随机过程实验报告全

随机过程实验报告

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一、实验目的

通过随机过程的模拟实验，熟悉随机过程编码规律以及各种随机过程的实现方法，通过理论与实际相结合的方式，加深对随机过程的理解。

二、实验内容

（1）熟悉Matlab工作环境，会计算Markov链的n步转移概率矩阵和Markov链的平稳分布。

（2）用Matlab产生服从各种常用分布的随机数，会调用matlab自带的一些常用分布的分布律或概率密度。

（3）模拟随机游走。

（4）模拟Brown运动的样本轨道的模拟。

（5）Markov过程的模拟。

三、实验原理及实验程序

n步转移概率矩阵

根据Matlab的矩阵运算原理编程，Pn = P ^n。

已知随机游动的转移概率矩阵为：

P =

0.5000 0.5000 0

0 0.5000 0.5000

0.5000 0 0.5000

求三步转移概率矩阵p3及当初始分布为

P{x0 = 1} = p{x0 = 2} = 0, P{x0 = 3} = 1 时经三步转移后处于状态3的概率。

代码及结果如下：

P = [0.5 0.5 0; 0 0.5 0.5; 0.5 0 0.5] %一步转移概率矩阵

P3 = P ^3 %三步转移概率矩阵

P3_3 = P3(3,3) %三步转移后处于状态的概率

1、两点分布

x=0:1;

y=binopdf(x,1,0.55);

plot(x,y,'r*');

title('两点分布');

2、二项分布

N=1000;p=0.3;k=0:N;

pdf=binopdf(k,N,p);

plot(k,pdf,'b*');

title('二项分布');

xlabel('k');

ylabel('pdf');

gridon;

boxon

3、泊松分布

x=0:100;

y=poisspdf(x,50);

plot(x,y,'g.');

title('泊松分布')

4、几何分布

x=0:100;

y=geopdf(x,0.2);

plot(x,y,'r*');

title('几何分布');

xlabel('x');

ylabel('y');

5、泊松过程仿真

5.1 % simulate 10 times

clear;

m=10; lamda=1; x=[];

for i=1:m

s=exprnd(lamda,'seed',1);

x=[x,exprnd(lamda)];

t1=cumsum(x);

end

[x',t1']

5.2%输入：

N=[];

for t=0:0.1:(t1(m)+1)

if t

N=[N,0];

elseif t

N=[N,1];

elseif t

N=[N,2];

elseif t

N=[N,3];

elseif t

N=[N,4];

elseif t

N=[N,5];

elseif t

N=[N,6];

elseif t

N=[N,7];

elseif t

N=[N,8];

elseif t

N=[N,9];

else

N=[N,10];

end

end

plot(0:0.1:(t1(m)+1),N,'r-') 5.3% simulate 100 times

clear;

m=100; lamda=1; x=[];

for i=1:m

s= rand('seed');

x=[x,exprnd(lamda)];

t1=cumsum(x);

end

[x',t1']

N=[];

for t=0:0.1:(t1(m)+1)

if t

N=[N,0];

end

for i=1:(m-1)

if t>=t1(i) & t

N=[N,i];

end

end

if t>t1(m)

N=[N,m];

end

end

plot(0:0.1:(t1(m)+1),N,'r-')

6、泊松过程

function I=possion(lambda,m,n)

for j=1:m

X=poissrnd(lambda,[1,n]); %参数为lambda的possion 过程

N(1)=0;

for i=2:n

N(i)=N(i-1)+X(i-1);

end

t=1:n;

plot(t,N)

grid on

hold on

end

7、布朗运动

7.1一维布朗运动程序：

function [t,w]=br1(t0,tf,h)

t=t0:h:tf;

t=t';

x=randn(size(t));

w(1)=0;

for k=1:length(t)-1

w(k+1)=w(k)+x(k);

end

w=sqrt(h)*w;

w=w(:);

end

调用

t0=1;

tf=10;

h=0.01;

[t,w]=br1(t0,tf,h);

figure;

plot(t,w,'*');

xlabel('t');

ylabel('w');

title('一维Brown运动模拟图'); 7.2二维布朗运动：

function [x,y,m,n]=br2(x0,xf,y0,yf,h)

x=x0:h:xf;

y=y0:h:yf;

a=randn(size(x));

b=randn(size(y));

m(1)=0;

n(1)=0;

for k=1:length(x)-1

m(k+1)=m(k)+a(k);

n(k+1)=n(k)+b(k);

end

m=sqrt(h)*m;

n=sqrt(h)*n;

end

调用

x0=0;

xf=10;

h=0.01;

y0=0;yf=10;

