高中数学平面向量试卷(考点详细讲解版)
高中数学组卷平面向量1
一．选择题（共18小题）
1．（2011?漳浦县校级模拟）设向量与的夹角为θ，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模||?sinθ，若，则||=（）
A．B．C．2 D．4
2．（2011?温州校级模拟）点O是△ABC所在平面上一点，若，则△AOC的面积与△ABC的面积之比为（）
A．B．C．D．
3．（2010?上虞市模拟）给定向量且满足，若对任意向量满足
，则的最大值与最小值之差为（）
A．2 B．1 C．D．
4．（2010?东城区模拟）在△ABC所在平面上有一点P，满足，则△PBC与△ABC 面积之比是（）
A．B．C．D．
5．（2010?海淀区校级模拟）非零向量若点B关于所在直线的对称点为B1，则向量+为（）
A．B．C．D．
6．若函数y=f（x）图象上存在三点A、B、C，使，则称此函数有“中位点”，下列函数①y=cosx，②y=|x﹣1|，③y=x3+sinx﹣2，④y=cosx+x2中，没有“中位点”的函数个
数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2012?临海市校级模拟）称为两个向量、间的“距离”．若向量、满足：①；②；③对任意的t∈R，恒有
则（）
A．B．C．D．
8．（2011?上海）设A1，A2，A3，A4，A5是平面上给定的5个不同点，则使
=成立的点M的个数为（）
A．0 B．1 C．5 D．10
（2011?上海）设A1，A2，A3，A4是平面上给定的4个不同点，则使
9．
成立的点M的个数为（）
A．0 B．1 C．2 D．4
10．（2007?天津）设两个向量和，其中λ，m，α为实数．若，则的取值范围是（）
A．[﹣6，1] B．[4，8] C．（﹣∞，1] D．[﹣1，6]
11．（2007?浙江）若非零向量，满足|﹣|=||，则（）
A．|2|＞|﹣2| B．|2|＜|﹣2| C．|2|＞|2﹣| D．|2|＜|2﹣| 12．（2005?浙江）已知向量≠，||=1，对任意t∈R，恒有|﹣t|≥|﹣|，则（）A．⊥B．⊥（﹣）C．⊥（﹣）D．（+）⊥（﹣）
13．（2005?黑龙江）点P在平面上作匀速直线运动，速度向量=（4，﹣3）（即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为||个单位．设开始时点P的坐标为（﹣10，10），则5秒后点P的坐标为（）
A．（﹣2，4）B．（﹣30，25）C．（10，﹣5）D．（5，﹣10）
14．（2016?平度市模拟）已知，则=（）
A．9 B．3 C．1 D．2
（2016?枣庄一模）设D为△ABC所在平面内一点，=﹣+，若=λ（λ∈R），15．
则λ=（）
A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3
16．（2016春?衡阳校级月考）、为基底向量，已知向量=﹣k，=2﹣，=3﹣3，若A、B、D三点共线，则k的值是（）
A．2 B．﹣3 C．﹣2 D．3
17．（2016春?简阳市校级月考）已知点O，N在△ABC所在的平面内，且||=||=||，++=，则点O，N依次是△ABC的（）
A．外心，内心B．外心，重心C．重心，外心D．重心，内心
18．（2015?朝阳区模拟）已知向量，||=1，对任意t∈R，恒有|﹣t|≥|﹣|，则（）
A．⊥B．⊥（﹣）C．⊥（﹣）D．（+）⊥（﹣）
二．填空题（共9小题）
19．（2009?湖南）如图所示，把两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若=x+y，则x= ，y= ．
20．（2006?湖南）如图，OM∥AB，点P在由射线OM，线段OB及AB的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且，则x的取值范围是；当时，y 的取值范围是．
21．（2013?安徽模拟）已知O是直线AB外一点，平面OAB上一点C满足
是线段AB和OC的交点，则= ．
22．（2013?新余二模）如图矩形ORTM内放置5个大小相同的边长为1的正方形，其中A，B，C，D都在矩形的边上，若向量，则x2+y2= ．
23．（2010?江阴市校级模拟）已知点O在△ABC内部，且有，则△OAB与△OBC的面积之比为．
24．（2010?南安市校级模拟）已知单位向量，满足：（k＞0），则||的最大值为
．
25．（2010?聊城二模）已知D为三角形ABC的边BC的中点，点P满足
，则实数λ的值为．
26．（2007?江西）如图，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB、AC 于不同的两点M、N，若=m，=n，则m+n的值为．
27．（2005?安徽）△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，
，则实数m= ．
三．解答题（共3小题）
28．（2008?上海）在直角坐标平面xOy上的一列点A1（1，a1），A2（2，a2），…，A n（n，a n），…，简记为{A n}、若由构成的数列{b n}满足b n+1＞b n，n=1，2，…，其中为方向与y轴正方向相同的单位向量，则称{A n}为T点列，
（1）判断，
，是否为T点列，并说明理由；
（2）若{A n}为T点列，且点A2在点A1的右上方、任取其中连续三点A k、A k+1、A k+2，判断△A k A k+1A k+2的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），并予以证明；
（3）若{A n}为T点列，正整数1≤m＜n＜p＜q满足m+q=n+p，求证：．29．（2007秋?朝阳区期末）设动点M的坐标为（x，y）（x、y∈R），向量=（x﹣2，y），=
（x+2，y），且|a|+|b|=8，
（I）求动点M（x，y）的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点N（0，2）作直线l与曲线C交于A、B两点，若（O为坐标原点），
是否存在直线l，使得四边形OAPB为矩形，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．
30．（2005?安徽）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与=（3，﹣1）共线．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且，证明λ2+μ2为定值．
高中数学组卷平面向量1
参考答案与试题解析
一．选择题（共18小题）
1．（2011?漳浦县校级模拟）设向量与的夹角为θ，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模||?sinθ，若，则||=（）
A．B．C．2 D．4
【分析】先求向量a和向量b的夹角，然后利用所给公式求解即可．
【解答】解：∵cosθ==，θ∈（0，π），
∴，
∴|a×b|=|a|?|b|?sinθ=．
故选C．
【点评】本题考查向量的模，是创新题，是中档题．
2．（2011?温州校级模拟）点O是△ABC所在平面上一点，若，则△AOC的面积与△ABC的面积之比为（）
A．B．C．D．
【分析】根据题意，以OA、OB为一组邻边作?OADB，连接OD与AB交于点E，易得AB的中点为E，由平行四边形法则易得+=2
将已知的向量等式变形，可得=﹣，分析可得O的AB边的中线OE上，且O为OE的中
点；依次分析△AOC的面积与△ADC的面积之比以及△ADC的面积与△ABC的面积之比，即可得答案．
【解答】解：根据题意，以OA、OB为一组邻边作?OADB，连接OD与AB交于点E，
由平行四边形的性质易得AB的中点为E，
由平行四边形法则易得+=2
又由，可得，
则=﹣，
则O的AB边的中线OE上，且O为OE的中点，
O为OE的中点，△AOC的面积与△AEC的面积之比为1：2，
E为AB的中点，△AEC的面积与△ABC的面积之比为1：2，
则△AOC的面积与△ABC的面积之比为1：4，
故选C．
【点评】本题考查向量的运算法则：关键是分析出O为AE的中点．
3．（2010?上虞市模拟）给定向量且满足，若对任意向量满足
，则的最大值与最小值之差为（）
