高中数学必修一模块综合检测卷

模块综合检测卷

(时间：120分钟满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的)

1．已知全集U＝{1，2，3，4}，A＝{1，2}，B＝{2，3}，则?U(A∪B)＝()

A．{3} B．{4}

C．{3，4} D．{1，3，4}

解析：因为A＝{1，2}，B＝{2，3}，

所以A∪B＝{1，2，3}．

所以?U(A∪B)＝{4}．

答案：B

2．当a＞1时，在同一平面直角坐标系中，函数y＝a－x与y＝log a x 的图象是()

答案：A

3．已知集合A＝{x|y＝x＋1}，B＝{y|y＝x2＋1}，则A∩B＝() A．?B．[－1，1]

C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)

解析：A＝{x|y＝x＋1}＝{x|x≥－1}，B＝{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．

所以A∩B＝[1，＋∞)．

答案：D

4．设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x1＜0，x1＋x2＞0，则()

A．f(－x1)＞f(－x2)

B．f(－x1)＝f(－x2)

C．f(－x1)＜f(－x2)

D．f(－x1)与f(－x2)大小不确定

解析：由x1＜0，x1＋x2＞0得x2＞－x1＞0，

又f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，

所以f(－x2)＝f(x2)＜f(－x1)．

答案：A

5．已知函数f(x)的单调递增区间是(－2，3)，则y＝f(x＋5)的单调递增区间是()

A．(3，8) B．(－7，－2)

C．(－2，3) D．(0，5)

解析：因为f(x)的单调递增区间是(－2，3)，则f(x＋5)的单调递增区间满足－2＜x＋5＜3，即－7＜x＜－2.

答案：B

6．若x ∈[0，1]，则函数y ＝x ＋2－1－x 的值域是( ) A ．[2－1，3－1] B ．[1， 3 ] C ．[2－1， 3 ]

D ．[0，2－1]

解析：该函数为增函数，自变量最小时，函数值最小；自变量最大时，函数值最大．故y min ＝2－1，y max ＝ 3.

答案：C

7．下列不等式正确的是( )

A.? ????161

2＜? ????131

2＜? ????161

4 B.? ????1614＜? ????161

2＜? ??

??

131

2

C.? ????13 12＜? ????1614＜? ????

161

2 D.? ??

??13 1

2＜? ??

??161

2＜? ??

??161

4 答案：A

8．已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为( )

A ．[2－2，2＋2]

B ．(2－2，2＋2)

C ．[1，3]

D ．(1，3)

解析：f (x )＝e x －1>－1，g (x )＝－x 2＋4x －3＝－(x －2)2＋1≤1，若有f (a )＝f (b )，则g (b )∈(－1，1]，即－b 2＋4b －3>－1?2－2

答案：B

9．已知函数f (x )＝?????2x －1－2， x ≤1，

－log 2（x ＋1），x ＞1，

且f (a )＝－3，则f (6

－a )＝( )

A ．－74

B ．－54

C ．－34

D ．－1

4

解析：当a ≤1时，f (a )＝2a －1－2＝－3， 则2a －1＝－1不成立，舍去． 当a ＞1时，f (a )＝－log 2(a ＋1)＝－3. 所以a ＋1＝8，a ＝7.

此时f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝－74.

答案：A

10．设偶函数f (x )＝log a |x ＋b |在(0，＋∞)上是单调减函数，则f (b －2)与f (a ＋1)的大小关系是( )

A ．f (b －2)＝f (a ＋1)

B ．f (b －2)＞f (a ＋1)

C ．f (b －2)＜f (a ＋1)

D ．不能确定

解析：因为y ＝log a |x ＋b |是偶函数，b ＝0， 所以y ＝log a |x |.

又在(0，＋∞)上是单调递减函数， 所以0＜a ＜1.

所以f (b －2)＝f (－2)＝f (2)，f (a ＋1)中1＜a ＋1＜2. 所以f (2)＜f (a ＋1)，因此f (b －2)＜f (a ＋1)． 答案：C

11．某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时， 则该食品在33 ℃的保鲜时间是( )

A ．16小时

B ．20小时

C ．24小时

D ．28小时

解析：由题设得e b ＝192，① e 22k ＋b ＝e 22k ·e b ＝48，②

将①代入②得e 22k ＝14，则e 11k ＝1

2

.

当x ＝33时，y ＝e 33k ＋b ＝(e 11k )3·e b ＝? ??

??

123

×192＝24.

