全国高中数学竞赛专题三角函数
三角恒等式与三角不等式
一、基础知识
定义1 角：一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。角的大小是任意的。
若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。
定义2 角度制：把一周角360等分，每一等分为一度。
弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。
若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|=
r
L
,其中r 是圆的半径。 定义3 三角函数：在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的正半轴重合，在角的终边上任意取
一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x ,y ），到原点的距离为r,则正弦函数s in α=r
y
,余弦函数co s α=r x ,
正切函数tan α=
x
y
，余切函数cot α=y x ，正割函数se c α=x r ,余割函数c s c α=.y r
定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan α=αcot 1,s in α=αcsc 1，co s α=αsec 1
；
商数关系：tan α=α
α
αααsin cos cot ,cos sin =
； 乘积关系：tan α×co s α=s in α,cot α×s in α=co s α；
平方关系：s in 2α+co s 2α=1, tan 2α+1=se c 2α, cot 2α+1=c s c 2α.
定理2 诱导公式（Ⅰ）s in (α+π)=-s in α, co s(π+α)=-co s α, tan (π+α)=tan α, cot (π+α)=cot α;
（Ⅱ）s in (-α)=-s in α, co s(-α)=co s α, tan (-α)=-tan α, cot (-α)=cot α;
（Ⅲ）s in (π-α)=s in α, co s(π-α)=-co s α, tan =(π-α)=-tan α, cot (π-α)=-cot α;
（Ⅳ）s in ???
??-απ2=co s α, co s ??? ??-απ2=s in α, tan ???
??-απ2=cot α（奇变偶不变，符号看象限）。 定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y =s inx （x ∈R ）的性质如下。
单调区间：在区间??
?
??
?+
-
22,2
2πππ
πk k 上为增函数，在区间??
?
??
?++
πππ
π232,22k k 上为减函数， 最小正周期：2π. 奇偶性：奇函数 有界性：当且仅当x =2kx +2π时，y 取最大值1，当且仅当x =3k π-2
π
时, y 取最小值-1，值域为[-1，1]。 对称性：直线x =k π+
2
π
均为其对称轴，点（k π, 0）均为其对称中心。这里k ∈Z . 定理4 余弦函数的性质，根据图象可得y =co s x (x ∈R )的性质。
单调区间：在区间[2k π, 2k π+π]上单调递减，在区间[2k π-π, 2k π]上单调递增。 最小正周期：2π。 奇偶性：偶函数。
有界性：当且仅当x =2k π时，y 取最大值1；当且仅当x =2k π-π时，y 取最小值-1。值域为[-1，1]。
对称性：直线x =k π均为其对称轴，点??
?
?
?+
0,2π
πk 均为其对称中心。这里k ∈Z . 定理5 正切函数的性质：由图象知奇函数y =tanx (x ≠k π+
2π)在开区间(k π-2π, k π+2
π
)上为增函数, 最小正周期为π，值域为（-∞，+∞），点（k π，0），（k π+2
π
，0）均为其对称中心。
定理6 两角和与差的基本关系式：co s(α±β)=co s αco s β s in αs in β,
s in (α±β)=s in αco s β±co s αs in β;
tan (α±β)=
.)
tan tan 1()
tan (tan βαβα ± 两角和与差的变式：2222
sin sin cos cos sin()sin()αββααβαβ-=-=+-
2222
cos sin cos sin cos()cos()αββααβαβ-=-=+-
三角和的正切公式：tan tan tan tan tan tan tan()1tan tan tan tan tan tan αβγαβγ
αβγαββγγα
++-++=
---
定理7 和差化积与积化和差公式:
s in α+s in β=2s in ???
??+2βαco s ??? ??-2βα, s in α-s in β=2s in ??? ??+2βαco s ???
??-2βα, co s α+co s β=2co s ??? ??+2βαco s ??? ??-2βα, co s α-co s β=-2s in ??? ??+2βαs in ??
?
??-2βα,
s in αco s β=21[s in (α+β)+s in (α-β)], co s αs in β=21
[s in (α+β)-s in (α-β)],
co s αco s β=21[co s(α+β)+co s(α-β)], s in αs in β=-2
1
[co s(α+β)-co s(α-β)].
定理8 二倍角公式：s in 2α=2s in αco s α, co s2α=co s 2α-s in 2α=2co s 2α-1=1-2s in 2α, tan 2α=
.)
tan 1(tan 22
αα
- 三倍角公式及变式：3
sin 33sin 4sin ααα=-，3
cos34cos 3cos ααα=-
1s i n (60)s i n
s i n (60)s i n 34α
ααα-+=，1
cos(60)cos cos(60)cos34
αααα-+=
定理9 半角公式: s in 2α=2)cos 1(α-±, co s 2
α
=2)cos 1(α+±,
tan 2α=)
cos 1()
cos 1(αα+-±=
.sin )cos 1()cos 1(sin αααα-=+ 定理10 万能公式: ?
?
?
??+?
?? ??=
2tan 12tan 2sin 2ααα, ??? ??+??? ??-=2tan 12tan 1cos 22ααα,.2tan 12tan 2tan 2??? ??-???
??=ααα 定理11 辅助角公式：如果a , b 是实数且a 2+b 2≠0，则取始边在x 轴正半轴，终边经过点(a , b )的一个角为β，
则s in β=22b a b +,co s β=2
2b a a
+，对任意的角α.a s in α+bco s α=)(22b a +s in (α+β).
定理12 正弦定理：在任意△ABC 中有R C
c
B b A a 2sin sin sin ===，
其中a , b , c 分别是角A ，B ，C 的对边，R 为△ABC 外接圆半径。
定理13 余弦定理：在任意△ABC 中有a 2=b 2+c 2-2bco s A ，其中a ,b ,c 分别是角A ，B ，C 的对边。
定理14 射影定理：在任意△ABC 中有cos cos a b C c B =+，cos cos b a C c A =+，cos cos c a B b A =+ 定理15 欧拉定理：在任意△ABC 中，2
2
2OI R Rr =-，其中O,I 分别为△ABC 的外心和内心。 定理16 面积公式：在任意△ABC 中，外接圆半径为R,内切圆半径为r ，半周长2
a b c
p ++=
则211sin 2sin sin sin (sin sin sin )224a abc S ah ab C rp R A B C rR A B C R
=
=====++
222
1)(c o t c o t c o t )4
c a A b B c C ==++
定理17 与△ABC 三个内角有关的公式：
（1）sin sin sin 4cos
cos cos ;222A B C A B C ++= （2）cos cos cos 14sin sin sin ;222
A B C
A B C ++=+
（3）tan tan tan tan tan tan ;A B C A B C ++=
（4）tan
tan tan tan tan tan 1;222222
A B B C C A
++= （5）cot cot cot cot cot cot 1;A B B C C A ++= （6）sin 2sin 2sin 24sin sin sin .A B C A B C ++=
定理18 图象之间的关系：y =s inx 的图象经上下平移得y =s inx +k 的图象；经左右平移得y =s in (x +?)的图象（相位
变换）；纵坐标不变，横坐标变为原来的
ω
1
，得到y =s in x ω(0>ω)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍，得到y =A s inx 的图象（振幅变换）；y =A s in (ωx +?)(ω>0)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍，得到y =A s inx 的图象（振幅变换）；y =A s in (ωx +?)(ω, ?>0)(|A |
叫作振幅)的图象向右平移
ω
?
个单位得到y =A s in ωx 的图象。 定义4 函数y =s inx ????
?
???????-∈2,2ππx 的反函数叫反正弦函数，记作y =a r c s inx (x ∈[-1, 1])， 函数y =co s x (x ∈[0, π]) 的反函数叫反余弦函数，记作y =a r cco s x (x ∈[-1, 1]). 函数y =tanx ???
?