A．2 B．1 C．D．
【分析】令=可得⊥，由|+|=|﹣|=1，当≠时，把
展开化简可得||=1，故的最大值为1，最小值为0．【解答】解：∵对任意向量满足，∴当=时，?=0，故⊥．
∵，由向量加减法的几何意义得|+|=1．
由可得，?﹣?（+）+=0，∴=?（+），∴=||?|+|=||，∴||=1，
又∵||≥0，故的最大值与最小值之差为 1﹣0=1，
故选：B．
【点评】本题考查向量的模的定义，向量加减法的几何意义，两个向量垂直的条件，属于基础题．
4．（2010?东城区模拟）在△ABC所在平面上有一点P，满足，则△PBC与△ABC 面积之比是（）
A．B．C．D．
【分析】根据点所满足的条件知，P是三角形的重心，根据重心的特点，得到两个三角形的高之比，而两个三角形底边相同，所以得到结果．
【解答】解：∵，
∴P是三角形的重心，
∴P到顶点的距离是到对边距离的2倍，
∵△PBC与△ABC底边相同，
∴△PBC与△ABC面积之比是
故选A
【点评】用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题，本题把条件等式中的一个向量移项以后，就是用一组基底来表示向量．
5．（2010?海淀区校级模拟）非零向量若点B关于所在直线的对称点为B1，则向量+为（）
A．B．C．D．
【分析】容易知道，由平行四边形法则向量+的方向与向量的方向相同，因此只
需要求得与向量方向相同的单位向量以及向量在向量方向上的投影，即可得到向量+．
【解答】解：如图由题意点B关于所在直线的对称点为B1，
所以∠BOA=∠B1OA，
所以又由平行四边形法则知：+=，
且向量的方向与向量的方向相同，
由数量积的概念，向量在向量方向上的投影是OM=，
又设与向量方向相同的单位向量为：，
所以向量=2=2??=
故应选：A
【点评】本题考查向量加法的平行四边形法则，向量的数量积的概念，向量的模的概念．6．若函数y=f（x）图象上存在三点A、B、C，使，则称此函数有“中位点”，下列
函数①y=cosx，②y=|x﹣1|，③y=x3+sinx﹣2，④y=cosx+x2中，没有“中位点”的函数个
数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】函数y=f（x）图象上存在三点A、B、C，使，则称此函数有“中位点”，
我们可以根据“中位点”的定义，对题目中的四个函数逐一进行判断即可得到答案．
【解答】解：若函数y=f（x）图象上存在三点A、B、C，
使，则称此函数有“中位点”，
此时函数图象上必然有三点共线，
函数y=cosx的图象上（0，1），（，0），（π，﹣1）三点显然共线，
函数y=|x﹣1|的图象上（1，0），（2，1），（3，2）三点显然共线，
函数y=x3+sinx﹣2的图象上（1，sin1﹣1），（0，﹣2），（﹣1，﹣sin1﹣3）三点也共线，但函数y=cosx+x2的图象上任意三点都不共线，
故函数y=cosx+x2没有中位点，
故选A
【点评】这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果．
7．（2012?临海市校级模拟）称为两个向量、间的“距离”．若向量、满足：①；②；③对任意的t∈R，恒有
则（）
A．B．C．D．
【分析】由题意知的终点在单位圆上，由d（，t）≥d（，）恒成立得||≥||恒成立，从而⊥即（﹣）⊥．
【解答】解：如图：∵||=1，
∴的终点在单位圆上，
用表示，用表示，用表示﹣，
设=t ，
∴d（，t）=||，d（，）=||，
由d（，t）≥d（，）恒成立得，
||≥||恒成立，
∴⊥，（﹣）⊥，
故选 C．
【点评】本题考查向量的模的意义及求法，两个向量垂直的条件．
8．（2011?上海）设A1，A2，A3，A4，A5是平面上给定的5个不同点，则使
=成立的点M的个数为（）
A．0 B．1 C．5 D．10
【分析】根据题意，设出M与A1，A2，A3，A4，A5的坐标，结合题意，把M的坐标用其他5
个点的坐标表示出来，进而判断M的坐标x、y的解的组数，进而转化可得答案．
【解答】解：根据题意，设M的坐标为（x，y），x，y解得组数即符合条件的点M的个数，
再设A1，A2，A3，A4，A5的坐标依次为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），（x5，y5）；若=成立，
得（x1﹣x，y1﹣y）+（x2﹣x，y2﹣y）+（x3﹣x，y3﹣y）+（x4﹣x，y4﹣y）+（x5﹣x，y5﹣y）=，
则有x=，y=；
只有一组解，即符合条件的点M有且只有一个；
故选B．
【点评】本题考查向量加法的运用，注意引入点的坐标，把判断点M的个数转化为求其坐标即关于x、y的方程组的解的组数，易得答案．
（2011?上海）设A1，A2，A3，A4是平面上给定的4个不同点，则使
9．
成立的点M的个数为（）
A．0 B．1 C．2 D．4
【分析】根据所给的四个固定的点，和以这四个点为终点的向量的和是一个零向量，根据向量加法法则，知这样的点是一个唯一确定的点．
【解答】解：根据所给的四个向量的和是一个零向量
，
则，
即，
所以．
当A1，A2，A3，A4是平面上给定的4个不同点确定以后，则也是确定的，
所以满足条件的M只有一个，
故选B．
【点评】本题考查向量的加法及其几何意义，考查向量的和的意义，本题是一个基础题，没有具体的运算，是一个概念题目．
10．（2007?天津）设两个向量和，其中λ，m，α为实数．若，则的取值范围是（）
A．[﹣6，1] B．[4，8] C．（﹣∞，1] D．[﹣1，6]
【分析】利用，得到λ，m的关系，然后用三角函数的有界性求解的比值，为了简化，把换元．
【解答】解：由，，，
可得，
设代入方程组可得
消去m化简得，
再化简得
再令代入上式得（sinα﹣1）2+（16t2+18t+2）=0
可得﹣（16t2+18t+2）∈[0，4]
解不等式得
因而解得﹣6≤k≤1．
故选A．
【点评】本题难度较大，题目涉及到向量、三角函数的有界性、还用到了换元和解不等式等知识，体现了化归的思想方法．
11．（2007?浙江）若非零向量，满足|﹣|=||，则（）
A．|2|＞|﹣2| B．|2|＜|﹣2| C．|2|＞|2﹣| D．|2|＜|2﹣|
【分析】向量运算的几何意义及向量的数量积等知识．本题是一道选择题，我们可以用选择题的特殊解法来做，可以用选项代入验证，也可以利用排除法，最后留下正确答案．
【解答】解：若两向量共线，则由于a，b是非零向量，且|a﹣b|=|b|，
∴必有a=2b；代入可知只有A、C满足；
若两向量不共线，注意到向量模的几何意义，
∴可以构造如图所示的三角形，使其满足OB=AB=BC；
令=a，=b，则=a﹣b，
∴=a﹣2b且|a﹣b|=|b|；又BA+BC＞AC
∴|a﹣b|+|b|＞|a﹣2b|
∴|2b|＞|a﹣2b|
故选A．
【点评】利用向量的几何意义解题是向量中的一个亮点，它常常能起到化繁为简、化抽象为直观的效果，考虑一般情况而忽视了特殊情况
12．（2005?浙江）已知向量≠，||=1，对任意t∈R，恒有|﹣t|≥|﹣|，则（）A．⊥B．⊥（﹣）C．⊥（﹣）D．（+）⊥（﹣）
【分析】对|﹣t|≥|﹣|两边平方可得关于t的一元二次不等式
，为使得不等式恒成立，则一定有△≤0．
【解答】解：已知向量≠，||=1，对任意t∈R，恒有|﹣t|≥|﹣|
即|﹣t|2≥|﹣|2∴
即
故选C．
【点评】本题主要考查向量的长度即向量的模的有关问题．
13．（2005?黑龙江）点P在平面上作匀速直线运动，速度向量=（4，﹣3）（即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为||个单位．设开始时点P的坐标为（﹣10，10），
则5秒后点P的坐标为（）
A．（﹣2，4）B．（﹣30，25）C．（10，﹣5）D．（5，﹣10）
【分析】本题是一个平移向量问题，即求把P点（﹣10，10）平移5×（4，﹣3）后对应点的坐标，根据向量平移公式，代入计算即可得到答案．
【解答】解：5秒后点P的坐标为：
（﹣10，10）+5（4，﹣3）=（10，﹣5）
故选C
【点评】平移向量=（h，k）就是将函数的图象向右平移h个单位，再向上平移k个单位．再根据平移变换的口决“左加右减，上加下减”即可解答．
14．（2016?平度市模拟）已知，则=（）
A．9 B．3 C．1 D．2
【分析】由条件求得==1，且=1，由此求得=的值．
【解答】解：∵已知，
