应用统计与随机过程实验报告 (3)
实验三 线性系统对随机过程的响应
一、实验目的
通过本仿真实验了解正态白色噪声随机过程通过线性系统后相关函数以及功率谱的变化；培养计算机编程能力。
二、实验要求
采用MATLAB 或VB 语言进行编程
1) 运用正态分布随机数产生函数产生均值为零、根方差=1的白色噪声样本序列[或可参考实验1的正态分布产生方法]{u(n)|n=1, 2,…,2000}；画出噪声u(n)的波形图。
2) 设离散时间线性系统的差分方程为
画出x(n)的波形图。
3) 随机过程x(n)的理论上的功率谱密度函数为
在[0,π]范围内对w 进行采样，采样间隔0.001π，计算S(i × 0.001π) (i=1,2,…,1000);画出波形图。
4) 根据步骤(2)产生的数据序列x(n)计算相关函数的估计值 与理论值1.1296、-0.666、0.85、0、0、0的差异。
5) 根据相关函数的估计值对随机过程的功率谱密度函数进行估计 在[0,π]范围内对w 进行采样，采样间隔0.001π，计算S1(i ×()()-0.36(-1)0.85(-2) (3,4, (2000)
x n u n u n u n n =+=22
()|10.360.85|j j S e e ωωω--=-+200031?()()() (0,1,2,3,4,5)1998X n m
R m x n x n m m m =+=-=-∑1???()(0)2(1)cos()2(2)cos(2)X X X
S R R R ωωω=++
0.001π) (i=1,2,…,1000);画出波形图；比较其与理论上的功率
谱密度函数S(w)的差异。
6)仿照实验1的方法统计数据x(n)在不同区间出现的概率,计算其
理论概率，观察二者是否基本一致。
三、实验代码及结果
1.运用正态分布随机数产生函数产生均值为零、根方差=1的白色噪
声样本序列[或可参考实验1的正态分布产生方法]{u(n)|n=1, 2,…,2000}；画出噪声u(n)的波形图。
代码：
n=1:2000;
u1(n)=rand(1,2000);
u2(n)=rand(1,2000);
u(n)=sqrt(-2*log(u1(n))).*cos(2*pi*u2(n));
stem(u,'.');
title('u(n)');
波形图：
分析：运用正态分布随机数产生函数产生均值为零、根方差σ=1的白色噪声样本序列。
2. 设离散时间线性系统的差分方程为
画出x(n)的波形图。
代码：
n=3:2000;
x(n)=u(n)-0.36*u(n-1)+0.85*u(n-2);
stem(x,'.');
title('x(n)');
波形图：
分析：正态随机序列通过线性离散系统生成的还是正态随机序列。 ()()-0.36(-1)0.85(-2) (3,4, (2000)
x n u n u n u n n =+=
3. 随机过程x(n)的理论上的功率谱密度函数为
在[0,π]范围内对w 进行采样，采样间隔0.001π，计算S(i × 0.001π) (i=1,2,…,1000);画出波形图。
代码：
i=1:1000;
w=0.001*pi.*i;
s=(abs(1-0.36.*exp((-1j).*w)+0.85.*exp((-2j).*w))).*(abs(1-0.36.*exp((-1j). *w)+0.85.*exp((-2j).*w)));
stem(s,'.');
title('s(i*0.001*pi)');
波形图：
22
()|10.360.85|j j S e e ωωω--=-+
4. 根据步骤(2)产生的数据序列x(n)计算相关函数的估计值 与理论值1.1296、-0.666、0.85、0、0、0的差异。
代码：
Rx=rand(1,6);
for m=1:1:6
sum=0;
for n=(3+m):1:2000
sum=sum+x(n)*x(n-m+1);
end
Rx(m)=sum/(1999-m);
end
S1=rand(1,1000);
for i=1:1:1000
S1(i)=Rx(1)+2*Rx(2)*cos(i*0.001*pi)+2*Rx(3)*cos(2*i*0.001*pi); end
figure
stem(S1)
运行结果：
分析：所得的数据与理论值1.1296、-0.666、0.85、0、0、0存在一定的差异。
200031?()()() (0,1,2,3,4,5)1998X n m
R m x n x n m m m =+=-=-∑
5. 根据相关函数的估计值对随机过程的功率谱密度函数进行估计 在[0,π]范围内对w 进行采样，采样间隔0.001π，计算S1(i × 0.001π) (i=1,2,…,1000);画出波形图；比较其与理论上的功率 谱密度函数S(w)的差异。
代码：
N=1000;
P1=0;
P2=0;
P3=0;
P4=0;
for n=3:1:N
If(x(n)<-1)
P1=P1+1;
else if(x(n)>=-1&x(n)<=0)
P2=P2+1;
else if(x(n)>0&x(n)<=1)
P3=P3+1;
else
P4=P4+1;
end
end
end
end
p1=P1/N
p2=P2/N
p3=P3/N
p4=P4/N
p=p1+p2+p3+p4
figure
hist(x,1000)
return
1???()(0)2(1)cos()2(2)cos(2)X X X
S R R R ωωω=++
运行结果：
分析：采样计算得到的功率谱密度函数比较其与理论上的功率谱密度
函数相比，没有完全成偶对称。数据的概率分布没有理论那样均匀。6.分析：
理论概率Rx = 1.8315 -0.6430 0.8528 -0.0473 -0.0096 -0.0102。所以二者基本一致。