数学四种命题及其关系
四种命题及其关系
原命题为“若12,z z 互为共轭复数，则12z z =”，关于逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是
A ．真、假、真
B ．假、假、真
C ．真、真、假
D ．假、假、假
【参考答案】B
【解题必备】四种命题的关系及其真假的判断是高考中的一个热点，多以选择题的形式出现，难度一般不大，往往会结合其他知识点(如函数、不等式、三角、向量、立体几何等)进行综合考查.常见的解法如下：
（1）由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．即 命题
表述形式 原命题
若p ，则q 逆命题
若q ，则p 否命题 若p ?，则q ?
逆否命题 若q ?，则p ?
（2例即可．②由于原命题与其逆否命题为等价命题，有时可以利用这种等价性间接地证明命题的真假.即
1．设有下面四个命题
1p ：若复数z 满足1z
∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；
3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；
4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .
其中的真命题为
A ．13,p p
B ．14,p p
C ．23,p p
D ．24,p p
2．设m ∈R ,命题“若0m >,则方程20x x m +-=有实根”的逆否命题是
A ．若方程20x x m +-=有实根，则0m >
B ．若方程20x x m +-=有实根，则0m ≤
C ．若方程20x x m +-=没有实根，则0m >
D ．若方程20x x m +-=没有实根，则0m ≤
1．【答案】B
【名师点睛】分式形式的复数，分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简成()i ,z a b a b =+∈R 的形式进行判断，共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可.学-科网
2．【答案】D
【解析】原命题的逆否命题是：若方程20x x m +-=没有实根，则0m ≤，故选D.
苏教版数学高二-命题及其关系—四种命题(学案)
第一课时命题及其关系——四种命题 1．了解命题的逆命题、否命题和逆否命题的含义，能写出给定命题的逆命题、否命题和逆否命题；2．会分析四种命题之间的相互关系； 3．会利用互为逆否命题的两个命题之间的关系判别命题的真假． 一．课前准备： 我们知道，能够判断真假的语句叫做命题．例如， （1）如果两个三角形全等,那么它们的面积相等； （2）如果两个三角形的面积相等,那么它们全等； （3）如果两个三角形不全等,那么它们的面积不相等； （4）如果两个三角形的面积不相等,那么它们不全等. 二．探索新知： 探究（一）：命题（2）、（3）、（4）与命题（1）有何关系？ 1．上面的四个命题都是形式的命题， 可记为，其中p是命题的条件，q是命题的结论． 2．在上面的例子中， 命题（2）的分别是命题（1）的，我们称这两个命题为互逆命题． 命题（3）的分别是命题（1）的，这两个命题称为互否命题． 命题（4）的分别是命题（1）的，这两个命题称为互为逆否命题． 新知（一） 逆命题、否命题和逆否命题的含义： 一般地，设“若p则q”为原命题，那么 就叫做原命题的逆命题；
就叫做原命题的否命题； 就叫做原命题的逆否命题． 新知（二） 四种命题之间的关系： 动手试试： 例1．写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题． （1）若0a =,则0ab =； （2）若b a =，则b a =．
例2．把下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题，同时指出它们的真假． （1）对顶角相等； （2）四条边相等的四边形是正方形．
探究（二）：原命题、逆命题、否命题、逆否命题的真假有什么关系？ 新知（三） 1．原命题与逆否命题 ； 2．逆命题与否命题 ． 1．自我评价 你完成本节学案的情况为（ ） A ．很好 B ．较好 C ．一般 D ．较差 2．当堂检测（限时5分钟，满分10分） （1）下列语句中是命题有 ．（填上所有符合题意的序号） ①空集是任何集合的真子集； ②把门关上； ③垂直于同一直线的两条直线平行； ④自然数是偶数吗？ （2）下列命题： ①若0 1.1命题及其关系（1）（教学设计） 1.1.1 命题 教学目标： 知识与技能 了解命题的概念，会判断一个命题的真假，并会将一个命题改写成“若p，则q”的形式；体会命题的逻辑性。 过程与方法： 通过学生对命题的判定，总结命题的概念，培养学生的自主学习能力；引导学生学习判断命题的真假性，复习巩固以前所学内容，提高学生掌握知识的牢固性和熟练程度；教会学生改写命题，能从新知识的角度解释所学内容，提高学生对旧知识的理解程度。 情感态度与价值观： 培养学生严谨缜密的思维习惯，深化学生对数学意义的理解，激发学习兴趣，认识数学的科学价值、应用价值和文化价值；通过探究学习培养学生互助合作的学习习惯，形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神。 教学重点：命题的概念、命题的构成 教学难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假 教学过程： 一、复习回顾、新课引入 1、初中已学过命题的知识，请同学们回顾：什么叫做命题？ 2、下列语句的表述形式有什么特点？你能判断他们的真假吗？ （1）若直线a∥b，则直线a与直线b没有公共点． （2）2+4=7． （3）垂直于同一条直线的两个平面平行． （４）若x2=1,则x=1． （５）两个全等三角形的面积相等． （６）３能被２整除． 学生通过讨论，总结：所有句子的表述都是陈述句的形式，每句话都判断什么事情。