定义证明二重极限

定义证明二重极限

定义证明二重极限

就是说当点(x,y)落在以(x0,y0)点附近的一个小圈圈内的时候，f(x,y)与a的差的绝对值会灰常灰常的接近。那么就说f(x,y)在

(x0,y0)点的极限为a

关于二重极限的定义，各类数学教材中有各种不同的表述，归纳起来主要有以下三种：定义1设函数在点的某一邻域内有定义(点可以除外)，如果对于任意给定的正数。，总存在正数，使得对于所论邻域内适合不等式的一切点p(x，y)所对应的函数值都满足不等式那末，常数a就称为函数当时的极限.定义2设函数的定义域为是平面上一点，函数在点儿的任一邻域中除见外，总有异于凡的属于d的点，若对于任意给定的正数。，总存在正数a，使得对d内适合不等式0<户几卜8的一切点p，有不等式v(p)一周<。成立，则称a为函数人p)当p～p。时的极限.定义3设函数x一人工，”的定义域为d，点产人工。，人)是d的聚点，如果对于任意给定的正数。，总存在正数8，使得对于适合不等式的一切点p(x，…ed，都有成立，则称a为函数当时的极限.以上三种定义的差异主要在于对函数的前提假设不尽相同.定义1要求人x，…在点p入x。，汕)的某去心邻域内有定义，而定义2允许人工，y)在点p。(x。，入)的任一去心邻域内都有使人x，y)无定义的点，相应地，定义i要求见的去心邻域内的点p都适合/(p)一a 卜

利用极限存在准则证明：

(1)当x趋近于正无穷时，(inx/x^2)的极限为0;

(2)证明数列{xn}，其中a>0，xo>0,xn=/2,n=1,2,…收敛，并求其极限。

1)用夹逼准则:

x大于1时,lnx>0,x^2>0,故lnx/x^2>0

且lnx1),lnx/x^2<(x-1)/x^2.而(x-1)/x^2极限为0

故(inx/x^2)的极限为0

2)用单调有界数列收敛:

分三种情况,x0=√a时,显然极限为√a

x0>√a时,xn-x(n-1)=/2<0,单调递减

且xn=/2>√a,√a为数列下界,则极限存在.

设数列极限为a,xn和x(n-1)极限都为a.

对原始两边求极限得a=/2.解得a=√a

同理可求x0<√a时,极限亦为√a

综上,数列极限存在,且为√

(一)时函数的极限：

以时和为例引入.

介绍符号:的意义,的直观意义.

定义(和.)

几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.

例1验证例2验证例3验证证……

(二)时函数的极限：

由考虑时的极限引入.

定义函数极限的“”定义.

几何意义.

用定义验证函数极限的基本思路.

例4验证例5验证例6验证证由=

为使需有为使需有于是,倘限制,就有

例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:

1.定义：单侧极限的定义及记法.

几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.

例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:

th类似有:例10证明:极限不存在.

例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有

=§2函数极限的性质(3学时)

教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。

教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。

教学重点：函数极限的性质及其计算。

教学难点：函数极限性质证明及其应用。

教学方法：讲练结合。

一、组织教学：

我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.

二、讲授新课：

(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.

1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保号性:

4.单调性(不等式性质):

th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有) 註:若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.

5.迫敛性:

6.四则运算性质:(只证“+”和“”)

(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：

(注意前四个极限中极限就是函数值)

这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.

利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.

例1(利用极限和)

例2例3註:关于的有理分式当时的极限.

例4

例5例6例7

第二篇：证明二重极限不存在

证明二重极限不存在

如何判断二重极限(即二元函数极限)不存在,是二元函数这一节的难点,在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论,只是略谈一下在判断二重极限不存在时,一个值得注意的问题。由二重极限的定义知,要讨论limx→x0y→y0f(x,y)不存在,通常的方法是:找几条通过(或趋于)定点(x0,y0)的特殊曲线,如果动点(x,y)沿这些曲线趋于(x0,y0)

时,f(x,y)趋于不同的值,则可判定二重极限limx→x0y→y0f(x,y)不存

在,这一方法一般人都能掌握,但是在找一些特殊曲线时,是有一定技巧的,不过不管找哪条曲线,这条曲线一定要经过(x0,y0),并且定点是这条曲线的非孤立点,这一点很容易疏忽大意,特别是为图方便,对于型如limx→x0y→y0f(x,y)g(x,y)的极限,在判断其不存在时,不少人找的曲线是f(x,y)-g(x,y)=0,这样做就很容易出错。例如,容易知道

limx→0y→0x+yx2+y2=0,但是若沿曲线x2y-(x2+y2)=0→(0,0)时,所得的结论就不同(这时f(x,y)→1)。为什么会出现这种情况呢?仔细分析一下就不难得到答案

