长为x ，

则

h a －x h =x a ，ah a =(a ＋h a )x ，x=ah a a +h a =2S

a +h a

．现ah a =bh b =2S ，a >b ，于是a ＋h a －(b ＋h b )=(a －b )＋(2S a －2S b )=(a －b )(1－2S

ab )=(a －b )(1－sin C )>0.

∴ a ＋h a >b ＋h b >c ＋h c ．

∴ 立于c 边上的正方形最大．

第二试

1．已知f (x )=x 2－6x +5，问满足f (x )+f (y )≤0和f (x )－f (y )≥0的点(x ，y )在平面上的什么范围内？并画图．

解：f (x )+f (y )≤0，?x 2－6x +5+y 2－6y +5≤0，?(x －3)2+(y －3)2≤8，表示以(3，3)为圆心，22为半径的圆及圆内部分．

f (x )－f (y )≥0，?x 2－6x －y 2+6y ≥0，?(x －3)2－(y －3)2≥0，?(x +y －6)(x －y )≥0．

所求图形为阴影部分．

2．命题“一对对边相等及一对对角相等的四边形必为平行四边

形”对吗？如果对，请证明，如果不对，请作一四边形，满足已知条件，但它不是平行四边形．并证明你的作法．

证明：不对，如图，作△ABD ，及过B 、A 、D 三点的弧，以BD 为轴作此弧的对称图形，以D 为圆心，AB 为半径作弧与所作对称弧有两个不同的交点C 、C '，则四边形ABCD 、ABC 'D 都是有一组对边相等，一组对角相等的四边形，其中有一个不是平行四边形．

3．设0<α<π2，0<β<π

2，证明

1cos 2α+1

sin 2

αsin 2βcos 2β

≥9 ．证明：1cos 2α+1sin 2αsin 2βcos 2β= 1cos 2α+4sin 2αsin 2

2β≥1cos 2α+1

sin 2α =tan 2α+1+4cot 2α+4≥5+24tan 2αcot 2α=9．

(3,3)

C B

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4．在单位正方形周界上任意两点间连了一条曲线，如果它把正方形分成两个面积相等的两部分，试证这条曲线的长度不小于1．

证明设M 、N 是单位正方形周界上两点，曲线MN 把正方形的面积两等分． 1? 若M 、N 分别在正方形的对边上(图1)，于是曲线MN ≥线段MN ≥1． 2? 若M 、N 分别在正方形的一组邻边上(图2 )．连对角线AC ，则曲线MN 必与AC 相交(若不相交，则曲线MN 全部在AC 的一边，它不可能平分正方形的面积)，设其中

一个交点为P ，作曲线的PN 段关于AC 的对称曲线PN ’，则点M 、N ’在正方形的一组对边上，而曲线MN ’的长度等

于曲线MN 的长度．于是化归为情形1?．

3?若M 、N 分别在正方形的一条边AB 上(图3)．连对边AD 、BC 的中点EF ，则曲线MN 必与EF 相交(理由同上)，设其中一个交点为P ，作曲线的PN 段关于EF 的对称曲线PN ’，则点M 、N ’在正方形的一组对边上，而曲线MN ’的长度等于曲线MN 的长度．于是化归为情形1?．

综上可知，命题成立．

5．在正整数上定义一个函数f (n )如下：当n 为偶数时，f (n )= n

2，当n 为奇数时，f (n )=n +3，

1° 证明：对任何一个正整数m ，数列a 0=m ，a 1=f (a 0)，…，a n =f (a n －1)，…中总有一项为1或3．

2° 在全部正整数中，哪些m 使上述数列必然出现“3”？哪些m 使上述数列必然出现“1”？证明：1°，当a n >3时，若a n 为偶数，则a n +1=a n 2

即于是在{a n }中可以找出一个单调递减的子序列，由于该序列的每项都是正整数，故进行到某一

项时序列的项≤10，此时

当a n =3，6，9时，出现如下的项：9→12→6→3→6→3→…；当a n ≤10且3＼

|a n 时，出现如下的项：