初中裂项求和问题(可编辑修改版)
初中数学解题研究：
裂项求和问题（分数类）
难道者：四川崇州平生曜曜摘要：本文由浅入深介绍了初中数学中一些特殊分数串求和
的个例，由最初的非裂项归纳手段逐渐过渡到后期的裂项式高效手段，并在本文所议范围内总结了裂项求和的右脑记忆诗。文中涉及了数学解题的部分规律，如数学思想、思维策略等，还模拟了一场教学启发的理想化进程。最后笔者把数学母题比作一颗星舍，解题就好比是在房舍里整理物饰，有时我们会触碰到一些窗户，于里外窥，会洞见星野，星夜灿烂，牵引导航。文末的最后一道思考题为笔者偶开了一扇视窗，深为动情，随饮醉吟唱，为觅知音，抛砖引玉，不知几何！
关键词：单独形式，申述，归纳，转化，旧模式，新环境，
做题不能白做，过程与结论，窥望
备注：文本中没有明显标记行文脉络，请留意“问题（一）”至“问题（七）”的字眼即可！
正文
“裂项求和”这个概念所指代的是一种专门针对“某类题”的解题方法，自从此法被命名为“裂项求和”而被考生广而所知以后，他们便开始以这种高效而冰冷的手法偶逢时机地收割分数。
中、高考分数是进入名校的敲门砖，大气文凭是进入理想行业的敲门砖，足见提高考分是考生的迫切需要，是家长的迫切期待。提高考分总是主管部门难以释怀的心理情愫，更是达官草民观想教学有效性的无情准则。
面对数学考卷上百分之七十到八十的中、低档考题，考生若不能快速而准确地作答，就已经在时间的掌控上沦为弱者，要想在更短的时间内抓获难题分数，若用痴人说梦形之有过，那用力不从心形之可否？
裂项求和当属那百分之二十到三十的难题一类，考生在考场若有幸重逢，且能速速斩之，足足可叹三生有幸。但命题者岂能如此鲁莽让吾等轻易得成？如果裂项求和是初中教材上的基本技能，那么将之设成中考题的概率极高，但若不是，那么命题者偶却将之铺于考卷之上时，意欲又作何为？是想检验考生的运气吗？你看，这个考生恰好掌握了裂项求和的技能，他一下就把分数抓稳当了！这能是命题者的意图吗？真若如此，把烫手类分数全寄挂在考生的运气上，试问这样的考试何以有公平性可言？所以目前中考若选用裂项求和作为考题，那它一定不会以如下外貌形式单独出现在考生眼前：
单独形式（1）：求的值.100
991431321211?++?+?+? 单独形式（2）：求的值.()
11431321211+++?+?+?n n
单独形式（3）：求的值.100
991131211211111101?++?+?+? 单独形式（4）：求的值.100
981161411412112101?++?+?+? 单独形式（5）：求的值.100
983161431412312103?++?+?+? 单独形式（6）：求的值.100
975191651613513105?++?+?+? 单独形式（7）：求的值.100
98115131141211311112101?++?+?+?+? 以上7个外貌形式，（1）、（2）当属一类，（3）可勉强自成一类，
（4）、（5）、（6）实属一类，（7）必单成一类。但这四种类型都指向裂项求和某一具体题型，都有相应的技能策略能有效破之。如果这种“非教材基本技能”的试题以“上述外貌之凶相”公诸于考场，那么不免有人运气极佳，当然见好就收，随之感叹题海游泳真是靠谱；而有人迷雾重重，自然无能为力，却要吐槽考试就像打打酱油；但有人迷雾渐散，然则力不从心，必然悲叹考试时短无不痛苦。这公平吗？个中理由种种：有的老师讲过，有的老师还未讲过；有的老师粗略讲过，有的老师细致讲过；有的考生练过，有的考生还未练过；有的考生练得一头雾水，主动遗忘；有的考生练得似是而非，难辨真伪；有的考生练得洞若观火，修成条件反射；有的考生练致明心有悟，修成思维之术。如果考生凭借“条件反射”而抓到分数，
那么这是数学教学的成效，让我们去畅游题海吧！如果考生凭借“思维之术”而挣到分数，那么这是数学教育的功效，让我们去研究解题吧！
教学卓有成效，这是敲门砖，它能让人跨进长足发展的平台，教育欲求功效，这不是闭门羹，这是手拽庭院敲门砖，腰束厅堂金钥匙。追寻数学教学与数学教育的平衡地带是笔者呈现弊文之初衷，诸亲且容我昏眼欲见明晰，拙手胡作细微，抛砖引玉一盘，只期奇文共赏。
命题者岂能如此鲁莽让吾等轻易得成？还是回归这个问题继续行文，如果命题者欲命制裂项求和的中考题，那么他必然还要在题干上雕花树叶，叶儿易在解题思路上给考生铺路，花儿能在解题思维上让考生明悟。说白了就是要将裂项求和问题以“阅读理解”的外貌呈现，然后设立问题串，让考生逐一解答，有难易梯度，层层推进。这样考生即使抓不到满分，也可以尽量多挣分，命题者意在关键处考查考生识别变式的能力，触摸考生的阅读领悟的能力，以及能否恰逢时机地重组与调配新旧知识的能力，这明明就是在品酒数学教育，翁之意不在布局分数，在乎思维导航引领之间也，足见命题用心可谓良苦。
废话少说，上题来，先踩踏那些单独形式，让我们去历经一个跌宕起伏的火热过程探索，去捕捉一些高效简练的冰冷数学结论。请有空闲之读者徐徐推进问题（一）至问题（七）的探程：
问题（一）：求的值.100
991431321211?++?+?+? 〈申述1〉：假设学生能识别出这种裂项题型，并熟练掌握了裂项技能，那么他自然能快速作答.解：原式??