2

若用沿曲线，(，y)一g(，y)=0趋近于(，y0)来讨论，一0g，y。。可能会出现错误，只有证明了(，)不是孤立点后才不会出错。

o13a1673-3878(XX)0l__0l02__02如何判断二重极限(即二元函数极限)不存在。是二元函数这一节的难点，在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论。只是略谈一下在判断二重极限不存在时。一个值得注意的问题。由二重极限的定义知，要讨论limf(x，y)不存在，通常x—’10y—’y0的方法是：找几条通过(或趋于)定点(xo，yo)的特殊曲线，如果动点(x，y)沿这些曲线趋于(xo，y。)时，f(x，y)趋于不同的值，则可判定二重极限limf(x，y)不存在，这一方i—’10r’y0法一般人都能掌握，但是在找一些特殊曲线时，是有一定技巧的，不过不管找哪条曲线，这条曲线一定要经过(xo，y。)，并且定点是这条曲线的非孤立点，这一点很容易疏忽大意，特别是为图方便，对于型如2的极限，在判卜’iogx，yy—·y0断其不存在时，不少人找的曲线是f(x，y)一g(x，y)：0，这样做就很容易出错。

3

当沿曲线y=-x+x^2趋于(00)时，极限为lim(-x^2+x^3)/x^2=-1;

当沿直线y=x趋于(00)时，极限为limx^2/2x=0。故极限不存在。

4

x-y+x^2+y^2

f(x,y)=————————

x+y

它的累次极限存在：

x-y+x^2+y^2

limlim————————=-1

y->0x->0x+y

x-y+x^2+y^2

limlim————————=1

x->0y->0x+y

当沿斜率不同的直线y=mx,(x,y)->(0,0)时，易证极限不同，所以它的二重极限不存在。

第三篇：用极限定义证明极限

例1、用数列极限定义证明：limn?2?0 n??n2?7

n?2时n?2(1)2n(2)2nn?22(3)24(4)|2?0|?2?2?2?????

nn?7n?7n?7n?nn?1n?n

2

上面的系列式子要想成立，需要第一个等号和不等号（1）、（2）、（3）均成立方可。第一个等号成立的条件是n>2；不等号（1）成立的条件是2

n4，即n>2；不等号（4）成立的条件是n?[]，故取n=max{7, 2?

44[]}。这样当n>n时，有n>7，n?[]。 ??

4 因为n>7,所以等号第一个等号、不等式（1）、（2）、（3）能成立；因为n?[]，所以不等号（3）成立的条件是1??

|不等式（4）能成立，因此当n>n时，上述系列不等式均成立，亦即当n>n时，

在这个例题中，大量使用了把一个数字放大为n或n?2?0|??。

n2?7n的方法，因此，对于具体的数，．．．．．．．2

可把它放大为（k为大于零的常数）的形式．．．．．．kn．．．．．．．．．．．．．．．

n?4?0 n??n2?n?1

n?4n?4n?4时n?n2n2(1)|2?0|?2?2???? n?n?1n?n?1n?n?1n2n

22不等号（1）成立的条件是n?[],故取n=max{4, []},则当n>n 时，上面的不等式都成??例2、用数列极限定义证明：lim 立。

注：对于一个由若干项组成的代数式，可放大或缩小为这个代数式的一部分。如：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

n2?n?1?n2

n2?n?1?n

n?n?n22

n(n?1)2?n?1

(?1)n

例3、已知an?，证明数列an的极限是零。 2(n?1)

(?1)n1(1)1(2)

证明：???0(设0???1)，欲使|an?0|?||????成立

22(n?1)(n?1)n?1

11??解得：n??1，由于上述式子中的等式和不等号（1）对于任意的正整n?1?

1数n都是成立的，因此取n?[?1]，则当n>n时，不等号（2）成立，进而上述系列等式由不等式?

和不等式均成立，所以当n>n时，|an?0|??。

在上面的证明中，设定0???1，而数列极限定义中的?是任意的，为什么要这样设定？这样设定是否符合数列极限的定义？

在数列极限定义中，n是一个正整数，此题如若不设定0???1，则n?[?1]就有1

可能不是正整数，例如若?＝2，则此时n＝－1，故为了符合数列极限的定义，先设定0???1，这样就能保证n是正整数了。

那么对于大于1的?，是否能找到对应的n？能找到。按照上面已经证明的结论，当?＝0.5时，有对应的n1，当n>n1时，|an?0|＜0.5成立。因此，当n＞n1时，对于任意的大于1的?，下列式子成立：|an?0|＜0.5＜1＜?，亦即对于所有大于1的?，我们都能找到与它相对应的n=n1。因此，在数列极限证明中，?可限小。只要对于较小的?能找到对应的n，则对于较大的?．．．