????????-
∈2,2ππx 的反函数叫反正切函数。记作y =a r ctanx (x ∈[-∞, +∞]). 函数y =co t x (x ∈[0, π])的反函数称为反余切函数，记作y =a r ccotx (x ∈[-∞, +∞]).
定理19 三角方程的解集，如果a ∈(-1,1)，方程s inx =a 的解集是{x |x =n π+(-1)n a r c s ina , n ∈Z }。
方程co s x =a 的解集是{x |x =2kx ±a r cco s a , k ∈Z }.
如果a ∈R ，方程tanx =a 的解集是{x |x =k π+a r ctana , k ∈Z }。
恒等式：a r c s ina +a r cco s a =
2π；a r ctana +a r ccota =2
π. 定理20 若干有用的不等式：
（1）若???
?
?∈2,
0πx ，则s inx （2）函数sin x y x =在(0,)π上为减函数；函数tan x y x =在(0,)2 π 上为增函数。 （3）嵌入不等式：设A+B+C=π，则对任意的x,y,z ∈R ， 有2 2 2 2cos 2cos 2cos x y z yz A xz B xy C ++≥++ 等号成立当且仅当yzsinA=zxsinB=xysinC. 二、方法与例题 1．结合图象解题。 例1 求方程s inx =lg |x |的解的个数。 【解】在同一坐标系内画出函数y =s inx 与y =lg |x |的图象，由图象可知两者有6个交点，故方程有6个解。 2．三角函数性质的应用。 例2 设x ∈(0, π), 试比较co s(s inx )与s in (co s x )的大小。 【解】 若?? ? ? ??∈ππ,2x ，则-1 所以s in (co s x ) ≤0,又0 2x π? ? ∈ ?? ? ，则因为s inx +co s x =2s in (x + 4π)≤2<2π，所以0 π， 所以co s(s inx )>co s( 2 π -co s x )=s in (co s x ). 综上，当x ∈(0,π)时，总有co s(s inx ) 3．最小正周期的确定。 例3 求函数y =s in (2co s|x |)的最小正周期。 【解】 因为co s(-x )=co s x ，所以cos |x |=co s x, 所以T =2π是函数的周期； 4．三角最值问题。 例4 已知函数y =s inx +x 2cos 1+，求函数的最大值与最小值。 【解法一】 令s inx =??? ??≤≤= +ππ θθ4304 sin 2cos 1,cos 22 x , 则有y =).4 sin(2sin 2cos 2π θθθ+ =+ 因为 ππ 4304≤≤，所以ππθπ≤+≤42，所以)4 sin(0π θ+≤≤1， 所以当πθ43=，即x =2k π-2π(k ∈Z )时，y m in =0，当4πθ=，即x =2k π+2 π (k ∈Z )时，y m ax =2. 【解法二】 因为y =s inx +)cos 1(sin 2cos 1222 x x x ++≤ +=2（因为(a +b )2≤2(a 2+b 2)）， 且|s inx|≤1≤x 2cos 1+，所以0≤s inx +x 2cos 1+≤2， 所以当x 2cos 1+=s inx ，即x =2k π+2 π (k ∈Z )时, y m ax =2， 当x 2cos 1+=-s inx ，即x =2k π-2 π (k ∈Z )时, y m in =0。 5．换元法的使用。 例5 求x x x x y cos sin 1cos sin ++= 的值域。 【解】 设t =s inx +co s x =).4sin(2cos 22sin 222π+=??? ? ??+x x x 因为,1)4 sin(1≤+ ≤-π x 所以.22≤≤-t 又因为t 2 =1+2s inxco s x ,所以s inxco s x =212-t ，所以2 1121 2-=+-=t t x y ，所以 .212212-≤≤--y 因为t ≠-1，所以121-≠-t ，所以y ≠-1.所以函数值域为.212,11,212??? ? ?--???????-+-∈ y 6．图象变换：y =s inx (x ∈R )与y =A s in (ωx +?)(A , ω, ?>0). 例6 已知f (x )=s in (ωx +?)(ω>0, 0≤?≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点??? ??0,43πM 对称，且在区间?? ? ???2,0π上是单调函数，求?和ω的值。 【解】 由f (x )是偶函数，所以f (-x )=f (x )，所以s in (ωx+?)=s in (-ωx +?)， 所以co s ?s inx =0，对任意x ∈R 成立。又0≤?≤π，解得?=2 π ， 因为f (x )图象关于?? ? ??0,43πM 对称，所以)43()43(x f x f ++-ππ=0。 取x =0，得)43(πf =0，所以sin .0243=??? ??+πωπ 所以243ππωπ+=k (k ∈Z )，即ω=32(2k +1) (k ∈Z ). 又ω>0，取k =0时，此时f (x )=sin (2x +2π)在[0，2 π ]上是减函数； 取k =1时，ω=2，此时f (x )=sin (2x +2π)在[0，2 π ]上是减函数； 取k =2时，ω≥ 310，此时f (x )=sin (ωx +2π)在[0，2 π ]上不是单调函数， 综上，ω= 3 2 或2。 7．三角公式的应用。 例7 已知sin (α-β)= 135，sin (α+β)=- 135，且α-β∈??? ??ππ,2，α+β∈?? ? ??ππ2,23，求sin 2α,cos 2β的值。 【解】 因为α-β∈?? ? ??ππ,2，所以cos (α-β)=-.1312)(sin 12 -=--βα 又因为α+β∈?? ? ??ππ2,23，所以cos (α+β)=.1312)(sin 12=+-βα 所以sin 2α=sin [(α+β)+(α-β)]=sin (α+β)cos (α-β)+cos (α+β)sin (α-β)=169 120 , cos 2β=cos [(α+β)-(α-β)]=cos (α+β)cos (α-β)+sin (α+β)sin (α-β)=-1. 例8 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，且B C A cos 2cos 1cos 1-=+，试求2 cos C A -的值。 【解】 因为A =1200-C ，所以cos 2 C A -=cos (600-C )， 又由于) 120cos(cos cos )120cos(cos 1)120cos(1cos 1cos 1000C C C C C C C A -+-= +-=+ = 222 1)2120cos() 60cos(2)]2120cos(120[cos 21)60cos(60cos 2000000-=---=-+-C C C C ， 所以232 cos 22cos 242--+-C A C A =0。解得222cos =-C A 或8232cos -=-C A 。 又2 cos C A ->0，所以222cos =-C A 。 例9 求证：tan 20?+4cos 70? 【解】 tan 20?+4cos 70?=??20cos 20sin +4sin 20? ? ??????+=+=20cos 40sin 220sin 20cos 20cos 20sin 420sin ? ???????+=++=20cos 40sin 10cos 30sin 220cos 40sin 40sin 20sin .320 cos 20cos 60sin 220cos 40sin 80sin ==+=? ????? 例10 证明：7 cos77cos521cos335cos 64cos x x x x x +++= 分析：等号左边涉及角7x 、5x 、3x 、x 右边仅涉及角x ，可将左边各项逐步转化为x sin 、 x cos 的表达式，但相对较繁. 观察到右边的次数较高，可尝试降次. 证明：因为,cos 33cos cos 4,cos 3cos 43cos 3 3 x x x x x x +=-=所以 从而有x x x x x 226cos 9cos 3cos 63cos cos 16++= = )2cos 1(2 9 )2cos 4(cos 326cos 1x x x x +++++ x x x x x x x x x x x x x cos 20cos 2cos 30cos 4cos 12cos 6cos 2cos 64, 2cos 992cos 64cos 66cos 1cos 327 6+++=+++++= . cos 353cos 215cos 77cos cos 20cos 153cos 153cos 65cos 65cos 7cos x x x x x x x x x x x +++=++++++= 评述：本题看似“化简为繁”，实质上抓住了降次这一关键，很是简捷. 另本题也可利用复数求解. 令 77)1 (cos 128,,1cos 2,sin cos z z z z i z +=+=+=αααα从而则，展开即可. 例11 已知. 20012tan 2sec :,2001tan 1tan 1=+=-+αααα求证 证明：)4tan() 22 sin()22cos(12cos 2sin 12tan 2sec απαπαπ αααα+=++-=+=+. 2001tan 1tan 1=-+=αα.2001tan 1tan 1=-+= αα 例12 证明：对任一自然数n 及任意实数m n k m x k ,,,2,1,0(2 =≠ π为任一整数）， 有 .2cot cot 2sin 14sin 12sin 1x x x x x n n -=+++ 思路分析：本题左边为n 项的和，右边为2项之差，故尝试将左边各项“裂”成两项之差，并希冀能消去其中许多 中间项. 