? ??-+??? ??-++??? ??-+??? ??-+??? ??-=1001991991981413131212111
100
1
1-
=10099=〈申述2〉：假设学生对裂项求和的大名，以及对类似于裂项求和的操作手法，闻所未闻，更假设这是学生自己臆造的一道题，那么他自然不会肯定此题应有简便方法，甚至他压根就不会去探索此题有无所谓简便方法。他充其量大致去观想一下，哦！原式可化为：，然后利用通分绝对可以做出来，接下来9900
1970211216121+++++ 他会自嘲道：“谁会闲着没事去思考这个毫无价值而又不着边际的问题，我承认这个问题是有结果，但这与没有结果难道会有分别吗？”
〈申述3〉：假设这是一道考试题，且假设此考生对裂项求和闻所未闻，又假设此考生是一个爱动脑筋，且又知道“怎样去动脑筋”的人，最后还必须针对考试策略问题补充一个假设，即该考生把卷子上的其它题都做好了，他目前正为此题烧脑，有强烈的挣分决心！
那么，这个聪明的娃儿会怎样去想呢？或者说平时遇到这道题，他的老师该怎样引导他去探索呢？
对了！当我们在思考“复杂的大数字”问题，亦或是“抽象的字母”问题时，如果我们感到一头雾水，不明就里，那么我们可以先借助一些“具体而简单”的数字来充当我们的“助探”，即所谓投石问路。等悟出了个中玄机，我们再回首处置，才显游刃有余，此恰迎合见机行事一说，可谓不见玄机，不去莽撞。
站在思维方式策略的角度来看，这是暂弃“一般性”，先究“特殊性”。
〈探索〉：我们暂时抛弃原题，先来探究一些简单的复杂“辅助题”：①、求
？=?2
11答：；2
1=②、求？=?+?3
21211答：；3
232121=?+③、求？=?+?+?4
31321211答：；4343132=?+如果还未见个中玄机，我们可以再多投几个石头，直到前路明朗！④、求
？=?+?+?+?5
41431321211答：；5454143=?+
……
当序列号为“n ”时，容易归纳出其中规律，回归“一般性”：()结论（一）→+=+++?+?+?1
n n 11431321211n n 现在考生可以开始解题作答：求的值.100
991431321211?++?+?+? 解：原式1
9999+=，可能影响得分！此过程让人觉得太突然→=10099充其量，像这样来弥补：解：∵
()1n n 11431321211+=+++?+?+?n n ∴忧！但似乎还是有点令人担→=?++?+?+?100
99100991431321211 笔者按：但如果认为“问题（一）”到此已宣告解决，那未必然！且继续往下看：问题（二）：求的值.100
991131211211111101?++?+?+? 〈申述1〉：假设甲考生参与了“问题（一）”的听讲，并且他“自认为记住”了下列结论：
()1
n n 11431321211+=+++?+?+?n n 再假设他还没有跨越“简单模仿”，不会顺利应对“变式训练”，那么他可能产生以下思维：
（错解一）解：原式1
9999
+=
表模仿上！此思维停留在简单的外→=100
99求的值.100991131211211111101?++?+?+? （错解二）
解：原式1
9090
+=分差异！”与“新环境”的一部此思维见到了“旧模式→=91
90〈申述2〉：假设乙考生同样经历了“问题（一）”之火热而丰富的思维过程，并且“安全地记住”了我们归纳出的以下这个冰冷而美丽的数学结论：
()1
n n 11431321211+=+++?+?+?n n 那么这个乙考生自然就会识别出“问题（一）”与“问题（二）”的“起点”是不同的，他知道记忆中的“旧模式”不能照搬运用到当下遭遇的“新环境”中。但乙考生在“问题（一）”之火热而丰富的思维过程中学到了一些思维的伎俩，即：暂时放置一般，先去探究特殊，而后再从特殊现象去归纳一般规律。于是乙考生先开始这样探索一些辅助题：①、当时，10n =110
111
101
=?
②、当时，；11n =60
1660
111321110112
11111101==+
=?+?③、当时， 12n =130
3780
181********
1211211111101==+
=?+?+?④、当时，13n =有点难→==+=?+?+?+?35
1910
261821130314
131131************答案与的取值有怎样的关系？回答是：杂乱无章！再投一个n 石头看看，如果情况不妙，就果断放弃！
⑤、当时，14n =30
1210
7210
135115
14114131131211211111101==+
=?+?+?+?+?
果然规律很不明朗，看来再投更多的石头也击不出“心灵的水花”，算了撤飘走人！
笔者按：此情此景，乙考生走得机智！但如此白忙一场，可惜啊！其中有功有过，忙这一场是有功，这是他思维开始趋向成熟的表现，相比那些根本不知道“还可以像这样”来忙一场的解题者来说，乙类考生已经胜了一筹，他毕竟道心坚毅且有章法；只不过白忙了一场算是有过，或者说没有“更进一步”去分析数据才是他之过失。他其实已经离答案不远了，只不过因缺少一些“分析技巧”而显得无可奈何罢了。从这个层面来讲，教师的存在确实是有必要的！教师需再对“乙类考生”的思维作引导确实不是一件可有可无的事情。现在让我们把数据凑拢一堆： ）列表（；时，辅助题当；时，辅助题当；时，辅助题当；时，辅助题当；时，辅助题当130
114n 35
113n 130
312n 60
111n 110
110n =========
=我们仔细审视也难以发现什么规律，但可以适当“微调”上述结果：
把数据微调一下： ）列表（；时，辅助题当；时，辅助题当；时，辅助题当；时，辅助题当；时，辅助题当290
330114n 105
335113n 130
312n 180
360111n 330
3110110n =============
=如此微调就出现了一个契机，规律在哪儿？分子都是，但分母3与取值的联系实属难以观察。如果考生已接受过“函数思想”的n 教育，那么让他凭借“待定系数法”去“观想、轮换、验证”分母与之间的函数关系，这就不失为寻得了一丝可以渗入内里的隙缝，n 当然此路之艰辛也可想而知。
在列表（一）中，辅助题答案的分子、分母皆在变化，我们可以通过微调手段，先让这二者中只有一者处于变化状态。这正如物理学研究中的那种惯常的手法，为了搞清一种尚不明晰的函数关系，假设我们已经弄清这个关系与某个物理量有关，但因在探究过程n 中这个物理量的取值都处于变化状态，便让人更难以捉摸这个n “复杂”的函数关系。这时我们可以先控制住其中的“-1”个物n 理量，让它们乖乖地维持不变状态，再任由“第个”物理量自由n 变化，那么这个复杂的函数关系便会逐渐明朗起来，以至最后它会成为我们探索其它领域的“星舰”，列表（二）便是在这样的“念头”下应运而生的。从另一方面来说，任何人都可以认真去回味，在乙考生“通分”探索的过程中，有一“结构”始终交织在运算数据中，
这种结构就是：，其中的取值当然在变，但这种“结构关系”()1n n +n 却是定格不变的，懂得“通项公式”的考生是极容易嗅出其中气味的。现下我们有了一个好念头，至于它是否能帮助我们成就大事，搞一下不就知道了！我们借助微调手段让“乙考生辅助题”中的每一个分母都定格为“”形式，那么列表（三）便出现在我们()1n n +的视野之中：控制变元之后的数据： ）列表（时，辅助题当时，辅助题当；时，辅助题当；时，辅助题当；时，辅助题当315
14730114n 14
315.235113n 13
123.6130312n 12
112.260111n 11
011110110n ?===?===?===?===?==
=列表（3）中，分母的规律当然是：，分子的规律明显了()1n n +吗？如果仍觉不太明显，那么我们改变分子的形式，继续给出列表
