数列求和的基本方法例题

数列求和的基本方法归纳

教师：王光明

数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.

一、利用常用求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.

1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2

)

1(2)(11-+=+=

2、等比数列求和公式：???

??≠--=--==)

1(11)1()1(111

q q q a a q

q a q na S n n n

3、 )1(211+==∑=n n k S n

k n 4、)12)(1(61

1

2++==∑=n n n k S n

k n

5、 21

3)]1(21

[+==∑=n n k S n

k n

[例1] 已知3

log 1

log 23-=

x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2

1

2log log 3log 1log 3323=?-=?-=

x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常

用公式）

＝x x x n --1)1(＝2

11)21

1(2

1--n ＝1－n 21

[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1

)32()(++=

n n

S n S n f 的最大值.

解：由等差数列求和公式得 )1(21+=

n n S n ， )2)(1(2

1

++=n n S n （利用常用公式）

∴ 1)32()(++=

n n S n S n f ＝64

342++n n n

＝

n

n 64

341+

+＝

50

)8(12+-

n

n 50

1≤

∴ 当 8

8-

n ，即n ＝8时，501)(max =n f

二、错位相减法求和

这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：132)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………①

解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积

设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=………………………. ② （设制错

位）

①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- （错

位相减）

再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1

----?

+=-- ∴ 2

1)1()

1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+

[例4] 求数列??????,2

2,,26,24,2232n n

前n 项的和.

解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21

}的通项之积

设n n n

S 2226242232+???+++=…………………………………①

14322

226242221++???+++=n n n

S ………………………………② （设制错位）

①－②得14322

22222222222)211(+-+???++++=-n n n n

S

（错位相减）

112

2212+---=n n n

∴ 1

2

2

4-+-

=n n n S 19．（2014濮阳二模）设{a n

}是等差数列，{b n

}是各项都为正数的等比数列，且a 1

=b 1

=1，a 3

+b 5

=21，a 5

+b 3

=13

（Ⅰ）求{a n

}、{b n

}的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前n 项和S n

．

考点： 等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和． 专题： 计算题；压轴题． 分析： （Ⅰ）设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，根据等比数列和等差数列的通项公式，联立方程求得d

和q ，进而可得{a n }、{b n }的通项公式．

（Ⅱ）数列

的通项公式由等差和等比数列构成，进而可用错位相减法求得前n 项和S n ．

解答：

解：（Ⅰ）设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则依题意有q ＞0且

解得d=2，q=2．

所以a n =1+（n ﹣1）d=2n ﹣1，b n =q n ﹣

1=2n ﹣

1． （Ⅱ）．

，①

，

② ②﹣①得

，

===．

点评： 本题主要考查等差数列的通项公式和用错位相减法求和．

21．（2014天津模拟）在等差数列{a n

}中，a 1

=3，其前n 项和为S n

，等比数列{b n

}的各项均为正数，

b 1

=1，公比为q ，且b 2

+S 2=12，

．

（Ⅰ）求a n

与b n

；

（Ⅱ）设c n

=a n

b n

，求数列{c n

}的前n 项和T n

．

考点： 等比数列的通项公式；等差数列的通项公式；数列的求和． 专题： 综合题；等差数列与等比数列． 分析：

（1）根据b 2+S 2=12，{b n }的公比，建立方程组，即可求出a n 与b n ；

（2）由a n =3n ，bn=3n ﹣1，知c n =a n ?b n =n?3n ，由此利用错位相减法能求出数列{c n }的前n 项和T n ．

解答： 解：（1）∵在等差数列{a n }中，a 1=3，其前n 项和为S n ，

等比数列{b n }的各项均为正数，b 1=1，公比为q ，且b 2+S 2=12，

．

∴b 2=b 1q=q ，，（3分）

解方程组得，q=3或q=﹣4（舍去），a 2=6（5分）

∴a n =3+3（n ﹣1）=3n ，b n =3n ﹣1．（7分） （2）∵a n =3n ，b n =3n ﹣1， ∴c n =a n ?b n =n?3n ， ∴数列{c n }的前n 项和

T n =1×3+2×32+3×33+…+n×3n ，

∴3T n =1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1， ∴﹣2T n =3+32+33+…+3n ﹣n×3n+1 =﹣n×3n+1 =

﹣n×3n+1，

∴T n =×3n+1﹣

．

点评： 本题考查数列的通项公式和前n 项和公式的求法，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列

的性质和错位相减法的合理运用．

三、倒序相加法求和

这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.