证明：,2cot cot 2sin 2cos cos sin 2cos 22sin 2cos cos 22sin 122x x x x x x x x x x x -=-=-= 同理 x x x 4cot 2cot 4sin 1-= …… x x x n n n 2cot 2cot 2sin 11-=- 评述：①本题裂项技巧也可通过数学归纳法获得. ②“裂项相消”在解题中具有一定的普遍性，类似可证下列各题： n n n n -= -+++α α ααααααtan tan tan )1tan(3tan 2tan 2tan tan . 1cot 1cos 89 cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1. 2cot 2cot 2tan 22tan 22tan 2tan 1122=+++-=++++++ααααααn n n n 例13 设ABC ?的内角A B C ,,所对的边,,a b c 成等比数列，则 sin cot cos sin cot cos A C A B C B ++ 的取值范围是（ ） A. (0,)+∞ B. C. D. )+∞ [解] 设,,a b c 的公比为q ，则2,b aq c aq ==，而sin cot cos sin cos cos sin sin cot cos sin cos cos sin A C A A C A C B C B B C B C ++= ++ sin()sin()sin sin()sin()sin A C B B b q B C A A a ππ+-= ====+-． 因此，只需求q 的取值范围． 因,,a b c 成等比数列，最大边只能是a 或c ，因此,,a b c 要构成三角形的三边，必需且只需a b c +>且 b c a +>．即有不等式组 22,a aq aq aq aq a ?+>??+>??即22 10,10.q q q q ?--?? 解得11 ,22q q q ?< 从而 1122q +<< ，因此所求的取值范围是．故选C 例14 △ABC 内接于单位圆，三个内角A 、B 、C 的平分线延长后分别交此圆于A 1、B 1、C 1， 则C B A C CC B BB A AA sin sin sin 2cos 2cos 2cos 111++?+?+?的值为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 解：如图，连BA 1，则AA 1=2sin(B+ )2 2cos(2)222sin(2)2C B C B C B A A -=-+++= )2 cos(2cos 2cos 2cos )22cos(22cos 1C B C A C B A A C B A AA -=-++-+=-=∴π ,sin sin )2cos(B C B +=-+π 同理,sin sin 2cos 1C A B BB +=,sin sin 2 cos 1B A C CC += ),sin sin (sin 22cos 2cos 2cos 111C B A C CC B BB A AA ++=++∴原式=.2sin sin sin ) sin sin (sin 2=++++C B A C B A 选A. 例15 若对所有实数x ，均有sin sin cos cos cos 2k k k x kx x kx x ?+?=，则k =（ ）. A 、6； B 、5； C 、4； D 、3． 解：记()s i n s i n c o s c o s c o s 2 k k k f x x k x x k x x =?+? - ，则由条件，()f x 恒为0，取2 x π =，得 ()s i n 12k k π=-，则k 为奇数，设21k n =-，上式成为sin 12n ππ? ?-=- ???，因此n 为偶数，令2n m =，则 41k m =-，故选择支中只有3k =满足题意．故选D 例16 已知()() 2222212f x x a b x a ab b =++-++-是偶函数，则函数图象与y 轴交点的纵坐标的最大值是 A B. 2 C. 解：由已知条件可知，2210a b +-=，函数图象与y 轴交点的纵坐标为22 2a ab b +-。令,s cos in b a θθ==， 则2 2 2 2 2sin cos sin cos 2sin 2c s 2o a ab b θθθθθθ+=+=--+≤ 选 A 。 例17 已知,R αβ∈，直线 1sin sin sin cos x y αβαβ+=++与1cos sin cos cos x y αβαβ +=++ 的交点在直线y x =-上，则cos sin c in s s o ααββ+++= 。 解：由已知可知，可设两直线的交点为00(,)x x -，且,in s s co αα为方程 00 1sin cos x x t t ββ -+=++， 的两个根，即为方程2 0sin c (cos )sin os (cos )i 0s n t t x ββββββ-++-=+的两个根。 因此cos (sin sin cos )ααββ+=-+，即cos sin c in s s o ααββ+++=0。 1 、＝ 。 2、已知函数)45 41(2)cos()sin()(≤≤+-= x x πx πx x f ，则f (x )的最小值为_____。 3、已知 3sin )2sin(=+αβα，且),(2 ,21Z k n n k ∈+≠+≠π πβαπβ。则 ββαtan )tan(+的值是_ __. 4、设函数f (x )=3sin x +2cos x +1。若实数a 、b 、c 使得af (x )+bf (x ?c )=1对任意实数x 恒成立，则a c b cos = 5、设0<θ<π，求s in )cos 1(2 θθ +的最大值。 6、求证：.112tan 312tan 18tan 18tan 3=++ 7、已知a 0=1, a n 1 n -(n ∈N +)，求证：a n > 2 2 +n π . 8、已知. cos sin )tan(:,1||),sin(sin A A A -=+>+=ββ βαβαα求证 9、若A ，B ，C 为△ABC 三个内角，试求s inA +s inB +s inC 的最大值。 10、证明：.2 sin 21sin )2sin()sin()2sin()sin(sin β ββαβαβαβαα++ = +++++++n n n 11、已知α，β为锐角，且x ·（α+β-2π ）>0，求证：.2sin cos sin cos ?+???? ??x x αββα 12、求证：①16 1 78cos 66cos 42cos 6cos = ②sin1°sin2°sin3°…sin89°=.10641(45? 全国高中数学竞赛专题-三角恒等式与三角不等式 实战演练答案 1、解：根据题意要求，2 605x x +≥+，2 0571x x +≤+≤。于是有2 715x x +=+。因此 cos01==。因此答案为 1。 2、解：实际上)4541(2 )4sin(2)(≤≤+-= x x π πx x f ，设)4541)(4sin(2)(≤≤-=x ππx x g ，则g (x )≥0，g (x ) 在]43,41[上是增函数，在]4 5 ,43[上是减函数，且y =g (x )的图像关于直线43= x 对称，则对任意]43,41[1∈x ，存在]45,43[2∈x ，使g (x 2)=g (x 1)。于是)(2)(2)(2)()(22 212111x f x x g x x g x x g x f =+≥+=+=，而f (x )在]45,43[上是减 函数，所以554)4 5 ()(= ≥f x f ，即f (x )在]4 5 ,41[上的最小值是554。 3、解： .213131sin )2sin(1sin )2sin(]sin )2[sin(21] sin )2[sin(21 sin )cos(cos )sin(tan )tan(=-+=-+++=-+++=?+?+=+α βααβααβααβαβββαββαb a 4、解：令c=π，则对任意的x ∈R ，都有f (x )+f (x ?c )=2，于是取2 1 ==b a ，c=π，则对任意的x ∈R ，af (x )+bf (x ?c )=1， 由此得1cos -=a c b 。 一般地，由题设可得1)sin(13)(++=?x x f ，1)sin(13)(+-+=-c x c x f ?，其中20π< 2 tan =?， 于是af (x )+bf (x ?c )=1可化为1)sin(13)sin(13=++-+++b a c x b x a ??，即 0)1()cos(sin 13cos )sin(13)sin(13=-+++-+++b a x c b c x b x a ???， 所以0)1()cos(sin 13)sin()cos (13=-+++-++b a x c b x c b a ??。 由已知条件，上式对任意x ∈R 恒成立，故必有?? ? ??=-+==+)3(01)2(0 sin ) 1(0cos b a c b c b a ， 若b =0，则由(1)知a =0，显然不满足(3)式，故b ≠0。所以，由(2)知sin c =0，故c=2k π+π或c=2k π(k ∈Z )。当 c=2k π时，cos c =1，则(1)、(3)两式矛盾。故c=2k π+π(k ∈Z )，cos c =?1。由(1)、(3)知21 = =b a ，所以1cos -=a c b 。 5、【解】因为0<θ<π，所以2 20π θ < < ，所以s in 2θ>0, co s 2 θ>0. 所以s in 2θ（1+co s θ）=2s in 2θ·co s 22 θ =2cos 2cos 2sin 22222θθ θ??? ≤3 22232cos 2cos 2sin 22?? ??? ? ?????θθθ=.9342716= 当且仅当2s in 2 2θ=co s 22θ, 即tan 2θ=22, θ=2a r ctan 22时，s in 2 θ (1+co s θ)取得最大值934。 