其中（1）（3）（5）的判断为真，（2）（4）（6）的判断为假。 教师的引导分析：所谓判断，就是肯定一个事物是什么或不是什么，不能含混不清。 二、师生互动、新课讲解 1、定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题． 命题的定义的要点：能判断真假的陈述句． 在数学课中，只研究数学命题，请学生举几个数学命题的例子．教师再与学生共同从命题的定义，判断学生所举例子是否是命题，从“判断”的角度来加深对命题这一概念的理解． 例1（课本P2例1）判断下列语句是否为命题？ （１）空集是任何集合的子集．（２）若整数a是素数，则a是奇数． （３）指数函数是增函数吗？（４）若平面上两条直线不相交，则这两条直线平行． （５） 2 )2 (- ＝－２．（６）x＞１５． 解：真命题：（1）（5）；假命题：（2）（4），不是命题：（3）（不是陈述句）；（6）（无法判断真假） 让学生思考、辨析、讨论解决，且通过练习，引导学生总结：判断一个语句是不是命题，关键看两点：第一是“陈述句”，第二是“可以判断真假”，这两个条件缺一不可．疑问句、祈使句、感叹句均不是命题．解略。 变式训练1：判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？ （1）2小于或等于2； （2）对数函数是增函数吗？ （3）215 x<； （4）平面内不相交的两条直线一定平行； （5）明天下雨. 四种命题的相互关系 教学目标 ：1.熟练四种命题之间的关系，及四种命题的真假性之间的关系，并能利用四种命 题真假性之间的内在联系进行推理论证 2.培养学生简单推理的思维能力 . 教学重点 ：四种命题之间的相互关系即真假性之间的联系 教学难点： 利用真假性之间的内在联系进行推理论证． 授课类型 ：新授课 教具准备 ：多媒体课件． 教学过程 ： 一． 复习引入 ： 1. 教学四种命题的概念 ： 原命题 若 p ，则 q 逆命题 若 q ，则 p 否命题 若 p ， 则 q 逆否命题 若 q ，则 p 二． 新课教授 1.四种命题间的相互关系 下列四个命题中， （ 1）若 f (x) 是正弦函数，则 f (x) 是周期函数； （ 2）若 f (x) 是周期函数，则 f (x) 是正弦函数； （3）若 f (x) 不是正弦函数，则 f (x) 不是周期函数； （4）若 f (x) 不是周期函数，则 f (x) 不是正弦函数； 命题（ 1）与命题（ 2）（ 3）（4）之间的关系我们已经了解，那么任意两个命题间的关系是： （老师引导—学生回答） 原 命 题 互 逆 逆 命 题 归纳：原命题、逆命题、否命题 若 p 则 q 互 若 q 则 p 否 和逆否命题之间的关系： 为 逆 互 互 否 为 逆 否 否 互 否 命 题 逆否命题 若 ┐q 则 ┐p 若 ┐p 则 ┐q 互 逆 2.四种命题真假性之间的关系 （1）讨论： ①例 1 中三个命题的真假与它们的逆命题、否命题、逆否命题的真假间关系： （学生回答）：原命题（ 1）为真 其逆命题（ 2）为假 其否命题（ 3）为假 其逆否命题（ 4）为真 发现有以下规律： 原命题 真 逆命题 假 否命题 假 逆否命题 真 ②（探究中）以“若 x2－ 3x ＋2＝ 0，则 x ＝ 2”为原命题，写出其逆命题，否命题及逆否命题， 并判断真假性。 （学生回答）：原命题为：若 x2－ 3x ＋2＝ 0，则 x ＝ 2，为假 教学设计方案 四种命题 教学目标 （1）理解四种命题的概念； （2）理解四种命题之间的相互关系，能由原命题写出其他三种形式； （3）理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系； （4）初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本步骤； （5）通过对四种命题之间关系的学习，培养学生逻辑推理能力； … （6）通过对四种命题的存在性和相对性的认识，进行辩证唯物主义观点教育； （7）培养学生用反证法简单推理的技能，从而发展学生的思维能力． 教学重点和难点 重点：四种命题之间的关系；难点：反证法的运用． 教学过程设计 第一课时：四种命题 一、导入新课 【练习】1．把下列命题改写成“若p则q”的形式： | （l）同位角相等，两直线平行； （2）正方形的四条边相等． 2．什么叫互逆命题上述命题的逆命题是什么 将命题写成“若p则q”的形式，关键是找到命题的条件p与结论q． 如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互道命题． 上述命题的道命题是“若一个四边形的四条边相等，则它是正方形”和“若两条直线平行，则同位角相等”． 值得指出的是原命题和逆命题是相对的．我们也可以把逆命题当成原命题，去求它的逆命题． 3．原命题真，逆命题一定真吗 ? “同位角相等，两直线平行”这个原命题真，逆命题也真．但“正方形的四条边相等”的原命题真，逆命题就不真，所以原命题真，逆命题不一定真． 学生活动： 口答：（l）若同位角相等，则两直线平行；（2）若一个四边形是正方形，则它的四条边相等． 设计意图： 通过复习旧知识，打下学习否命题、逆否命题的基础． 二、新课 【设问】命题“同位角相等，两条直线平行”除了能构成它的逆命题外，是否还可以构成其它形式的命题 【讲述】可以将原命题的条件和结论分别否定，构成“同位角不相等，则两直线不平行”，这个命题叫原命题的否命题． ￥ 1.1.2 四种命题 1．1.3 四种命题间的相互关系 (教师用书独具) ●三维目标 1.知识与技能 初步理解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念，掌握四种命题的形式；初步理解四种命题间的相互关系并能判断命题的真假． 2．过程与方法 培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力；培养学生抽象概括能力和思维能力． 3．情感、态度与价值观 激发学生学习数学的兴趣和积极性，优化学生的思维品质，培养学生勤于思考，勇于探索的创新意识，感受探索的乐趣． ●重点、难点 重点：四种命题之间相互的关系． 