[x,y,m,n]=br2(x0,xf,y0,yf,h);

figure;

plot(m,n);

xlabel('m');

ylabel('n');

title('二维Brown运动模拟图');

7.3三维布朗运动：

npoints =1000;

dt = 1;

bm = cumsum([zeros(1, 3); dt^0.5*randn(npoints-1, 3)]);

figure(1);

plot3(bm(:, 1), bm(:, 2), bm(:, 3), 'k');

pcol = (bm-repmat(min(bm), npoints, 1))./ ...

repmat(max(bm)-min(bm), npoints, 1);

hold on;

scatter3(bm(:, 1), bm(:, 2), bm(:, 3), ...

10, pcol, 'filled');

grid on;

hold off;

8、马尔科夫链

离散服务系统中的缓冲动力学

m=200;

p=0.2;

N=zeros(1,m); %初始化缓冲区

A=geornd(1-p,1,m); %生成到达序列模型, for n=2:m

N(n)=N(n-1)+A(n)-(N(n-1)+A(n)>=1);

end

stairs((0:m-1),N);

9、随机数游走

9.1 100步随机游走

n = 100; %选取步数。

x = rand(n,1); %生成均匀分布随机数。

y = 2*(x > 0.5) - 1; %转换这些数到为-1和+1。

z = cumsum(y); %计算y的累积和。

clf

plot(z) %画出z的第1, 2, 3, ...等的值。

9.2 5000步随机游走

n = 5000; %选取步数。

x = rand(n,1); %生成均匀分布随机数。

y = 2*(x > 0.5) - 1; %转换这些数到为-1和+1。

z = cumsum(y); %计算y的累积和。

clf

plot(z) %画出z的第1, 2, 3, ...等的值。

9.3复杂随机数游走

clear all;close all;clc

n=70000; %游走的步数。也是图像中像素个数，有些位置可能重复，所以白像素小于等于n

x=0; %初始x坐标

y=0; %初始y坐标

pix=zeros(n,2); %游走产生的像素坐标

neighbour=[-1 -1;-1 0;-1 1;0 -1;0 1;1 -1;1 0;1 1]; %当前像素邻域

for i=1:n

r=floor(1+8*rand()); %八邻域随机选一个来走

y=y+neighbour(r,1); %y方向游走

x=x+neighbour(r,2); %x方向游走

pix(i,:)=[y x]; %保存坐标

end

miny=min(pix(:,1)); %图像坐标不可能为负，所以找最小值再整体提升为正

minx=min(pix(:,2)); %同上

pix(:,1)=pix(:,1)-miny+1; %像素坐标整体变为正

pix(:,2)=pix(:,2)-minx+1;

maxy=max(pix(:,1)); %找最大坐标值，为开辟图像做准备

maxx=max(pix(:,2));

img=zeros(maxy,maxx); %根据maxy、maxx产生图像

for i=1:n %将游走的值赋给图像img(pix(i,1),pix(i,2))=1;

end

imshow(img)

9.4二维随机游动模拟

n=90000;

colorstr=['b' 'r' 'g' 'y'];

for k=1:4

z=2.*(rand(2,n)<0.5)-1;

x=[zeros(1,2); cumsum(z')];

col=colorstr(k);

plot(x(:,1),x(:,2),col);

hold on

end

Grid

9.5三维随机游动模拟

p=0.5;

n=9000;

colorstr=['b' 'r' 'g' 'y'];

for k=1:4

z=2.*(rand(3,n)<=p)-1;

x=[zeros(1,3); cumsum(z')];

col=colorstr(k);

plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3),col);

hold on

end

Grid

四、实验结果

1、两点分布

2、二项式分布

3、泊松分布

4、几何分布

5、泊松过程仿真

5.1ans =

0.6509 0.6509

2.4061

3.0570

0.1002 3.1572

0.1229 3.2800

0.8233 4.1033

0.2463 4.3496

1.9074 6.2570

0.4783 6.7353

1.3447 8.0800

0.8082 8.8882 5.2

5.3

6、泊松过程

possion(2,1,500)

possion(2,10,500)

possion(2,100,500)