就自然能找到对应的n。

第四篇：极限定义证明

极限定义证明

趋近于正无穷，根号x分之sinx等于0

x趋近于负1/2，2x加1分之1减4x的平方等于2

这两个用函数极限定义怎么证明?

x趋近于正无穷，根号x分之sinx等于0

证明：对于任意给定的ξ>0，要使不等式

|sinx/√x-0|=|sinx/√x|<ξ成立，只需要

|sinx/√x|^2<ξ^2,即sinx^2/x<ξ^2(∵x→+∞),则

x>sinx^2/ξ^2,

∵|sinx|≤1∴只需不等式x>1/ξ^2成立，

所以取x=1/ξ^2，当x>x时，必有|sinx/√x-0|<ξ成立，

同函数极限的定义可得x→+∞时，sinx/√x极限为0.

x趋近于负1/2，2x加1分之1减4x的平方等于2

证明：对于任意给定的ξ>0，要使不等式

|1-4x^2/2x+1-2|=|1-2x-2|=|-2x-1|=|2x+1|<ξ成立，只

需要0<|x+1/2|<ξ/2成立.所以取δ=ξ/2,则当0<|x+1/2|<δ时，必有

|1-4x^2/2x+1-2|=|2x+1|<ξ，

由函数极限的定义可得x→-1/2时，1-4x^2/2x+1的极限为2.

注意，用定义证明x走近于某一常数时的极限时，关键是找出那个绝对值里面x减去的那个x0.

记g(x)=lim^(1/n)，n趋于正无穷;

下面证明limg(x)=max{a1,...am},x趋于正无穷。把

max{a1,...am}记作a。

不妨设f1(x)趋于a;作b>a>=0,m>1;

那么存在n1,当x>n1,有a/m<=f1(x)

注意到f2的极限小于等于a，那么存在n2，当x>n2时，0<=f2(x) 同理，存在ni，当x>ni时，0<=fi(x)

取n=max{n1,n2...nm};

那么当x>n,有

(a/m)^n<=f1(x)^n<=f1(x)^n+...fm(x)^n

所以a/m<=^(1/n)

对n取极限，所以a/m<=g(x)n时成立;

令x趋于正无穷，

a/m<=下极限g(x)<=上极限g(x)<=b;

注意这个式子对任意m>1,b>a都成立，中间两个极限都是固定的数。

令m趋于正无穷，b趋于a;

有a<=下极限g(x)<=上极限g(x)<=a;

这表明limg(x)=a;

证毕;

证明有点古怪是为了把a=0的情况也包含进去。

还有个看起来简单些的方法

记g(x)=lim^(1/n)，n趋于正无穷;

g(x)=max{f1(x),....fm(x)};

然后求极限就能得到limg(x)=max{a1,...am}。

其实这个看起来显然，但对于求极限能放到括号里面，但真要用

极限定义严格说明却和上面的证明差不多。

有种简单点的方法，就是

max{a,b(请继续关注..)}=|a+b|/2+|a-b|/2从而为简单代数式。

多个求max相当于先对f1，f2求max，再对结果和f3求，然后继续，从而为有限次代数运算式，

故极限可以放进去。

2

一)时函数的极限：

以时和为例引入.

介绍符号:的意义,的直观意义.

定义(和.)

几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.

例1验证例2验证例3验证证……

(二)时函数的极限：

由考虑时的极限引入.

定义函数极限的“”定义.

几何意义.

用定义验证函数极限的基本思路.

例4验证例5验证例6验证证由=

为使需有为使需有于是,倘限制,就有

例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:

1.定义：单侧极限的定义及记法.

几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.

例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:

th类似有:例10证明:极限不存在.

例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有

=§2函数极限的性质(3学时)

教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。

教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。

教学重点：函数极限的性质及其计算。

教学难点：函数极限性质证明及其应用。

教学方法：讲练结合。

一、组织教学：

我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.

二、讲授新课：

(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.

1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保号性:

4.单调性(不等式性质):

th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有) 註:若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.

5.迫敛性:

6.四则运算性质:(只证“+”和“”)

(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：

(注意前四个极限中极限就是函数值)

这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.

利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.

例1(利用极限和)

例2例3註:关于的有理分式当时的极限.