6、思路分析：等式左边同时出现 12tan 18tan 、 12tan 18tan +，联想到公式β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+. 证明： 12tan 312tan 18tan 18tan 3++ 112tan 18tan )12tan 18tan 1)(1218tan(312tan 18tan )12tan 18(tan 3=+-+?=++= 112tan 18tan )12tan 18tan 1)(1218tan(312tan 18tan )12tan 18(tan 3=+-+?=++= 118tan(3 t 18(tan 3=+?=+= 评述：本题方法具有一定的普遍性. 仿此可证)43tan 1()2tan 1)(1tan 1( +++22 2)44tan 1(=+ 等. 7、【证明】 由题设知a n >0，令a n =tana n , a n ∈?? ? ??2, 0π， 则a n = .tan 2tan sin cos 1tan 1sec tan 1tan 111 1111 12n n n n n n n n a a a a a a a a ==-=-= -+------- 因为21-n a ，a n ∈??? ??2,0π，所以a n =121-n a ，所以a n =.210a n ?? ? ?? 又因为a 0=tana 1=1，所以a 0=4π，所以n n a ?? ? ??=21·4π。 又因为当0 时，tanx >x ，所以.2 2tan 22++>=n n n a ππ 注：换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性。另外当x ∈?? ? ??2, 0π时，有tanx >x >s inx ，这是个熟知的结论，暂时不证明，学完导数后，证明是很容易的。 8、分析：条件涉及到角α、βα+，而结论涉及到角βα+，β.故可利用αβαβββαα-+=-+=)()(或消除条件与结论间角的差异，当然亦可从式中的“A ”入手. 证法1： ),sin(sin βαα+=A ),sin()sin(βαββα+=-+∴A ), cos(sin ))(cos sin(),sin(sin )cos(cos )sin(βαβββαβαββαββα+=-++=+-+A A cos sin )tan(,0)cos(,0cos ,1||A A A -=+≠+≠-∴>βββαβαβ从而 cos sin )tan(,0)cos(,0cos ,1||A A A -=+≠+≠-∴>βββαβαβ从而 cos sin )tan(, 0)cos(, 0cos , 1||A A A -=+≠+≠-∴>βββαβαβ从而 . cos sin )tan(,0)cos(,0cos , 1||A A A -=+≠+≠-∴>βββαβαβ从而 证法2：αβαβββαβααββββsin )sin(cos sin )sin()sin(sin cos sin sin sin -++=+-=-A ).tan(sin )cos(sin )sin(])sin[()sin(cos sin )sin(βαββαββαββαβαβββα+=++=-+-++=).tan(sin )cos(sin )sin(])sin[()sin(cos sin )sin(βαββαβ βαββαβαβββα+=++=-+-++=).tan(sin )cos(sin )sin(])sin[()sin(cos sin )sin(βαββαββαββαβαβββα+=++=-+-++= 9、【解】 因为s inA +s inB =2s in 2B A +co s 2sin 22B A B A +≤-, ① s inC +s in 2 3sin 223cos 23sin 23π πππ+ ≤-+=C C C , ② 又因为3 sin 24 3cos 43sin 22 3sin 2 sin ππ π π ≤- -++ ++=+++C B A C B A C B A ，③ 由①，②，③得s inA +s inB +s inC +s in 3π≤4s in 3 π , 所以s inA +s inB +s inC ≤3s in 3π=233,当A =B =C =3 π 时，（s inA +s inB +s inC ）m ax =233. 注：三角函数的有界性、|s inx |≤1、|co s x |≤1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函数的单调 性等是解三角最值的常用手段。 10、证明：)],2 cos()2[cos(212sin sin βαβαβ α--+-= )]sin()2sin()sin([sin 2 sin ,, )]2 1 2cos()212[cos(212sin )sin(, )]2 3 cos()25[cos(212sin )2sin()],2cos()23[cos(212sin )sin(βαβαβααβ βαβαββαβαβαββαβαβαβ βαn n n n +++++++-+-++-=++-+-=++-+-=+ 各项相加得类似地 .2 1 sin )2sin()]2cos()212[cos(21ββαβαβα++=--++-=n n n . 2 1sin )2sin()] 2cos()212[cos(21ββαβαβα++=--+ +-=n n n 所以，.2 sin 21 sin )2sin()sin()sin(sin βββαβαβαα++=+++++n n n 评述：①类似地，有.2 sin )2cos(21sin )cos()cos(cos β βαββαβααn n n ++= +++++ ②利用上述公式可快速证明下列各式：2sin 21 cos 2sin cos 3cos 2cos cos θ θθθθθθ+=++++n n n .21 97cos 95cos 93cos 9cos .2 1 75cos 73cos 9cos 等=+++=++ππ πππππ. 2197cos 95cos 93cos 9cos . 2 175cos 73cos 9 cos 等=+++=++πππππππ 11、【证明】 若α+β>2π，则x >0，由α>2π-β>0得co s α π-β)=s in β,所以0<βαsin cos <1， 又s in α>s in (2π-β)=co s β, 所以0<α β sin cos <1， 所以.2sin cos sin cos sin cos sin cos 0 =?? ? ??+???? ?? x 若α+β<2π，则x <0，由0<α<2π-β<2π得co s α>co s(2 π -β)=s in β>0,所以βαsin cos >1。 又0 β sin cos >1， 所以2sin cos sin cos sin cos sin cos 0 =?? ? ??+???? ?? x ，得证。 注：以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式，值得注意的是角的讨论。 12、证明：①cos6°cos42°cos66°cos78°=cos6°cos54°cos66° 54cos 78cos 42cos ? 1 54cos 4)183cos(4 1 54cos 478cos 42cos 18cos ?== .16 154cos 4)183cos(4154cos 478cos 42cos 18cos = ?== .16 154cos 4) 183cos(4154cos 478cos 42cos 18cos =?= = ②sin1°sin2°sin3°…sin89° =(sin1°sin59°sin61°)(sin2°sin58°sin62°)…(sin29°sin31°sin89°)sin30°sin60° =4 387sin 6sin 3sin ) 4 1(29 ? 60sin 30sin )87sin 33sin 27(sin )66sin 54sin 6)(sin 63sin 57sin 3(sin 3)4 1 (30= 45)54sin 36)(sin 63sin 27)(sin 72sin 18)(sin 18sin 9(sin 3)41(81sin 18sin 9sin 3)41(4040???=??= 45sin )54sin 36)(sin 63sin 27)(sin 72sin 18)(sin 18sin 9(sin 3)41(81 sin 18sin 9sin 3)41(4040???=??= 又)72cos 1)(36cos 1(41)36sin 18(cos 2 -+= 165)72cos 36cos 1(4 1 )72cos 36cos 72cos 36cos 1(41=+=--+= 165)72cos 36cos 1(4 1)72cos 36cos 72cos 36cos 1(41=+=--+= 165)72cos 36cos 1(4136cos 72cos 36cos 1(41=+=--+= 即 .45 36sin 18cos = 所以 .106)4 1 (89sin 2sin 1sin 45?= 36sin 18cos 22 3)41(54cos 72sin 223)41(54cos 18sin 36cos 18cos 223)41(54cos 72cos 36cos 18cos 223)41(18cos 36cos 54cos 72cos 223)41(72sin 54sin 36sin 18sin 223)41(434342424242?=?=?=?=?=?= 36sin 18cos 223)41(54cos 72sin 223)41(54cos 18sin 36cos 18cos 223)41(54cos 72cos 36cos 18cos 223)41(18cos 36cos 54cos 72cos 223)41(72sin 54sin 36sin 18sin 223)41(434342424242?=?=?=?=?=?= 36sin 18cos 223)41(54cos 72sin 223)41(54cos 18sin 36cos 18cos 223)41(54cos 72cos 36cos 18cos 223)41(18cos 36cos 54cos 72cos 223)41(72sin 54sin 36sin 18sin 223)41(434342424242?