回归大作业-基于多元线性回归的期权价格预测模型
基于多元线性回归的期权价格预测模型
王某某
（北京航空航天大学计算机学院北京100191）1
摘要：期权是国际市场成熟、普遍的金融衍生品，是金融市场极为重要的金融工具。2015年2月9日，上海证券交易所正式推出了我国首支场内交易期权——上证50ETF期权，翻开了境内场内期权市场的新篇章。50ETF期权上市以来，市场规模逐步扩大，其发展情况境外期权产品相同时期。本文以此为研究背景，以“50ETF购12月”这支期权为研究对象，以今日开盘价、收盘价、最高价、最低价、结算价、成交量、成交额、持仓量、涨停价和跌停价为解释变量，通过多元线性回归模型，预测该期权的明日收盘价。本次研究以多元线性回归的全模型（模型1）为出发点，通过异方差检验、残差的独立性检验、误差的正太分布检验以及多重共线性检验，说明该模型不违反回归的基本假设条件。进而通过主成分回归（模型4）和逐步回归（模型5）进行降维，结果表明因变量与解释变量之间存在强烈的线性相关关系，且主成分回归和逐步回归相比全模型有更好的预测能力。
关键词：期权价格多元线性回归50ETF 多重共线性因子分析
一、引言
期权（option）是依据合约形态划分的一种衍生品，指赋予其购买方在规定期限内按买卖双方约定的价格（即协议价格或行权价格）购买或者出售一定数量某种金融资产（即标的资产）的权利的合约。期权购买方为了获得这个权利，必须支付给期权出售方一定的费用，称为权利金或期权价格错误!未找到引用源。。
2015年2月9日，上海证券交易所正式推出了我国首支场内交易期权——上证50ETF，翻开了境内场内期权市场的新篇章。期权是与期货并列的基础衍生产品，是金融市场极为重要的金融工具之一。
自50ETF上市以来，市场规模逐步扩大。2015年2月日均合约成交面值为亿元，12月就达到了亿元，增长了倍；2月日均合约成交量为万张，12月就达到了万张，增长了倍；2月权利金总成交额为亿元，12月就达到了亿元，增长了倍错误!未找到引用源。。
我国股票市场有上亿的个人投资者，是一个较为典型的散户市场错误!未找到引用源。。相较于专业投资机构讲，散户缺乏时间，精力以及专业分析，投资具有很大的投机行为。对于这些投资者来说，期权价格的变动则是他们最为关注的问题，其变化直接影响到自身的收益。在实际情况中，影响股票价格的因素很多，涉及到金融政策、利率政策以及国际市场等因素，其作用机制也相当复杂错误!未找到引用源。。因此，对于期权价格预测的研究，则可以降低投资者的投资风险，及时调整投资结构，从而保障自身的收益。
本文选择“50ETF购12月（期权代码：）”这支期权作为研究对象，根据过去一个月内期权的交易数据，以今日开盘价、收盘价、最高价、最低价、结算价、成交量、成交额、持
1作者简介：王某某，北京航空航天大学研究生。
仓量、涨停价和跌停价为解释变量，通过多元线性回归模型，预测该期权的明日收盘价。
下文由如下几部分构成：
第二部分介绍了本次研究的数据集，包括数据来源、和数据字段；
第三部分重点介绍了各个多元线性回归模型，包括全模型及异方差检验，残差的独立性检验、误差的正太分布检验和多种共线性检验，在第4小节和第5小节分别采用主成分回归和逐步回归对模型加以改善；
第四部分运用第三部分建立的各个模型对期权价格进行了预测；
第五部分对本文研究进行了总结并未来的研究加以展望。
二、数据说明
本次研究的数据来源于Wind资讯金融终端，从上面获取了“50ETF购12月”这支期权自2016年10月24日至2016年11月24日（只包含工作日）共计24日的交易数据。经过整理后得到最终的数据字段，见表1。
表 1 期权交易数据字段
收盘价开盘价最高价最低价结算价
成交额成交量持仓量涨停价跌停价
期权交易数据见附录1。
三、建模
1 符号说明
各个变量及其符号说明见表2。
表 2 各个变量及其符号说明
变量符号
明日收盘价
今日开盘价
今日收盘价
今日最高价
今日最低价
今日结算价
今日成交额
今日成交量
今日持仓量
今日涨停价
今日跌停价
2 解释变量与指标变量的散点图
在建立模型之前，首先利用MATLAB绘制各个解释变量与指标变量（明日收盘价）之间的散点图，观察各个解释变量与指标变量之间的关系，散点图结果见图1。
图 1 各个解释变量与指标变量（明日收盘价）的散点图
通过图一中的散点图可以看出，明日收盘价与今日收盘价、今日开盘价、今日最高价、今日最低价、今日结算价、今日持仓量、今日涨停价以及今日跌停价之间有较为明显的线性关系；而与今日成交额以及今日成交量之间的线性关系并不明显。
3 全模型
通过散点图我们观察到指标变量与各个解释变量之间大致上为线性关系，所以考虑多元线性回归模型进行建模。
模型建立与求解
首先建立各个解释变量与指标变量的全模型，即考虑如下模型：
式中，，，…，，都是与解释变量无关的未知参数，其中，，…，称为回归系数。
在MATLAB中使用regress函数即可求解此多元线性回归模型，求解结果见表3.