（4）：
）列表（时，辅助题当时，辅助题当；时，辅助题当时，辅助题当；时，辅助题当415
14 1.81.61.41.211514730114n 14
13 1.61.41.2114315.235113n 13
12 1.41.2113123.6130312n 12
111.2112112.260111n 11
011110110n ?++++=?===?+++=?===?++=?===?+=?===?==
=
从列表（4）可以归纳出，当时，
n n =()
结果就会更明朗一些！
，再改变分子的形式，？？辅助题1n n 1.81.61.41.21+++++++= ()
心！
细微之处，便可了然于、两个
的多少倍？我们考究一处应该是，？？辅助题0.2??""1n n 70.260.250.2+++?+?+?= ()
()
1n n 5n 0.270.260.250.2+-++?+?+?= 辅助题其中的分子()[]()2
45n 5n 551
---+?=辅助题最终结果()1n 109
n +-= 经历了如此坎坷的心路历程，我们终于可以帮助乙考生完成他的解答：
问题（二）：求
的值100991131211211111101?++?+?+? 解：∵
()()1n 109n 1n n 1131211211111101+-=+++?+?+? ∴()100
919910999100991131211211111101=+-=?++?+?+? 〈申述3〉：假设教师在引导丙类考生解决 “问题（一）”时，同样经历了火热而细腻的“归纳”过程，并且学生也“准确地记住”
了这个冰冷而美丽的数学结论：()的结论！
这可作为一个厚有价值结论（一）→+=+++?+?+?1
n n 11431321211n n 以上假设决定了，丙考生不会去犯“甲类考生”的错误，但他们在毫无办法的情况下，非常容易去步“乙类考生之高运算、高技巧”的后尘。此时我们再假设丙类考生比较明智地放弃了乙考生的思路，不愿去归纳如下结论：()()
鲜有价值的结论！
实际上，这确实是一个结论（二）→+-=+++?+?+?1n 109n 1n n 1131211211111101 那么在教师和丙同学之间可以有一场“理想化”对话：问题（二）：求的值100
991131211211111101?++?+?+? 师：这道题可以直接用“结论（一）”来处理，对吧？
→生：不对！好像不可以！
?师：咦！怎么会不可以呢？
→生：在结论（一）这个“旧模式”中，分母的起点是“”，但?21?在问题（二）这个“新环境”中，分母的起点却是“”，所以1110?不能直接用来解决此题！
师：那，你说怎样去处理呢？
→
生：呃……步乙同学的后尘！从特殊去归纳一般吧！
?师：呃……别耍无赖！我们不是早说好的不行乙同学的无奈之举→吗？
生：那我不知道咋办了！
?师：你记得结论（一）吗？
→生：记得！
?师：我再问，你确定你准确地记得结论（一）吗？
→生：（笑了），我再答，我确定我准确地记得！
?师：看看这道题，你会做吗？
→助探题（Ⅰ）：
→求的值.51
501431321211?++?+?+? 生：（一晃眼，便回答），我当然会做，闭上眼睛也会！
? 这个题与记忆中的结论（一）相比，没有本质上的区别！师：也就是说，此妖难逃尊驾法眼？
→生：嘿嘿！尊驾，过奖了！
?师：看看这道题，你会做吗？
→
助探题（Ⅱ）：
→求的值.51
501181711716116151?++?+?+? 生：（细细审查一番），我自然同样不会！如果此题我会做，我们?还
哪用得着如此废话连篇？
师：劳烦阁下再看看这道题，会做吗？
→助探题（Ⅲ）：→求的值.
51501
131211*********?++?+?+? 生：……（苦笑，但略有思索）
?师：那么尊驾再欣赏下此题呢？
→助探题（Ⅳ）：→求的值.
51501
871
761
651
?++?+?+? 生：……（眉宇紧锁，拳头紧了又松，松了又紧）
?师：呵呵！让在下充当你的书童，帮你把草稿收拢一堆，请君过→目：①、求的值.
51501
431
321
211
?++?+?+? 你已确定自己会做！
→
②、求的值51
501181711716116151?++?+?+? 己不会做！
你曾理直气壮地认定自→③、求的值.51
501131************?++?+?+? 什么变化？
但你可以看到它发生了！你仍不会做吗？此题与上一题没有分别→④、求的值.51
501871761651?++?+?+? 为自己不会做吗？
你会继续如此草率地认质的分别吗？
此题与上一题又存在本→⑤、……？？？
？
出来，它会是什么样子如果要在这里补充一题→生：……对啊！它们越来越近了！老师！我好像会做了！
?……对了！对话可以就此结束。教师此时有话，也尽量憋着不说。等那类丙同学先去做做问题（二），回头再说不迟！问题（二）：求的值100
991131211211111101?++?+?+? 丙类同学的书写：解：∵()1
n n 11431321211+=+++?+?+?n n ∴ ??
? ???++?+?+?-??? ???++?+?+?=1091431321211100991431321211 原式100
919919999=+-+=
师：你的解法非常干练，真精彩！我忍不住须要采访你一下！在→
解法的探索过程中，你曾自言自语，“对啊！它们越来越近了！”，请问“越来越近”指的是什么意思？
生：是指“书童”整理的草稿中，第②、③、④题离第⑤题越来?
越近了！而第⑤题当然就是第①题！
师：那为什么对于“问题（二）”，你开头不会做，刹割又会做了→
呢？
生：因为我看到了那种“越来越近”的变化，而这种变化似乎?
“在冥冥之中”牵引着我把“问题（二）”按着“问题（一）”的模样转化！
师：好一个“冥冥之中”！老师采访你的原因就是要把你脑海中→
那种“偶发的念头”转变成你思维中某一“自觉的意识”，这样才有助于修炼思维，高效解题。
师：你把“问题（二）”按着“问题（一）”的模样转化！实际上→
就是把一道“做不起的题”变成了一道与之相关的“拿手好戏”对吧？
生：对！……对！果然如此！
?
师：实际上，连你自己都没有意识到，你在不知不觉中使用了一→
种非常重要的数学思想方法，即化归思想，这当然也是一种非常精彩而有效的思维方式策略。化归，就是转化归结的意思，它是我们解决问题的“好助探”。
师：我们在解题时，一般总是将复杂问题转化为简单问题；将难→
解问题转化为易解问题；将未解决的问题转化为已解决的问题。总之，化归在数学解题中几乎无处不在，化归的基本功能是：遇生疏就往熟悉转化，遇复杂就往简单转化，遇抽象就往直观转化，遇含糊就往明朗转化。
师：这不是一朝一夕就可领悟的，必须做“适量”的题，才能触→
碰“自发领悟”的心弦，最后养成“自觉分析”的习惯！
……言归正传，这段“理想”对话中的乙类学生，必须是学习主动性高的优生！他们在历经“高效”解题的过程中会不断提升“高效”探索的思维素养。
……但如果，
〈申述3〉：假设在“书童”所堆积的第“①——⑤”道辅助
题中，学生仍然没有参透玄机，未能觉察出将问题（二）“化归”为问题（一）的趋势，那么教师可以怎样去调整自己对学生的思维引
导呢？
师：问题（二）要得到解决确实有些困难！现在让我们暂时放下→个中纠结，先来做一做老师为大家准备的另一道“可能与问题（二）”相关的题，看谁能解决它，请看：
助探题（Ⅴ）：
→已知：，，
m 100321=++++ n 30321=++++ 求：的值.
100333231++++ 生：（略作思考）……答案是：.
?n m -生：哦！好主意，我想到怎样解决问题（二）！
?生：咦！我也有办法了！（学生有了一定程度的“自发领悟”）?……接下来学生就能比较干练地写出问题（二）的解题过程了！……再接下来教师可以火上浇油，趁热打铁.