难点：正确区分命题的否定形式及否命题． 通过一个生活中的场景引出逻辑在生活中必不可少的重要地位，从而引发学生学习四种命题的兴趣，然后主要通过对概念的讲解和分析，并配以适量的课堂练习，让学生掌握四种 命题的概念，会写四种命题，并掌握四种命题之间的关系以及通过逆否命题来判断命题的真假；最后运用所学命题知识解决实际生活中的问题，让学生学会用理性的逻辑推理能力思考问题，从而突破重难点． (教师用书独具) ●教学建议 这节内容是以概念的理解和关系的思辨为主的，因此采用以讲解和练习强化为主要方法，并在讲解过程中引导和启发学生的思维，让学生充分地思考和动手演练．宜采取的教学方法：(1)启发式教学．这能充分调动学生的主动性和积极性，有利于学生对知识进行主动建构，从而发现数学规律；(2)讲练结合法．这样更能突出重点、解决难点，让学生的分析问题和解决问题的能力得到进一步的提高． 学习方法：(1)由特殊到一般的化归方法：学习中学生在教师的引导下，通过具体的实例，让学生去观察、讨论、探索、分析、发现、归纳、概括；(2)讲练结合法：让学生知道数学重生在运用，从而检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其差距并及时加以补救．通过本节的学习，了解命题的四种形式及其关系，利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题之间的等价性解决有关问题，渗透由特殊到一般的化归数学思想． ●教学流程 创设问题情境，给出四个命题，引出问题：四个命题的条件与结论有何区别与联系？?引导学生观察、比较、分析，得出四种命题的概念与他们之间的相互关系.? 【高中数学,四种命题及其关系】高中数学 命题及关系知识点 四种命题及其关系高考频度：★★☆☆☆难易程度：★★☆☆☆原命题为“若互为共轭复数，则”，关于逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是A．真、假、真B．假、假、真 C．真、真、假 D．假、假、假 【参考答案】B 【解题必备】四种命题的关系及其真假的判断是高考中的一个热点，多以选择题的形式出现，难度一般不大，往往会结合其他知识点(如函数、不等式、三角、向量、立体几何等)进行综合考查.常见的解法如下： （1）由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．即命题表述形式原命题若p，则q 逆命题若q，则p 否命题若，则逆否命题若，则（2）①给出一个命题，要判断它是真命题，需经过严格的推理证明； 而要说明它是假命题，则只需举一反例即可．②由于原命题与其逆否命题为等价命题，有时可以利用这种等价性间接地证明命题的真假. 即 1．设有下面四个命题：若复数满足，则； ：若复数满足，则； ：若复数满足，则； ：若复数，则. 其中的真命题为 A． B． C． D． 2．设,命题“若,则方程有实根”的逆否命题是 A．若方程有实根，则 B．若方程有实根，则 C．若方程没有实根，则 D．若方程没有实根，则 1．【答案】B 【名师点睛】分式形式的复数，分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简成的形式进行判断，共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可.学-科网 2． 【答案】D 【解析】原命题的逆否命题是：若方程没有实根，则，故选D. 原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q 逆命题 若q 则p 逆否命题若┐q 则┐p 互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互四种命题的相互关系 教学目标：1.熟练四种命题之间的关系，及四种命题的真假性之间的关系，并能利用四种命 题真假性之间的内在联系进行推理论证 2.培养学生简单推理的思维能力. 教学重点：四种命题之间的相互关系即真假性之间的联系 教学难点：利用真假性之间的内在联系进行推理论证． 授课类型：新授课 教具准备：多媒体课件． 教学过程： 一．复习引入： 1. 二．新课教授 1.四种命题间的相互关系 下列四个命题中， （1）若f (x) 是正弦函数，则f (x) 是周期函数； （2）若f (x) 是周期函数，则f (x) 是正弦函数； （3）若f (x) 不是正弦函数，则f (x) 不是周期函数； （4）若f (x) 不是周期函数，则f (x) 不是正弦函数； 命题（1）与命题（2）（3）（4）之间的关系我们已经了解，那么任意两个命题间的关系是： （老师引导—学生回答） 归纳：原命题、逆命题、否命题 和逆否命题之间的关系： 2.四种命题真假性之间的关系 （1）讨论： ①例1中三个命题的真假与它们的逆命题、否命题、逆否命题的真假间关系： （学生回答）：原命题（1）为真 其逆命题（2）为假 其否命题（3）为假 其逆否命题（4）为真 发现有以下规律： 题，并判断真假性。 （学生回答）：原命题为：若x2－3x ＋2＝0，则x ＝2，为假 其逆命题为：若x ＝2，则x2－3x ＋2＝0，为真 其否命题为：若x2－3x ＋2≠0，则x ≠2，为真 其逆否命题为：若x ≠2，则x2－3x ＋2≠0，为假 发现有另外的规律， ③再举其它例子：写出“同位角相等，两直线平行”的逆命题，否命题及逆否命题，并判断真假性。 （学生回答）： 原命题为：同位角相等，两直线平行，为真 其逆命题为：两直线平行，同位角相等，为真 其否命题为：同位角不相等，两直线不平行，为真 其逆否命题为：两直线不平行，同位角不相等，为真 发现还存在以下规律： ④把以上命题改成：同位角不相等，两直线平行，写出其逆命题，否命题及逆否命题，并判断真假性。 （学生回答）：原命题为：同位角不相等，两直线平行，为假 其逆命题为：两直线平行，同位角不相等，为假 其否命题为：同位角相等，两直线不平行，为假 其逆否命题为：两直线不平行，同位角相等，为假 发现： （2）归纳总结：可以发现，一般的四种命题的真假性，有且仅有以上的四种情况。