=?=?=?=?=?= 36sin 18cos 223)41(54cos 72sin 223)41(54cos 18sin 36cos 18cos 223)41(54cos 72cos 36cos 18cos 223)41(18cos 36cos 54cos 72cos 223)41(72sin 54sin 36sin 18sin 223)41(434342424242?=?=?=?=?=?= 36sin 18cos 223)41(54cos 72sin 223)41(54cos 18sin 36cos 18cos 223)41(54cos 72cos 36cos 18cos 223)41(18cos 36cos 54cos 72cos 223)41(72sin 54sin 36sin 18sin 223)4(434342424242?=?=?=?=?=?= 36sin 18cos 223)41(54cos 72sin 223)41(54cos 18sin 36cos 18cos 223)41(54cos 72cos 36cos 18cos 223)41(18cos 36cos 54cos 72cos 223)41(72sin 54sin 36sin 18sin 22 3)41(434342424242?=?=?=?=?=?= 全国高中数学竞赛专题三角函数精编W O R D 版 IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】 三角恒等式与三角不等式 一、基础知识 定义1 角：一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。角的大小是任意的。 若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负 角，若不旋转则为零角。 定义2 角度制：把一周角360等分，每一等分为一度。 弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。 若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|= r L ,其中r 是圆的半径。 定义3 三角函数：在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的正半轴重 合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x ,y ），到原 点的距离为r,则正弦函数s in α=r y ,余弦函数co s α=r x ,正切函数tan α=x y ，余 切函数cot α= y x ，正割函数se c α=x r ,余割函数c s c α=.y r 定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan α=αcot 1,s in α=α csc 1 ，co s α= α sec 1 ； 商数关系：tan α= α α αααsin cos cot ,cos sin = ； 乘积关系：tan α×co s α=s in α,cot α×s in α =co s α； 平方关系：s in 2α+co s 2α=1, tan 2α+1=se c 2α, cot 2α+1=c s c 2α. 27同余 1．设m 是一个给定的正整数，如果两个整数a 与b 用m 除所得的余数相同，则称a 与b 对模同余，记作，否则，就说a 与b 对模m 不同余，记作，显然，； 每一个整数a 恰与1，2，……，m ，这m 个数中的某一个同余； 2.同余的性质： 1).反身性：； 2).对称性：； 3).若，则; 4).若，，则 特别是； 5).若，，则； 特别是 ； 6).； 7).若 ； 8).若， ……………… ，且 例题讲解 1．证明：完全平方数模4同余于0或1； 2．证明对于任何整数,能被7整除； )(mod m b a ≡)(mod m b a ≡)(|)(,)(mod b a m Z k b km a m b a -?∈+=?≡)(mod m a a ≡)(mod )(mod m a b m b a ≡?≡)(mod m b a ≡)(mod m c b ≡)(mod m c a ≡)(m od 11m b a ≡)(m od 22m b a ≡)(m od 2121m b b a a ±≡±)(mod )(mod m k b k a m b a ±≡±?≡)(m od 11m b a ≡)(m od 22m b a ≡)(m od 2121m b b a a ≡)(m od ),(m od m bk ak Z k m b a ≡?∈≡则)(m od ),(m od m b a N n m b a n n ≡?∈≡则)(mod )(m ac ab c b a +≡+)(m od 1),(),(m od m b a m c m bc ac ≡=≡时，则当)(mod )(mod ).(mod ),(m b a mc bc ac d m b a d m c ≡?≡≡=特别地，时，当)(m od 1m b a ≡)(m od 2m b a ≡)(mod 3m b a ≡)(mod n m b a ≡)(m od ],,[21M b a m m m M n ≡??=，则0≥k 153261616+++++k k k 第20讲 锐角三角函数 没有精确的数学计算，没有多种测量和 几何作图，社会生产就无从进行。 ——凯洛夫 知识方法扫描 三角函数是基本初等函数之一，在科学技术许多领域中应用广泛，锐角三角函数体现了直角三角形中边和角之间的数量关系，因此它本身是几何和代数的一种结合体，用特殊角三角函数值和三角函数性质解题的方法称为三角法，用三角法解题通常要与构造直角三角形相结合。 ① 掌握锐角的三角函数即角的正弦，余弦，正切，余切的定义；同角三角函数间的关系，如α ααcos sin tan =,1cos sin 22=+αα等； ② 掌握三角函数值的取值范围，当0o≤α≤90o时，0≤sinα≤1, 0≤cosα≤1； ③ 会解直角三角形； ④ 要会利用当锐角变大时，其正弦值和正切值也变大，而余弦值和余切值变小的规律来处理关于比较同名函数值大小的问题； ⑤ 要会解答三角与代数，三角与几何的综合问题 经典例题解析 例1．已知,1cos cos 2=+θθ 求θθθθ8642sin sin sin sin 2+++的值。 解．1cos cos 2=+θθ ，θθθ22sin cos 1cos =-=∴。 +∴θ2sin 2θθθθθθθ432864cos cos cos cos 2sin sin sin +++=++ )cos (cos cos cos )cos (cos 222θθθθθθ++++= 211cos cos 12=+=++=θθ 例2．（1987年宁波市初中数学竞赛试题）若α为锐角，求证： 1114sin cos sin cos αααα ++>。 证明 1114s i n c o s s i n c o s αααα++- =111(1)(1)(2)sin cos sin cos αααα -+-+- =1sin 1cos 12sin cos sin cos sin cos αααααααα ---++ 2018年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷） 一、填空题：本大题共 8小题，每小题 8分，共64分． 1.设集合{1,2,3,,99}A = ，{2}B x x A =∈，{2}B x x A =∈，则B C 的元素个数 . 解析：因为{1,2,3,,99}A = ，所以{2,4,6,,198}B = ,{1,2,3,,49}C = ,于是 {2,4,6,,48}B C = ，共24个元素. 2.设点P 到平面α Q 在平面α上，使得直线PQ 与α所成角不小于30 且不大于60 ，则这样的点Q 所构成的区域的面积为 . 解析：过点P 作平面α的垂线，这垂足为O ，则点Q 的轨迹是以O 为圆心，分别以1ON =和3OM =为半径的扇环,于是点Q 所构成的区域的面积为21S S S =-= 9 8πππ-=. 3. 将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为,,,,,a b c d e f ，则abc def +是偶数的概率为 . 解析：（直接法）将1,2,3,4,5,6随机排成一行，共有6 6720A =种不同的排法，要使 abc def +为偶数，abc 为与def 同为偶数或abc 与且def 同为奇数. （1）若,,a b c 中一个偶数两个奇数且,,d e f 中一个奇数两个偶数. 共324种情形； （2）若,,a b c 中一个奇数两个偶数且,,d e f 中一个偶数两个奇数. 共324种情形； 共有648种情形.综上所述，abc def +是偶数的概率为 6489 72010 =. （间接法）“abc def +是偶数”的对立事件为“abc def +是偶数”， abc def +是偶数分成两种情况：“abc 是偶数且def 是奇数”或“abc 是奇数且def 是偶数”，每 P O M N α 初中数学竞赛专题：三角函数 §7．1锐角三角函数 7．1．1★比较下列各组三角函数值的大小： （1）sin19?与cos70?； （2）cot65?与cos40?； （3）cos1?,tan46?,sin88?和cot38?． 解析（1）利用互余角的三角函数关系式,将cos70?化sin20?,再与sin19?比大小． 因为() ?=?-?=?,而 cos70cos9020sin20 ??>, ??>?=． tan52tan46tan451 因为() ?=?-?=?, cos1cos9089sin89 所以sin88sin891 ??>?>?． 