表 3 MATLAB求解全模型结果
回归系数回归系数的估计值回归系数置信区间
0 0 0
= = < =
从上表容易看出模型（1）成立，此时指标变量与解释变量满足的回归模型为：
（模型1）
在MATLAB中画出模型1的残差分布，见图2。
除第12个数据外其余残差的置信区间均包含零点，因此第12个点应当视为异常点，将其剔除后重新计算，得到模型2：
图 2 模型1的残差分布
（模型2）
模型2的= ，= ，< ，= 。
但同时我们发现，各个回归系数的置信区间仍然均包含零点。画出模型2的残差分布，发现又出现了异常点，按照上面的方法剔除异常点直至没有异常点产生。最终一共去掉了5个异常点（分别是2，12，15，22以及23），最终得到模型3：
（模型3）
模型3的= ，= ，< ，< 。
可见模型2相当显著，各个回归系数的置信区间均不包含零点；但是去除的数据点有5个（总共23个），去除的异常点比较多，容易去除有用信息，所以我们只把模型3作为后期预测的一个对比模型，在之后的分析中，我们只考虑去除第12个异常点的数据。
接下来进行异方差检验，残差的独立性检验以及多重共线性检验。
异方差检验
通过SPSS画出残差对预测值的散点图，见图3。
图 3 残差对预测值的散点图
根据图3可以认为数据基本不存在异方差性，即认为随机误差具有相同的方差。
残差的独立性检验
通过SPSS的Durbin-watson检验得到DW值为，模型2中解释变量数量k（包括常数项）为7，样本数量n 为22，查DW分布表得到相应的，。由于，认为随机误差之间无自相关错误!未找到引用源。。
误差的正态分布检验
通过SPSS画出正态P-P图以及回归标准化残差频率分布直方图，见图4。
从上图可以认为误差服从均值为0的正态分布。
多重共线性检验
多元线性回归模型的基本假设中要求设计矩阵X的列向量之间不存在密切的线性关系错误!未找到引用源。，如果存在，就称它们之间存在多重共线性。
图 4 误差的正太分布检验图
通过SPSS进行多重共线性诊断，结果如下表。
从上表可以看出绝大部分变量的VIF值远远大于10，说明严重存在多重共线性，针对多重共线性的问题，接下来用主成分分析加以处理。
4 主成分回归
利用MATLAB对这个十个解释变量进行主成分分析，分析过程如下。
1）对原始数据进行标准化处理
即每个元素的值减去该列的均值，然后除以这一列的方差。
2）计算相关系数矩阵R，结果见表
表 5 解释变量的相关系数
表 4 多重共线性诊断结果
3）计算特征值和累计贡献率见表6
表 6 各个解释变量的特征根和累计贡献率
变量特征根累计贡献率
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
可以看出，前两个特征根的累计贡献率就达到了90%以上，主成分分析效果很好。下面选择前四个主成分（累计贡献率%）进行综合分析。
4）前四个特征根对应的特征向量见表7
表7 前四个特征根对应的特征向量
第1个
特征向量
第2个
特征向量
第3个
特征向量
第4个
特征向量
5）主成分回归模型
求得的主成分回归模型如下：
（模型4）
5 逐步回归
主成分回归求出的主成分是原始变量的线性组合，表示新的综合变量。接下来使用逐步回归的方法来筛选变量。在逐步回归中，决定一个变量时候有必要进入模型或者从模型中剔除时，常用的方法是偏F检验错误!未找到引用源。，关于偏F检验这里不做赘述。
在MATLAB中使用stepwise函数进行逐步回归错误!未找到引用源。，运行结果如图5
求得的逐步回归模型如下：
（模型5）
四、预测
接下来我们利用上面求得的模型来进行期权价格预测。
利用模型1、模型2、模型3、模型4和模型5分别预测了11月25日至12月10日的期权价格，11月25日至12月20日的真实期权以及预测结果如表8。
表8 各个模型的预测结果
日期真实数据模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 2016-11-25
2016-11-28
2016-11-29
2016-11-30
2016-12-01
2016-12-02
2016-12-05
2016-12-06
2016-12-07
2016-12-08
2016-12-09
2016-12-12
2016-12-13
2016-12-14
2016-12-15
2016-12-16
2016-12-19
2016-12-20
各个模型的平均误差以及误差百分比见表9。
表9 各个模型预测结果评价
真实数据模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 平均误差
平均误差百分比% % % % %
从表8和表9可以看出，模型4（主成分回归）和模型5（逐步回归）的结果最好，而模型3由于去掉了较多的异常点反而导致预测结果不好。接下来不考虑模型3，画出其余4个模型的预测结果与真实数据的折线图，见图6
在图4中，横坐标表示数据的序号，分别与各个日期对应，其中前面24个数据来自训
图 6 4个模型预测结果与真实数据的折线图
练集，故而各个模型的预测结果与实际结果接近；后面的数据则来自测试集，可以看出各个模型的预测结果与实际数据存在一定差异，不过总体趋势与实际数据比较匹配。其中模型4和模型5的预测结果最好。
五、结论
本文从以期权今日开盘价、收盘价、最高价、最低价、结算价、成交量、成交额、持仓量、涨停价和跌停价为解释变量，期权明日收盘价为指标变量，建立了多元线性回归模型1，通过异方差检验、残差的独立性检验、误差的正太分布检验以及多重共线性检验，说明该模型不违反回归的基本假设条件。进而通过主成分回归（模型4）和逐步回归（模型5）进行降维，通过预测结果与真实数据的差异比较了各个模型的预测效果，结果表明主成分回归以及逐步回归相比全模型有更好的预测能力。
实际情况中，该期权的当日价格波动一般不会超过15%，而普遍真是情况是8%以内，可见模型4和模型5的预测效果并不理想，今后的研究可以在以下两个方面进行改进：①不断向模型加入得到的最新数据；②运用时间序列模型进行研究。
参考文献
[1]吴清. 期权交易策略十讲[M]. 上海人民出版社, 2016
[2]李珺. 基于因子分析的多元线性回归方法及其在股价预测中的应用[D]. 南京大学, 2014
[3]孙海燕, 周梦, 李卫国, 冯伟. 数理统计[M]. 北京航空航天大学出版社, 2016
[4]司守奎. 数学建模算法与应用(第2版)[M]. 国防工业出版社, 2015
Option price forecasting model based on
multiple linear regression
Wang Moumou
School of Computer Science, BeiHang University, Beijing 100191 Abstract: Option is one kind of universal financial derivatives with a mature international market, and it is extremely important financial instrument. On February 9, 2015, the Shanghai Stock Exchange officially launched China's first floor trading options - SSE 50ETF options, opened a new chapter in the domestic market options market. 50ETF options since listing, the market gradually expanded, the development of offshore options products the same period. In this paper, the background of this study, "50ETF purchase December " this option for the study to today's opening, closing price, the highest price, lowest price, settlement price, volume, turnover, open interest, price and the limit price for the explanatory variables, through multiple linear regression model, the option of the closing price of tomorrow. In this study, the heterogeneity test, residual independence test, error positive distribution test and multicollinearity test were taken as the starting point of the whole model (model 1) of multivariate linear regression to show that the model did not violate the basic assumptions of regression. The results show that there is a strong linear correlation between the dependent variable and the explanatory variable, and the principal component regression and the stepwise regression are better than the whole regression model (step 4) and stepwise regression (model 5). The results show that there is a strong linear correlation between the dependent variable and the explanatory variable, and the principal component regression and stepwise regression have better prediction ability than the whole model.