所以该食品在33 ℃的保鲜时间是24小时． 答案：C

12．已知函数f (x )＝???x 2－ax ＋5，x ＜1，

1＋1

x ， x ≥1，在R 上单调，则实数a 的取值范围是( )

A ．(－∞，2]

B ．[2，＋∞)

C ．[4，＋∞)

D ．[2，4]

解析：当x ≥1时，f (x )＝1＋1

x 为减函数，

所以f (x )在R 上应为单调递减函数， 要求当x ＜1时，f (x )＝x 2－ax ＋5为减函数，

所以a

2

≥1，即a ≥2，并且满足当x ＝1时，f (x )＝1＋1x 的函数值

不大于x ＝1时f (x )＝x 2－ax ＋5的函数值，即1－a ＋5≥2，解得a ≤4.

所以实数a 的取值范围[2，4]． 答案：D

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

13．2－3，31

2与log 25三个数中最大的数是________．

解析：因为2－3＜1，31

2＜2，log 25＞2. 所以这三个数中最大的数为log 25. 答案：log 25

14．函数y ＝x －2

x －3

lg

4－x 的定义域是__________．

解析：由题知????

?x －2≥0，x －3≠0，4－x ＞0，所以2≤x ＜4且x ≠3.

答案：[2，3)∪(3，4)

15．已知函数f (x )＝b －2x

2x ＋1为定义是区间[－2a ，3a －1]上的奇函

数，则a ＋b ＝________．

解析：因为函数f (x )＝

b －2x 2x

＋1

为定义是区间[－2a ，3a －1]上的奇

函数，所以－2a ＋3a －1＝0，所以a ＝1.

又f (0)＝b －2020＋1

＝b －1

2＝0，所以b ＝1.

故a＋b＝2.

答案：2

16．若函数f(x)＝|4x－x2|－a的零点个数为3，则a＝________.

解析：作出g(x)＝|4x－x2|的图象，g(x)的零点为0和4.由图象可知，将g(x)的图象向下平移4个单位时，满足题意，所以a＝4.

答案：4

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程式演算步骤)

17．(本小题满分10分)设函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab的两个零点分别是－3和2.

(1)求f(x)；

(2)当函数f(x)的定义域是[0，1]时，求函数f(x)的值域．

解：(1)因为f(x)的两个零点是－3和2，

所以函数图象过点(－3，0)，(2，0)．

所以有9a－3(b－8)－a－ab＝0.①

4a＋2(b－8)－a－ab＝0.②

①－②得b＝a＋8.③

③代入②得4a＋2a－a－a(a＋8)＝0，即a2＋3a＝0，

因为a≠0，

所以a＝－3.

所以b＝a＋8＝5.

所以f (x )＝－3x 2－3x ＋18.

(2)由(1)得f (x )＝－3x 2－3x ＋18＝－3? ??

??x ＋122

＋3

4＋18，

图象的对称轴方程是x ＝－1

2，又0≤x ≤1，

所以f (x )min ＝f (1)＝12，f (x )max ＝f (0)＝18. 所以函数f (x )的值域是[12，18]．

18．(本小题满分12分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ＞0)，

F (x )＝?????f （x ），x ＞0，－f （x ），x ＜0，

若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0，

(1)求F (x )的表达式；

(2)当x ∈[－2，2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求k 的取值范围．

解：(1)因为f (x )＝ax 2＋bx ＋1，f (－1)＝0， 所以a －b ＋1＝0.

又因为对任意实数x ，均有f (x )≥0， 所以Δ＝b 2－4a ≤0. 所以(a ＋1)2－4a ≤0. 所以a ＝1，b ＝2. 所以f (x )＝x 2＋2x ＋1.

所以F (x )＝???x 2＋2x ＋1，x ＞0，－x 2

－2x －1，x ＜0.

(2)因为g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1， 在[－2，2]上是单调函数， 所以k －22≥2或k －22≤－2，

解之得k ≥6或k ≤－2.

所以k 的取值范围是{k |k ≥6或k ≤－2}．

19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2x －1x ，其定义域为

{x |x ≠0}．

(1)用单调性的定义证明函数f (x )在区间(0，＋∞)上为增函数； (2)利用(1)所得到的结论，求函数f (x )在区间[1，2]上的最大值与最小值．

(1)证明：设x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0. f (x 2)－f (x 1)＝2x 2－1x 2－2x 1－1x 1＝x 2－x 1

x 1x 2.

因为x 1＜x 2， 所以x 2－x 1＞0.

又因为x 1，x 2∈(0，＋∞)， 所以x 2x 1＞0，f (x 2)－f (x 1)＞0.

