数学建模课后作业第六章

第六章.数理统计实验

基本实验

1.区间估计

解：（1）由点估计与参数估计未知参数和σ^2,可以求出均值与方差；

由题目条件可以得出如下的R程序：

> x<-c(1067,919,1196,785,1126,936,918,1156,920,948)

> n<-length(x)

> <-sd(x)

> <-mean(x);

[1]

> <-sum(^2)/n;

[1]

即=，σ^2=

令大约95%的灯泡至少使用的时间为x小时，可以得出如下的等式：由标准正态分布表可以得出：

Ф（）=,可以得出=可以得出x=小时。

（2）当使用时间至少为1000小时：查阅标准正态分布表

可以得出对应的概率为1-Ф（）=1-Ф（）=1-Ф（）==

即由题可以得出使用时间在1000小时以上的概率为%。

2.假设检验I

解：对于自然状态下的男子血小板的数目可以假设服从于正态分布，由点估计与参数估计未知参数和σ^2,可以求出均值、均值区间与方差；

x<-c(113,126,145,158,160,162,164,175,183,188,188,190,220,22 4,230,231,238,245,247,256)

> n<-length(x)

> <-sd(x)

> <-mean(x);

[1]

> <-sum(^2)/n;

[1]

> tmp

> a<;a

[1] > b<+tmp;b [1]

可以得出均值为= ，方差σ^2=；

均值区间为（,）由此可以得出对于油漆工人而言正常男子血小板数为225单位，油漆工人明显低于正常的数量，则可以得知结论油漆作业对人体血小板数量有严重影响。 3.假设实验II

解（1）当两方差相同时

222

12σσσ

==可以得出如下的

均值差

12μμ-的置信度为α-1的双侧置信区间为：

可以得到如下的R 程序：

> x<-c(113,120,138,120,100,118,138,123) > y<-c(138,116,125,136,110,132,130,110) > (x,y,=TRUE)

Two Sample t-test

data: x and y

t = , df = 14, p-value =

alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0

95 percent confidence interval:

sample estimates: mean of x mean of y

可以得知饮食疗法与补充铁剂疗法的均值差12μμ-的置信度为α-1的双侧置信区间为[，]。因为0在置信区间内（或者因为p-value=>），所以可以认为实验组与对照组的均值没有显著差异。 （2）当两组疗法的方差未知时;

建立如下的模型：2222

011212

:, :H H σσσσ=≠

可以得出对应的R 程序分析 补充铁剂疗法：

> x<-c(113,120,138,120,100,118,138,123) > y<-c(138,116,125,136,110,132,130,110) > (x,y)

F test to compare two variances

data: x and y

F = , num df = 7, denom df = 7, p-value =

alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1

95 percent confidence interval:

sample estimates:

ratio of variances

程序运行结果表明，饮食疗法与补充铁剂疗法的方差比置信度为的置信区间为[，]；因为1在置信区间内，故认为实验组与对照组的方差是相同的。

（3）由成对数据模型，可以得出如下的问题分析：

> x<-c(113,120,138,120,100,118,138,123)

> (x,"pnorm",mean=mean(x),sd=sqrt(var(x)))

One-sample Kolmogorov-Smirnov test

data: x

D = , p-value =

alternative hypothesis: two-sided

警告信息：

In (x, "pnorm", mean = mean(x), sd = sqrt(var(x))) :

Kolmogorov - Smirnov检验里不应该有连结

程序运行结果表明，p-value为>，可以认为检验数据来自正态分布的总体。

饮食疗法：

> y<-c(138,116,125,136,110,132,130,110)

> (x,"pnorm",mean=mean(x),sd=sqrt(var(x)))

One-sample Kolmogorov-Smirnov test

data: x

D = , p-value =

alternative hypothesis: two-sided

警告信息：

In (x, "pnorm", mean = mean(x), sd = sqrt(var(x))) :

Kolmogorov - Smirnov检验里不应该有连结

程序运行结果表明，p-value为>，可以认为检验数据来自正态分布的总体。

问题分析:通过Kolmogorov-Smirnov检验来检验：

> x<-c(113,120,138,120,100,118,138,123)

> y<-c(138,116,125,136,110,132,130,110)

> (x,y)