师：大家不妨再来看一题：
→助攻题（Ⅵ）：
→已知：厘米，
厘米，上，在线段点2AC 5AB AB C ==求：线段的长. BC 问题！
这是一道“线段和差”→生：（通过简单的画图分析）……答案是：.
?325=-师：此情此景，为什么要出示这样一道题给大家做？
→生：因为它们有相似之处！
?
分数裂项求和方法总结
分数裂项求和方法总结 （一） 用裂项法求1(1) n n +型分数求和 分析：因为111n n -+＝11(1)(1)(1) n n n n n n n n +-=+++（n 为自然数） 所以有裂项公式：111(1)1 n n n n =-++ （二） 用裂项法求 1()n n k +型分数求和 分析：1() n n k +型。（n,k 均为自然数） 因为11111()[]()()() n k n k n n k k n n k n n k n n k +-=-=++++ 所以1111()()n n k k n n k =-++ （三） 用裂项法求() k n n k +型分数求和 分析： () k n n k +型（n,k 均为自然数） 11n n k -+＝()()n k n n n k n n k +-++＝() k n n k + 所以 () k n n k +＝11n n k -+
（四） 用裂项法求2()(2) k n n k n k ++型分数求和 分析： 2()(2) k n n k n k ++（n,k 均为自然数） 211()(2)()()(2)k n n k n k n n k n k n k =-+++++ （五） 用裂项法求1()(2)(3) n n k n k n k +++型分数求和 分析：1()(2)(3) n n k n k n k +++（n,k 均为自然数） 1111()()(2)(3)3()(2)()(2)(3) n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-++++++++ （六） 用裂项法求 3()(2)(3)k n n k n k n k +++型分数求和 分析：3()(2)(3) k n n k n k n k +++（n,k 均为自然数） 311()(2)(3)()(2)()(2)(3) k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++ 记忆方法： 1.看分数分子是否为1； 2.是1时，裂项之后需要整体×首尾之差分之一； 3.不是1时不用再乘； 4.裂项时首尾各领一队分之一相减。
分数裂项求和方法总结
分数裂项求和方法总结 （一） 用裂项法求 1 (1) n n +型分数求和 分析：因为 111n n -+＝11 (1)(1)(1) n n n n n n n n +-= +++（n 为自然数） 所以有裂项公式： 111 (1)1 n n n n =- ++ 【例1】 求 111 ......101111125960+++???的和。 111111111 ()()......()101111125960106012 =-+-++-= -= （二） 用裂项法求 1 () n n k +型分数求和 分析： 1 () n n k +型。（n,k 均为自然数） 因为 11111()[]()()()n k n k n n k k n n k n n k n n k +-=-=++++ 。所以1111()()n n k k n n k =-++ 【例2】 计算11111577991111131315++++ ????? 111111*********()()()()()25727929112111321315= -+-+-+-+- 111111********* [()()()()()][]2577991111131315251515 =-+-+-+-+-=-= （三） 用裂项法求 () k n n k +型分数求和 分析： () k n n k +型（n,k 均为自然数） 11n n k -+＝()()n k n n n k n n k +-++＝()k n n k + 所以()k n n k +＝11n n k -+ 【例3】 求 2222 (1335579799) ++++????的和 1111111198 (1)()()......( )13355797999999 =-+-+-++-=-= （四） 用裂项法求 2()(2) k n n k n k ++型分数求和 分析： 2()(2)k n n k n k ++（n,k 均为自然数） 则 211 ()(2) ()()(2) k n n k n k n n k n k n k = - +++++ 【例4】 计算： 4444 (135357939597959799) ++++???????? 11111111()()......()()133535579395959795979799 1132001397999603 =-+-++-+-????????=-= ?? （五） 用裂项法求 1 ()(2)(3) n n k n k n k +++型分数求和 分析： 1 ()(2)(3) n n k n k n k +++（n,k 均为自然数） 1111 ()()(2)(3)3()(2)()(2)(3) n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-++++++++ 【例5】 计算：111 ......1234234517181920+++ ????????? 1111111 [()()......()] 3123234 2343451718191819201111139[]312318192020520 =-+-++-????????????=--=???? （六） 用裂项法求 3()(2)(3) k n n k n k n k +++型分数求和 分析： 3()(2)(3) k n n k n k n k +++（n,k 均为自然数）
最新分数裂项法解分数计算
分数裂项计算 本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。 本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。 分数裂项 一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 1a b ?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b =-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： 1(1)(2)n n n ?+?+，1(1)(2)(3) n n n n ?+?+?+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2) n n n n n n n =-?+?+?+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3) n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+ 裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 二、“裂和”型运算： 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： （1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+??? （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 【例 1】 111111223344556 ++++=????? 。
数列求和-裂项法
数列求和 ------裂项相消法 引例：教材P47 什么是裂项相消法？什么时候使用？ 思考1： 变式： 思考2：在裂项的过程中，是怎样把项裂开的？关键是什么？怎样相互抵消的？ 1.???? 求数列的前n 项和.11111,,,,,13243546n(n +2)222222224142434 2.,,,,,.41142143141n n n ?????-?-?-?- 求数列的前项和222235721 3..(12)(23)(34)[(1)]n n S n n +=++++???+ 求和∑求和：k n n k+1k k=12 4.S =(2-1)(2-1)2n n a a =若数列{}，,可以用裂项相消法求数列前n 项和？11n(n +)