（让学生课下举例子验证） 并且由于逆命题与否命题也是互为逆否命题，因此四种命题的真假性之间有以下关系：（教师引导，与学生一起归纳）： ①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性 ②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系 四种命题真假性之间的联系可以为我们进行推理论证带来方便，例如，由于原命题与其逆否命题有相同的真假性，当直接证明一个命题为真命题有困难时，可以通过证明其逆否命题为真命题来简介地证明原命题为真。 3.例题分析：证明：若222p q +=，则2p q +≤.（教师引导→学生板书→教师点评） 1.1.1 命题及其关系——四种命题 班级： 姓名： 1．了解命题的逆命题、否命题和逆否命题的含义，能写出给定命题的逆命题、否命题和逆否命题； 2．会分析四种命题之间的相互关系； 3．会利用互为逆否命题的两个命题之间的关系判别命题的真假． 一．课前准备： 我们知道，能够判断真假的语句叫做命题．例如， （1）如果两个三角形全等,那么它们的面积相等； （2）如果两个三角形的面积相等,那么它们全等； （3）如果两个三角形不全等,那么它们的面积不相等； （4）如果两个三角形的面积不相等,那么它们不全等. 二．探索新知： 探究（一）：命题（2）、（3）、（4）与命题（1）有何关系？ 1．上面的四个命题都是 形式的命题， 可记为 ，其中p 是命题的条件，q 是命题的结论． 2．在上面的例子中， 命题（2）的 分别是命题（1）的 ，我们称这两个命题为互逆命题． 命题（3）的 分别是命题（1）的 ，这两个命题称为互否命题． 命题（4）的 分别是命题（1）的 ，这两个命题称为互为逆否命题． 新知（一） 逆命题、否命题和逆否命题的含义： 一般地，设“若p 则q ”为原命题，那么 就叫做原命题的逆命题； 就叫做原命题的否命题； 就叫做原命题的逆否命题． 新知（二） 四种命题之间的关系： 动手试试： 例1．写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题． （1）若0a =,则0ab =； （2）若b a =，则b a =． 变式1：写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题。 （1）如果直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于平面； （2）当2x =或4x =时，2 680x x -+=。 例2．把下列命题改写成“若p 则q ”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题，同时指出它们的真假． （1）对顶角相等； （2）四条边相等的四边形是正方形． 命题及其关系 知识点： 1. 命题： 1.1 概念：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句 1.2 分类： 真命题 假命题 1.3 关系： 原命题 逆命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则 这两个命题称为互逆命题。 若原命题为“若p ，则q”，它的逆命题为“若q ，则p” 否命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结 论的否定，则这两个命题称为互否命题 若原命题为“若p ，则q”，则它的否命题为“若 p ，则 q” 逆否命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和 条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题 若原命题为“若 ，则 ”，则它的逆否命题为“若 ，则 ” 1,4 四种命题的真假性：（有且仅有一下四种情况） 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 假 1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性 2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系 2. 充分必要条件： 2.1 概念： 若p q ?，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ?，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）． 全称量词：“?” 短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词 存在量词：“?” 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词 全称命题：含有全称量词的命题 “对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ?∈M ，()p x ” 特称命题：含有特称量词的命题 “存在M 中的一个x ，使()p x 成立”，记作“x ?∈M ，()p x ”． 2.2 命题之间关系： 1）“且” p q ∧ 当p 、q 都是真命题时，p q ∧是真命题； 当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题． 2）“或” p q ∨ 当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题； 当p 、q 两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题 3）“非” p ? 若p 是真命题，则p ?必是假命题 若p 是假命题，则p ?必是真命题 2.3 全称命题的否定 全称命题p ：x ?