评注比较三角函数值的大小,一般分为三种类型： （1）同名的两个锐角三角函数值,可直接利用三角函数值随角变化的规律,通过比较角的大小来确定三角函数值的大小． （2）互为余函数的两锐角三角函数值,可利用互余角的三角函数关系式化为同名三角函数,比较 2009年全国高中数学联赛试题及答案 全国高中数学联赛 全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合和灵活运用的能力。 全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当增加一些竞赛教学大纲的内容。全卷包括4道大题，其中一道平面几何题. 一 试 一、填空（每小题7分，共56分） 1． 若函数( )f x = ()()()n n f x f f f f x ??=??????，则() ()991f = ． 2． 已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，B ，C 为圆M 上两点，在ABC ?中，45BAC ∠=?，AB 过圆心M ，则点A 横 坐标范围为 ． 3． 在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为02y y x y x ?? ??-? ≥≤≤，N 是随t 变化的区 域，它由不等式1t x t +≤≤所确定，t 的取值范围是01t ≤≤，则M 和N 的公共面积是函数()f t = ． 4． 使不等式 1111 200712 213 a n n n +++ <-+++对一切正整数n 都成立的最小正整数a 的值为 ． 5． 椭圆22 221x y a b +=()0a b >>上任意两点P ，Q ，若OP OQ ⊥，则乘积 OP OQ ?的最小值为 ． 6． 若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是 ． 7． 一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩 上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 （可以用指数表示） 8． 某车站每天800~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时 锐角三角函数 古希腊数学家和古代中国数学家为了测量的需要，他们发现并经常利用下列几何结论：在两个大小不同的直角三角形中，只要有一个锐角相等，那么这两个三角形的对应边的比值一定相等．正是古人对天文观察和测量的需要才引起人们对三角函数的研究，1748年经过瑞士的著名数学家欧拉的应用，才逐渐形成现在的sin 、cos 、tg 、ctg 的通用形式． 三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数形结合的桥梁之一，有以下丰富的性质： 1．单调性； 2．互余三角函数间的关系； 3．同角三角函数间的关系． 平方关系：sin 2α+cos 2α=1； 商数关系：tg α=ααcos sin ，ctg α=α αsin cos ； 倒数关系：tg αctg α=1． 【例题求解】 【例1】 已知在△ABC 中，∠A 、∠B 是锐角，且sinA ＝ 135，tanB=2，AB=29cm ， 则S △ABC = ． 思路点拨 过C 作CD ⊥AB 于D ，这样由三角函数定义得到线段的比，sinA= 135=AC CD ，tanB=2=BD CD ，设CD=5m ，AC ＝13m ，CD ＝2n ，BD ＝n ，解题的关键是求出m 、n 的值． 注：设△ABC 中，a 、b 、c 为∠A 、∠B 、∠C 的对边，R 为△ABC 外接圆的半径，不难证明：与锐角三角函数相关的几个重要结论： (1) S △ABC =C ab B ac A bc sin 2 1sin 21sin 21==； （2）R C c B b A a 2sin sin sin ===． 【例2】 如图，在△ABC 中．∠ACB ＝90°，∠ABC ＝15°，BC=1，则AC=( ) A ．32+ B ．32- C ．0.3 D ．23- 思路点拨 由15°构造特殊角，用特殊角的三角函数促使边角转化． 注：（1）求(已知)非特角三角函数值的关是构造出含特殊角直角三角形． （2）求(已知)锐角角函数值常根据定转化为求对应线段比，有时需通过等的比来转换． 【例3】 如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，过BC 的中点D 作DE ⊥AB 于E ，连结CE ，求sin ∠ACE 的值． 思路点拨 作垂线把∠ACE 变成直角三角形的一个锐角，将问题转化成求线段的比． 数学竞赛训练题 1、函数()x x x x x f 44cos cos sin sin ++=的最大值是_______。 2、已知S n 、T n 分别是等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项的和，且2412-+=n n T S n n ，则=+++15 61118310b b a b b a _______。 3、若函数()?? ? ?? +=x a x x f a 4log 在区间上为增函数，则a 的取值范围是为_______。 4、在四面体ABCD 中，已知DA ⊥平面ABC ，△ABC 是边长为2的正三角形，则当二面角A-BD-C 的正切值为2时，四面体ABCD 的体积为_______。 5、已知定义在R 上的函数()x f 满足： （1）()11=f ； （2）当10< 1988年全国高中数学联赛试题 第一试(10月16日上午8∶00——9∶30) 一．选择题(本大题共5小题，每小题有一个正确答案，选对得7分，选错、不选或多选均得0分)： 1．设有三个函数，第一个是y=φ(x )，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象及第二个函数的图象关于x +y=0对称，那么，第三个函数是( ) A ．y=－φ(x ) B ．y=－φ(－x ) C ．y=－φ－1(x ) D ．y=－φ－ 1(－x ) 2．已知原点在椭圆k 2x 2+y 2－4kx +2ky +k 2－1=0的内部，那么参数k 的取值范围是( ) A ．|k |>1 B ．|k |≠1 C ．－1 三角函数公式汇总 一、任意角的三角函数 在角α的终边上任取．． 一点),(y x P ，记：22y x r +=， 正弦：r y =αsin 余弦：r x =αcos 正切：x y =αtan 二、同角三角函数的基本关系式 商数关系：αααcos sin tan = 平方关系：1cos sin 22=+αα，αα22sec tan 1=+，αα22csc cot 1=+。 三、诱导公式 ⑴παk 2+)(Z k ∈、α-、απ+、απ-、απ-2的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成．． 锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名不变，符号看象限） ⑵απ +2、απ -2、απ+23、απ-2 3的三角函数值，等于α的异名函数值，前面加上一个把α看成．． 锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名改变，符号看象限） 四、和角公式和差角公式 βαβαβαsin cos cos sin )sin(?+?=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(?-?=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(?-?=+ βαβαβαs i n s i n c o s c o s )c o s (?+?=- βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(?-+= + β αβαβαtan tan 1tan tan )tan(?+-=- 五、二倍角公式 αααcos sin 22sin = ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=…)(* α αα2tan 1tan 22tan -= 二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角） αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=- 2)cos (sin 2sin 1ααα+=+ 2)cos (sin 2sin 1ααα-=- 全国高中数学竞赛专题三 角函数 This manuscript was revised on November 28, 2020 三角恒等式与三角不等式 一、基础知识 定义1 角：一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。角的大小是任意的。 若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负 角，若不旋转则为零角。 定义2 角度制：把一周角360等分，每一等分为一度。 弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。 若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|=r L ,其中r 是圆的半径。 