Keywords: Option price, Multiple linear regression, Multicollinearity, Factor analysis
附录
1 期权交易数据
计量经济学-一元线性回归预测模型-Eviews6
数学与统计学院实验报告 院（系）：数学与统计学学院学号：姓名： 实验课程：计量经济学指导教师: 实验类型（验证性、演示性、综合性、设计性）：综合性 实验时间：2017年 3 月 1 日 一、实验课题 一元线性回归预测模型 二、实验目的和意义 用回归模型预测木材剩余物 （1）用Eviews软件建立y关于x的回归方程，并对模型和参数做假设检验； （2）求y t的点预测和平均木材剩余物产出量E(y t)的置信区间预测。 （3）假设乌伊岭林业局2000年计划采伐木材20万m3，求木材剩余物的点预测值。 三、解题思路 1、录非结构型的数据； 2、进行描述性统计，列出回归模型；通过看t、f等统计量，检验回归模型是否正确 3、运用forecast进行内预测（1-16样本），可以得到yf的点预测；再运用[yf+se]、[yf-se]进行区间估计（运用excel操作） 4、将样本范围改到17个，令x=20，运用forecast进行外预测（17-17） 四、实验过程记录与结果
翠峦11.69 32.7 乌马河 6.8 17 美溪9.69 27.3 大丰7.99 21.5 南岔12.15 35.5 带岭 6.8 17 朗乡17.2 50 桃山9.5 30 双丰 5.52 13.8 2、用Eviews软件建立y关于x的回归方程，并对模型和参数做假设检验；
模型为：y=0.404280x-0.762928 通过上表t、f统计量的p值<0.05，以及残差图基本在两倍标准差的范围内波动，可以得出该模型通过原假设。 3、求yt的点预测和平均木材剩余物产出量E(yt)的置信区间预测。Yt的点估计：
一元线性回归模型的置信区间与预测
§2.5 一元线性回归模型的置信区间与预测 多元线性回归模型的置信区间问题包括参数估计量的置信区间和被解释变量预测值的置信区间两个方面，在数理统计学中属于区间估计问题。所谓区间估计是研究用未知参数的点估计值（从一组样本观测值算得的）作为近似值的精确程度和误差范围，是一个必须回答的重要问题。 一、参数估计量的置信区间 在前面的课程中，我们已经知道，线性回归模型的参数估计量^ β是随机变量 i y 的函数，即：i i y k ∑=1?β，所以它也是随机变量。在多次重复抽样中，每次 的样本观测值不可能完全相同，所以得到的点估计值也不可能相同。现在我们用参数估计量的一个点估计值近似代表参数值，那么，二者的接近程度如何？以多大的概率达到该接近程度？这就要构造参数的一个区间，以点估计值为中心的一个区间（称为置信区间），该区间以一定的概率（称为置信水平）包含该参数。 即回答1β以何种置信水平位于() a a +-1 1?,?ββ之中，以及如何求得a 。 在变量的显著性检验中已经知道 ) 1(~^ ^ ---= k n t s t i i i βββ (2.5.1) 这就是说，如果给定置信水平α-1，从t 分布表中查得自由度为(n-k-1)的临界值 2 αt ，那么t 值处在() 22,ααt t -的概率是α-1。表示为 α αα-=<<-1)(2 2 t t t P 即 α ββαβα-=<-< -1)(2 ^ 2 ^ t s t P i i i
α ββββαβα-=?+<
基于多元线性回归模型的影响居民消费水平相关因素分析
计量分析软件课程论文 论文题目：基于多元线性回归模型的影响居民消费 水平相关因素分析 姓名：学号： 学院：专业： 联系电话： 年月日 基于多元线性回归模型的影响居民消费 水平相关因素分析 一、研究背景 中国GDP总量超越日本，成为仅次于美国的第二大经济体，但我国人均GDP 依然很低，全球排名87位，这很大程度上制约了居民消费水平的提高。到2020年实现全面建成小康社会的目标，十八大明确提出提高居民人均收入和人均消费水平，共享改革开放成果。我国居民消费水平在改革开放后有了很大提高，但消费水平依然很低，消费量占GDP比重依然很小。为此，本文旨在根据全国经济宏观政策、国内生产总值、职工平均工资指数、城镇居民消费价格指数、普通中学及高等学校在校生数、卫生机构数和基本设施铁路公路货运量等因素的变化情况，来分析如何提高居民消费水平，以判断是否能使居民消费水平有很大的提高。本文通过对1978-2010年影响居民消费水平因素数据的分析，找到影响居民消费水平的主要原因，通过计量经济分析方法来建立合理的模型，探讨影响居民消费增长的长期趋势规律，并给政府提出合理的建议，以提高居民消费水平。 二、影响居民消费水平的因素 宏观经济模型) + GDP- + + =,经济发展应该紧紧抓住消费这一 I (M C X G 驾马车，而居民消费水平的高低受制于多种因素。凯恩斯消费理论认为居民消费主要受收入影响，我国居民消费一直很低，消费意愿不强，本文通过计量分析找
到影响我国居民消费水平的主要因素，从根本上改善消费不足,促进我国经济的持续稳定健康发展。 消费分为居民消费和，居民消费包括农村居民消费和城镇居民消费。本文结合居民消费水平的影响因素，列出了国内生产总值、职工平均工资指数、城镇居民消费价格指数、普通中学及高等学校在校生数、卫生机构数和基本设施铁路公路货运量等相关因素，进行计量分析,得到回归模型。 三、居民消费水平模型的总体分析框架 （1）多元线性回归法OLS 概述[1] 回归分析是计量经济分析中使用最多的方法，在现实问题研究中，因变量往往受制于多个经济变量的影响，通过统计资料，根据多个解释变量的最优组合来建立回归方程预测被解释变量的回归分析称为多元线性回归法。其模型基本形式为： 其中0β、1β、2β、3β…k β是1+k 个未知参数，称为多元回归系数。Y 称为被解释变量，t X 1、t X 2、t X 3…kt X 是k 个可以精确测量和可控的一般解释变量， t μ是随机误差项。当2≥k 时，上式为多元线性回归模型。 （2）多元回归模型的建立 定义被解释变量和解释变量，被解释变量为居民消费水平(Y 元)，解释变量为国内生产总值(1X 亿元)、职工平均工资指数(2X )、城镇居民消费价格指数(3X )、普通中学及高等学校在校生数(4X 万人)、卫生机构数(5X 个)和基本设施铁路公路货运量(6X 万吨)。 （3）统计数据选取 本文所有数据均来自中国统计局和中国统计局外网中国统计年鉴。[2] 1978 184 21261 169732 195301 1979 208 175142 382929 1980 238 180553 493327 1981 264 190126 471336 1982 288 193438 492737 1983 316 196017 520197
多元线性回归分析预测法