∈M ，()p x ，它的否定p ?：x ?∈M ，()p x ?． 全称命题的否定是特称命题． 练习： 1. 给出命题：若函数y =f (x )是幂函数，则函数y =f (x )的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是 (A)3 (B)2 (C)1 (D)0 2. 设m∈R,命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是?( ) A.若方程x2+x-m=0有实根,则m>0 B.若方程x2+x-m=0有实根,则m≤0 C.若方程x2+x-m=0没有实根,则m>0 D.若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0 3. 已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥” 例命题“若＝，则与成反比例关系”的否命题是1 y x y k x [ ] A y x y B y kx x y C x y y ．若≠ ，则与成正比例关系．若≠，则与成反比例关系．若与不成反比例关系，则≠k x k x D y x y ．若≠，则与不成反比例关系k x 分析 条件及结论同时否定，位置不变． 答 选D ． 例2 设原命题为：“对顶角相等”，把它写成“若p 则q ”形式为________．它的逆命题为________，否命题为________，逆否命题为________． 分析 只要确定了“p ”和“q ”，则四种命题形式都好写了． 解 若两个角是对顶角，则两个角相等；若两个角相等，则这两个角是对顶角；若两个角不是对顶点，则这两个角不相等；若两个角不相等，则这两个角不是对顶角． 例3 “若P ＝{x |x|＜1}，则0∈P ”的等价命题是________． 分析 等价命题可以是多个，我们这里是确定命题的逆否命题． 解原命题的等价命题可以是其逆否命题，所以填“若，则 0P p ≠{x||x|＜1}” 例4 分别写出命题“若x 2＋y 2＝0，则x 、y 全为0”的逆命题、否命题和逆否命题． 分析根据命题的四种形式的结构确定． 解逆命题：若x、y全为0，则x2＋y2＝0； 否命题：若x2＋y2≠0，则x，y不全为0； 逆否命题：若x、y不全为0，则x2＋y2≠0． 说明：“x、y全为0”的否定不要写成“x、y全不为0”，应当是“x，y不全为0”，这要特别小心． 例5有下列四个命题： ①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题； ②“相似三角形的周长相等”的否命题； ③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题； ④“若∪＝，则”的逆否命题，其中真命题是 A B B A B [ ] A．①②B．②③ C．①③D．③④ 分析应用相应知识分别验证． 解写出相应命题并判定真假 ①“若x，y互为倒数，则xy＝1”为真命题； ②“不相似三角形周长不相等”为假命题； ③“若方程x2－2bx＋b2＋b＝0没有实根，则b＞－1”为真命题； §1.1.1四种命题 【教学目标】 1．了解命题的逆命题、否命题与逆否命题； 2．会分析四种命题之间的相互关系； 3．会利用互为逆否命题的两个命题之间的关系判别命题的真假． 【重点及难点】四种命题的关系． 【教学过程】 一、问题情境 1．复习命题的概念． 2．把下列命题写成“若p则q”的形式，并说明命题①与命题②、③、④的条件和结论之间分别有什么的关系？ ①同位角相等，两直线平行；②两直线平行，同位角相等； ③同位角不相等，两直线不平行；④两直线不平行，同位角不相等． 二、数学建构 （一）四种命题 1．原命题的概念：我们通常把所给的一个命题叫做原命题． 如果用p和q分别表示原命题的条件和结论，则原命题可表示：若p则q． 2．逆命题的概念：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这样的两个命题叫做互为逆命题．把其中一个叫做原命题，另一个就叫做原命题的逆命题．用“若p则q”表示原命题结构，用“若q则p”表示逆命题结构． 3．否命题的概念：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题．把其中一个叫做原命题，另一个就叫做原命题的否命题．用“若p则q”表示原命题结构，用“若非p则非q”表示否命题结构． 4．逆否命题的概念：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题．把其中一个叫做原命题，另一个就叫做原命题的逆否命题． 用“若p则q”表示原命题结构，用“若非q，则非p”表示逆否命题结构． （二）四种命题之间的关系 §1。1。1命题及其关系 例1写出下列三个命题的逆命题、否命题与逆否命题 （1）两直线平行，同位角相等； （2）全等三角形的对应边相等； （3）四边相等的四边形是正方形． （4）“若0a =，则0ab =” 问题：原命题、逆命题、否命题、逆否命题的真假有什么关系？ 例2 分别写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题．并判断它们的真假： （1）若1m <，则220x x m ++=方程有实数根； （2）奇函数的图象关于原点对称； （3）若220x x +-=，则1x =； 一般地，互为逆否命题地两个命题，要么都是真命题，要么都是假命题．即互为逆否命题的两个命题的真假相同． 三、课堂练习 课本P7 练习1、2 四、课堂小结 1．四种命题的准确表达及其相互关系； 2．等价转化的思想方法：互为逆否的两个命题同真同假的应用． 五、课外作业 课本P8 习题1.1 1、2 高中数学四种命题教学设计 这是一篇由网络搜集整理的关于高中数学四种命题教学设计的文档，希望对你能有帮助。 高中数学四种命题教学设计1 一、教学目标 1、在初中学过原命题、逆命题知识的基础上，初步理解四种命题。 2、给一个比较简单的命题（原命题），可以写出它的逆命题、否命题和逆否命题。 