定义3 三角函数：在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的正半轴 重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x ,y ），到 原点的距离为r,则正弦函数s in α=r y ,余弦函数co s α=r x ,正切函数tan α =x y ，余切函数cot α=y x ，正割函数se c α=x r ,余割函数c s c α=.y r 定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan α=αcot 1,s in α=α csc 1 ，co s α =α sec 1； 商数关系：tan α=α α αααsin cos cot ,cos sin = ； 乘积关系：tan α×co s α=s in α,cot α×s in α =co s α； 平方关系：s in 2α+co s 2α=1, tan 2α+1=se c 2α, cot 2α+1=c s c 2α. 定理2 诱导公式（Ⅰ）s in (α+π)=-s in α, co s(π+α)=-co s α, tan (π+α)=tan α, cot (π+α)=cot α; （Ⅱ）s in (-α)=-s in α, co s(-α)=co s α, tan (-α)=-tan α, cot (-α)=cot α; （Ⅲ）s in (π-α)=s in α, co s(π-α)=-co s α, tan =(π-α)=-tan α, cot (π-α)=-cot α; （Ⅳ）s in ??? ??-απ2=co s α, co s ??? ??-απ2=s in α, tan ?? ? ??-απ2=cot α （奇变偶不变，符号看象限）。 定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y =s inx （x ∈R ）的性质如下。 单调区间：在区间????? ? +-22,22ππππk k 上为增函数，在区间 ?? ????++ππππ232,22k k 上为减函数， 最小正周期：2π. 奇偶性：奇函数 三角函数 一、基础知识 定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。 定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|=r L ,其中r 是圆的半径。 定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x ,y ），到原点的距离为r,则正 弦函数s in α= r y ,余弦函数co s α=r x ,正切函数tan α=x y ，余切函数cot α=y x ，正割函数se c α=x r ,余割函数c s c α=.y r 定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan α=αcot 1,s in α=αcsc 1，co s α=α sec 1；商数关系：tan α=αααααsin cos cot ,cos sin =；乘积关系：tan α×co s α=s in α,cot α×s in α=co s α；平方关系：s in 2α+co s 2α=1, tan 2α+1=se c 2α, cot 2α+1=c s c 2α. 定理2 诱导公式（Ⅰ）s in (α+π)=-s in α, co s(π+α)=-co s α, tan (π+α)=tan α, cot (π+α)=cot α;（Ⅱ）s in (-α)=-s in α, co s(-α)=co s α, tan (-α)=-tan α, cot (-α)=cot α; （Ⅲ）s in (π-α)=s in α, co s(π-α)=-co s α, tan =(π-α)=-tan α, cot (π-α)=-cot α; （Ⅳ）s in ??? ??-απ2=co s α, co s ??? ??-απ2=s in α, tan ?? ? ??-απ2=cot α（奇变偶不变，符号看象限）。 定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y =s inx （x ∈R ）的性质如下。单调区间：在区间 ?? ????+-22,22ππππk k 上为增函数，在区间??????++ππππ232,22k k 上为减函数，最小正周期为2π. 奇偶数. 有界性：当且仅当x =2kx +2π时，y 取最大值1，当且仅当x =3k π-2 π时, y 取最小值-1。对称性：直线x =k π+2 π均为其对称轴，点（k π, 0）均为其对称中心，值域为[-1，1]。这里k ∈Z . 定理4 余弦函数的性质，根据图象可得y =co s x (x ∈R )的性质。单调区间：在区间[2k π, 2k π+π]上单调递减，在区间[2k π-π, 2k π]上单调递增。最小正周期为2π。奇偶性：偶函数。对称性：直线x =k π均为其对称轴，点?? ? ?? +0,2ππk 均为其对称中心。有界性：当且仅当x =2k π时，y 取最大值1；当且仅当x =2k π-π时，y 取最小值-1。值域为[-1，1]。这里k ∈Z . 定理5 正切函数的性质：由图象知奇函数y =tanx (x ≠k π+ 2π)在开区间(k π-2π, k π+2π)上为增函数, 最小正周期为π，值域为（-∞，+∞），点（k π，0），（k π+2π ，0）均为其对称中心。 定理6 两角和与差的基本关系式：co s(α±β)=co s αco s β s in αs in β,s in (α±β)=s in αco s β±co s αs in β; tan (α±β)= .) tan tan 1()tan (tan βαβα ± 【例题求解】 【例1】 已知在△ABC 中，∠A 、∠B 是锐角，且sinA ＝ 13 5，tanB=2，AB=29cm ， 则S △ABC = ． 思路点拨 过C 作CD ⊥AB 于D ，这样由三角函数定义得到线段的比，sinA= 135=AC CD ，tanB=2=BD CD ，设CD=5m ，AC ＝13m ，CD ＝2n ，BD ＝n ，解题的关键是求出m 、n 的值． 注：设△ABC 中，a 、b 、c 为∠A 、∠B 、∠C 的对边，R 为△ABC 外接圆的半径，不难证明：与锐角三角函数相关的几个重要结论： (1) S △ABC =C ab B ac A bc sin 21sin 21sin 21==； （2）R C c B b A a 2sin sin sin ===． 【例2】 如图，在△ABC 中．∠ACB ＝90°，∠ABC ＝15°，B C=1，则AC=( ) A ．32+ B ．32- C ．0.3 D ．23- 思路点拨 由15°构造特殊角，用特殊角的三角函数促使边角转化． 注：（1）求(已知)非特角三角函数值的关是构造出含特殊角直角三角形． （2）求(已知)锐角角函数值常根据定转化为求对应线段比，有时需通过等的比来转换． 【例3】 如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，过BC 的中点D 作DE ⊥AB 于E ，连结CE ，求sin ∠ACE 的值． 思路点拨 作垂线把∠ACE 变成直角三角形的一个锐角，将问题转化成求线段的比． 【例4】 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，tanB=cos ∠DAC ， (1)求证：AC ＝BD ； (2)若sinC=13 12，BC=12，求AD 的长． 思路点拨 (1)把三角函数转化为线段的比，利用比例线段证明； (2) sinC= AC AD =1312，引入参数可设AD=12k ，A C ＝13k ． 【例5】 已知：在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA 、sinB 是方程02=++q px x 的两个根． (1)求实数p 、q 应满足的条件； (2)若p 、q 满足(1)的条件，方程02=++q px x 的两个根是否等于Rt △ABC 中两锐角A 、B 的正弦? 思路点拨 由韦达定理、三角函数关系建立p 、q 等式，注意判别式、三角函数值的有界性，建立严密约 高一数学竞赛培训——三角函数(包括答案) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 高一数学竞赛辅导——三角函数 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．函数f (x ) ＝ | sin x ＋cos x |的最小正周期是（ ） A ．π4 B ．π2 C ．π D ．2π 2．若θθθ则角且,02sin ,0cos <>的终边所在象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．若函数)sin()(?ω+=x x f 的图象（部分）如图所示，则?ω和的取值是（ ） A ．3 ,1π ?ω= = B ．3 ,1π ?ω- == C ．6,21π ?ω== D ．6 ,21π ?ω-== 4．函数]),0[)(26sin(2ππ ∈-=x x y 为增函数的区间是（ ） A ． ]3,0[π B ．]65,3[ππ C ．]127,12[π π D ． ],65[ππ 5．在△ABC 中，若B b A a cos cos =，则△ABC 的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形 6．在△ABC 中，8b =，c =ABC S ?=，则A ∠等于（ ） A 、30 B 、60 C 、30或150 D 、60或120 7．函数y ＝－xcosx 的部分图象是 ( ) 8．在△ABC 中， cos cos cos a b c A B C == ，则△ABC 一定是 ( ) A 直角三角形 B 钝角三角形 C 等腰三角形 D 等边三角形 9．为了得到函数)6 2sin(π -=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ ） A ．向右平移π6个单位长度 B ．向右平移π 3 个 单位长度 C ．向左平移π6个单位长度 D ．向左平移π 3 个 单位长度 10．设)(t f y =是某港口水的深度y （米）关于时间t （时）的函数，其中 240≤≤t ．