小结：什么是裂项相消法？什么时候使用裂项相消法？在使用的过程当中应当注 意什么？裂项相消法运用的数学思想是什么？ 你是否有新的感受呢？请用一句话总结一下前面的内容。 思维拓展： 思考3：裂项相消法最大的成功--实现了消项，运用错位相减法也是消项，是不 是可以考虑用裂项法相消法可以求等比数列的和吗？可以求{}g 等差等比的和吗？试试看。 在等比数列{}(1)n a q 1中， 试一试：用裂项相消法 练习： 2*1122:{},().(1) 1111(2) .(1)(1)(1)3n n n n n a n S n n n N a n a a a a a a =+∈+++<+++ 例题数列的前项和为求；证明：对一切正整数，有2335721.2222n n n S +=++++ 求和211111-=++++L n n S a a q a q a q 211111-=++++L n n n qS a q a q a q a q 1(1)1-=-n n a q S q 11 (1)-=-n n q S a a q 121321* {},,,,,2.(){}(21)3()(){}.n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n b n N b n T a -----?=∈ 已知数列满足：是首项、公差均为的等差数列 Ⅰ求数列的通项公式； Ⅱ令，求数列的前项和
分数裂项求和
学生曹一诺学校年级六年级科目数学 教师陈作谦日期16年4月24日时段15:00-17:00 次数第一次课题 分数裂项求和 教学重点难点重点：清楚掌握几种简单的裂项求和的方法及其解答过程。难点：能判断所处题目的特点，并用其对应的方法进行解答。 教学步骤及教学内容一、作业检查： 平时成绩中上，卓师的小升初模拟试题测试结果，数学为46分二、课前热身： 与学生探讨小升初的意义，互动中令学生明白考试的应对方式。 三、内容讲解： 先做几个题目： （1）+ ? + ? + ?7 5 2 5 3 2 3 1 2……+ 11 9 2 ? ， （2）求 2222 ...... 1335579799 ++++ ???? 的和 这种题目就是分数裂项求和的运用。 分数裂项求和，分成减法裂项和加法裂项： 减法裂项就是：分母化成两个数的积，分子化成这两个数的差；加法裂项就是：分母化成两个数的积，分子化成这两个数的和。 （1）+ ? + ? + ?7 5 2 5 3 2 3 1 2……+ 11 9 2 ? ，
解：原式= +?+?+?7 55 -7533-5311-3……+11 99-11? =( + ??+??+??)7 55-757()533-535()311-313 ……+( 11911 ?-11 99?) )11 191()7151()5131()3111(-+??+-+-+-= 11 191715151313111-+??+-+-+-= 11 111-= 11 10= （2）求 2222 (1335579799) ++++????的和 解：原式=+?+?+?7 55-75 33-53 11-3……+99 9797-99? 1111111 (1)()()......() 3355797991 1999899 =-+-+-++-=-= 再看一道例题： 例1：计算：72 17561542133011209127651-+-+-+ - 解：原式=98988787767665655454434332321?+-?++?+-?++?+-?++?+- ）（）（）（）（）（）（）（9 1818171716161515141413131211+-+++-+++-+++-= 9 18 18 17 17 16 16 15 15 14 14 13 13 12 11--++--++--++--= 9 11-=
分数乘法与分数裂项法
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 分数乘法与分数裂项法 分数乘法与分数裂项法【专题解析】我们知道，分数乘法的运算是这样的：分数乘分数，应该分子乘分子，分母乘分母（当然能约分的最好先约分在计算）。 分数乘法中有许多十分有趣的现象与技巧，它主要通过些运算定律、性质和一些技巧性的方法，达到计算正确而迅速的目的。 1、运用运算定律：这里主要指乘法分配律的应用。 对于乘法算式中有因数可以凑整时，一定要仔细分析另一个因数的特点，尽量进行变换拆分，从而使用乘法分配律进行简便计算。 2、充分约分：除了把公因数约简外，对于分子、分母中含有的公因式，也可直接约简为 1。 进行分数的乘法运算时，要认真审题，仔细观察运算符号和数字特点，合理进行简算。 需要注意的是参加运算的数必须变形而不变质，当变成符合运算定律的形式时，才能使计算既对又快。 【典型例题】——乘法分配律的妙用 44 例 1．计算：（1）×37 4567 2003 44 44 44 分析与解：观察这两道题的数字特点，第（1）题中的与 1 只相差 1 个分数单位，如果把写成（1－） 45 45 45 67 的差与 37 相乘，再运用乘法分配律可以使计算简便。 同样，第（2）题中可以把整数 2004 写成（2003+1）的和与 2003（2）2004× 相乘，再运用乘法分配律计算比较简便。 1/ 10
【举一反三】43 56 56 ×37 （2）×37 （3）×56 44 57 57 17 1 4 1 例 2．计算：（1）72 × （2）73 × 17 24 15 8 4 4 1 分析与解：（1）72 把改写成(72 + )，再运用乘法分配律计算比常规方法计算要简便得多。 （2）73 把 17 17 15 16 改写成(72 + )，再运用乘法分配律计算比常规方法计算要简便得多。 15计算：（1）【举一反三】4 7 计算：（1）20 × 7 10（2）166 13 × 13 32（3）573 1 × 13 8（4）641 1 × 17 9【小试牛刀】
分数裂项求和标准个性化教案
分数裂项求和标准个性 化教案 公司内部编号：（GOOD-TMMT-MMUT-UUPTY-UUYY-DTTI-
变形裂项：先变形为直接裂项。 【典型例题】 例1 计算： 观察：直接裂项2 11121121-=?= 31 2132161-=?= 41 31431121-=?= ............. = 201 ( )()=?1（ ）-（ ） ( )()=?= 1 301（ ）-（ ） 解：原式 = 651 541431321211?+ ?+?+?+? = 1-61 5151414131312121-+-+-+-+ = 1-61 = 65 例2 计算：7217 561542133011209127651-+-+-+- 观察：直接裂项3121323265+=?+= 41 314343127+=?+= 920= =?+545451 41+ ............... ()() 115630+==?（ ）+（ ） ()( ) 136742+==?（ ）+（ ） 解：原式） （）（）（）（）（）（）（9 18 18 17 17 16 16 15 151414131312 11+-+++-+++-+++-= 例3.+?+?+?7 52532312……+ 1192 ? 变形裂项： .............. 解：原式)11 1 91()7 15 1()5 13 13 1 11-++-+-+-= （）（ 例4 1111111 248163264128 +++ +++ 观察前一个数是后一个数的2倍，“补一退一”
解：原式128 1 12811281641321161814121 - +++++++=）（ 例5 1 101 1811611411212 2222-+-+-+-+- 由)()(2 2 b a b a b a +?-=-知，可以将原式变形为： 解：原式11 91 971751531311?+ ?+?+?+?= 牛刀小试： 【我能行】 1． +?+?+?1999 19981199819971199719961……+ 200220011 ?+20021 2．521?+851?+1181?+……+29 261? 分数裂项求和方法总结 （一） 用裂项法求 1 (1)n n +型分数求和 分析：因为11 1n n -+＝11(1)(1)(1) n n n n n n n n +-=+++（n 为自然数） 所以有裂项公式：111 (1)1 n n n n =-++ 【例1】 求111 (101111125960) +++ ???的和。 （二） 用裂项法求1 () n n k +型分数求和 分析：1 ()n n k +型。（n,k 均为自然数） 因为11111 ()[]()()()n k n k n n k k n n k n n k n n k +-=-=++++ 所以1111 () ()n n k k n n k =-++ 【例2】 计算11111577991111131315++++ ????? （三） 用裂项法求 () k n n k +型分数求和 分析： () k n n k +型（n,k 均为自然数） 11 n n k -+＝()()n k n n n k n n k +-++＝()k n n k +
六年级分数-裂项法