3、通过对四种命题之间关系的学习，培养学生逻辑推理能力 4、初步培养学生反证法的数学思维。 二、教学分析 重点：四种命题；难点：四种命题的关系 1。本小节首先从初中数学的命题知识，给出四种命题的概念，接着，讲述四种命题的关系，最后，在初中的基础上，结合四种命题的知识，进一步讲解反证法。 2。教学时，要注意控制教学要求。本小节的内容，只涉及比较简单的命题，不研究含有逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题的逆命题、否命题和逆否命题，３．“若p则q”形式的命题，也是一种复合命题，并且，其中的p与q，可以是命题也可以是开语句，例如，命题“若，则x，y全为0”，其中的p与q，就是开语句。对学生，只要求能分清命题“若p则q”中的条件与结论就可以了，不必考虑p与q是命题，还是开语句。 三、教学手段和方法（演示教学法和循序渐进导入法） 1。以故事形式入题 2多媒体演示 四、教学过程 （一）引入：一个生活中有趣的与命题有关的笑话：某人要请甲乙丙丁吃饭，时间到了，只有甲乙丙三人按时赴约。丁却打电话说“有事不能参加”主人听了随口说了句“该来的没来”甲听了脸色一沉，一声不吭的走了，主人愣了一下又说了一句“哎，不该走的走了”乙听了大怒，拂袖即去。主人这时还没意识到又顺口说了一句：“俺说的又不是你”。这时丙怒火中烧不辞而别。四个客人没来的没来，来的又走了。主人请客不成还得罪了三家。大家肯定都觉得这个人不会说话，但是你想过这里面所蕴涵的数学思想吗？通过这节课的学习我们就能揭开它的庐山真面，学生的兴奋点被紧紧抓住，跃跃欲试！ 设计意图：创设情景，激发学生学习兴趣 （二）复习提问： 1．命题“同位角相等，两直线平行”的条件与结论各是什么？ 2．把“同位角相等，两直线平行”看作原命题，它的逆命题是什么？ 3．原命题真，逆命题一定真吗？ “同位角相等，两直线平行”这个原命题真，逆命题也真．但“正方形的四条边相等”的原命题真，逆命题就不真，所以原命题真，逆命题不一定真．学生活动： 口答：（l）若同位角相等，则两直线平行；（2）若一个四边形是正方形，则它的四条边相等． 实用标准 ●高考明方向 1.理解命题的概念． 2.了解“若 p，则 q”形式的命题的逆命题、 否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义 . ★备考知考情 常用逻辑用语是新课标高考命题的热点之一，考查 形式以选择题为主，试题多为中低档题目，命题 的重点主要有两个： 一是命题及其四种形式，主要考查命题的四种形式及命 题的真假判断； 二是以函数、数列、不等式、立体几何中的线面关系等为背景考查充要条件的判断，这也是历年高考命题的重中之重．命题的热点是利用关系或条件求解参数范围问题，考查考生的逆向思维 . 一、知识梳理《名师一号》 P4 知识点一命题及四种命题 1、命题的概念 在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题． 注意： 命题必须是陈述句，疑问句、祈使句、感叹句 都不是命题。 2．四种命题及其关系 (1)四种命题间的相互关系． (2)四种命题的真假关系 实用标准 ①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性无关． 注意：(补充) 1、一个命题不可能同时既是真命题又是假命题 2、常见词语的否定 原词语等于（ =）大于（ >）否定词语不等于（≠）不大于（≤）原词语都是至多有一个否定词语不都是至少有两个原词语至少有一个任意两个 否定词语一个也没有某两个小于（ <）是 不小于（≥）不是至多有 n 个或 至少有 n+1 个且 所有的任意的某些某个 知识点二充分条件与必要条件 1、充分条件与必要条件的概念 （ 1）充分条件： p q 则 p 是 q 的充分条件 即只要有条件 p 就能充分地保证结论 q 的成立，亦即要使 q 成立，有 p 成立就足够了，即有它即可。 （ 2）必要条件： p q 则 q 是 p 的必要条件 p q q p 即没有 q 则没有 p ，亦即 q 是 p 成立的必须要有的 条件，即无它不可。 ( 补充 ) （ 3）充要条件 p q且q p 即 p q 则p 、q 互为充要条件（既是充分又是必要条件）“ p 是 q 的充要条件”也说成“ p 等价于 q ”、“ q 当且仅当 p ”等 ( 补充 ) 2、充要关系的类型 （ 1）充分但不必要条件 定义：若 p q ，但 q p ， 2019-2020年高一数学四种命题形式与等价命题 教学目标： （一）知识与技能：四种命题的相互关系与反证法的应用； （二）???????????解和应用教学难点：反证法的理 系教学重点：四种命题关辑推理能力 题及其关系，培养逻能力训练：理解四种命其他三种命题。关系，能由原命题推出 题的概念及其相互教学目标：理解四种命过程能力与方法 （三）态度情感与价值观：通过对四种命题的存在性和相对性的认识，进行辩证唯物主义观点教育；培养学生用反证法简单推理的技能，从而发展学生的思维能力． （四）教学模式：师生互动 教学过程设计 复习提问： 写出命题“如果两个实数的和是有理数，那么这两个数都是有理数”的其他三种命题形式，并判断真假。（假） 逆：如果两个数都是有理数，那么这两个实数的和是有理数。（真） 否：如果两个实数的和不是有理数，那么这两个数不都是（至少有一个不是）有理数。（真） 逆否：如果两个数不都是（至少有一个不是）有理数，那么这两个实数的和不是有理数。（假） 逆命题与否命题也是逆否命题，且两个逆否命题必定同真同假。 一般来说：如果甲，乙两个命题，从甲命题可以推出乙命题；同时从乙命题可以推出甲命题，则这样的甲，乙两个命题成为等价命题。 问：两个逆否命题是不是一定是等价命题？两个等价的命题是不是一定是逆否命题？ 二．新课导入： 对于有些命题，我们要证明他们正确，用直接证明的方法很困难。则可以采用证明其等价命题的方法。 请同学看：P17 例3 思考一下：他是从哪个角度去证明这个命题的？ 象这种证明方法，在初中也学过――反证法，但是印象不深。回忆一下反证法的步骤是什么？ （l ）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立； （2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； 1.1 命题及其关系测试练习 一、选择题 1. 下列语句是命题的是( ) ( A)x a + (B){}0∈N (C) 集合与简易逻辑 (D) 真子集 2. 命题“平行四边形的对角线相等且互相平分”是( ) (A) 简单命题 (B)“p q 或”形式的复合命题 (C) “p q 且”形式的复合命题 (D) “p 非”形式的复合命题 3. 若命题“p q 或”与命题“q 非”都是真命题，那么( ) ( A) 命题p 不一定是假命题 (B)命题q 一定是真命题 ( C) 命题q 不一定是真命题 (D)命题p q 与的真假相同 4. 以下判断中正确的是( ) ( A) 命题p 是真命题时，命题“p q 且”一定为真命题 ( B)命题p q 且是真命题时，命题p 一定为真命题 (C)命题p q 且是假命题时，命题p 一定为假命题 (D)命题p 是假命题时，命题p q 且不一定为真命题 5. 命题“0xy ≠“是指( ). ( A)x y ，至少一个不是0 (B) x y ，至多两个不是0 (C) x y ，至少一个不是0 (D) x y ，没有一个是0 6. 如果命题“p q 或”与命题“非p ”都是真命题，那么( ) (A) 命题p 不一定是假命题 (B)命题q 一定是真命题 (C)命题q 不一定是真命题 (D)命题p 与命题q 的真值相同 二、填空题 7. 命题“5不是{} 2310x x x --<的元素”是 形式（用p q 且、p q 或、非p 填空). 第5题. 命题“2是8或12的约数”是 形式（用p q 且、p q 或、非p 填空）. 8. 有下列四个命题 ⑴ 若0x y x y +=则，，互为相反数；⑵ 全等三角形的面积相等；⑶ 若2 1 20q x x q ++=则，…有实数解；⑷ 2是合数；其中真命题为 ． 9. 由命题:6p 是12的约数，:6q 是24的约数，构成的“p 或q ”形式的命题是_________，“p 且q ”形式的命题是_________，“非p ”形式的命题是_________． 1. 四种命题的形式： 用p和q分别表示原命题的条件和结论，用p和q分别表示p和q的否定，则四种命题的形式为： 原命题：若p则q；逆命题：若q则p； 否命题：若p则q；逆否命题：若q则p. 2. 四种命题的关系 3. 逻辑联结词： “或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词. （1）不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫复合命题. （2）复合命题的构成形式：①p或q；②p且q；③非p（即命题p的否定）. （3 非 真真假真真 真假假真假 假真真真假 假假真假假 4.充分条件与必要条件 ①若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； ②若p q，但q p，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件； 且p q，则p是q成立的必要不充分条件； ③若q p ④若既有p q，又有q p，记作p q，则p 是q的充分必要条件（充要条件）. ⑤若p q且q p，则p是q成立的既不充分也不必要条件． 5. 对含有一个量词的命题进行否定 （I）对含有一个量词的全称命题的否定 全称命题p ：，他的否定： 全称命题的否定是特称命题。 （II ）对含有一个量词的特称命题的否定 特称命题p ： ，他的否定 ： 特称命题的否定是全称命题。 1 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假． （1）已知a ，b ，c 为实数，若0ac <，则2 0ax bx c ++=有两个不相等的实数根； （2）两条平行线不相交； (3)若2 2 0x y +=，则x ，y 全为零． (4)已知是实数，若ab=0，则a=0或b=0 2 说明下列命题形式，指出构成它们的简单命题： ⑴矩形的对角线垂直平分； ⑵不等式220x x -->的解集是{ 2x x >或}1x <-； ⑶43≥； ⑷方程 没有实数根． 3（2008广东）已知命题p ：所有有理数都是实数，命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．()p q ?∨ B ．p q ∧ C ．()()p q ?∧? D ．()()p q ?∨? 4（2009年北京）“2()6 k k Z π απ= +∈”是“1 cos 22 α= ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5（2008福建)设集合01x A x x ?? = 四种命题 教学目标 1.理解四种命题的概念，掌握命题形式的表示. 2.培养学生简单推理的思维能力. 教学重点 四种命题的概念. 教学难点 由原命题写出另外三种命题. 教学方法 读、议、讲、练结合教学. 教具准备 投影片1张 教学过程 （I）复习回顾 师：初中已学习过命题与逆命题的知识，请一位同学回答：什么叫做命题的逆命题？生：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题. 师：本节将进一步研究命题与其有关的命题的概念. (II)讲授新课 §1.7.1 四种命题的概念 师：阅读课本P20—30，思考下列问题： （1）原命题、逆命题、否命题、逆否命题的定义分别是什么？ （2）原命题的形式表示为“若p则q”，则其它三种命题的形式如何表示？ 教师在黑板上写出下列三个命题： （1）两直线平行，同位角相等； （2）负数的平方是正数； （3）四边相等的四边形是正方形. 师：请同学回答：什么叫做原命题？原命题的形式可如何表示？ 生：通常把所给的一个命题叫做原命题.