下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 12 15．1 12．1 9．1 11．9 14．9 11．9 8．9 12． 1 的图象．下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（]24,0[∈t ）（ ） A ．t y 6 sin 312π += B ．)6sin(312ππ ++=t y C ．t y 12 sin 312π += D ． )2 12sin(312π π++=t y 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分5，共25分．把答案填在横线上． 11．在△ABC 中，A ＝60°，B ＝45°，12=+b a ，则a ＝ ． 12． ? ?-?? ?+?8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin 的值是 ． 13．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是 ． 高中数学竞赛试题 一选择题(每题5分,满分60分) 1. 如果a,b,c 都是实数，那么P ∶ac<0,是q ∶关于x 的方程ax 2 +bx+c=0有一个正根和一个 负根的（ ） （A ）必要而不充分条件 （B ）充要条件 （C ）充分而不必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 2. 某种放射性元素，100年后只剩原来质量的一半，现有这种元素1克，3年后剩下（ ）。 （A ） 100 5 .03?克 （B ）(1－0.5%)3克 （C ）0.925克 （D ）100125.0克 3. 由甲城市到乙城市t 分钟的电话费由函数g (t )=1.06×(0.75[t ]+1)给出，其中t >0，[t ]表示 大于或等于t 的最小整数，则从甲城市到乙城市5.5分钟的电话费为（ ）。 （A ）5.83元 （B ）5.25元 （C ）5.56元 （D ）5.04元 4. 已知函数 >0， 则 的值 A 、一定大于零 B 、一定小于零 C 、等于零 D 、正负都有可能 5. 已知数列3，7，11，15，…则113是它的（ ） （A ）第23项 （B ）第24项 （C ）第19项 （D ）第25项 6. 已知等差数列}{n a 的公差不为零，}{n a 中的部分项 ,,,,,321n k k k k a a a a 构成等比数 列，其中,17,5,1321===k k k 则n k k k k ++++ 321等于（ ） (A) 13--n n (B) 13-+n n (C) 13+-n n (D)都不对 7. 已知函数x b x a x f cos sin )(-=（a 、b 为常数，0≠a ，R x ∈）在4 π = x 处取得最小 值，则函数)4 3( x f y -=π 是（ ） A ．偶函数且它的图象关于点)0,(π对称 B ．偶函数且它的图象关于点)0,2 3(π 对称 C ．奇函数且它的图象关于点)0,2 3(π 对称 D ．奇函数且它的图象关于点)0,(π对称 8. 如果 A A tan 1tan 1+-= 4+5，那么cot （A +4 π ）的值等于 ( ) A -4-5 B 4+5 C - 5 41+ D 5 41+ 9. 已知︱︱=1，︱︱=3,?=0,点C 在∠AOB 内，且∠AOC =30°，设 =m +n (m 、n ∈R )，则 n m 等于 2013年全国初中数学竞赛试题及参考答案 （湖北省3月17日复试） 一．选择题（5×7'=35'） 1.对正整数n ，记n ！=1×2×...×n,则1!+2!+3!+...+10!的末位数是( )． A ．0 B ．1 C ．3 D ．5 【分析】5≥n 时，n ！的个位数均为0，只考虑前4个数的个位数之和即可，1+2+6+4=13，故式子的个位数是3. 本题选C ． 2.已知关于x 的不等式组??????? <-+->-+x t x x x 2 353 5 2恰好有5个整数解，则t 的取值范围是( )． 2116.- <<-t A 2116.-<≤-t B 2116.-≤<-t C 2 11 6.-≤≤-t D 【分析】20232 353 5 2<<-??????? ?<-+->-+x t x t x x x ，则5个整数解是15,16,17,18,19=x ． 注意到15=x 时，只有4个整数解．所以211 6152314- ≤<-?<-≤t t ，本题选C 3.已知关于x 的方程 x x x a x x x x 22222 --=-+-恰好有一个实根，则实数a 的值有( )个． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【分析】 422222222+-=?--=-+-x x a x x x a x x x x ，下面先考虑增根： ⅰ）令0=x ，则4=a ，当4=a 时，0,1,022212 ===-x x x x （舍）； ⅱ）令2=x ，则8=a ，当8=a 时，2,1,0422212 =-==--x x x x （舍）； 再考虑等根： ⅲ）对04222 =-+-a x x ，2 70)4(84=→=--=?a a ，当21 ,272,1==x a . 故27,8,4=a ，2 1 ,1,1-=x 共3个.本题选C ． 课程简介：全国高中数学联赛是中国高中数学学科的最高等级的数学竞赛，其地位远高于各省自行组织的数学竞赛。在这项竞赛中取得优异成绩的全国约90名学生有资格参加由中国数学会主办的“中国数学奥林匹克（CMO）暨全国中学生数学冬令营”。优胜者可以自动获得各重点大学的保送资格。各省赛区一等奖前6名可参加中国数学奥林匹克，获得进入国家集训队的机会。中小学教育网重磅推出“全国高中数学联赛”辅导课程，无论是有意向参加竞赛的初学者，还是已入围二试的竞赛选手，都有适合的课程提供。本套课程由中国数学奥林匹克高级教练熊斌、人大附中数学教师李秋生等名师主讲，轻松突破你的数学极限！ 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t x t x x x ，则5个整数解是15,16,17,18,19=x ． 注意到15=x 时，只有4个整数解．所以 2116152314-≤<-?<-≤t t ，本题选C 3.已知关于x 的方程x x x a x x x x 22222--=-+-恰好有一个实根，则实数a 的值有( )个． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【分析】422222222+-=?--=-+-x x a x x x a x x x x ，下面先考虑增根： ⅰ）令0=x ，则4=a ，当4=a 时，0,1,022212===-x x x x （舍）； ⅱ）令2=x ，则8=a ，当8=a 时，2,1,0422212=-==--x x x x （舍）； 再考虑等根： ⅲ）对04222=-+-a x x ，270)4(84= →=--=?a a ，当21,272,1==x a . 故27, 8,4=a ，2 1,1,1-=x 共3个.本题选C ． 2000年全国高中数学联合竞赛试卷 （10月15日上午8:00?9:40） 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1．设全集是实数，若A={x|≤0}，B={x|10=10x}，则A∩?R B是() (A){2}(B){?1}(C){x|x≤2}(D)? 2．设sin?＞0，cos?＜0，且sin＞cos，则的取值范围是() (A)(2k?+，2k?+)，k?Z(B)(+，+)，k?Z (C)(2k?+，2k?+?)，k?Z(D)(2k?+，2k?+)∪(2k?+，2k?+?)，k?Z 3．已知点A为双曲线x2?y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，△ABC是等边三角形，则△ABC的面积是() (A)(B)(C)3(D)6 4．给定正数p，q，a，b，c，其中p?q，若p，a，q是等比数列，p，b，c，q是等差数列，则一元二次方程bx2?2ax+c=0() (A)无实根(B)有两个相等实根(C)有两个同号相异实根(D)有两个异号实根 5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线y=x+的距离中的最小值是() (A)(B)(C)(D) 6．设ω=cos+i sin，则以?，?3，?7，?9为根的方程是() (A)x4+x3+x2+x+1=0(B)x4?x3+x2?x+1=0 (C)x4?x3?x2+x+1=0(D)x4+x3+x2?x?1=0 二．填空题（本题满分54分，每小题9分） 1．arcsin(sin2000?)=__________． 2．设a n是(3?)n的展开式中x项的系数(n=2，3，4，…)，则(++…+))=________. 3．等比数列a+log23，a+log43，a+log83的公比是____________. 4．在椭圆+=1(a＞b＞0)中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B.若该椭圆的离心率是，则∠ABF=_________. 5．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是________. 6．如果：(1)a，b，c，d都属于{1，2，3，4}； (2)a?b，b?c，c?d，d?a； (3)a是a，b，c，d中的最小值， 那么，可以组成的不同的四位数的个数是_________ 三、解答题(本题满分60分，每小题20分) 1．设S n=1+2+3+…+n，n?N*，求f(n)=的最大值．0，所以co s(s inx )>s in (co s x ). 若0,全国高中数学竞赛专题三角函数定稿版
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