多元线性回归分析预测法 (重定向自多元线性回归预测法) 多元线性回归分析预测法（Multi factor line regression method，多元线性回归分析法） [编辑] 多元线性回归分析预测法概述 在市场的经济活动中，经常会遇到某一市场现象的发展和变化取决于几个影响因素的情况，也就是一个因变量和几个自变量有依存关系的情况。而且有时几个影响因素主次难以区分，或者有的因素虽属次要，但也不能略去其作用。例如，某一商品的销售量既与人口的增长变化有关，也与商品价格变化有关。这时采用一元回归分析预测法进行预测是难以奏效的，需要采用多元回归分析预测法。 多元回归分析预测法，是指通过对两上或两个以上的自变量与一个因变量的相关分析，建立预测模型进行预测的方法。当自变量与因变量之间存在线性关系时，称为多元线性回归分析。 [编辑] 多元线性回归的计算模型[1] 一元线性回归是一个主要影响因素作为自变量来解释因变量的变化，在现实问题研究中，因变量的变化往往受几个重要因素的影响，此时就需要用两个或两个以上的影响因素作为自变量来解释
因变量的变化，这就是多元回归亦称多重回归。当多个自变量与因变量之间是线性关系时，所进行的回归分析就是多元性回归。 设y为因变量，为自变量，并且自变量与因变量之间为线性关系时，则多元线性回归模型为： 其中，b0为常数项，为回归系数，b1为固定时，x1每增加一 个单位对y的效应，即x1对y的偏回归系数；同理b2为固定时，x2每增加一个单位对y的效应，即，x2对y的偏回归系数，等等。如果两个自变量x1,x2同一个因变量y呈线相关时，可用二元线性回归模型描述为： 其中，b0为常数项，为回归系数，b1为固定时，x2每增加一 个单位对y的效应，即x2对y的偏回归系数，等等。如果两个自变量x1,x2同一个因变量y呈线相关时，可用二元线性回归模型描述为： y = b0 + b1x1 + b2x2 + e 建立多元性回归模型时，为了保证回归模型具有优良的解释能力和预测效果，应首先注意自变量的选择，其准则是： (1)自变量对因变量必须有显著的影响，并呈密切的线性相关； (2)自变量与因变量之间的线性相关必须是真实的，而不是形式上的； (3)自变量之彰应具有一定的互斥性，即自变量之彰的相关程度不应高于自变量与因变量之因的相关程度； (4)自变量应具有完整的统计数据，其预测值容易确定。 多元性回归模型的参数估计，同一元线性回归方程一样，也是在要求误差平方和()为最小的前提下，用最小二乘法求解参数。以二线性回归模型为例，求解回归参数的标准方程组为 解此方程可求得b0,b1,b2的数值。亦可用下列矩阵法求得
多元线性回归模型原理
研究在线性关系相关性条件下，两个或者两个以上自变量对一个因变量，为多元线性回归分析，表现这一数量关系的数学公式，称为多元线性回归模型。多元线性回归模型是一元线性回归模型的扩展，其基本原理与一元线性回归模型类似，只是在计算上为复杂需借助计算机来完成。 计算公式如下： 设随机y与一般变量X1,X2,L X k的线性回归模型为： 其中°, 1,L k是k 1个未知参数，°称为回归常数，「L k称为回归系数；y称为被解释变量；x1, X2,L x k是k个可以精确可控制的一般变量，称为解释变量。 当P 1时，上式即为一元线性回归模型，k 2时，上式就叫做多元形多元回归模型。是随机误差，与一元线性回归一样，通常假设 同样，多元线性总体回归方程为y °1x1 2x2 L k x k 系数1表示在其他自变量不变的情况下，自变量乂［变动到一个单位时引起的因变量y 的平均单位。其他回归系数的含义相似，从集合意义上来说，多元回归是多维空间上的一个平面。 多元线性样本回归方程为：? ?° ?1x1 ?2x2 L ?k x k 多元线性回归方程中回归系数的估计同样可以采用最小二乘法。由残差平方和：SSE (y ?) 0 根据微积分中求极小值得原理，可知残差平方和SSE存在极小值。欲使SSE达到 最小，SSE对 °, 1丄k的偏导数必须为零。 将SSE对 ° ,1丄k求偏导数，并令其等于零，加以整理后可得到k 1各方程 SSE 式：—— 2 (y ?) ° i 通过求解这一方程组便可分别得到°, 1,L k的估计值，彳，?…?k回归 系数的估计值，当自变量个数较多时，计算十分复杂，必须依靠计算机独立完成。现在，利用SPSS，只要将数据输入，并指定因变量和相应的自变量，立刻就能得到结果。 对多元线性回归，也需要测定方程的拟合程度、检验回归方程和回归系数的显着性。
多元线性回归模型案例
我国农民收入影响因素的回归分析 本文力图应用适当的多元线性回归模型,对有关农民收入的历史数据和现状进行分析,探讨影响农民收入的主要因素,并在此基础上对如何增加农民收入提出相应的政策建议。?农民收入水平的度量常采用人均纯收入指标。影响农民收入增长的因素是多方面的，既有结构性矛盾因素，又有体制性障碍因素。但可以归纳为以下几个方面：一是农产品收购价格水平。二是农业剩余劳动力转移水平。三是城市化、工业化水平。四是农业产业结构状况。五是农业投入水平。考虑到复杂性和可行性，所以对农业投入与农民收入，本文暂不作讨论。因此，以全国为例，把农民收入与各影响因素关系进行线性回归分析，并建立数学模型。 一、计量经济模型分析 (一)、数据搜集 根据以上分析，我们在影响农民收入因素中引入7个解释变量。即：2x -财政用于农业的支出的比重，3x -第二、三产业从业人数占全社会从业人数的比重，4x -非农村人口比重，5x -乡村从业人员占农村人口的比重，6x -农业总产值占农林牧总产值的比重，7x -农作物播种面积，8x —农村用电量。
资料来源《中国统计年鉴2006》。 (二)、计量经济学模型建立 我们设定模型为下面所示的形式： 利用Eviews 软件进行最小二乘估计，估计结果如下表所示： DependentVariable:Y Method:LeastSquares Sample: Includedobservations:19 Variable Coefficient t-Statistic Prob. C X1 X3 X4 X5 X6 X7 X8 R-squared Meandependentvar AdjustedR-squared 表1最小二乘估计结果 回归分析报告为： () ()()()()()()()()()()()()()()() 2345678 2? -1102.373-6.6354X +18.2294X +2.4300X -16.2374X -2.1552X +0.0100X +0.0634X 375.83 3.7813 2.066618.37034 5.8941 2.77080.002330.02128 -2.933 1.7558.820900.20316 2.7550.778 4.27881 2.97930.99582i Y SE t R ===---=230.99316519 1.99327374.66 R Df DW F ====二、计量经济学检验 (一)、多重共线性的检验及修正 ①、检验多重共线性 (a)、直观法 从“表1最小二乘估计结果”中可以看出，虽然模型的整体拟合的很好，但是x4x6