∴==1，﹣4 +4=1+4﹣4=1，
解得=1．
∴====3，
故选B．
【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于中档题．
15．
（2016?枣庄一模）设D为△ABC所在平面内一点，=﹣+，若=λ（λ∈R），则λ=（）
A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3
【分析】D为△ABC所在平面内一点，=﹣+，可得B，C，D三点共线．若=λ（λ∈R），可得=﹣，化简与=﹣+比较，即可得出．
【解答】解：∵D为△ABC所在平面内一点，=﹣+，
∴B，C，D三点共线．
若=λ（λ∈R），∴=﹣，
化为：=+，
与=﹣+比较，可得：=﹣，=，解得λ=﹣3．
则λ=﹣3．
故选：D．
【点评】本题考查了向量共线定理、平面向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16．（2016春?衡阳校级月考）、为基底向量，已知向量=﹣k，=2﹣，=3﹣3，若A、B、D三点共线，则k的值是（）
A．2 B．﹣3 C．﹣2 D．3
【分析】由A，B，D三点共线，可构造两个向量共线，再利用两个向量共线的定理求解即可．【解答】解析：∵=2e1﹣e2，=3e1﹣3e2，
∴=﹣=（3e1﹣3e2）﹣（2e1﹣e2）=e1﹣2e2．
∵A、B、D三点共线，∴与共线，
∴存在唯一的实数λ，使得e1﹣ke2=λ（e1﹣2e2）．
即解得k=2．
故选A．
【点评】本题考查三点共线和向量共线的转化和向量共线的条件，属基本题型的考查．17．（2016春?简阳市校级月考）已知点O，N在△ABC所在的平面内，且||=||=||，
++=，则点O，N依次是△ABC的（）
A．外心，内心B．外心，重心C．重心，外心D．重心，内心
【分析】由题意，||=||=||得出点O是△ABC的外心；由++=得出点N是
△ABC的重心．
【解答】解：根据题意，得
在△ABC所在的平面内，
∵||=||=||，
∴点O是△ABC的外心；
又∵++=，
∴（+）+（+）+（+）=，
即++=，
∴D、E、F分别是△ABC三边的中点，
∴点N是△ABC的重心．
故选：B．
【点评】本题考查了平面向量的应用问题，解题时可以结合图形，容易解答问题，是基础题．
18．（2015?朝阳区模拟）已知向量，||=1，对任意t∈R，恒有|﹣t|≥|﹣|，则（）
A．⊥B．⊥（﹣）C．⊥（﹣）D．（+）⊥（﹣）
【分析】对|﹣t |≥|﹣|两边平方可得关于t的一元二次不等式
，为使得不等式恒成立，则一定有△≤0．
【解答】解：已知向量≠，||=1，对任意t∈R，恒有|﹣t |≥|﹣|
即|﹣t |2≥|﹣|2∴
即
故选C．
【点评】本题主要考查向量的长度即向量的模的有关问题，属于基础题．
二．填空题（共9小题）
19．（2009?湖南）如图所示，把两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若=x+y，则x= ，y= ．
【分析】设，求出题中有关线段的长度及有关角的大小，利用2个向量的数量积公式，待定系数法求出x、y的值．
【解答】解∵，又，∴，
∴．
又∵，∴．
设，则由题意知：．
又∵∠BED=60°，∴，显然与的夹角为45°．
∴由得×1×cos45°=（x﹣1）×1，∴x=+1．
同理，在中，两边同时乘以，
由数量积公式可得：y=，故答案为：1+，．
【点评】本题考查2个向量的混合运算，两个向量的数量积定义式、公式的应用，待定系数法求参数值，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．
20．（2006?湖南）如图，OM∥AB，点P在由射线OM，线段OB及AB的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且，则x的取值范围是（﹣∞，0）；当时，y的取值范围是．
【分析】根据向量加法的平行四边形法则，OP为平行四边形的对角线，该四边形应是以OB 和OA的反向延长线为两邻边，得到x的取值范围，当时，要使P点落在指定区域内，
即P点应落在DE上，得到y的范围．
【解答】解：如图，OM∥AB，点P在由射线OM，
线段OB及AB的延长线围成的区域内（不含边界）运动，
且，由向量加法的平行四边形法则，OP为平行四边形的对角线，
该四边形应是以OB和OA的反向延长线为两邻边，
∴x的取值范围是（﹣∞，0）；
当时，要使P点落在指定区域内，即P点应落在DE上，CD=OB，CE=OB，
∴y的取值范围是（，）．
故答案为：（﹣∝，0）；（，）
【点评】本题考查三角形法则，是一个基础题，向量是数形结合的最好的工具，在解题时注意发挥向量的优点．
21．（2013?安徽模拟）已知O是直线AB外一点，平面OAB上一点C满足
是线段AB和OC的交点，则= 3：2 ．
【分析】由三点共线可得，再由P、A、B三点共线可得，代入由向量的运算可得==，进而可得答案．
【解答】解：由题意可得O、P、C三点共线，所以=，
∴=，又因为P、A、B三点共线，
所以，解得λ=5，故，
故===，
所以=3：2
故答案为：3：2
【点评】本题考查平行向量和共线向量，属基础题．
22．（2013?新余二模）如图矩形ORTM内放置5个大小相同的边长为1的正方形，其中A，B，C，D都在矩形的边上，若向量，则x2+y2= 13 ．
【分析】根据题意，根据向量加法的三角形法则，表示出向量，根据已知可得，两边平方即可求得结果．
【解答】解：∵，
∴
两边平方得：
即：1+4+4+2=x2+y2
又，，，
∴x2+y2=1+4+4+4=13
故答案为：13．
【点评】此题考查平面向量基本道理和数量积的运算，在应用平面向量基本道理用已知向量表示未知向量，把未知向量放在封闭图形中是解题的关键，属中档题．
23．（2010?江阴市校级模拟）已知点O在△ABC内部，且有，则△OAB与△OBC的面积之比为4：1 ．
【分析】利用共线向量的充要条件作出，利用向量的运算法则知
OB′A′C′；结合图形得到△OAB与△OBC的面积之比．
【解答】解：如图，作向量，，．
则S△OBC=S△OBC'=S△OB'C'=S△OB'A'=S△OB'A=S△AOB．
故答案为4：1
【点评】本题考查向量共线的充要条件、向量的运算法则：平行四边形法则、数形结合的数学方法．
24．（2010?南安市校级模拟）已知单位向量，满足：（k＞0），则||的最大值为
1 ．
【分析】把已知的等式平方后解出?的解析式，再求出的最大值，从而得到||的最大值．
【解答】解：∵单位向量，满足：（k＞0），
∴k2+2k+=3（﹣2k+k2），∴k2﹣4k?+1=0，
∴?=，=﹣2?+=2﹣≤2﹣=1，
当且仅当 k=1 时，有最大值1，||的最大值为 1，
故答案为：1．
【点评】本题考查向量的模的求法，向量的乘方运算以及基本不等式的应用．25．（2010?聊城二模）已知D为三角形ABC的边BC的中点，点P满足
，则实数λ的值为﹣2 ．
【分析】将已知向量的等式变形，利用向量加法的平行四边形法则得到的关系，求出λ
【解答】解：∵，
∴
∴
∴
∵
∴λ=﹣2
故答案为：﹣2
【点评】本题考查向量的运算法则：三角形法则、平行四边形法则．
26．（2007?江西）如图，在△A BC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB、AC 于不同的两点M、N，若=m，=n，则m+n的值为 2 ．
【分析】三点共线时，以任意点为起点，这三点为终点的三向量，其中一向量可用另外两向量线性表示，其系数和为一．
【解答】解：=（）
=+，
2021年高中数学-平面向量专题