知识要点和基本方法 1.2分数计算(裂项法) 分数计算是小学数学的重要内容，也是数学竞赛的重要内容之一。 分数计算同整数计算一样既有知识要求又有能力要求。法则、定律、性质是进行计算的依据，要使计算快 速、准确，关键是掌握运算技巧。对算式认真观察，剖析算是的特点及个数之间的关系，巧妙、灵活的运用运 算定律，合理改变运算顺序，使计算简便易行，这对启迪思维，培养综合分析、推理能力和灵活的运算能力, 都有很大的帮助。 公式: (1)平方差公式：a2 b2(a b) (a b) (2)等差数列求和公式: a i a2 a3 a n 1 a n 1 a1 2 a n n (3)分数的拆分公式: n(n 1) 1 n(n d) 裂项 法： 例1. 计算: 例2. 计算: 10X 11 1 2 3 _1 +11X 12 1 ..... +—— 3 4 99 1 +……+59X 60 1 100 例7. 例8. 例3. 1111 计算：2 + 6 + / + 20 1 1 + — + — +30 +42 例9. 例4. 计算: —1——+ -—— 10X 11 11X 12 1 +……+19X 20 例10. 例5. 1 1 计算2X 3 + 3X4 + 1 1 +6X7 +7X8 例11. 1 1 1 1 1 1 1 6 + ' —+— +— + 12 + 20 + 30 + 矗+56 + 72 1 1 1 1 1 1 + —+ + —- + —+ 3 15 35 63 99 143 1 1 1 1 1 4 4 7 7 10 10 13 13 2 2 2 2 2 3 15 35 63 99 1 丄丄丄 1 1 8 24 48 80 120 168 计算: 1 计算: 计算: 计算: 计算: 16 例6. 计算: 例12. 计算: 例13. 计算: 112 11 +丄+土+丄+丄+ 1 2 2 1 + — + 1 2 2 3 1 ----------- F 1 2 3 2 3 2 1 + Y +仝+丄 3 3 3 3 1 例14. 计算: 2X( 1 —丄)X 2丿 20052-------------- +……+ 12 3 4 「-亠) 20042 100 +……+ + 100 100 1 旦+……+ 100 1 100 X( 1 2 3 2005 1 1 1 —2) X ......... X( 1 ---------- ) 2003222
小学奥数分数求和专题总结
分数求和 分数求和的常用方法： 1、公式法，直接运用一些公式来计算，如等差数列求和公式等。 2、图解法，将算式或算式中的某些部分的意思，用图表示出来，从而找出简便方法。 3、裂项法，在计算分数加、减法时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以互相抵消，从而使计算简便。 4、分组法，运用运算定律，将原式重新分组组合，把能凑整或约分化简的部分结合在一起简算。 5、代入法，将算式中的某些部分用字母代替并化简，然后再计算出结果。 典型例题 一、公式法： 计算： 20081+20082+20083+20084+…+20082006+2008 2007 分析：这道题中相邻两个加数之间相差20081，成等差数列，我们可以运用等差数列求和公式：（首项+末项）×项数÷2来计算。 20081+20082+20083+20084+…+20082006+2008 2007 =（20081＋2008 2007）×2007÷2 =2 11003 二、图解法： 计算：21 ＋41＋81＋161＋321＋64 1 分析：解法一，先画出线段图： 从图中可以看出：21 ＋41＋81＋161＋321＋641=1－641=64 63 解法二:观察算式，可以发现后一个加数总是前一个加数的一半。因此，只要添上一个加数641，就能凑成32 1，依次向前类推，可以求出算式之和。 21 ＋41＋81＋161＋321＋64 1 =21 ＋41＋81＋161＋321＋（641＋641）－64 1 =21 ＋41＋81＋161＋（321+32 1）－641
…… = 21 ×2－64 1 =6463 解法三：由于题中后一个加数总是前一个加数的一半，根据这一特点，我们可以把原式扩大2倍，然后两式相减，消去一部分。 设x= 21 ＋41＋81＋161＋321＋64 1 ① 那么，2x=（21 ＋41＋81＋161＋321＋64 1）×2 =1+21 ＋41＋81＋161＋321 ② 用②－①得 2x －x=1+ 21 ＋41＋81＋161＋321－（21 ＋41＋81＋161＋321＋64 1） x=64 63 所以，21 ＋41＋81＋161＋321＋641=6463 三、裂项法 1、计算：21+61＋121＋201＋301＋……＋901＋110 1 分析：由于每个分数的分子均为1，先分解分母去找规律：2=1×2，6=2×3，12=3×4，20=4×5，30=5×6，……110=10×11，这些分母均为两个连续自然数的乘积。 再变数型：因为 21=211?=1－21，61=321?=21－31，121=431?=31－4 1，……，1101=11101?=101-111。这样将连加运算变成加减混合运算，中间分数互相抵消，只留下头和尾两个分数，给计算带来方便。 21+61＋121＋201＋301＋……＋901＋110 1 =1－21＋21－31＋31－41＋……＋91－101＋101-11 1 =1－11 1 =11 10 2、计算：511?＋951?＋13 91?＋……＋33291?＋37331?
分数乘法与分数裂项法
分数乘法与分数裂项法
分数乘法与分数裂项法 【专题解析】 我们知道，分数乘法的运算是这样的：分数乘分数，应该分子乘分子，分母乘分母（当然能约分的最好先约分在计算）。 分数乘法中有许多十分有趣的现象与技巧，它主要通过些运算定律、性质和一些技巧性的方法，达到计算正确而迅速的目的。 1、运用运算定律：这里主要指乘法分配律的应用。对于乘法算式中有因数可以凑整时，一定要仔细分析另一个因数的特点，尽量进行变换拆分，从而使用乘法分配律进行简便计算。 2、充分约分：除了把公因数约简外，对于分子、分母中含有的公因式，也可直接约简为1。 进行分数的乘法运算时，要认真审题，仔细观察运算符号和数字特点，合理进行简算。需要注意的是参加运算的数必须变形而不变质，当变成符合运算定律的形式时，才能使计算既对又快。 【典型例题】——乘法分配律的妙用 例1．计算： （1）4544×37 （2）2004×2003 67 分析与解：观察这两道题的数字特点，第（1）题中的45 44 与1只相差1个分数单位，如果把4544写成（1－45 44 ）的差与37相乘，再运用乘法分配律可以使计算简便。同样，第（2）题 中可以把整数2004写成（2003+1）的和与200367 相乘，再运用
乘法分配律计算比较简便。 【举一反三】 计算： （1）4443×37 （2）5756×37 （3）5756 × 56 例2．计算： （1）72174×2417 （2）7315 1×81 分析与解：（1）72174把改写成(72 +174 )，再运用乘法分 配律计算比常规方法计算要简便得多。（2） 73151把改写成(72 +1516)，再运用乘法分配律计算比常规方法计算要简便得多。 【举一反三】 计算： （1）2074×107 （2）16136×32 13 （3）133 57×8 1 （4）64171×9 1 【小试牛刀】 计算： （1）2928 ×37 （2）29 13×28 【典型例题】——乘法交换律的巧用
分数裂项求和标准个性化教案
分数裂项求和标准个性化 教案 This manuscript was revised on November 28, 2020
两数之差。 直接裂项 加法裂项：分母分成两数之积，分子为两数之和。 变形裂项：先变形为直接裂项。 【典型例题】 例1 计算： 观察：直接裂项2 11121121-=?= 312132161-=?= 4131431121-=?= ............. =201()()=?1 （ ）-（ ） ( )()=?= 1 301（ ）-（ ） 解：原式 = 651 541431321211?+ ?+?+?+? = 1-61 5151414131312121-+-+-+-+ = 1-61 = 6 5 例2 计算：72 17561542133011209127651-+-+-+- 观察：直接裂项3121323265+=?+= 4 1314343127+=?+= 920==?+54545141+ ............... ()() 1156 30+==?（ ）+（ ） ( )( ) 1367 42 += =?（ ）+（ ） 解：原式）（）（）（）（）（）（）（9 18 18 17 17 16 16 15 15 14 14 13 13 12 11+-+++-+++-+++-= 例3. +?+?+?7 52532312 (1192) 变形裂项： ..............