多元线性回归预测模型论文
多元线性回归统计预测模型 摘要:本文以多元统计分析为理论基础，在对数据进行统计分析的基础上建立多元线性回归模型并对未知量作出预测,为相关决策提供依据和参考。重点介绍了模型中参数的估计和自变量的优化选择及简单应用举例。 关键词：统计学;线性回归;预测模型 一．引言 多元线性回归统计预测模型是以统计学为理论基础建立数学模型，研究一个随机变量Ｙ与两个或两个以上一般变量X 1,X ２，…,Xp 之间相依关系,利用现有数据,统计并分析，研究问题的变化规律，建立多元线性回归的统计预测模型,来预测未来的变化情况。它不仅能解决一些随机的数学问题,而且还可以通过建立适当的随机模型进而解决一些确定的数学问题,为相关决策提供依据和参考。 目前统计学与其他学科的相互渗透为统计学的应用开辟新的领域。并被广泛的应用在各门学科上,从物理和社会科学到人文科学，甚至被用来工业、农业、商业及政府部门。而多元线性回归是多元统计分析中的一个重要方法,被应用于众多自然科学领域的研究中。多元线性回归分析作为一种较为科学的方法,可以在获得影响因素的前提下，将定性问题定量化，确定各因素对主体问题的具体影响程度。 二.多元线性回归的基本理论 多元线性回归是多元统计分析中的一个重要方法，被广泛应用于众多自然科学领域的研究中。多元线性回归分析的基本任务包括:根据因变量与多个自变量的实际观测值建立因变量对多个自变量的多元线性回归方程；检验、分析各个自变量对因自变量的综合线性影响的显著性；检验、分析各个自变量对因变量的单纯线性影响的显著性，选择仅对因变量有显著线性影响的自变量，建立最优多元线性回归方程;评定各个自变量对因变量影响的相对重要性以及测定最优多元线性回归方程的偏离度等。由于多数的多元非线性回归问题都可以化为多元线性回归问题,所以这里仅讨论多元线性回归。许多非线性回归和多项式回归都可以化为多元线性回归来解决,因而多元线性回归分析有着广泛的应用。 2.1 多元线性回归模型的一般形式 设随机变量y 与一般变量12,, ,p x x x 线性回归模型为 01122...p p y x x x ββββε=+++++ （2.1） 模型中Ｙ为被解释变量(因变量）,而12,,,p x x x 是p 个可以精确测量并可控制的一般变 量，称为解释变量（自变量）。p ＝1时，(２.1)式即为一元线性回归模型，p 大于2时，(2.1)
回归大作业-基于多元线性回归的期权价格预测模型
基于多元线性回归的期权价格预测模型 王某某 （北京航空航天大学计算机学院北京100191）1 摘要：期权是国际市场成熟、普遍的金融衍生品，是金融市场极为重要的金融工具。2015年2月9日，上海证券交易所正式推出了我国首支场内交易期权——上证50ETF期权，翻开了境内场内期权市场的新篇章。50ETF期权上市以来，市场规模逐步扩大，其发展情况境外期权产品相同时期。本文以此为研究背景，以“50ETF购12月1.95”这支期权为研究对象，以今日开盘价、收盘价、最高价、最低价、结算价、成交量、成交额、持仓量、涨停价和跌停价为解释变量，通过多元线性回归模型，预测该期权的明日收盘价。本次研究以多元线性回归的全模型（模型1）为出发点，通过异方差检验、残差的独立性检验、误差的正太分布检验以及多重共线性检验，说明该模型不违反回归的基本假设条件。进而通过主成分回归（模型4）和逐步回归（模型5）进行降维，结果表明因变量与解释变量之间存在强烈的线性相关关系，且主成分回归和逐步回归相比全模型有更好的预测能力。 关键词：期权价格多元线性回归50ETF 多重共线性因子分析 一、引言 期权（option）是依据合约形态划分的一种衍生品，指赋予其购买方在规定期限内按买卖双方约定的价格（即协议价格或行权价格）购买或者出售一定数量某种金融资产（即标的资产）的权利的合约。期权购买方为了获得这个权利，必须支付给期权出售方一定的费用，称为权利金或期权价格[1]。 2015年2月9日，上海证券交易所正式推出了我国首支场内交易期权——上证50ETF，翻开了境内场内期权市场的新篇章。期权是与期货并列的基础衍生产品，是金融市场极为重要的金融工具之一。 自50ETF上市以来，市场规模逐步扩大。2015年2月日均合约成交面值为5.45亿元，12月就达到了47.69亿元，增长了7.75倍；2月日均合约成交量为2.33万张，12月就达到了19.81万张，增长了7.5倍；2月权利金总成交额为2.48亿元，12月就达到了35.98亿元，增长了13.51倍[1]。 我国股票市场有上亿的个人投资者，是一个较为典型的散户市场[1]。相较于专业投资机构讲，散户缺乏时间，精力以及专业分析，投资具有很大的投机行为。对于这些投资者来说，期权价格的变动则是他们最为关注的问题，其变化直接影响到自身的收益。在实际情况中，影响股票价格的因素很多，涉及到金融政策、利率政策以及国际市场等因素，其作用机制也相当复杂[2]。因此，对于期权价格预测的研究，则可以降低投资者的投资风险，及时调整投资结构，从而保障自身的收益。 1作者简介：王某某，北京航空航天大学研究生邮箱：bnuwjx@https://www.360docs.net/doc/8c287579.html,。
第三章多元线性回归模型(stata)
一、邹式检验（突变点检验、稳定性检验） 1.突变点检验 1985—2002年中国家用汽车拥有量（t y ，万辆）与城镇居民家庭人均可支配收入（t x ，元），数据见表。 表 中国家用汽车拥有量（t y ）与城镇居民家庭人均可支配收入（t x ）数据 年份 t y （万辆） t x （元） 年份 t y （万辆） t x （元） 1985 1994 1986 1995 4283 1987 1996 1988 1997 1989 1998 1990 1999 5854 1991 2000 6280 1992 2001 1993 2002 下图是关于t y 和t x 的散点图：
从上图可以看出，1996年是一个突变点，当城镇居民家庭人均可支配收入突破元之后，城镇居民家庭购买家用汽车的能力大大提高。现在用邹突变点检验法检验1996年是不是一个突变点。 ：两个字样本（1985—1995年，1996—2002年）相对应的模型回归参数相等H H ：备择假设是两个子样本对应的回归参数不等。 1 在1985—2002年样本范围内做回归。
在回归结果中作如下步骤(邹氏检验)： 1、 Chow 模型稳定性检验（lrtest） 用似然比作chow检验，chow检验的零假设：无结构变化，小概率发生结果变化* 估计前阶段模型 * 估计后阶段模型 * 整个区间上的估计结果保存为All * 用似然比检验检验结构没有发生变化的约束 得到结果如下;