如果用p和q分别表示原命题的条件和结论，则原命题可表示：若p则q. 师：什么叫做逆命题初中已学过，那么原命题的逆命题的形式如何表示？ 生：原命题的逆命题的形式可表示为：若q则p. 师：请写出黑板上第（1）个命题的逆命题. 生：同位角相等，两直线平. 师：什么叫做否命题？形式可如何表示？ 生：如果一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定，那么这两个命 题叫做互否命题，这个命题叫做原命题的否命题. 否命题的形式可表示为：若非p则非q. （注：教师强调，可书写为：若┐p则┐q.） 师：写出黑板上命题（1）的否命题. 生：两直线不平行，同位角不相等. 师：什么叫做逆否命题？形式可如何表示？ 生：如果一个命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，这个命题叫做原命题的逆否命题. 逆否命题的形式可表示为：若┐q则┐p. 师：写出命题（1）的逆否命题. 生：同位角不相等，两直线不平行. 师：由上述逆命题、否命题、逆否命题的概念写出命题（2）、（3）的表示形式，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题. 注：教师应强调，关键是找出所给原命题的条件p与结论q. 生：命题（2）的条件是：p：“一个数是负数”；结论是q：“它的平方是正数”. 命题（3）的条件是：p：“一个四边形的四条边相等”；结论是q：“这个四边形是正方形”. 生：命题（2）的逆命题是：若一个数的平方是正数，则它是负数. 否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数. 逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数. 生：命题（3）的逆命题是：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等. 否命题：若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形. 逆否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等. (III)课堂练习：略 一、书面作业 二、预习：下节内容，预习提纲： （1）四种命题之间的关系是什么？ （2）一个命题与其它三个命题之间的真假关系如何？ 高一数学教案四种命题 教学目标 （1）理解四种命题的概念； （2）理解四种命题之间的相互关系，能由原命题写出其他三种形式； （3）理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系； （4）初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本步骤； （5）通过对四种命题之间关系的学习，培养学生逻辑推理能力； （6）通过对四种命题的存在性和相对性的认识，进行辩证唯物主义观点教育； （7）培养学生用反证法简单推理的技能，从而发展学生的思维能力． 教学重点和难点 重点：四种命题之间的关系；难点：反证法的运用． 教学过程设计 第一课时：四种命题 一、导入新课 【练习】1．把下列命题改写成“若则”的形式： （l）同位角相等，两直线平行； （2）正方形的四条边相等． 2．什么叫互逆命题？上述命题的逆命题是什么？ 将命题写成“若则”的形式，关键是找到命题的条件与结论． 如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互道命题． 上述命题的道命题是“若一个四边形的四条边相等，则它是正方形”和“若两条直线平行，则同位角相等”． 值得指出的是原命题和逆命题是相对的．我们也可以把逆命题当成原命题，去求它的逆命题． 3．原命题真，逆命题一定真吗？ “同位角相等，两直线平行”这个原命题真，逆命题也真．但“正方形的四条边相等”的原命题真，逆命题就不真，所以原命题真，逆命题不一定真． 学生活动：公务员之家，全国公务员共同天地 口答：（l）若同位角相等，则两直线平行；（2）若一个四边形是正方形，则它的四 条边相等． 设计意图： 通过复习旧知识，打下学习否命题、逆否命题的基础． 二、新课 【设问】命题“同位角相等，两条直线平行”除了能构成它的逆命题外，是否还可以 构成其它形式的命题？ 【讲述】可以将原命题的条件和结论分别否定，构成“同位角不相等，则两直线不平行”，这个命题叫原命题的否命题． 【提问】你能由原命题“正方形的四条边相等”构成它的否命题吗？ 学生活动： 口答：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等． 教师活动： 【讲述】一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样 的两个命题叫做互否命题．把其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题． 若用和分别表示原命题的条件和结论，用┐和┐分别表示和的否定． 【板书】原命题：若则； 否命题：若┐则┐． 【提问】原命题真，否命题一定真吗？举例说明？ 学生活动： 讲论后回答： 原命题“同位角相等，两直线平行”真，它的否命题“同位角不相等，两直线不平行”不真．1.1命题及其关系(1)(教学设计)
高考高中数学四种命题的相互关系
高一数学教案-四种命题教案
高中数学- 四种命题 四种命题间的相互关系
【高中数学,四种命题及其关系】 高中数学命题及关系知识点
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高二数学1.1.1 命题及其关系——四种命题
命题及其关系
高中数学四种命题经典例题
§1.1.1 四种命题
高中数学四种命题教学设计
命题及其关系、充分条件与必要条件知识点与题型归纳
2019-2020年高一数学四种命题形式与等价命题
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