第一部分：平面向量的概念及线性运算 欧阳光明（2021.03.07） 一.基础知识自主学习 1．向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量；向量的大小叫做向量 的(或称) 平面向量是自由向量 零向量长度为的向量；其方向是任意的记作0 单位向量长度等于的 向量 非零向量a的单位向量为± a |a| 平行向量方向或的非零向量 0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何 意义) 运算律 加法求两个向量和的运算(1)交换律： a＋b＝b＋a. (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 减法求a与b的相反向量－b 的和的运算叫做a与b 的差 法则 a－b＝a＋(－b) 数乘求实数λ与向量a的积的 运算 (1)|λa|＝|λ||a|. (2)当λ>0时，λa的方向与a的方向； 当λ<0时，λa的方向与a的方向；当λ ＝0时，λa＝0. λ(μa)＝λμa； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb. 向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa. 二.难点正本疑点清源 1．向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线
段都表示同一向量．或者说长度相等、方向相同的向量是相等的．向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小． 2．向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线(或重合)的情况，而直线平行不包括共线的情况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合． 三．基础自测 1．化简OP →－QP →＋MS →－MQ → 的结果等于________． 2．下列命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量； ④相等向量一定共线．其中不正确命题的序号是_______． 3．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b.若点D 满足BD →＝2DC →，则AD → ＝________(用b 、c 表示)． 4．如图，向量a －b 等于() A ．－4e1－2e2 B ．－2e1－4e2 C ．e1－3e2 D ．3e1－e2 5．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD → ＝7a －2b ，则一定共线的三点是 () A ．A 、B 、DB ．A 、B 、C C ．B 、C 、DD ．A 、C 、D 四．题型分类深度剖析 题型一 平面向量的有关概念 例1 给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a|＝|b|且a ∥b ；⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c.其中正确的序号是________． 变式训练1 判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由． (1)若向量a 与b 同向，且|a|＝|b|，则a>b ； (2)若|a|＝|b|，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反； (3)若|a|＝|b|，且a 与b 方向相同，则a ＝b ； (4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行； (5)若向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 的方向相同或相反； (6)若向量AB →与向量CD → 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上； (7)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； (8)任一向量与它的相反向量不相等 题型二 平面向量的线性运算 例2 如图，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为边作?OADB ，BM →＝13BC →，CN →＝13 CD →，用a 、b 表示OM →、ON →、MN → . 变式训练2 △ABC 中，AD →＝23 AB →，DE ∥BC 交AC 于E ，BC 边上的中线AM 交DE 于N.设AB →＝a ，AC → ＝b ，用a 、b 表示向 量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →. 题型三 平面向量的共线问题 例3 设e1，e2是两个不共线向量，已知AB →＝2e1－8e2，CB →＝e1＋3e2，CD → ＝2e1－e2. (1)求证：A 、B 、D 三点共线； (2)若BF → ＝3e1－ke2，且B 、D 、F 三点共线，求k 的值．
高中数学平面向量测试题及答案[001]
平面向量测试题 一、选择题： 1。已知ABCD 为矩形，E 是DC 的中点，且?→?AB =→a ，?→?AD ＝→b ，则?→ ?BE ＝（ ） （A ） →b +→a 2 1 （B ） →b －→a 2 1 （C ） →a ＋→b 2 1 （D ） →a －→ b 2 1 2．已知B 是线段AC 的中点，则下列各式正确的是（ ） （A ） ?→?AB ＝－?→?BC （B ） ?→?AC ＝?→?BC 2 1 （C ） ?→?BA ＝?→?BC （D ） ?→?BC ＝?→ ?AC 2 1 3．已知ABCDEF 是正六边形，且?→?AB ＝→a ，?→?AE ＝→b ，则?→ ?BC ＝（ ） （A ） )(2 1→→-b a （B ） )(2 1 →→-a b （C ） →a ＋→b 2 1 （D ） )(2 1→ →+b a 4．设→a ，→b 为不共线向量，?→?AB ＝→a +2→b ,?→?BC ＝－4→a －→b ,?→ ?CD ＝ －5→ a －3→ b ,则下列关系式中正确的是 （ ） （A ）?→?AD ＝?→?BC （B ）?→?AD ＝2?→ ?BC （C ）?→?AD ＝－?→ ?BC （D ）?→?AD ＝－2?→ ?BC 5．将图形F 按→ a ＝（h,k ）（其中h>0,k>0）平移，就是将图形F （ ） （A ） 向x 轴正方向平移h 个单位，同时向y 轴正方向平移k 个单位。 （B ） 向x 轴负方向平移h 个单位，同时向y 轴正方向平移k 个单位。 （C ） 向x 轴负方向平移h 个单位，同时向y 轴负方向平移k 个单位。 （D ） 向x 轴正方向平移h 个单位，同时向y 轴负方向平移k 个单位。 6．已知→a ＝（)1,2 1，→ b ＝(), 2 22 3- ，下列各式正确的是（ ） （A ） 2 2?? ? ??=??? ??→ →b a （B ） →a ·→b ＝1 （C ） →a ＝→b （D ） →a 与→b 平行 7．设→ 1e 与→ 2e 是不共线的非零向量，且k → 1e ＋→ 2e 与→ 1e ＋k → 2e 共线，则k 的值是（ ） （A ） 1 （B ） －1 （C ） 1± （D ） 任意不为零的实数 8．在四边形ABCD 中，?→?AB ＝?→?DC ，且?→?AC ·?→ ?BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ） （A ） 矩形 （B ） 菱形 （C ） 直角梯形 （D ） 等腰梯形 9．已知M （－2，7）、N （10，－2），点P 是线段MN 上的点，且?→ ?PN ＝－2?→ ?PM ，则P 点的坐标为（ ） （A ） （－14，16）（B ） （22，－11）（C ） （6，1） （D ） （2，4）
高中数学数列专题大题训练