(如何解释) 2.稳定性检验（邹氏稳定性检验） 以表为例，在用1985—1999年数据建立的模型基础上，检验当把2000—2002年数据加入样本后，模型的回归参数时候出现显著性变化。 * 用F-test作chow间断点检验检验模型稳定性 * chow检验的零假设：无结构变化，小概率发生结果变化 * 估计前阶段模型 * 估计后阶段模型 * 整个区间上的估计结果保存为All
matlab建立多元线性回归模型并进行显著性检验及预测问题
matlab建立多元线性回归模型并进行显着性检验及预测问题 例子; x=[143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158 159 160 162 164]'; X=[ones(16,1) x]; 增加一个常数项Y=[88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 100 102]'; [b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X) 得结果：b = bint = stats = 即对应于b的置信区间分别为[，]、[,]; r2=, F=, p= p<, 可知回归模型y=+ 成立. 这个是一元的，如果是多元就增加X的行数！ function [beta_hat,Y_hat,stats]=regress(X,Y,alpha) % 多元线性回归(Y=Xβ+ε)MATLAB代码 %？ % 参数说明 % X：自变量矩阵，列为自变量，行为观测值 % Y：应变量矩阵，同X % alpha：置信度，[0 1]之间的任意数据 % beta_hat：回归系数 % Y_beata：回归目标值，使用Y-Y_hat来观测回归效果 % stats：结构体，具有如下字段 % =[fV,fH]，F检验相关参数，检验线性回归方程是否显着 % fV：F分布值，越大越好，线性回归方程越显着 % fH：0或1，0不显着；1显着(好) % =[tH,tV,tW]，T检验相关参数和区间估计，检验回归系数β是否与Y有显着线性关系 % tV：T分布值，beta_hat(i)绝对值越大,表示Xi对Y显着的线性作用% tH：0或1，0不显着；1显着 % tW：区间估计拒绝域，如果beta(i)在对应拒绝区间内，那么否认Xi对Y显着的线性作用 % =[T,U,Q,R]，回归中使用的重要参数 % T：总离差平方和，且满足T=Q+U % U：回归离差平方和 % Q：残差平方和 % R∈[0 1]：复相关系数，表征回归离差占总离差的百分比，越大越好% 举例说明 % 比如要拟合y=a+b*log(x1)+c*exp(x2)+d*x1*x2，注意一定要将原来方程线化% x1=rand(10,1)*10; % x2=rand(10,1)*10; % Y=5+8*log(x1)+*exp(x2)+*x1.*x2+rand(10,1); % 以上随即生成一组测试数据 % X=[ones(10,1) log(x1) exp(x2) x1.*x2]; % 将原来的方表达式化成Y=Xβ，注意最前面的1不要丢了
一元线性回归分析实验报告
一元线性回归在公司加班制度中的应用 院（系）： 专业班级： 学号姓名： 指导老师： 成绩： 完成时间：
一元线性回归在公司加班制度中的应用 一、实验目的 掌握一元线性回归分析的基本思想和操作，可以读懂分析结果，并写出回归方程，对回归方程进行方差分析、显著性检验等的各种统计检验 二、实验环境 SPSS21.0 windows10.0 三、实验题目 一家保险公司十分关心其总公司营业部加班的程度，决定认真调查一下现状。经10周时间，收集了每周加班数据和签发的新保单数目，x 为每周签发的新保单数目，y 为每周加班时间（小时），数据如表所示 y 3.5 1.0 4.0 2.0 1.0 3.0 4.5 1.5 3.0 5.0 2. x 与y 之间大致呈线性关系？ 3. 用最小二乘法估计求出回归方程。 4. 求出回归标准误差σ∧ 。 5. 给出0 β∧与1 β∧ 的置信度95%的区间估计。 6. 计算x 与y 的决定系数。 7. 对回归方程作方差分析。 8. 作回归系数1 β∧ 的显著性检验。 9. 作回归系数的显著性检验。 10.对回归方程做残差图并作相应的分析。
11.该公司预测下一周签发新保单01000 x=张，需要的加班时间是多少？ 12.给出0y的置信度为95%的精确预测区间。 13.给出 () E y的置信度为95%的区间估计。 四、实验过程及分析 1.画散点图 如图是以每周加班时间为纵坐标，每周签发的新保单为横坐标绘制的散点图，从图中可以看出，数据均匀分布在对角线的两侧，说明x和y之间线性关系良好。 2.最小二乘估计求回归方程
用SPSS 求得回归方程的系数01,ββ分别为0.118,0.004，故我们可以写出其回归方程如下： 0.1180.004y x =+ 3.求回归标准误差σ∧ 由方差分析表可以得到回归标准误差：SSE=1.843 故回归标准误差： 2= 2SSE n σ∧-，2σ∧=0.48。 4.给出回归系数的置信度为95%的置信区间估计。 由回归系数显著性检验表可以看出，当置信度为95%时：
多元线性回归模型基于spss分析
多元线性回归模型 SPSS分 析 学院：数信学院 姓名：唐姣
学号：20124668 班级：统计3班 1.数据生成 根据给定回归模型Y=β0+β1*x1+β2*x2+err 生成100个生成数组（见附表格），其中=105、=0.5,、 =-0.3、err~N(50,6). 建立散点图
由图得知y与x1的线性关系为
由图得知y与x2的线性关系为 综合以上各个变量与y的关系可以综合得知各个x与y的关系为：Y=β0+β1*x1+β2*x2+err 其中：y~被解释变量（因变量）、x1, x2、x3~解释变量(回 归变量, 自变量)b、~回归系数e~随机误差（均值为零的正态分布随机变量） 2.模型拟合概述 列出模型的R、R2、调整的R2和估计标准差，R2
越大反应了两变量的共变量比率越高，模型与数据的拟合程度越好。 Model Summary b Model R R Square Adjusted R Square Std. Error of the Estimate 1 1.000a 1.000 1.000 .000000179752611 a. Predictors: (Constant), err, x1, x2 本例所用数据拟合结果显示：所考察的自变量和因变量之间的相关系数为1.000，拟合线性回归的确定性系数为 1.000，经调整后的确定性系数为 1.000，估计标准差0.000000179752611。 3.方差分析表 列出了变异源、自由度、均方、F值及对F的显著性检验