解：原式)11 1 91 ()715 1()5 13 13 111- ++-+-+-= （）（ 例4 1111111 248163264128 +++ +++ 观察前一个数是后一个数的2倍，“补一退一” 解：原式128 1 1281128164132116181 4 12 1- +++++ ++=）（ 例5 1 101 18116114112122222-+ -+-+-+- 由)()(22b a b a b a +?-=-知，可以将原式变形为： 解：原式11 91 971751531311?+ ?+?+?+?= 牛刀小试： 【我能行】 1． +?+?+?1999 19981199819971199719961……+ 200220011 ?+20021 2．521?+851?+1181?+……+29 261? 分数裂项求和方法总结 （一） 用裂项法求 1 (1)n n +型分数求和 分析：因为11 1n n -+＝11(1)(1)(1) n n n n n n n n +-=+++（n 为自然数） 所以有裂项公式：111 (1)1 n n n n =-++ 【例1】 求111 (101111125960) +++ ???的和。 （二） 用裂项法求1 () n n k +型分数求和 分析：1 ()n n k +型。（n,k 均为自然数） 因为11111 ()[]()()()n k n k n n k k n n k n n k n n k +-=-=++++ 所以1111 () ()n n k k n n k =-++ 【例2】 计算11111577991111131315++++ ?????
数列求和裂项法错位相减法分组求和法
数列求和裂项法错位相减法分组求和法 Modified by JEEP on December 26th, 2020.
数列求和的三种特殊求法 例1、已知数列{a n }的通项公式为a n =12-n +3n ，求这个数列的前n 项和 例2、求下列数列的前n 项和： （1）211，412，813，……n n 21+，…… （2）1，211+，3211 ++…… n +??+++3211 …… （3）5，55，555．……，55……5，……（4）,,，……，……5，…… 例3、已知数列的的通项，求数列的前n 项和： （1） )1(1+= n n a n （2）) 2(1 +=n n b n （3）{a n }满足a n = 1 1++n n ，求S n （4）求和：+?+?= 5 34 3122 2 n S ……+) 12)(12()2(2 +-n n n （5）求和) 2)(1(1 43213211+++??+??+??=n n n S n 例4、求数列 ,,,3,2,32n na a a a （a 为常数）的前n 项和n S 。 练习：求和：21，223，325，……n n 2 1 2-，…… 知识演练： 1. （2009年广东第4题）已知等比数列}{n a 满足 )3(2,,2,1,02525≥=?=>-n a a n a n n n 且 ，则当1≥n 时，=+++-1221212log log log n a a a A ．)12(-n n B ．2)1(+n C ．2n D ．2)1(-n 2. （2010年山东第18题）已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令b n = 2 11 n a -(n ∈N * )，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 3. （2005年湖北第19题）设数列}{n a 的前n 项和为S n =2n 2，}{n b 为等比数列，且 .)(,112211b a a b b a =-= （Ⅰ）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （Ⅱ）设n n n b a c =，求数列}{n c 的前n 项和T n 小结：数列求和的方法 分组求和，裂项相消（分式、根式），错位相减（差比数列） 数列求和的思维策略： 从通项入手，寻找数列特点
分数裂项求和方法总结
分数裂项求和方法总结（一）用裂项法求n（_i_）型分数求和 1 1 分析：因为------ ------- n n 1 n 1 n n(n 1) n(n 1) （n为自然数） n（n 1） 所以有裂项公式: 1 1 1 n(n 1) n n 1 【例 1】10 11 1 11 12 的和。 59 60 1 1 10 60 丄 12 （二）用裂项法求乔七型分数求和 分析: 型。（n,k均为自然数） n（n k） 因为 1(1 所以 【例 2】 n(n k)] n(n k) n(n k) ") 1 计算5 7 9 11 11 13 13 15 1 勺 1(1 9 2'9 1 1、，1 1 )( 丄(丄丄) 2 11 13 1 1 )( 丄(1 1) 2 5 7 111 -[( )( )( ,、 ,、 2 5 7 7 9 9 11 11 1 3 13 15
2[515] 丄 15 （三）用裂项法求—「型分数求和 n（n k） 分析： k - 型（n,k均为自然数） n（n k） 1 1 _ n k n k n n k n(n k) n(n k) n(n k) 所以 k _ 1 1 n(n k) n n k 亠2 2 2 2 【例3】求2的和 1 3 3 5 5 7 97 99 （四）用裂项法求仝型分数求和 n(n k)(n 2k) 分析：2k 均为自然数） 分析： n（n k)(n (n,k 2k) 2k 1 1 n(n k)( n 2k) n(n k) (n k)( n 2k) 【例4】计算：- 4 4 4 4 1 1 1 1 (1 3)( ) (- 3 5 5 1 1 99 98 99
裂项法求数列的和
裂项法求数列的和 【内容提要】笔者在多年的教学中遇到裂项法求和的题型,加以总结,供师生们参考.裂项相消法是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式，即 )()1(n f n f a n -+=，然后累加时抵消中间的许多项。 【关键词】裂项法 求数列的和 等差数列 1等差数列积的倒数和 已知等差数列{}n a 首项1a ，公差d 。求和：= n s ++322111a a a a …+ 1 1 +n n a a 解： 11+n n a a =n n a a -+11（111+-n n a a ）=d 1（1 1 1+- n n a a ） = n s d 1（+-+-32211111a a a a …+111+-n n a a ）=d 1（1 11 1+-n a a ） 其中nd a a n +=+11 求和：（1）= n s +?+?321211…+)1(1 +?n n (2) = n s +?+?741411…+) 13()23(1 +?-n n 2．含二次根式的数列和 已知正项等差数列{}n a 首项1a ，公差d 。求和：2 11a a s n += + 3 21a a ++… + 1 1++n n a a 。 解： 1 1 ++n n a a =) )((111n n n n n n a a a a a a -+-+++= d 1 （n n a a -+1）。 = n s d 1(+-+-2312…+ n n a a -+1)= d 1()11-+n a 其中nd a a n +=+11 求和：= n s +++ +3 212 11…+ 1 1++n n 3．含对数的数列和
小学六年级数学难题：分数计算(裂项法)
、裂项法 小学数学课本在讨论分数加减法时曾指出：两个分母不同的分数相加减， 自然数，公分母正好是它们的乘积.把这个例题推广到一般情况，就有一个很有用的等式： 下面利用这个等式，巧妙地计算一些分数求和的问题 例1 计算： 分析与解此题按常规方法先通分后再求和，显然计算起来十分繁杂 是 1 ，而分母又都是相邻两个自然数的积，符合上面等式的要求.如果按上面等式把题目中的前12 个加数也分别写成两个单位分数之差的形式，就得到下面12 个等式：