高中数学数列专题大题组卷 一．选择题（共9小题） 1．等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A．130 B．170 C．210 D．260 2．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A．B．7 C．6 D． 3．数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n≥1），则a6=（） A．3×44B．3×44+1 C．44D．44+1 4．已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，a2=﹣，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）5．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）A．B．C．D． 6．已知等差数列{a n}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（）A．138 B．135 C．95 D．23 7．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3 B．4 C．5 D．6 8．等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n项和S n=（） A．n（n+1）B．n（n﹣1）C．D． 9．设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（） A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0 C．若0＜a 1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0 二．解答题（共14小题） 10．设数列{a n}（n=1，2，3，…）的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．
高中数学平面向量知识点总结
高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示，如：AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ，a ；坐标表示法),(y x yj xi a 向 量的大小即向量的模（长度），记作|AB u u u r |即向量的大小，记作｜a ｜ 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的， 0 与任意向量平行零向量a ＝0 ｜a ｜＝0 由于0r 的方向是任意的，且规定0r 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线） 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 ｜0a ｜＝1 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自 由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的． ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a 大 小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x 2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ，则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r （1）a a a 00；（2）向量加法满足交换律与结合律； 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”： （1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法
高中数学平面向量公式(精选课件)
高中数学平面向量公式１、向量的的数量积 定义:已知两个非零向量a，b。作OＡ＝a,OB=b，则角AOB称作向量ａ和向量b的夹角,记作〈ａ，b〉并规定0≤ ２、向量的数量积不满足消去律，即:由ａ?b=a? c （a≠0)，推不出 b=ｃ。 3、|a?b｜≠|ａ｜?|b｜ 4、由 |a｜=|ｂ| ，推不出a=ｂ或ａ=－ｂ。 2、向量的向量积 定义：两个向量a和ｂ的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作ａ×b。若a、b不共线,则ａ×b的模是：∣a×b ∣＝｜ａ|?｜ｂ｜?ｓｉn〈a，b>；ａ×ｂ的方向是:垂直于ａ和ｂ,且ａ、ｂ和ａ×b按这个次序构成右手系.若ａ、ｂ共线，则a×b=0。...文档交流仅供参考... 向量的向量积性质: ∣a×ｂ∣是以a和b为边的平行四边形面积. a×a=０。 a‖b〈=〉ａ×b＝０。 向量的向量积运算律 a×b=－b×a； （λa）×b=λ（ａ×b)=a×（λb)； （a+b)×c=a×ｃ+b×c。 注:向量没有除法，“向量ＡB/向量CＤ”是没有意义的. 3、向量的三角形不等式 1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a＋ｂ∣≤∣ａ∣+∣b∣； 2019年爱云校西藏高考模拟高中数学试卷（12月份组卷）（四） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 设集合M ={m ∈Z|?3 专题讲座 高中数学“平面向量” 一、整体把握“平面向量”教学内容 （一）平面向量知识结构图 （二）重点难点分析 本专题内容包括：平面向量的概念、运算及应用． 课标要求： 平面向量（约12课时） （1）平面向量的实际背景及基本概念 通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示。（2）向量的线性运算 ①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义。 ②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义。 ③了解向量的线性运算性质及其几何意义。 （3）平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义。 ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。 ③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。 ④理解用坐标表示的平面向量共线的条件。 （4）平面向量的数量积 ①通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义。 ②体会平面向量的数量积与向量投影的关系。 ③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。 ④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。 （5）向量的应用 经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。 依据课标要求，并结合前面的分析可知：新概念、新运算的定义，向量运算和向量运算的几何意义是本专题的重点，平面向量基本定理是坐标表示（几何代数化）的关键，也是本专题教学的难点。 二、“平面向量”教与学的策略 （一）在概念教学中，依据概念教学的方法，建构概念知识体系 本专题的教学中，向量、向量的运算等都是新定义的概念，如何让这些概念的出现自然轻松，还能让学生迅速把握住本质，达成理解？不妨遵循概念教学的方法。 比如说：“向量的概念”教学中，可从力、位移等实例引入，进行抽象概括，形成向量的概念。之后，提出“温度、功是不是向量？”这样的问题，通过比较，对向量的概念进行辨析，在此基础上，抓住向量的两个要点：大小、方向进行拓展，按如下表格整理，将向量概念精致化。 概念辨析： 第一部分：平面向量的概念及线性运算 一.基础知识自主学习 1．向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量；向量的大小叫做向量 平面向量是自由向量的(或称) 零向量长度为的向量；其方向是任意的记作 0 单位向量长度等于的非零向量 a 的单位向量为± a 向量|a| 平行向量方向或的非零向量 0 与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0 的相反向量为 0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则 (或几何 运算律意义 ) 加法求两个向量和的运算 求 a 与 b 的相反向量－ b 减法的和的运算叫做 a 与 b 的差 (1)交换律： a＋ b＝ b＋ a. (2)结合律： (a＋ b)＋ c＝ a＋ (b＋c)． a－ b＝ a＋ (－ b) 法则 求实数λ与向量 a 的积的(1)|λa|＝ |λ||a|. ；λ(μa)＝λμa； 数乘 (2)当λ>0 时，λa 的方向与 a 的方向 运算当λ<0 时，λa 的方向与 a 的方向；当λ (λ＋μ)a＝λa＋μa； ＝0 时，λa＝ 0. λ(a＋ b)＝λa＋λb. 3.