ANOVA b Model Sum of Squares df Mean Square F Sig. 1 Regressio n 4705.011 3 1568.337 . .000a Residual .000 97 .000 Total 4705.011 100 a. Predictors: (Constant), err, x1, x2 b. Dependent Variable: y 本例中回归方程显著性检验结果表明：回归平方和为4705.011，残差平方和0.000，总平方和为4705.011，对应的F统计量的值为0.000，显著性水平小于0.05，可以认为所建立的回归方程有效。 4.回归系数表 Coefficients a Model Unstandardized Coefficients Standardized Coefficients t Sig. 95% Confidence Interval for B B Std. Error Beta Lower Bound Upper Bound 1 (Constant) 105.000 .000 1.559E8 .000 105.000 105.000 x1 .500 .000 .303 1.118E8 .000 .500 .500 x 2 -.300 .000 -.13 3 -4.885E7 .000 -.300 -.300
(完整word版)多元线性回归模型案例分析
多元线性回归模型案例分析 ——中国人口自然增长分析一·研究目的要求 中国从1971年开始全面开展了计划生育,使中国总和生育率很快从1970年的5.8降到1980年2.24,接近世代更替水平。此后，人口自然增长率（即人口的生育率）很大程度上与经济的发展等各方面的因素相联系，与经济生活息息相关，为了研究此后影响中国人口自然增长的主要原因，分析全国人口增长规律，与猜测中国未来的增长趋势，需要建立计量经济学模型。 影响中国人口自然增长率的因素有很多，但据分析主要因素可能有：（1）从宏观经济上看，经济整体增长是人口自然增长的基本源泉；（2）居民消费水平，它的高低可能会间接影响人口增长率。(3)文化程度，由于教育年限的高低，相应会转变人的传统观念，可能会间接影响人口自然增长率（4）人口分布，非农业与农业人口的比率也会对人口增长率有相应的影响。 二·模型设定 为了全面反映中国“人口自然增长率”的全貌，选择人口增长率作为被解释变量，以反映中国人口的增长；选择“国名收入”及“人均GDP”作为经济整体增长的代表；选择“居民消费价格指数增长率”作为居民消费水平的代表。暂不考虑文化程度及人口分布的影响。 从《中国统计年鉴》收集到以下数据（见表1）： 表1 中国人口增长率及相关数据
设定的线性回归模型为： 1222334t t t t t Y X X X u ββββ=++++ 三、估计参数 利用EViews 估计模型的参数，方法是： 1、建立工作文件：启动EViews ，点击File\New\Workfile ，在对 话框“Workfile Range ”。在“Workfile frequency ”中选择“Annual ” (年度)，并在“Start date ”中输入开始时间“1988”，在“end date ”中输入最后时间“2005”，点击“ok ”，出现“Workfile UNTITLED ”工作框。其中已有变量：“c ”—截距项 “resid ”—剩余项。在“Objects ”菜单中点击“New Objects”，在“New Objects”对话框中选“Group”，并在“Name for Objects”上定义文件名，点击“OK ”出现数据编辑窗口。 年份 人口自然增长率 （%。） 国民总收入（亿元） 居民消费价格指数增长 率（CPI ）% 人均GDP （元） 1988 15.73 15037 18.8 1366 1989 15.04 17001 18 1519 1990 14.39 18718 3.1 1644 1991 12.98 21826 3.4 1893 1992 11.6 26937 6.4 2311 1993 11.45 35260 14.7 2998 1994 11.21 48108 24.1 4044 1995 10.55 59811 17.1 5046 1996 10.42 70142 8.3 5846 1997 10.06 78061 2.8 6420 1998 9.14 83024 -0.8 6796 1999 8.18 88479 -1.4 7159 2000 7.58 98000 0.4 7858 2001 6.95 108068 0.7 8622 2002 6.45 119096 -0.8 9398 2003 6.01 135174 1.2 10542 2004 5.87 159587 3.9 12336 2005 5.89 184089 1.8 14040 2006 5.38 213132 1.5 16024
多元线性回归模型的各种检验方法
对多元线性回归模型的各种检验方法 对于形如 u X X X Y k k +++++=ββββ 22110 （1） 的回归模型，我们可能需要对其实施如下的检验中的一种或几种检验： 一、 对单个总体参数的假设检验：t 检验 在这种检验中，我们需要对模型中的某个（总体）参数是否满足虚拟假设0 H ：j j a =β，做出具有统计意义（即带有一定的置信度）的检验，其中j a 为某个给定的已知数。特别是，当j a =0时，称为参数的（狭义意义上的）显著性检验。如果拒绝0H ，说明解释变量j X 对 被解释变量Y 具有显著的线性影响，估计值j β?才敢使 用；反之，说明解释变量j X 对被解释变量Y 不具有显 著的线性影响，估计值j β?对我们就没有意义。具体检验 方法如下： （1） 给定虚拟假设 0H ：j j a =β；
（2） 计算统计量 )?(?)?()(?j j j j j j Se a Se E t βββββ-=-= 的数值； 11?)?(++-==j j jj jj j C C Se 1T X)(X ，其中σβ （3） 在给定的显著水平α下（α不能大于1.0即 10%，也即我们不能在置信度小于90%以下的前提下做结论），查出双尾t （1--k n ）分布的临界值2/αt ； （4） 如果出现 2/αt t >的情况，检验结论为拒绝 0H ；反之，无法拒绝0H 。 t 检验方法的关键是统计量 )?(?j j j Se t βββ-=必须服从已 知的t 分布函数。什么情况或条件下才会这样呢？这需要我们建立的模型满足如下的条件（或假定）： （1） 随机抽样性。我们有一个含n 次观测的随机样(){}n i Y X X X i ik i i ,,2,1:,,,,21 =。这保证了误差u 自身的随机性，即无自相关性，
多元线性回归模型论文农村居民收入论文