Two-sample Kolmogorov-Smirnov test

data: x and y

D = , p-value =

alternative hypothesis: two-sided

警告信息：

In (x, y) : 无法精確計算带连结的p值

p-value为>，故认为两方法的效果相同

综上可以得知第三种分析方法比较精确而且考虑到了其他的情况，可以认为结果比较真实可靠。

4.假设实验III

解:二项分布总体的假设检验

令 H0：P=P0=%，H1：P≠%

> (57,400,p=

Exact binomial test

data: 57 and 400

number of successes = 57, number of trials = 400, p-value =

alternative hypothesis: true probability of success is not equal to

95 percent confidence interval:

sample estimates:

probability of success

程序运行结果表明，p-value = >，所以接受原假设，认为该市

老年人口比重为%。

5.分步检验I

解：由题黄圆：黄皱：绿圆：绿皱=：：：此问题可以用Pearson拟合优度2 检验，令：

09331

H: P1=,P2=,P3=,P4=

16161616

> (c(315,101,108,32),p=c(9,3,3,1)/16)

Chi-squared test for given probabilities

data: c(315, 101, 108, 32)

X-squared = , df = 3, p-value =

程序运行结果表明，p-value = >，可以认为此结果是符合自由组合规律的。

6.分步检验II

解：由题目可以得出如下的R程序：

> X<-0:5;Y<-c(92,68,28,11,1,0)

> q<-ppois(X, mean(rep(X,Y)));

> n<-length(Y)

> p<-numeric(n);

> p[1]<-q[1];

> p[n]<-1-q[n-1];

> for (i in 2:(n-1))

+ p[i]<-q[i]-q[i-1]

> (Y,p=p)

Chi-squared test for given probabilities

data: Y

X-squared = , df = 5, p-value =

警告信息：

In (Y, p = p) : Chi-squared近似算法有可能不准

因为2

Pearson 检验要求在分组后，每组中的频数至少要大于等于5，而后两组中出现的频数是1，0，均小于5。

> Z<-c(92,68,28,12)

> n<-length(Z); p<-p[1:n-1]; p[n]<-1-q[n-1]

> (Z,p=p)

Chi-squared test for given probabilities

data: Z

X-squared = , df = 3, p-value =

由此可以得知p-value = >>，因此，能认为每分钟顾客人数X 服从Poisson分布。

7.列联表检验 I

解：对此作2x2列联表作独立性检验；

可以得出如下的R程序：

> x<-c(358,229,2492,2745)

> dim(x)<-c(2,2)

> (x,correct = FALSE)

Pearson's Chi-squared test

data: x

X-squared = , df = 1, p-value =

> (x)

Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction

data: x

X-squared = , df = 1, p-value =

由以上程序运行结果可以得知：

p-value = 和p-value = 均小于也就是说使用胎儿电子监测仪对剖腹产率有影响。

8.列联表检验 II

解：由题可以得出用()函数可以作fisher精确独立性检验R程序：> x<-c(3,6,4,4)

> dim(x)<-c(2,2)

> (x)

Fisher's Exact Test for Count Data

data: x

p-value =

alternative hypothesis: true odds ratio is not equal to 1 95 percent confidence interval:

5.

sample estimates:

odds ratio

可得p-value=>>，由区间估计[ , 5.] 得到的区间包含1，说明两个变量是独立的，即认为两组产品的工艺总体合格率无差别。

秩和检验 I

解：（1）由题可以得出如下的()函数R程序；

> x<-c(3, 5, 7, 9, 10)

> y<-c(1, 2, 4, 6, 8)

> (x, y, alternative="greater")

Wilcoxon rank sum test

data: x and y

W = 19, p-value =

alternative hypothesis: true location shift is greater than 0由p-value = >=所以无法确定新方法有提高新效果；

（2）由新的表格可以得到新的R程序：

> x<-c(4, 6, 7, 9, 10)

> y<-c(1, 2, 3, 5, 8)

> (x, y, alternative="greater")

Wilcoxon rank sum test

data: x and y

W = 21, p-value =

alternative hypothesis: true location shift is greater than 0运行程序后，p-value = <则可以得出新方法有一定程度的提高效果；

秩和检验II

解：由此调用()函数可以得出R程序；

> x<-c(0, 1, 9, 7, 3)

> y<-c(2, 2, 11, 4, 1)

> (x, y, alternative="greater",paired=TRUE)

Wilcoxon signed rank test with continuity correction

data: x and y

V = 8, p-value =

alternative hypothesis: true location shift is greater than 0

警告信息：

In y, alternative = "greater", paired = TRUE) :

无法精確計算带连结的p值

运行程序后，p-value = <则不可以得出新疗法组有明显的度的提高效果；

.加分实验（产品装箱问题）；

解：