例4

例5例6例7

2

第五篇：函数极限的定义证明

习题1?3

1. 根据函数极限的定义证明:

(1)lim(3x?1)?8;x?3

(2)lim(5x?2)?12;x?2

x2?4??4;(3)limx??2x?2

1?4x3

(4)lim?2.

x??2x?12

1证明 (1)分析 |(3x?1)?8|?|3x?9|?3|x?3|, 要使

|(3x?1)?8|?? , 只须|x?3|??.3

1证明因为?? ?0, ????, 当0?|x?3|??时, 有|(3x?1)?8|?? , 所以lim(3x?1)?8.x?33

1(2)分析 |(5x?2)?12|?|5x?10|?5|x?2|, 要使|(5x?2)?12|?? , 只须|x?2|??.5

1证明因为?? ?0, ????, 当0?|x?2|??时, 有|(5x?2)?12|?? , 所以lim(5x?2)?12.x?25

(3)分析

|x?(?2)|??.x2?4x2?4x?4x2?4?(?4)??|x?2|?|x?(?2)|, 要

使?(?4)??, 只须x?2x?2x?2

x2?4x2?4?(?4)??, 所以lim??4.证明因为?? ?0, ????, 当

0?|x?(?2)|??时, 有x??2x?2x?2

(4)分析 1?4x3111?4x31?2??, 只须

|x?(?)|??.?2?|1?2x?2|?2|x?(?)|, 要使2x?12x?1222

1?4x3111?4x3

?2??, 所以lim证明因为?? ?0, ????, 当0?|x?(?)|??时, 有?2.12x?12x?122x??2. 根据函数极限的定义证明:

(1)lim1?x3

2x3

sinxx???1;2(2)limx???x?0.

证明 (1)分析

|x|?1

1?x32x311?x3?x3??22x3?12|x|3, 要使1?x32x3?11??, 只须??, 即322|x|2?.

证明因为?? ?0, ?x?(2)分析

sinxx?0?

12?

, 当|x|?x时, 有1x

1?x32x311?x31???, 所以lim?.

x??2x322

1x

??, 即x?

sinxx

|sinx|x

?, 要使

sinx

证明因为???0, ?x?

?2

, 当x?x时, 有

xsinxx

?0??, 只须

?0??, 所以lim

x???

?0.

3. 当x?2时,y?x2?

4. 问?等于多少, 使当|x?2|

解由于x?2, |x?2|?0, 不妨设|x?2|?1, 即1?x?3. 要使

|x2?4|?|x?2||x?2|?5|x?2|?0. 001, 只要

|x?2|?

0.001

?0.0002, 取??0. 0002, 则当0?|x?2|??时, 就有|x2?4|?0. 001.5

x2?1x?3

4. 当x??时, y?

x2?1x2?3

?1, 问x等于多少, 使当|x|>x时, |y?1|<0.01?

解要使?1?

4x2?3

?0.01, 只|x|?

?3?397, x?.0.01

5. 证明函数f(x)?|x| 当x?0时极限为零.

x|x|

6. 求f(x)?, ?(x)?当x?0时的左﹑右极限, 并说明它们在x?0时的极限是否存在.

xx

证明因为

x

limf(x)?lim?lim1?1,

x?0?x?0?xx?0?x

limf(x)?lim?lim1?1,

x?0?x?0?xx?0?limf(x)?limf(x),??

x?0

x?0

所以极限limf(x)存在.

x?0

因为

lim?(x)?lim??

x?0

x?0

|x|?x

?lim??1,?x?0xx|x|x?lim?1,xx?0?x

lim?(x)?lim??

x?0

x?0

lim?(x)?lim?(x),??

x?0

x?0

所以极限lim?(x)不存在.

x?0

7. 证明: 若x???及x???时, 函数f(x)的极限都存在且都等于a, 则limf(x)?a.

x??

证明因为limf(x)?a, limf(x)?a, 所以??>0,

x???

x???

?x1?0, 使当x??x1时, 有|f(x)?a|?? ;?x2?0, 使当x?x2时, 有|f(x)?a|?? .

取x?max{x1, x2}, 则当|x|?x时, 有|f(x)?a|?? , 即

limf(x)?a.

x??

8. 根据极限的定义证明: 函数f(x)当x?x0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.

证明先证明必要性. 设f(x)?a(x?x0), 则??>0, ???0, 使当

0<|x?x0|

|f(x)?a|

因此当x0??

|f(x)?a|

这说明f(x)当x?x0时左右极限都存在并且都等于a .再证明充分性. 设f(x0?0)?f(x0?0)?a, 则??>0,??1>0, 使当x0??10, 使当x0

取??min{?1, ?2}, 则当0<|x?x0|

x0

| f(x)?a|

即f(x)?a(x?x0).

9. 试给出x??时函数极限的局部有界性的定理, 并加以证明.

解 x??时函数极限的局部有界性的定理? 如果f(x)当x??时的极限存在? 则存在x?0及m?0? 使当|x|?x时? |f(x)|?m?

证明设f(x)?a(x??)? 则对于? ?1? ?x?0? 当|x|?x时? 有

|f(x)?a|?? ?1? 所以|f(x)|?|f(x)?a?a|?|f(x)?a|?|a|?1?|a|?

这就是说存在x?0及m?0? 使当|x|?x时? |f(x)|?m? 其中

m?1?|a|?