共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线的条件是存在唯一一个实数λ，使得 b＝λa. 二.难点正本疑点清源 1．向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线段都表示同一向量．或者说长度相等、方向相同的向量是相等的．向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说， 即向量不能比较大小． 2．向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线 (或重合 )的情况，而直线平行不包括共线的情况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合． 一、选择题: (本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1．设点P（3，-6），Q（-5，2），R的纵坐标为-9，且P、Q、R三点共线，则R点的横坐标为（）。 A、-9 B、-6 C、9 D、6 2．已知=(2,3), b=(-4,7)，则在b上的投影为（）。 A、B、C、D、 3．设点A（1，2），B（3，5），将向量按向量=（-1，-1）平移后得 向量为（）。 A、（2，3） B、（1，2） C、（3，4） D、（4，7）4．若(a+b+c)(b+c-a)=3bc，且sinA=sinBcosC，那么ΔABC是（）。 A、直角三角形 B、等边三角形 C、等腰三角形 D、等腰直角三角形5．已知| |=4, |b|=3, 与b的夹角为60°，则| +b|等于（）。A、B、C、D、 6．已知O、A、B为平面上三点，点C分有向线段所成的比为2，则（）。 A、B、 C、D、 7．O是ΔABC所在平面上一点，且满足条件，则点O是ΔABC的（）。 A、重心 B、垂心 C、内心 D、外心8．设、b、均为平面内任意非零向量且互不共线，则下列4个命题：(1)( ·b)2= 2·b2(2)| +b|≥| -b| (3)| +b|2=( +b)2 (4)(b ) -( a )b 与 不一定垂直。其中真命题的个数是（ ）。 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 9．在ΔABC 中，A=60°，b=1， ，则 等 于（ ）。 A 、 B 、 C 、 D 、 10．设 、b 不共线，则关于x 的方程 x 2+b x+ =0的解的情况是（ ）。 A 、至少有一个实数解 B 、至多只有一个实数解 C 、至多有两个实数解 D 、可能有无数个实数解 二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，满分16分.）. 11．在等腰直角三角形ABC 中，斜边AC=22，则CA AB =_________ 12．已知ABCDEF 为正六边形，且AC =a ，AD =b ，则用a ，b 表示AB 为______. 13．有一两岸平行的河流，水速为1，速度为 的小船要从河的一边驶 向对岸，为使所行路程最短，小船应朝________方向行驶。 14．如果向量 与b 的夹角为θ，那么我们称 ×b 为向量 与b 的“向量积”， ×b 是一个向量，它的长度| ×b |=| ||b |sin θ，如果| |=3, |b |=2, ·b =-2，则| ×b |=______。 三、解答题：（本大题共4小题，满分44分.） 15．已知向量 = , 求向量b ，使|b |=2| |，并且 与b 的夹角 为 。（10分） SM数列高中数学组卷1 一．选择题（共1小题） 1．已知定义在R上的函数f（x）对任意的实数x1，x2满足f（x1+x2）=f（x1）+f （x2）+2，数列{a n}满足a1=0，且对任意n∈N*，a n=f（n），则f（2010）=（）A．4012 B．4018 C．2009 D．2010 二．填空题（共4小题） 2．记集合P={ 0，2，4，6，8 }，Q={ m|m=100a1+10a2+a3，且a1，a2，a3∈P }，将集合Q中的所有元素排成一个递增的数列，则此数列的第68项是．3．在等差数列{a n}中，a1=3，其前n项和为S n，等比数列{b n}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，． （Ⅰ）求a n与b n； （Ⅱ）求数列{c n}满足，求{c n}的前n项和T n． 4．已知数列{a n}满足a1=33，a n+1﹣a n=2n，则的最小值为． 5．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=，则a n= 三．解答题（共25小题） 6．已知f（x）=（x﹣1）2，g（x）=4（x﹣1）．数列{a n}中，对任何正整数n，﹣a n）g（a n）+f（a n）=0都成立，且a1=2，当n≥2时，a n≠1；设b n=a n 等式（a n +1 ﹣1． （Ⅰ）求数列{b n}的通项公式； （Ⅱ）设S n为数列{nb n}的前n项和，，求的值．7．设正项等比数列{a n}的首项a1=，前n项和为S n，且210S30﹣（210+1）S20+S10=0．（Ⅰ）求{a n}的通项； （Ⅱ）求{nS n}的前n项和T n． 8．已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，其中n∈N*． （1）若a1=b1=2，a3﹣b3=9，a5=b5，试分别求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设A={k|a k=b k，k∈N*}，当数列{b n}的公比q＜﹣1时，求集合A的元素个数的最大值． 9．已知数列{a n}是公差为d（d≠0）的等差数列，数列{b n}是公比为q的（q∈R）的等比数列，若函数f（x）=x2，且a1=f（d﹣1），a5=f（2d﹣1），b1=f（q﹣2），b3=f（q）． （1）求数列{a n}和{b n}的通项公式； （2）设数列{c n}的前n项和为S n，对一切n∈N*，都有 成立，求S n． 10．已知函数f（x）=x2+2x． （Ⅰ）数列a n满足：a1=1，a n+1=f'（a n），求数列a n的通项公式； （Ⅱ）已知数列b n满足b1=t＞0，b n+1=f（b n）（n∈N*），求数列b n的通项公式；（Ⅲ）设的前n项和为S n，若不等式λ＜S n对所有的正整数n恒成立，求λ的取值范围． 11．设等比数列{a n}的前n项和为S n=2n+1﹣2；数列{b n}满足6n2﹣（t+3b n）n+2b n=0（t∈R，n∈N*）． （1）求数列{a n}的通项公式； （2）①试确定t的值，使得数列{b n}为等差数列； ②在①结论下，若对每个正整数k，在a k与a k+1之间插入b k个2，符到一个数列{c n}．设T n是数列{c n}的前n项和，试求满足T m=2c m+1的所有正整数m．12．已知函数f （x）=log a x （a＞0且a≠1），若数列：2，f （a1），f （a2），…，f （a n），2n+4 （n∈N﹡）为等差数列． （1）求数列{a n}的通项公式a n； （2）若a=2，b n=a n?f （a n），求数列{b n}前n项和S n； （3）在（2）的条件下对任意的n∈N﹡，都有b n＞f ﹣1（t），求实数t的取值范 第二章 平面向量 一、选择题 1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则( )． A ．AB 与AC 共线 B ．DE 与CB 共线 C ．与相等 D ．与相等 2．下列命题正确的是( )． A ．向量与是两平行向量 B ．若a ，b 都是单位向量，则a ＝b C ．若＝，则A ，B ，C ， D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同 3．