多元线性回归模型论文农村居民收入论文：基于多元线性回归模型的 农村居民收入增长分析 摘要：针对影响安徽省农村居民收入的因素进行分析，再运用实证方法对1995-2009年的经济统计数据进行分析，从而得到影响安徽省农村居民纯收入的多元线性回归模型，通过对模型的验证能有效的预测安徽农村居民的收入增长趋势并能对安徽省农村地区的政策措施提供参考建议。 关键词：影响因素；农村居民收入；多元线性回归模型 0 引言 社会主义新农村建设的首要任务是发展现代农业，其核心是增加农民收入。改革开放30多年来，安徽农民收入的变化大致经历了以下5个阶段：1978-1980年高速增长阶段，农民人均纯收入由1978年的113.34元增加到1981年的246.49元，年均增长29.6%；1982-1991年相对低速增长阶段，其中1991年出现了负增长，农民收入下降了17.3%；1992-1996年为较快增长阶段年增长率均在20%以上；1997-2003年又为低速徘徊阶段；2004-2009年为恢复性较快增长阶段，增速均达到了两位数，从2004年的2499.3元增加到2009年的4504.3元。但是整个农民纯收入的增长与城镇居民的收入相比，表现出了增长缓慢、差距越来越大的趋势。为此本文根据整个国民经济的发展以及安徽省农业产业政策的调整变化、农村居民自身人力资本的积累等因素的变化情况，对安徽省农村居民纯收入的中长期趋势进行
合理的预测，通过对1995-2009年安徽农村居民人均纯收入等经济统计数据的分析，运用多元线性回归方法建立模型，找出影响安徽农村居民纯收入最主要的因素，为安徽省农村产业政策提供建议。 1 影响安徽农村居民纯收入的影响因素 1.1 工资收入对安徽农村居民纯收入的影响 改革开放以来，作为人口大省的安徽，一直是劳务输出大省，农村居民的外出劳务时间越来越长，从事的职业越来越多。如表1所示，人均工资性收入在安徽农村居民人均总收入中所占的比重越来越大，由1995年的11.6%增长到2009年的31.4%，由1995年的234.21元增长到了2009年的1882.42元，十五年增加了1648.21元。 1.2 人均农林牧渔业总产值对安徽农村居民纯收入的影响 从近几年看，安徽农村居民的年纯收入稳步增长。一方面是由于党中央、国务院高度重视农民收入问题，连续6年出台涉农“一号文件”，取消了农业税和农产品特产税，推行了粮食直补和综合补贴等积极扶农的财政政策，不断的调整农业产业结构等；一方面由于安徽省近年来农业机械化程度不断提高，以及农业科技的发展和较好的种养殖天气环境等为农产品稳产、高产提供了坚实基础，安徽省农林牧渔业总量不断创出新高。如图1、图2示，农业机械总动力由1995年的1836万千瓦增加到2009年的5108.8万千瓦。安徽省农林牧渔业总值有1995年的980.26亿元增加到2009年的2569.46亿元。 数据来源：安徽省国民经济和社会发展公报（1995-2009）；安
多元线性回归分析模型
企业销售额影响因素分析及回归模型学号：1003131014 姓名：李绍林班级：10级人力资源管理 一、问题提出 （一）研究问题： 随着市场经济的进一步发展，也加剧了企业在市场运行中的不确定性，如何在复杂多变的市场中占据主导，如何在经济流通的过程中，充分利用各种有利的因素，来确保企业销售额的增长，如何控制经济流通中的各项开支，如何组合来服务于企业销售额的增长。因此，在这里通过分析某家公司的企业销售状况，试图研究影响企业销售额的各因素及其之间的关系，建立企业销售额及其因素的回归模型，并进行经济分析。（二）数据来源 某企业开支与销售额关系表：
二、定性分析 为了研究企业销售额的影响因素，我们对相关数据进行简单的定性分析，并各因素同因变量的相关关系做了一个简单的预测。 个人可支配收入反映一个地区或市场上消费者的购买能力，单独来看，应与企业的销售额呈正相关关系，即企业产品的目标市场群体的个人可支配收入起高，企业所能获得的销售额也会相应提高。 商业回扣是企业为了改善销售商之间的关系，同时加强同销售商之间的合作，通过商业回扣的方式来吸引销售商，商业回扣作为企业的一个重要的营销策略，这也会减少企业的利润，商业回扣作为影响企业销售额的重要因素，商业回扣投入情况同企业的销售额多少有一定的关系。 商品价格能够通过企业产品的需求来影响企业的销售量，两者共同作用于企业的销售额，是影响企业销售额的一个关系因子。如何制定价格策略来提高企业的销售额，具有重要的现实意义。 研究与发展经费反映企业的研发能力和对市场的捕捉能力，能够适应市场需求来适应开发新的产品，不断开拓新的市场，提高产品的质量和水平，这能够为企业的扩大市场份额和企业销售额的提高。 广告费用是企业为了对产品进行推广和让消费者更好地了解产品和创造需求，引导消费者的购买欲望，同时有利于树立产品和企业的形象。当然广告费用的支出也是影响企业销售额的一个重要因子。 销售费用是企业为了产品的销售在产品的流通和销售过程中发生的一系列费用的总和，其与企业的销售额有一定的关系。 因此，我们选择企业的销售额作为被解释变量y ，选取个人可支配收入、商业回扣、商品价格、研究与发展经费、广告费、销售费作为解释变量，分别设其为x1、x2、x3、x4、x5、x6 。 三、相关分析 （一）数据基本描述 Descriptive Statistics
线性回归和灰色预测模型案例
预测未来2015年到2020年的货运量 灰色预测模型 是通过少量的、不完全的信息，建立数学模型并做出预测的一种预测方法.当我们应用运筹学的思想方法解决实际问题，制定发展战略和政策、进行重大问题的决策时，都必须对未来进行科学的预测. 预测是根据客观事物的过去和现在的发展规律，借助于科学的方法对其未来的发展趋势和状况进行描述和分析，并形成科学的假设和判断. 灰色系统的定义 灰色系统是黑箱概念的一种推广。我们把既含有已知信息又含有未知信息的系统称为灰色系统.作为两个极端，我们将称信息完全未确定的系统为黑色系统；称信息完全确定的系统为白色系统.区别白色系统与黑色系统的重要标志是系统各因素之间是否具有确定的关系。
建模原理 模型的求解
原始序列为： ) 16909 15781 13902 12987 12495 11067 10149 9926 9329 10923 7691())6(),...1(()0()0()0(==x x x 构造累加生成序列 ) 131159,114250,98469,84567,71580,59085, 48018,37869,27943,18614,7691())6(),...1(()1()1()1(==x x x 归纳上面的式子可写为 称此式所表示的数据列为原始数据列的一次累加生成，简称为一次累加生成. 对(1)X 作紧邻均值生成 ,.... 2)) 1()((21)()1() 1() 1(=-+=k k z k z k z MATLAB 代码如下： x=[7691 18614 27943 37869 48018 590857 71580 84567 98469 114250 131159]; z(1)=x(1); for i=2:6 z(i)=0.5*(x(i)+x(i-1)); end format long g z z = Columns 1 through 3 7691 13152.5 23278.5 Columns 4 through 6 32906 42943.5 319437.5