[例5] 求证：n n

n n n n

n C n C C C 2)1()12(53210+=++???+++

证明： 设n n n n n n C n C C C S )12(53210++???+++=………………………….. ①

把①式右边倒转过来得

0113)12()12(n

n n n n n n C C C n C n S ++???+-++=-

（反序）

又由m n n m n C C -=可得

n

n n n n n n C C C n C n S ++???+-++=-1103)12()12(…………..…….. ②

①+②得 n n

n n n n n

n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110?+=++???+++=- （反序相加）

∴ n n n S 2)1(?+=

[例6] 求οοοοο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++的值

解：设οοοοο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++=S …………. ①

将①式右边反序得

οοοοο1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++???++=S …………..② （反序） 又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x ο ①

+

②

得

（反序相加）

)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222οοοοοο++???++++=S ＝89

∴ S ＝

四、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

[例7] 求数列的前n 项和：231

,,71,41,1112-+???+++-n a a a n ，…

解：设)231

()71()41()11(12-++???++++++=-n a

a a S n n

将其每一项拆开再重新组合得

)

23741()1

111(12-+???+++++???+++=-n a

a a S n n

（分组）

当a ＝1时，2

)13(n n n S n -+

=＝2)13(n

n + （分

组求和）

当1≠a 时，2)13(1111n n a

a S n n -+--

=＝2)13(11n n a a a n -+--- [例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.

解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1( ∴ ∑=++=n

k n k k k S 1

)12)(1(＝)32(231

k k k n

k ++∑=

将其每一项拆开再重新组合得

S n

＝

k k k n

k n

k n

k ∑∑∑===++1

2

1

3

1

32

（分组）

＝)21()21(3)21(2222333n n n +???++++???++++???++

＝2

)

1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n （分组求和）

＝2

)

2()1(2++n n n

27．已知等比数列{a n

}满足a 2

=2，且2a 3

+a 4

=a 5

，a n

＞0．

（1）求数列{a n

}的通项公式；

（2）设b n

=（﹣1）n

3a n

+2n+1，数列{b n

}的前项和为T n

，求T n

．

考点： 等比数列的前n 项和；数列的求和． 专题： 计算题；等差数列与等比数列． 分析：

（Ⅰ）设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则

，解方程可求a 1，q 结

合等比数列的通项公式即可求解

（Ⅱ）由b n =（﹣1）n 3a n +2n+1=﹣3?（﹣2）n ﹣

1+2n+1，利用分组求和，结合等比与等差数列的求和公式即可求解

解答： （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则…（2分）

整理得q 2﹣q ﹣2=0，即q=﹣1或q=2， ∵a n ＞0，

∴q=2．代入可得a 1=1 ∴

．…（6分）

（Ⅱ）∵b n =（﹣1）n 3a n +2n+1=﹣3?（﹣2）n ﹣

1+2n+1，…（9分）

∴T n =﹣3[1﹣2+4﹣8+…+（﹣2）n ﹣

1]+（3+5+…+2n+1） =﹣3×

=（﹣2）n +n 2++2n ﹣1．…（12分）

点评： 本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的应用，分组求和方法的应用，属于数列知识的简

单综合

五、裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：

（1）)()1(n f n f a n -+= （2）ο

οο

οοn n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （3）1

1

1)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=

n n n n n a n （5）])

2)(1(1

)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=

n n n n n n n a n

(6) n

n

n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(1

1,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-?=?+-+=?++=

-则 [例9] 求数列

???++???++,1

1,

,3

21,

2

11n n 的前n 项和.

解：设

n n n n a n -+=++=

11

1

（裂项）

则 1

13

212

11+++

???+++

+=

n n S n （裂项

求和）

＝)1()23()12(n n -++???+-+-

＝11-+n [例10] 在数列{a n }中，11211++

???++++=n n

n n a n ，又1

2+?=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.