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3，1)，B (－1，3)，若点C 满足＝α OA ＋β OB ，其中 α，β∈R ，且α＋β＝1，则点C 的轨迹方程为( )． A ．3x ＋2y －11＝0 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝5 C ．2x －y ＝0 D ．x ＋2y －5＝0 4．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是( )． A ． 6 π B ． 3 π C ． 23 π D ． 56 π 5．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则＝( )． A ．λ(＋)，λ∈(0，1) B ．λ(＋)，λ∈(0，22 ) C ．λ(－)，λ∈(0，1) D ．λ(－)，λ∈(0， 2 2) 6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则＝( )． A ．＋ B ．－ C ．＋ D ．＋ 7．若平面向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为( )． (第1题) 一、 知识清单 1. 极化恒等式：如图，+=AD AB AC 2 ① -=CB A B A C ②,则： ①2 +②2 得：AC AD BC AB +=+242 2 22 ；①2-②2 得：AC AD BC AB ?=-4422 推广：AC AB AC BC AB AB AC cosA ?=?=?+-2 222 速记方法：?==-+-a b a b a b 4()()22，=++=+-a b a b a b 2 ()()2222 2. 矩形大法：如图，由极化恒等式可得 +=+PO BD 2PD PB 42 2 22①+=+PO AC 2 PA PC 422 22 ② 因为BD=AC ，所以PD PB PA PC +=+2222， 速记方法：矩形外一点到矩形对角顶点的平方和相等。 推广1：若ABCD 为平行四边形，则有PA PC PD PB =+-+-AC 2 )(BD 2 2 2 2 22 =-?= -AC AM BC 4 422 =4 1 0，且对于边AB 上任一点P ，恒有?≥?PB PC P B PC 00 。则( ) A.∠=ABC 90 B. ∠=BAC 90 C.=AB AC D. =AC BC 解析：D 为BC 中点，由极化恒等式有：?=-PC PD BC 4 PB 422 则当PD 最小时，PB ????? ?PC ????? 最小， 所以过D 作AB 垂线，垂足即为P 0,作AB 中点E ，则CE ⊥AB ，即AC=BC 。 3. 已知向量a b e ,,是平面向量，e 是单位向量． ?-++===b e a b a b a ()12,3,0,求-a b 的范围？ 解析：由?-++=b e a b a ()10,得-?-=e b e a ()()0 如图，===OA a OB b OE e ,, ，构造矩形ACBE ，由矩形大法有 +=+OE OC OA OB 222 2，则=OC ==∈-+=-+-AB CE OC OE OC OE a b [,] [2 3 1,231] 高三数学复习微专题之平面向量篇 第三讲：极化恒等式与矩形大法 解析：由极化恒等式有：AB 16推广2：若P 为平面外一点，上述性质仍成立。二、典型例题1．（２０１９浙江模拟卷）在?ABC 中，M 是BC 的中点，AM =3，BC =10，则A B A ? C =_________． 2.（2019山东模拟）在?ABC 中,P 0是边AB 上一定点，满足P B AB 平面向量练习题 一、选择题 1、若向量a = (1,1), b = (1,－1), c =(－1,2),则 c 等于( ) A 、21-a +23b B 、21a 23-b C 、23a 2 1-b D 、2 3-a + 21b 2、已知，A （2，3），B （－4，5），则与共线的单位向量是 （ ） A 、)10 10 ,10103(- = B 、)10 10 ,10103()1010,10103(-- =或 C 、)2,6(-= D 、)2,6()2,6(或-= 3、已知k 3),2,3(),2,1(-+-==垂直时k 值为 （ ） A 、17 B 、18 C 、19 D 、20 4、已知向量=(2，1)， =(1，7)， =(5，1)，设X 是直线OP 上的一点(O 为坐标原点)，那么XB XA ?的最小值是 ( ) A 、-16 B 、-8 C 、0 D 、4 5、若向量)1,2(),2,1(-==分别是直线ax+(b －a)y －a=0和ax+4by+b=0的方向向量，则 a, b 的值分别可以是 （ ） A 、 －1 ，2 B 、 －2 ，1 C 、 1 ，2 D 、 2，1 6、若向量a =(cos α,sin β)，b =(cos α ,sin β )，则a 与b 一定满足 （ ） A 、a 与b 的夹角等于α－β B 、(a ＋b )⊥(a －b ) C 、a ∥b D 、a ⊥b 7、设j i ,分别是x 轴，y 轴正方向上的单位向量，j i θθsin 3cos 3+=，i -=∈),2 ,0(π θ。若用 来表示与的夹角，则 等于 （ ） A 、θ B 、 θπ +2 C 、 θπ -2 D 、θπ- 8、设πθ20<≤，已知两个向量()θθsin ,cos 1=，()θθcos 2,sin 22-+=OP ，则向量21P P 长度的最大值是 （ ） A 、2 B 、3 C 、23 D 、 二、填空题 9、已知点A(2，0)，B(4，0)，动点P 在抛物线y 2＝－4x 运动，则使BP AP ?取得最小值的点P 的坐标 排列组合高中数学组卷 一．选择题（共9小题） 1．（2016?衡阳校级一模）3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共有（） A．90种B．180种C．270种D．540种 2．（2016?黄冈校级自主招生）方程3x2+y2=3x﹣2y的非负整数解（x，y）的组数为（）A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2016?新余二模）7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为（）A．120 B．240 C．360 D．480 4．（2016?内江四模）4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有（） A．24种B．36种C．48种D．60种 5．（2016?邯郸一模）现有6个白球、4个黑球，任取4个，则至少有两个黑球的取法种数是（） A．90 B．115 C．210 D．385 6．（2016?成都校级模拟）用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有（）个． A．324 B．216 C．180 D．384 7．（2016?湖南校级模拟）某中学拟安排6名实习老师到高一年级的3个班实习，每班2人，则甲在一班、乙不在一班的不同分配方案共有（） A．12种B．24种C．36种D．48种 8．（2016?陕西模拟）某校开设A类选修课2门，B类选修课3门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（） A．3种B．6种C．9种D．18种 9．（2016?福建模拟）四位男生和两位女生排成一排，男生有且只有两位相邻，则不同排法的种数是（） A．72 B．96 C．144 D．240 二．填空题（共3小题） 10．（2016?黄冈校级自主招生）若p和q为质数，且5p+3q=91，则p=， q=． 11．（2016?黄冈校级自主招生）设整数a使得关于x的一元二次方程5x2﹣5ax+26a﹣143=0的两个根都是整数，则a的值是． 12．（2016?绵阳模拟）从数字0、1、2、3、4、5这6个数字中任选三个不同的数字组成的三位偶数有个．（用数字作答） 三．解答题（共4小题） 13．（2016?