上面12 个式子的右面相加时，很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为0，这一来问题解起来就十分方便了 像这样在计算分数的加、减时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以相互抵消，从而使计算简化的方法，我们称为裂项法. 例2 计算： 分析与解这里的每一项的分子是1，分母不是相邻两个自然数的积，但都是从 1 开始的连续若干个自然数的和，这使我们联想到计算公式：1+
当n分别取1，2，3，?，100时，就有 即题目中的每一项都变成了一个分子为2、分母为相邻两个自然数乘积的形式，略加变形就得到例 1 的形式，仿照例 1 的方法便可求出解来
分析与解猛一看，此题似乎无法下手，而且与裂项法也没关系.但小学数学课本上曾说过，减法是加法的逆运算.换句话说，任一加法算式都可以改为 这个题的答案是否只有这一个呢？如果不只一个，怎样才能找出所有答案呢？为此，我们来讨论这类问题的一般情况.设n、x、y 都是自然数，且 当t=1 时，x=7，y=42，当t=2 时，x=8，y=24，当t=3 时， x=9，y=18，当t=4 时，x=10，y=15，当t=6 时，x=12，y=12， 当t=9 时，x=15，y=10，
分数裂项求和方法复习总结
分数裂项求和方法总结（一）用裂项法求1 (1) n n+ 型分数求和 分析：因为11 1 n n - + ＝ 11 (1)(1)(1) n n n n n n n n + -= +++ （n为自然数） 所以有裂项公式： 111 (1)1 n n n n =- ++ 【例1】求 111 (101111125960) +++ ??? 的和。 111111 ()()......() 101111125960 11 1060 1 12 =-+-++- =- = （二）用裂项法求1 () n n k + 型分数求和 分析： 1 () n n k + 型。（n,k均为自然数） 因为11111 ()[] ()()() n k n k n n k k n n k n n k n n k + -=-= ++++ 所以 1111 () () n n k k n n k =- ++ 【例2】计算 11111 577991111131315 ++++ ????? 111111********* ()()()()() 25727929112111321315 =-+-+-+-+-11111111111 [()()()()()] 2577991111131315 =-+-+-+-+-
111[]2515115 =-= （三） 用裂项法求() k n n k +型分数求和 分析： () k n n k +型（n,k 均为自然数） 11n n k -+＝()()n k n n n k n n k +-++＝() k n n k + 所以()k n n k +＝11n n k -+ 【例3】 求2222 (1335579799) ++++????的和 1111111(1)()()......()335579799 1199 9899 =-+-+-++-=-= （四） 用裂项法求2()(2) k n n k n k ++型分数求和 分析： 2()(2) k n n k n k ++（n,k 均为自然数） 211()(2)()()(2)k n n k n k n n k n k n k =-+++++ 【例4】 计算：4444 (135357939597959799) ++++????????
数列中的裂项法求和举例
数列中的裂项法求和举例 杨恒运 江苏省扬中高级中学 （212200） 数列中的求和问题是一个基本问题，应该根据通项公式的形式确定用什么方法求数列的前 n 项和。裂项法求和的是数列求和中一种常用方法，应用非常广泛,下面就举例说明之。 1. 求通项公式 例1 已知数列｛n a ｝满足： 121321,,n n a a a a a a a ---- 是首项为1公比为 13 的等比数列，求通项n a 由于121321n n n a a a a a a a a -+-+-++-= 很容易求出通项1 13n n a -?? = ? ?? 2. 求等差数列前 n 项和 例2 在数列{}n a 中,若21n n a n n s =+，求前项和 学生在求和中，数列中的基本元素及求和公式都会搞错，若用裂项法就很容易求出其前n 项和 略解:显然22 (1)n a n n =+- 122 22 22 2 2 2 1 (2 1)(3 2)(1) (1)12(1)n n n s a a a n n n n n a a n d =+++=-+-+++-=+-=+=+- 则一般地，若等差数列 ()() 1 122 12 11() 3(21)22 d 3 = n +12231122 =n a (1)2 n n a d n a d d n a d n a d d s n a d n n n d =+-= ++- ????-+- ? ???? ?? ??∴= +-+- ?? ??? +-则 3．求等比数列前n 项和 对于等比数列前n 项和的推导及记忆应用都是一个难点，若用裂项法的思想，就可以化繁为简
分数求和方法小结
分数求和方法小结 分数求和的常用方法： 1、公式法，直接运用一些公式来计算，如等差数列求和公式等。 2、图解法，将算式或算式中的某些部分的意思，用图表示出来，从而找出简便方法。 3、裂项法，在计算分数加、减法时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以互相抵消，从而使计算简便。 4、分组法，运用运算定律，将原式重新分组组合，把能凑整或约分化简的部分结合在一起简算。 5、代入法，将算式中的某些部分用字母代替并化简，然后再计算出结果。 典型例题 一、公式法： 计算： 20081+20082+20083+20084+…+20082006+2008 2007 分析：这道题中相邻两个加数之间相差20081，成等差数列，我们可以运用等差数列求和公式：（首项+末项）×项数÷2来计算。 20081+20082+20083+20084+…+20082006+2008 2007 =（20081＋2008 2007）×2007÷2 =2 11003 二、图解法： 计算：21 ＋41＋81＋161＋321＋64 1 分析：解法一，先画出线段图： 从图中可以看出：21 ＋41＋81＋161＋321＋641=1－641=64 63 解法二:观察算式，可以发现后一个加数总是前一个加数的一半。因此，只要添上一个加数641，就能凑成32 1，依次向前类推，可以求出算式之和。 21 ＋41＋81＋161＋321＋64 1 =21 ＋41＋81＋161＋321＋（641＋641）－64 1 =21 ＋41＋81＋161＋（321+32 1）－641
…… = 21 ×2－64 1 =6463 解法三：由于题中后一个加数总是前一个加数的一半，根据这一特点，我们可以把原式扩大2倍，然后两式相减，消去一部分。 设x= 21 ＋41＋81＋161＋321＋64 1 ① 那么，2x=（21 ＋41＋81＋161＋321＋64 1）×2 =1+21 ＋41＋81＋161＋321 ② 用②－①得 2x －x=1+ 21 ＋41＋81＋161＋321－（21 ＋41＋81＋161＋321＋64 1） x=64 63 所以，21 ＋41＋81＋161＋321＋641=6463 三、裂项法 1、计算：21+61＋121＋201＋301＋……＋901＋110 1 分析：由于每个分数的分子均为1，先分解分母去找规律：2=1×2，6=2×3，12=3×4，20=4×5，30=5×6，……110=10×11，这些分母均为两个连续自然数的乘积。 再变数型：因为 21=211?=1－21，61=321?=21－31，121=431?=31－4 1，……，1101=11101?=101-111。这样将连加运算变成加减混合运算，中间分数互相抵消，只留下头和尾两个分数，给计算带来方便。 21+61＋121＋201＋301＋……＋901＋110 1 =1－21＋21－31＋31－41＋……＋91－101＋101-11 1 =1－11 1 =11 10 2、计算：511?＋951?＋13 91?＋……＋33291?＋37331?