解： ∵ 2

11211n n n n n a n =++???++++=

∴

)11

1(82

122+-=+?=

n n n n b n

（裂项）

∴ 数列{b n }的前n 项和

)]1

1

1()4131()3121()211[(8+-+???+-+-+-=n n S n （裂项求

和）

＝)111(8+-

n ＝ 1

8+n n

[例11] 求证：ο

οο

οοοοο1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+???++ 解：设ο

οοοοο89cos 88cos 1

2cos 1cos 11cos 0cos 1+

???++=

S ∵

ο

οο

οοn n n n tan )1tan()

1cos(cos 1sin -+=+ （裂项）

∴οοοοοο89cos 88cos 1

2cos 1cos 11cos 0cos 1+

???++=

S （裂项求和）

＝

]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1

sin 1ο

οοοοοοοο

-+-+-+- ＝)0tan 89(tan 1sin 1οοο-＝ο

ο

1cot 1

sin 1?＝οο1sin 1cos 2 ∴ 原等式成立

如：是公差为的等差数列，求11

1n

k k k a a =+∑

解：由

()()11111110k k k k k k d a a a a d d a a ++??

==-≠ ?+??

·

∴11111223111111111111n

n

k k k k k k n n a a d a a d a a a a a a ==+++??

????????=-=-+-++-?? ?

? ? ???????????

∑∑……

11111n d a a +??=- ???

六、合并法求和

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .

[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.

解：设S n ＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°

∵ )180cos(cos οοοn n --= （找特

殊性质项）

∴S n ＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···

+（cos89°+ cos91°）+ cos90°

（合并求和）

＝ 0

[例13] 数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002.

解：设S 2002＝2002321a a a a +???+++

由n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1可得

,2,3,1654-=-=-=a a a

,2,3,1,2,3,1121110987-=-=-====a a a a a a

……

2,3,1,2,3,1665646362616-=-=-====++++++k k k k k k a a a a a a

∵ 0665646362616=+++++++++++k k k k k k a a a a a a （找特殊性质

项）

∴ S 2002＝2002321a a a a +???+++ （合

并求和）

＝)()()(66261612876321++++???+++???+???+++???+++k k k a a a a a a a a a a

2002

200120001999199819941993)(a a a a a a a +++++???+++???+

＝2002200120001999a a a a +++ ＝46362616+++++++k k k k a a a a

＝5

[例14] 在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +???++=求的值.

解：设1032313log log log a a a S n +???++=

由等比数列的性质 q p n m a a a a q p n m =?+=+ （找特殊性

质项）

和对数的运算性质 N M N M a a a ?=+log log log 得

)log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++???++++= （合

并求和）

＝)(log )(log )(log 6539231013a a a a a a ?+???+?+? ＝9log 9log 9log 333+???++ ＝10

七、利用数列的通项求和

先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法.

[例15] 求3

211

1111111111个n ???+???+++之和. 解：由于)110(91

99999111111

1

-=????=

???k k k 43421321个个 （找通项及特征）

∴ 3

211

1111111111个n ???+???+++ ＝)110(9

1

)110(91)110(91)110(91321-+???+-+-+-n （分组求和）

＝)1111(91

)10101010(911

3214434421个n n +???+++-+???+++ ＝9

110)110(1091n

n ---?

＝

)91010(81

1

1n n --+

[例16] 已知数列{a n }：∑∞

=+-+++=

1

1))(1(,)3)(1(8

n n n n a a n n n a 求的值. 解：∵ ])

4)(2(1

)3)(1(1)[

1(8))(1(1++-+++=-++n n n n n a a n n n （找通项及特征）

＝])

4)(3(1

)4)(2(1[

8+++++?n n n n （设

制分组）

＝)4

1

31(8)4121(

4+-+++-+?n n n n （裂项）

∴ ∑∑∑∞

=∞

=∞

=++-+++-+=-+1

111)41

31(8)4121(4))(1(n n n n n n n n n a a n （分组、裂项求和） ＝41

8)4131(4?++?

＝3

13

说明：本资料适用于高三总复习，也适用于高一“数列”一章的学习。