新余三模）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，E，F分别是AC，PB的中点． （1）证明：EF∥平面PCD； 高中数学平面向量专题训练 一、选择题： 1、若向量方程23(2)0x x a --=r r r r ，则向量x r 等于 A 、65 a r B 、6a -r C 、6a r D 、65 a -r 2、两列火车从同一站台沿相反方向开去，走了相同的路程，设两列火车的位移向量分别为a r 和b r ，那么下列命题中错误的一个是 A 、a r 与b r 为平行向量 B 、a r 与b r 为模相等的向量 C 、a r 与b r 为共线向量 D 、a r 与b r 为相等的向量 3、AB BC AD +-=u u u r u u u r u u u r A 、AD u u u r B 、CD uuu r C 、DB u u u r D 、DC u u u r 4、下列各组的两个向量，平行的是 A 、(2,3)a =-r ，(4,6)b =r B 、(1,2)a =-r ，(7,14)b =r C 、(2,3)a =r ，(3,2)b =r D 、(3,2)a =-r ，(6,4)b =-r 5、若P 分AB u u u r 所成的比为4 3 ，则A 分BP u u u r 所成的比为 A 、7 3 - B 、3 7 - C 、73 D 、 3 7 6、已知(6,0)a =r ，(5,5)b =-r ，则a r 与b r 的夹角为 A 、045 B 、060 C 、0135 D 、0120 7、已知i r ，j r 都是单位向量，则下列结论正确的是 A 、1i j ?=r r B 、22 i j =r r C 、i r ∥j i j ?=r r r D 、0i j ?=r r 8、如图，在四边形ABCD 中，设AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ， BC c =u u u r r ，则DC =u u u r A 、a b c -+r r r B 、()b a c -+r r r C 、a b c ++r r r D 、b a c -+r r r 9、点),0(m A )0(≠m ，按向量a r 平移后的对应点的坐标是)0,(m ，则向量a r 是 C B A D 高一数学 第八章 平面向量 第一讲 向量的概念与线性运算 一．【要点精讲】 1．向量的概念 ①向量：既有大小又有方向的量。几何表示法AB u u u r ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a 。 向量的模（长度），记作|AB u u u r |.即向量的大小，记作｜a |。向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小. ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，规定0r 平行于任何向量。（与0的区别） ③单位向量｜ a ｜＝1。④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量，记作a ∥b ⑤相等向量记为b a 。大小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x 2121y y x x 2．向量的运算（1）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法.如图，已知向量a ，b ，在平面内任 取一点A ，作AB u u u r a ，BC u u u r b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC u u u r u u u r u u u r 特殊情况： a b a b a+b b a a+b (1) 平行四边形法则三角形法则C B D C B A A 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r L ，但这时必须“首尾相连”。②向量减法： 同一个图中画出 a b a b r r r r 、 要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.（3）实数与向量的积 3．两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线 有且只有一个实数 ，使得b =a 。 二．【典例解 析】 题型一： 向量及与向量相关的基本概念概念 例1判断下列各命题是否正确 (1)零向量没有方向 (2)b a 则, (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段 平面向量 一.向量的基本概念与基本运算 1 ①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示，如：AB 几何表示法 AB ，a ；坐标表示法,(y x yj xi a =+= 向 量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a ｜ 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ? ｜a ｜＝0 由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线） 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量?｜0a ｜＝1 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即 自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a =大 小相等，方向相同),(),(2211y x y x =?? ?==?2 12 1y y x x 2 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b ==，则a +b =AB BC +=AC （1）a a a =+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律； 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”： （1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： 平面向量的基本定理及坐标表示 一、选择题 1、若向量a = (1,1), b = (1,－1), c =(－1,2),则 c 等于( ) A 、21 a +23 b B 、21a 23 b C 、23a 2 1 b D 、2 3 a + 21b 2、已知，A （2，3），B （－4，5），则与AB 共线的单位向量是 （ ） A 、)10 10 ,10103( e B 、)10 10 ,10103()1010,10103( 或e C 、)2,6( e D 、)2,6()2,6(或 e 3、已知b a b a k b a 3),2,3(),2,1( 与垂直时k 值为 （ ） A 、17 B 、18 C 、19 D 、20 4、已知向量OP =(2，1)，OA =(1，7)，OB =(5，1)，设X 是直线OP 上的一点(O 为坐标原点)，那么XB XA 的最小值是 ( ) A 、-16 B 、-8 C 、0 D 、4 5、若向量)1,2(),2,1( n m 分别是直线ax+(b －a)y －a=0和ax+4by+b=0的方向向量，则 a, b 的值分别可以是 （ ） A 、 －1 ，2 B 、 －2 ，1 C 、 1 ，2 D 、 2，1 6、若向量a =(cos ,sin )，b =(cos ,sin )，则a 与b 一定满足 （ ） A 、a 与b 的夹角等于 － B 、(a ＋b )⊥(a －b ) C 、a ∥b D 、a ⊥b 7、设j i ,分别是x 轴，y 轴正方向上的单位向量，j i OP sin 3cos 3 ， i OQ ),2 ,0( 。若用来表示OP 与OQ 的夹角，则等于 （ ） A 、 B 、 2 C 、 2 D 、 8、设 20 ，已知两个向量 sin ,cos 1 OP ， cos 2,sin 22 OP ，则向2019年爱云校西藏高考模拟高中数学试卷(12月份组卷)(四)
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