故f (x )＝2x －1

x

在区间(0，＋∞)上为增函数．

(2)解：因为f (x )＝2x －1

x

在区间(0，＋∞)上为增函数，

所以f (x )min ＝f (1)＝2－11＝1，f (x )max ＝f (2)＝2×2－12＝3

2.

20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x m

－4

x

，且f (4)＝3.

(1)求m 的值； (2)判断f (x )的奇偶性；

(3)若不等式f (x )－a ＞0在区间[1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．

解：(1)因为f (4)＝3， 所以4m －4

4＝3，

所以m ＝1.

(2)由(1)知f (x )＝x －4

x

，

其定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称．

又f (－x )＝－x －4

－x

＝－? ????

x －4x ＝－f (x )，

所以f (x )是奇函数．

(3)因为y ＝x ，y ＝－1

x 在区间[1，＋∞)上都是增函数，

所以f (x )在区间[1，＋∞)上为增函数，所以f (x )≥f (1)＝－3. 因为不等式f (x )－a ＞0在区间[1，＋∞)上恒成立， 即不等式a ＜f (x )在区间[1，＋∞)上恒成立， 所以a ＜－3，

故实数a 的取值范围是(－∞，－3)．

21．(本小题满分12分)“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v (单位：千克/年)是养殖密度x (单位：尾/立方米)的函数．当x 不超过4(尾/立方米)时，v 的值为2(千克/年)；当4≤x ≤20时，v 是x 的一次函数；当x 达到20(尾/立方米)时，因缺氧等原因，v 的值为0(千克/年)．

(1)当0＜x ≤20时，求函数v (x )的表达式；

(2)当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．

解：(1)由题意：当0＜x ≤4时，v (x )＝2；

当4＜x ≤20时，设v (x )＝ax ＋b ，显然该函数在[4，20]是减函数， 由已知得???20a ＋b ＝0，4a ＋b ＝2，解得?????a ＝－18，b ＝5

2.

故函数v (x )＝?????2，

0＜x ≤4，x ∈N *，－18x ＋5

2，

4≤x ≤20，x ∈N *

.

(2)依题意并由(1)可得

f (x )＝?????2x ，

0＜x ≤4，x ∈N *，－18x 2

＋52x ，

4≤x ≤20，x ∈N *

.

当0≤x ≤4时，f (x )为增函数，故f max (x )＝f (4)＝4×2＝8； 当4≤x ≤20时，f (x )＝－18x 2＋52x ＝－18(x 2－20x )＝－1

8

(x －10)2＋

1002

8，

f max(x)＝f(10)＝12.5.

所以，当0＜x≤20时，f(x)的最大值为12.5.

当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为12.5千克/立方米．

22．(本小题满分12分)已知奇函数f(x)＝m－g（x）

1＋g（x）

的定义域为

R，其中g(x)为指数函数，且过定点(2，9)．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若对任意的t∈[0，5]，不等式f(t2＋2t＋k)＋f(－2t2＋2t－5)＞0恒成立，求实数k的取值范围．

解：(1)设g(x)＝a x(a＞0，且a≠1)，则a2＝9.

所以a＝－3(舍去)或a＝3，

所以g(x)＝3x，f(x)＝m－3x 1＋3x

.

又f(x)为奇函数，且定义域为R，所以f(0)＝0，

则m－30

1＋30

＝0，所以m＝1，所以f(x)＝

1－3x

1＋3x

.

(2)设x 1＜x 2，则

f (x 1)－f (x 2)＝1－3x 11＋3x 1－1－3x 21＋3x 2＝2（3x 2－3x 1）

（1＋3x 1）（1＋3x 2）.

因为x 1＜x 2，

所以3x 2－3x 1＞0，

所以2（3x 2－3x 1）

（1＋3x 1）（1＋3x 2）＞0，

所以f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，

所以函数f (x )在R 上单调递减．

要使对任意的t ∈[0，5]，f (t 2＋2t ＋k )＋f (－2t 2＋2t －5)＞0恒成立，

即f (t 2＋2t ＋k )＞－f (－2t 2＋2t －5)恒成立． 因为f (x )为奇函数，

所以f (t 2＋2t ＋k )＞f (2t 2－2t ＋5)恒成立． 又因为函数f (x )在R 上单调递减，

所以对任意的t∈[0，5]，t2＋2t＋k＜2t2－2t＋5恒成立，即对任意的t∈[0，5]，k＜t2－4t＋5＝(t－2)2＋1恒成立．

而当t∈[0，5]时，1≤(t－2)2＋1≤10，所以k＜1.